精品解析：四川省广安友实学校2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

广安友实学校 2024－2025学年度上期2023级阶段作业 数学试卷 （作业时间120分钟） 一、精心选一选：每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的．答对的得3分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，C选项中的图形都不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； B选项中的图形能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．根据合并同类项法则；同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D． 3. 若某三角形的三边长分别为2，4，m，则m的值可以是（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系，先根据三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边求得的取值范围，然后根据选项中的数据可得答案． 【详解】解：∵三角形的三边长分别为2，4，m， ∴，则， 故选项B中的5满足题意，选项A、C、D中数字不满足题意， 故选：B． 4. 某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据关于轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：点B的坐标为； 故选A． 【点睛】本题考查坐标与轴对称．熟练掌握关于轴对称的点的特点：纵坐标不变，横坐标互为相反数，是解题的关键． 5. 如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以判断四个小三角形是全等三角形,即可判断一个的面积是． 【详解】∵分别是，，的中点,且△ABC是等边三角形, ∴△ADF≌△DBE≌△FEC≌△DFE, ∴△DEF的面积是． 故选D． 【点睛】本题考查等边三角形的性质及全等,关键在于熟练掌握等边三角形的特殊性质． 6. 如图，直线，是直角三角形，，点在直线上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，直角三角形的特征，作出辅助线是解题的关键．延长交直线于点，得到，根据平行线的性质可得，最后根据直角三角形的两个锐角互余即可求解． 【详解】解：如图，延长交直线于点， ， ， 直线， ， 在中，， 故选：D． 7. 工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，是一个任意角，在边，上分别取（，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．你认为工人师傅在此过程中用到的三角形全等的判定方法是这种作法的道理是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质．熟练掌握确定三角形的判定方法是解题的关键． 由三边对应相等得，即由判定两个三角形全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证． 【详解】解：依题意知， 在与中， ， ， ， 即即是的平分线． 故选：D． 8. 如图是某学校人行入口的智能闸机及其示意图，当它关闭时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为，挡板边缘，且与闸机侧立面夹角．当挡板收起后，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了含度角的直角三角形的性质；过作于，过作于，则可得和的长，依据端点与之间的距离为，即可得到可以通过闸机的物体的最大宽度． 【详解】解：如图所示，过作于，过作于， 由，则中，， 同理可得，， 又点与之间的距离为， 通过闸机的物体的最大宽度为， 故选：B． 9. 已知，，则的值是（ ） A. 6 B. 18 C. 36 D. 72 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法的逆运算，根据进行求解即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：A． 10. 如图，点 为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：（1）；（2）的值不变；（3）四边形 的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1． 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查角平线的性质定理、全等三角形的判定和性质；能够结合角平分线的性质定理作出角平分线上点到两边的垂线段，构建全等三角形是解题的关键． （1）如图作于，于，由于，可证，所以，由平分，得证，于是，所以，同时，所以，，故（）正确； （2）因为，故（）正确； （3）由三角形全等可知，所以定值，故（）正确； （4），的位置变化，所以的长度是变化的，故（4）错误． 【详解】解：如图，作于E，于F． ， ， ， ， ， 平分，于，于， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ，，故（）正确， ， =定值，故（）正确， 为定值，故（2）正确， ，的位置变化， 的长度是变化的，故（4）错误． 正确的有（1）（2）（3），共3个 故选：B． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接．若的周长为，则的周长为______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，再根据三角形的周长公式求得，进而可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于点E， ∴， ∵的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为， 故答案为：20． 12. “香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”图1窗棂的外边框为正六边形（如图2），则该正六边形的每个内角为______． 【答案】120 【解析】 【分析】本题考查多边形内角和，正多边形的性质．掌握n边形内角和为和正多边形的每个内角都相等是解题关键．根据多边形内角和公式求出正六边形的内角和为，再除以6即可． 【详解】解：∵正六边形的内角和为， ∴正六边形的每个内角为． 故答案为：120． 13. 已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是____． 【答案】40°或100° 【解析】 【分析】分∠A为三角形顶角或底角两种情况讨论，即可求解． 【详解】解：当∠A为三角形顶角时，则△ABC的顶角度数是40°； 当∠A为三角形底角时，则△ABC的顶角度数是180°-40°-40°=100°； 故答案为：40°或100°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，此类题目，难点在于要分情况讨论． 14. 如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充哪一对边相等：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，，题目比较典型，难度适中． 根据直角三角形的全等判定解答即可． 【详解】解：补充， 在和中， ， ∴， 故答案为：． 15. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第2个智慧优数是______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查数字类规律探究、因式分解的应用，理解题意，利用平方差公式求解是解答的关键．先根据已知 【详解】解：∵两个正整数m，n满足， ∴或或或或，……， 当时，则， ∴， 得到的智慧优数为8，12，16，……； 当时，则， ∴， 得到的智慧优数为15，21，27，……； 当时，则， ∴， 得到的智慧优数为24，32，……； 当时，则， ∴， 得到的智慧优数为35，45，……； 当时，则， ∴， 得到的智慧优数为48，60，……； ……， 把这些智慧优数从小到大排列为8，12，15，16，21，24，27，32，35，45，48，60，……， 故第2个智慧优数是12， 故答案为：12． 16. 如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角定理，等式性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先分别对运用三角形的外角定理，设，则，，则，得到，，同理可求：，所以可得． 【详解】解：如图： ∵，， ∴设，，则，， 由三角形的外角的性质得：，， ∴， 如图： 同理可求：， ∴， ……， ∴， 即， 故答案为：． 三、解答题（本大题共4个小题，其中第17小题5分，第18、19小题各6分，第20小题8分，共25分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键，分别根据有理数的乘方，零指数幂和算术平方根的运算法则计算，再利用加减运算即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算及其求值，先根据整式的混合运算法则化简原式，再代值求解即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 19. 如图，点E、F在线段BC上，，，，证明：． 【答案】 证明：∵， ∴∠B=∠C， ∵，， ∴△ABE≌△DCF（AAS）， ∴． 【解析】 【分析】利用AAS证明△ABE≌△DCF，即可得到结论． 【详解】略 【点睛】此题考查全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 20. 如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． （1）当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长； （2）当为的角平分线时，若，，求的度数． 【答案】（1）5 （2） 【解析】 【分析】本题考查三角形的内角和定理及外角性质、中线、高线和角平分线的性质，熟练掌握三角形相关性质是解答的关键． （1）先根据三角形的中线平分三角形的面积得到，再利用三角形的面积公式求解即可； （2）先根据三角形的内角和定理求得，再利用角平分线的定义和三角形的外角性质求得，进而利用三角形的内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：∵为边上的中线，的面积为30， ∴， ∵为边上的高，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 四、实践应用（本大题共4个小题，其中第21、22、24小题各8分，第23小题5分，共29分） 21. 如图，已知，，． （1）画出△ABC此关于y轴对称的图形，并写出，的坐标； （2）P为x轴上一点，请在图中画出使PA＋PB最小时的点P，并写出点P的坐标． 【答案】（1） 解：如图所示，，； （2） 解：如图，点P即是所求作的点，． 【解析】 【分析】（1）先画出关于轴的对称点，再连接三点即可求解；根据点的坐标特点直接写出坐标即可； （2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点P，则点P即是所求作的点，据此直接写出点P的坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题是一道作图题，考查了点的坐标特征，点关于轴，关于轴的对称，最短路径，正确理解点关于轴，关于轴的对称特点是解本题的关键． 22. 如图，已知是等边三角形，D为上一点，，． ． （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 【答案】（1） 证明：∵是等边三角形， ∵，， 在和中， ∴． （2） 证明：∵， ∴，， 由得是等腰三角形， 又∵， ∴是等边三角形． 【解析】 【分析】（1）根据证明即可； （2）由，得出，，根据有一个角为的等腰三角形是等边三角形，得出结论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法和等边三角形的判定方法． 23. 广安市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，其中，则购买这种草皮至少需要多少元． 【答案】购买这种草皮至少需要元 【解析】 【分析】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，三角形面积计算，过点C作交延长线于H，求出，则可求出的长，再计算出的面积即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点C作交延长线于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴购买这种草皮至少需要元． 24. 请在下列三个的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画四角形涂上阴影．（注：所画的个图形不能重复） 【答案】 如图所示： 【解析】 【分析】此题主要考查了利用轴对称设计图案，利用轴对称图形的性质，分别选择不同的直线当对称轴，得到相关图形即可． 【详解】略 五、探究与应用（本大题共1个小题，共8分） 25. 数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的面积法获取结论，在整式运算中时常运用． 【问题探究】 探究：如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． 请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积． 方法1：__________________ 方法2：__________________ 【得出结论】 观察上图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系．______； 【应用结论】 根据以上等量关系，解决如下问题：已知：，，求：的值； 【答案】问题探究：方法1：；方法2：；得出结论：；应用结论： 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，熟练掌握完全平方公式，采用数形结合的思想，准确进行计算是解此题的关键． 问题探究：根据小正方形的面积为小正方形边长的平方，也可以表示为大正方形和几个小长方形的面积之差，由此即可得出答案； 得出结论：结合（1）中的公式进行求解即可； 应用结论：根据即可求解． 【详解】解：问题探究： 方法1：， 方法2：； 得出结论： ； 应用结论：，， 六、拓展提高（本大题共1个小题，共10分） 26. 回答问题： （1）【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； （2）【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1） （2） 仍成立，理由：延长到点G， 使，连接， ∵， ， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； （3） ，证明如下： 在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， 在和中 ， ∴， ， ∵， ， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】（1）延长到点G， 使，连接，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （2）延长到点G， 使，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理及性质即可求出答案． （3）在延长线上取一点G，使得，连接，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，再根据角之间的关系即可求出答案． 【小问1详解】 解：延长到点G， 使，连接， 在和中， ， ∴， ， ∵， ， 在和中， ， ∴， ； 故答案为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广安友实学校 2024－2025学年度上期2023级阶段作业 数学试卷 （作业时间120分钟） 一、精心选一选：每小题给出的四个选项中有且只有一个选项是符合题目要求的．答对的得3分，答错、不答或答案超过一个的一律得0分（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若某三角形的三边长分别为2，4，m，则m的值可以是（ ） A. 1 B. 5 C. 7 D. 10 4. 某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x，y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，面积为1的等边三角形中，分别是，，的中点，则的面积是（ ） A. 1 B. C. D. 6. 如图，直线，是直角三角形，，点在直线上．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 工人师傅经常利用角尺平分一个任意角，如图所示，是一个任意角，在边，上分别取（，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与，重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线．你认为工人师傅在此过程中用到的三角形全等的判定方法是这种作法的道理是（　　） A. B. C. D. 8. 如图是某学校人行入口的智能闸机及其示意图，当它关闭时，双侧挡板边缘的端点A与B之间的距离为，挡板边缘，且与闸机侧立面夹角．当挡板收起后，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 9. 已知，，则的值是（ ） A. 6 B. 18 C. 36 D. 72 10. 如图，点 为定角的平分线上的一个定点，且与互补，若在绕点旋转的过程中，其两边分别与、相交于、两点，则以下结论：（1）；（2）的值不变；（3）四边形 的面积不变；（4）的长不变，其中正确的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，连接．若的周长为，则的周长为______． 12. “香渡栏干屈曲，红妆映、薄绮疏棂．”图1窗棂的外边框为正六边形（如图2），则该正六边形的每个内角为______． 13. 已知△ABC是等腰三角形．若∠A=40°，则△ABC的顶角度数是____． 14. 如图，在和中，，，若要用“斜边、直角边（）”直接证明，则还需补充哪一对边相等：________． 15. 定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，，16就是一个智慧优数，可以利用进行研究．若将智慧优数从小到大排列，则第2个智慧优数是______． 16. 如图，在中，，分别是内角、外角的三等分线，且，，在中，，分别是内角，外角的三等分线．且，，…，以此规律作下去．若．则______度． 三、解答题（本大题共4个小题，其中第17小题5分，第18、19小题各6分，第20小题8分，共25分） 17. 计算：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，点E、F在线段BC上，，，，证明：． 20. 如图，在中，为边上的高，点D为边上的一点，连接． （1）当为边上的中线时，若，的面积为30，求的长； （2）当为的角平分线时，若，，求的度数． 四、实践应用（本大题共4个小题，其中第21、22、24小题各8分，第23小题5分，共29分） 21. 如图，已知，，． （1）画出△ABC此关于y轴对称的图形，并写出，的坐标； （2）P为x轴上一点，请在图中画出使PA＋PB最小时的点P，并写出点P的坐标． 22. 如图，已知是等边三角形，D为上一点，，． ． （1）求证：； （2）求证：是等边三角形． 23. 广安市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，其中，则购买这种草皮至少需要多少元． 24. 请在下列三个的方格中，各画出一个三角形，要求所画三角形是图中三角形经过轴对称变换后得到的图形，且所画的三角形顶点与方格中的小正方形顶点重合，并将所画四角形涂上阴影．（注：所画的个图形不能重复） 五、探究与应用（本大题共1个小题，共8分） 25. 数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精确描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题相互转化．“以形释数”是利用数形结合思想解决代数问题的一种体现，做整式的乘法运算时，利用几何直观的面积法获取结论，在整式运算中时常运用． 【问题探究】 探究：如图1是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四块小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形． 请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积． 方法1：__________________ 方法2：__________________ 【得出结论】 观察上图，请你写出下列三个代数式：，，之间的等量关系．______； 【应用结论】 根据以上等量关系，解决如下问题：已知：，，求：的值； 六、拓展提高（本大题共1个小题，共10分） 26. 回答问题： （1）【初步探索】如图1：在四边形中，，E、F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是 ； （2）【灵活运用】如图2，若在四边形中，．E、F分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）【拓展延伸】如图3，已知在四边形中，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $