黄金卷07（上海专用）-【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷

【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷 黄金卷07 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）。 1．复数为虚数单位），则　　． 【解析】． ． 故答案为：． 2．已知，则 ． 【答案】D 【解析】因为． 3．抛物线上与焦点距离等于3的点的横坐标是 ． 【答案】2 【解析】抛物线的焦点为，准线方程为, 设抛物线上一点到焦点的距离为3, 则，所以, 故答案为：2. 4．一组数据从小到大排列为：，则该组数据的分位数为    【答案】12 【分析】根据百分位数概念计算即可. 【详解】因为，所以该组数据的分位数是第7个数12. 5．已知集合，若，则m的取值范围是 . 【答案】或 【知识点】根据交集结果求集合或参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】化简集合,由两集合交集为空集，列出不等式即可求解. 【详解】 因为 所以或 解得：或 故答案为：或 6．如果函数是奇函数，则 . 【答案】2 【分析】根据奇函数的定义求解． 【详解】因为函数为奇函数，所以，即，整理得：，所以． 故答案为：2． 【点睛】本题考查函数的奇偶性，掌握奇偶性定义是解题关键． 7．数列中，，则的值为 . 【答案】 【分析】根据题意，得到数列的周期性，结合，即可求解. 【详解】由数列中，， 可得， 可得数列是以三项为周期的周期性循环出现， 所以. 8．书架上某层有8本书，新买2本插进去，要保持原有8本书的顺序，则有 种不同的插法（具体数字作答） 【答案】90 【分析】利用定序相除法进行求解，先求10本书的所有排法，再求原来8本书的排法，相除可得结果. 【详解】原来的8本书，加上新买的2本书，随意排列共有种排法， 原来的8本书随意排列共有种排法， 而原来特有的顺序只有1种，所以共有种方法. 故答案为：90. 9．在中，为的重心，满足，则 . 【答案】0 【分析】由题意作图，根据重心的几何性质，得到线段的比例关系，利用平面向量的运算，可得答案. 【详解】设相交于点，为的重心，    可得为中点，， ， 所以， 所以. 10．一艘轮船在江中向正东方向航行，在点处观测到灯塔在一直线上，并与航线成角.轮船沿航线前进1000米到达处，此时观测到灯塔在北偏西方向，灯塔在北偏东方向.则此时轮船到灯塔之间的距离为 米. 【答案】 【解析】如图，在中，，，， 由正弦定理，得到，所以， 故答案为：. 11．已知 ，则      【答案】10 【分析】由，利用二项式定理求解指定项的系数. 【详解】， 其中展开式的通项为，且， 当时，，此时只需乘以第一个因式中的2，可得； 当时，，此时只需乘以第一个因式中的，可得. 所以. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是把表示成，利用即可二项式定理求解. 12．已知函数的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，则的中位数为 . 【答案】/ 【分析】根据题意整理出，求出，；由此判断出为递增的等差数列，进而求解即可. 【详解】由的图象关于点中心对称，也关于点中心对称， 得， 两式相减得，所以， 由时，由，得； 由时，由，得； 又由，结合，， 所以成首项为，公差为的等差数列， 所以，且此等差数列为递增数列， 所以的中位数为：. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是判断出为递增的等差数列，从而得解. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且只有一个正确选项。 13.调查某校高三学生的身高和体重得到如图所示散点图，其中身高和体重相关系数，则下列说法正确的是（    ） A．学生身高和体重没有相关性 B．学生身高和体重呈正相关 C．学生身高和体重呈负相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 【答案】B 【分析】由散点图的特点可分析相关性的问题，从而判断选项，根据相关系数的定义可判断选项. 【详解】由散点图可知，散点的分布集中在一条直线附近， 所以学生身高和体重具有相关性，不正确； 又身高和体重的相关系数为，相关系数， 所以学生身高和体重呈正相关，正确，不正确； 从样本中抽取一部分，相关性可能变强，也可能变弱，所以这部分的相关系数不一定是，不正确. 故选：. 14.函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由余弦和角公式、倍角公式、降幂公式可得 ， 所以的最小正周期为．故选：C 15．若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】利用异面直线所成的角的概念进行分类讨论即可求解. 【详解】在空间取一点，经过点分别作， 设直线确定平面，当直线满足它的射影在所成角的平分线上时， 与所成的角等于与所成的角， 因为直线，所成的角为，得所成锐角等于， 所以当射影在所成锐角的平分线上时， 与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 当的射影在所成钝角的平分线上时， 与所成角的范围是. 这种情况下，过点有两条直线与所成的角都是， 综上所述，过空间任意一点可作与，所成的角都是的直线有4条. 故选：D. ． 16．在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.若，点为双纽线上任意一点，则下列结论正确的个数是（    ） ①关于轴不对称 ②关于轴对称 ③直线与只有一个交点 ④上存在点，使得 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】用定义法把动点的轨迹方程求出来，利用代换，方程没有变化，可知双纽线关于轴，轴，原点对称，再利用它与联立方程组，解得只有一组解，可知③正确，再利用原点到的距离正好是,可知满足题意，所以④正确，从而可以做出所有选项的判断. 【详解】①设到定点的距离之积为4， 可得.，整理得， 即曲线的方程为， 由用代换，方程没变，可知曲线关于轴对称， 由用代换，方程没变，可知曲线关于轴对称， 由用代换，用同时代换，方程没变，可知曲线关于原点对称， 图象如图所示： 所以①不正确，②正确； ③联立方程组，可得，即，所以， 所以直线与曲线只有一个交点，所以③正确. ④原点满足曲线的方程，即原点在曲线上，则， 即曲线上存在点与原点重合时，满足，所以④正确. 故选:C. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤。 17．（14分）如图（1）是将一副直角三角尺拼成的平面图形，已知，，，现将沿着折起使之与构成二面角，如图（2）． (1)当三棱锥体积最大时，求三棱锥的体积； (2)在（1）的情况下，求与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作，根据题意先求得，的值，折起过程中，面积不变，当为三棱锥的高时，三棱锥体积最大，再根据三棱锥的体积公式求解即可； （2）在（1）的情况下建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可． 【详解】（1）如图，作， 由题意，， 折起过程中，面积不变，当为三棱锥的高时，三棱锥体积最大， ． （2）如图，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设，所成的角为， 则， ∴与所成角的余弦值为． 18．（14分）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为函数为偶函数，则， 即， 所以， ， . （2）， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故. 19．（14分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，本届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？    这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时AB同组，CD同组． (1)若，在淘汰赛赛制下，A、C获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 【答案】(1)获得冠军的概率分别为，； (2)淘汰赛赛制下获得冠军的概率为，“双败赛制”赛制下获得冠军的概率为，双败赛制下对强者更有利. 【分析】（1）利用独立事件乘法、互斥事件加法公式求获得冠军的概率； （2）分别求出不同赛制下获得冠军的概率，研究哪种赛制下获得冠军的概率更大，即可得结论. 【详解】（1）获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 获得冠军的概率为， 获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 获得冠军的概率为. （2）淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为， “双败赛制”赛制下，讨论A进入胜者组、败者组两种情况， 当A进入胜者组，若在胜者组A失败，后两局都胜，方可得冠军； 若在胜者组A胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军； 当A进入败者组，后三局都胜，方可得冠军； 综上，获得冠军的概率. 令，若为强队，则，故， 所以，双败赛制下对强者更有利. 20．（18分）已知椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的中点为. (1)求椭圆的方程； (2)证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值； (3)延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率及四边形的面积. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)斜率为， 【知识点】由韦达定理或斜率求弦中点、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】 （1）根据椭圆的焦点、短轴长求出即可得解； （2）设直线的方程为，联立椭圆方程，求出弦中点，得出斜率即可得证； （3）由题意为线段的中点，表示出点坐标，代入椭圆求解斜率，再由点到直线距离求出高可得三角形面积，即可得解. 【详解】（1）由题意知， 又， 解得. 椭圆的方程为. （2）由题意，设直线的方程为， 由方程组消去得. 显然， 设， 则. 为线段的中点， ， ，故为定值. （3）如图，    若四边形为平行四边形，则为线段的中点， 即 点在椭圆上， ，解得，即； 结合（2）可得，， 设点到直线的距离为，则， 即 21．（18分）已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）. (1)求函数在区间上的值域； (2)求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点； (3)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求得的导数，判断的单调性，可得所求值域； （2）讨论为奇数，或偶数时，的单调性，结合函数零点存在定理，可得证明； （3）由（2）可知函数在（）上且仅有一个零点，再由零点存在定理、以及正切函数的性质和不等式的性质，可得证明. 【详解】（1）由， 当时，，即函数在区间上是严格增函数， 且，， 所以在区间上的值域为. （2）当时， ①当是偶数时，， 函数在区间上是严格增函数； ②当是奇数时，， 函数在区间上是严格减函数； 且，故， 所以由零点存在定理可知， 函数在区间上有且仅有一个零点. （3）由（2）可知函数在上有且仅有一个零点， 且满足，即（几何意义：是与交点的横坐标） 又因为，故，   所以由零点存在性定理可知， 函数在上有且仅有一个零点，       于是， ①因为，得 所以，即； （或者 ） ② 因为 由（1）可知，当时，有 故，所以； 由①②可知. 【点睛】关键点点睛：本题第三问，借助在（）上且仅有一个零点，利用正切函数的性质和不等式的性质求解. 试卷第2页，共22页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷（上海专用） 黄金卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分） 1． 2． 3．2 4．12 5．或6．2 7． 8．90 9．0 10． 11．10 12． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且只有一个正确选项。 13． 14．C 15． 16． 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤。 17．（14分） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）作，根据题意先求得，的值，折起过程中，面积不变，当为三棱锥的高时，三棱锥体积最大，再根据三棱锥的体积公式求解即可； （2）在（1）的情况下建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可． 【详解】（1）如图，作， 由题意，， 折起过程中，面积不变，当为三棱锥的高时，三棱锥体积最大， ． （2）如图，建立空间直角坐标系， 则，，，， ，， 设，所成的角为， 则， ∴与所成角的余弦值为． 18．（14分） 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）因为函数为偶函数，则， 即， 所以， ， . （2）， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，故. 19．（14分） 【答案】(1)获得冠军的概率分别为，； (2)淘汰赛赛制下获得冠军的概率为，“双败赛制”赛制下获得冠军的概率为，双败赛制下对强者更有利. 【分析】（1）利用独立事件乘法、互斥事件加法公式求获得冠军的概率； （2）分别求出不同赛制下获得冠军的概率，研究哪种赛制下获得冠军的概率更大，即可得结论. 【详解】（1）获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 获得冠军的概率为， 获得冠军：组获胜，再由与组胜者决赛并胜出， 获得冠军的概率为. （2）淘汰赛赛制下，获得冠军的概率为， “双败赛制”赛制下，讨论A进入胜者组、败者组两种情况， 当A进入胜者组，若在胜者组A失败，后两局都胜，方可得冠军； 若在胜者组A胜利，后一局（与败者组胜者比赛）胜，方可得冠军； 当A进入败者组，后三局都胜，方可得冠军； 综上，获得冠军的概率. 令，若为强队，则，故， 所以，双败赛制下对强者更有利. 20．（18分） 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)斜率为， 【知识点】由韦达定理或斜率求弦中点、椭圆中三角形（四边形）的面积、根据a、b、c求椭圆标准方程 【分析】 （1）根据椭圆的焦点、短轴长求出即可得解； （2）设直线的方程为，联立椭圆方程，求出弦中点，得出斜率即可得证； （3）由题意为线段的中点，表示出点坐标，代入椭圆求解斜率，再由点到直线距离求出高可得三角形面积，即可得解. 【详解】（1）由题意知， 又， 解得. 椭圆的方程为. （2）由题意，设直线的方程为， 由方程组消去得. 显然， 设， 则. 为线段的中点， ， ，故为定值. （3）如图，    若四边形为平行四边形，则为线段的中点， 即 点在椭圆上， ，解得，即； 结合（2）可得，， 设点到直线的距离为，则， 即 21．（18分）已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）. (1)求函数在区间上的值域； (2)求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点； (3)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）求得的导数，判断的单调性，可得所求值域； （2）讨论为奇数，或偶数时，的单调性，结合函数零点存在定理，可得证明； （3）由（2）可知函数在（）上且仅有一个零点，再由零点存在定理、以及正切函数的性质和不等式的性质，可得证明. 【详解】（1）由， 当时，，即函数在区间上是严格增函数， 且，， 所以在区间上的值域为. （2）当时， ①当是偶数时，， 函数在区间上是严格增函数； ②当是奇数时，， 函数在区间上是严格减函数； 且，故， 所以由零点存在定理可知， 函数在区间上有且仅有一个零点. （3）由（2）可知函数在上有且仅有一个零点， 且满足，即（几何意义：是与交点的横坐标） 又因为，故，   所以由零点存在性定理可知， 函数在上有且仅有一个零点，       于是， ①因为，得 所以，即； （或者 ） ② 因为 由（1）可知，当时，有 故，所以； 由①②可知. 【点睛】关键点点睛：本题第三问，借助在（）上且仅有一个零点，利用正切函数的性质和不等式的性质求解. 试卷第2页，共22页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷 黄金卷07 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）。 1．复数为虚数单位），则　　． 2．已知，则 ． 3．抛物线上与焦点距离等于3的点的横坐标是 ． 4．一组数据从小到大排列为：，则该组数据的分位数为 5．已知集合，若，则m的取值范围是 . 6．如果函数是奇函数，则 . 7．数列中，，则的值为 . 8．书架上某层有8本书，新买2本插进去，要保持原有8本书的顺序，则有 种不同的插法（具体数字作答） 9．在中，为的重心，满足，则 . 10．一艘轮船在江中向正东方向航行，在点处观测到灯塔在一直线上，并与航线成角.轮船沿航线前进1000米到达处，此时观测到灯塔在北偏西方向，灯塔在北偏东方向.则此时轮船到灯塔之间的距离为 米. 11．已知 ，则      12．已知函数的图象关于点中心对称，也关于点中心对称，则的中位数为 . 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13~14题每题4分，第15~16题每题5分）每题有且只有一个正确选项。 13.调查某校高三学生的身高和体重得到如图所示散点图，其中身高和体重相关系数，则下列说法正确的是（    ） A．学生身高和体重没有相关性 B．学生身高和体重呈正相关 C．学生身高和体重呈负相关 D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是 14.函数的最小正周期是（    ） A． B． C． D． 15．若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 16．在平面直角坐标系中，把到定点距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.若，点为双纽线上任意一点，则下列结论正确的个数是（    ） ①关于轴不对称 ②关于轴对称 ③直线与只有一个交点 ④上存在点，使得 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤。 17．（14分）如图（1）是将一副直角三角尺拼成的平面图形，已知，，，现将沿着折起使之与构成二面角，如图（2）． (1)当三棱锥体积最大时，求三棱锥的体积； (2)在（1）的情况下，求与所成角的余弦值． 18．（14分）已知函数为偶函数． (1)求的值； (2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19．（14分）第19届亚运会将于2023年9月23日至10月8日举办，本届亚运会共设40个竞赛大项．其中首次增设了电子竞技项目．与传统的淘汰赛不同，近年来一个新型的赛制“双败赛制”赢得了许多赛事的青睐．传统的淘汰赛失败一场就丧失了冠军争夺的权利，而在双败赛制下，每人或者每个队伍只有失败了两场才会淘汰出局，因此更有容错率．假设最终进入到半决赛有四支队伍，淘汰赛制下会将他们四支队伍两两分组进行比赛，胜者进入到总决赛，总决赛的胜者即为最终的冠军．双败赛制下，两两分组，胜者进入到胜者组，败者进入到败者组，胜者组两个队伍对决的胜者将进入到总决赛，败者进入到败者组．之前进入到败者组的两个队伍对决的败者将直接淘汰，胜者将跟胜者组的败者对决，其中的胜者进入总决赛，最后总决赛的胜者即为冠军，双败赛制下会发现一个有意思的事情，在胜者组中的胜者只要输一场比赛即总决赛就无法拿到冠军，但是其它的队伍却有一次失败的机会，近年来从败者组杀上来拿到冠军的不在少数，因此很多人戏谑这个赛制对强者不公平，是否真的如此呢？    这里我们简单研究一下两个赛制，假设四支队伍分别为A、B、C、D，其中A对阵其他三个队伍获胜概率均为p，另外三支队伍彼此之间对阵时获胜概率均为．最初分组时AB同组，CD同组． (1)若，在淘汰赛赛制下，A、C获得冠军的概率分别为多少？ (2)分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用表示），并据此简单分析一下双败赛制下对队伍的影响，是否如很多人质疑的“对强者不公平”？ 20．（18分）已知椭圆的右焦点为，短轴长为2.过点且不平行于坐标轴的直线与椭圆交于两点，线段的中点为. (1)求椭圆的方程； (2)证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积为定值； (3)延长线段与椭圆交于点，若四边形为平行四边形，求此时直线的斜率及四边形的面积. 21．（18分）已知定义在上的函数的表达式为，其所有的零点按从小到大的顺序组成数列（）. (1)求函数在区间上的值域； (2)求证：函数在区间（）上有且仅有一个零点； (3)求证：. 试卷第2页，共22页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$