精品解析：四川省成都市第七中学初中学校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

四川省成都市第七中学初中学校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题 （满分150分，120分钟完成） A卷（满分100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 一组邻边相等的四边形是菱形 C. 平行四边形的对角线互相平分且相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 3. 一个不透明的盒子中装有5个大小相同的乒乓球，将其摇匀，从中随机摸出一个乒乓球，这样重复做了次摸球试验，摸到黄球的频数为，则估计其中的黄球的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）的场地，被3条宽度相同的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，则矩形的周长为（　　） A. 12 B. 16 C. D. 6. 小刚身高，测得他站立在阳光下的影子长为，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为，那么小刚举起手臂超出头顶（　　） A. 2m B. m C. m D. m 7. 如图，是以点为位似中心经过位似变换得到的，若，则的面积与的面积之比是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，点D，E为边的三等分点，点F，G在边上，且，点为与的交点．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 若，则_____． 10. 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 11. 七巧板是一种古老的中国传统智力游戏．在如图所示的七巧板中，若正方形的边长为4，则正方形的边长为 _______． 12. 2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看做是线段的黄金分割点（），，则______．（结果保留根号） 13. 如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为______． 三、解答题（共48分） 14. 解方程 （1） （2） （3） 15. 已知关于x的一元二次方程有两实数根． （1）求m的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且，求m的值． 16. 某校将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，计划演示以下四项科学小实验：．自动升高的水；．不会湿的纸；．漂浮的硬币；．生气的瓶子．学校科技部随机对该校部分学生进行了“最希望演示的一项实验”问卷调查，得到下列不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题： （1）求此次调查中接受调查的人数； （2）请补全条形统计图； （3）已知最希望演示项实验的名学生，有名来自九年级一班，1名来自九年级二班，名来自九年级三班，现需从这四人中随机抽取名作为实验“自动升高的水”的演示员，请用列表或画树状图的方法，求抽到的名学生来自不同班级的概率． 17. 如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求的长． （2）求灯泡到地面的高度． 18. 如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于． （1）求证：． （2）若为中点，且，求长． （3）连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由． B卷（满分50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值为___________． 20. 有三张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字．把这三张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字为；放回搅匀，再随机抽取一张卡片，记下数字为，则直线不经过第三象限的概率为______． 21. 同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点是线段上一点，若，则称点为线段的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若，则称点为线段的“近A，2阶黄金分割点”．若点为线段的“近A，1阶黄金分割点”时，______；若点为线段的“近，6阶黄金分割点”时，______． 22. 如图，中，，，点为中点．点在右侧，，且，射线交于点，若为等腰三角形，则线段的长为______． 23. 如图，在Rt中，为边上的中点，将沿翻折至，连接，若，则______． 二、解答题（共30分） 24. 某文具店购进A、B两种型号的笔袋，两次购进笔袋的情况如表： 进货批次 A型笔袋（个） B型笔袋（个） 总费用（元） 一 10 5 400 二 5 10 350 （1）求A，B两种型号的笔袋进价各是多少元？ （2）在销售过程中，为了增大A型笔袋的销售量，超市决定对A型笔袋进行降价销售，当销售单价为40元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市将每个A型笔袋降价多少元时，每天售出A型笔袋的利润为240元？ 25. 在平面直角坐标系中，点B、E的坐标分别为，过点作直线轴，设直线上的动点的坐标为，连接，以为直角边作，按顺时针排列），其中． （1）当时，求直线的函数表达式； （2）当点落在坐标轴上时，求的面积； （3）点在直线上，当点A，C在第一象限时，是否存在以为直角顶点的与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 26. 在平行四边形中，的面积为48． （1）如图1，求边上的高的长； （2）P是边上的一个动点，点C，D同时绕按照逆时针方向旋转得到． i）如图2，当落在射线上时，求的长； ii）当是直角三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省成都市第七中学初中学校2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题 （满分150分，120分钟完成） A卷（满分100分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义逐项分析即可． 【详解】解：A、是二元一次方程，故本选项不符合题意． B、是分式方程，故本选项不符合题意． C、是一元二次方程，故本选项符合题意． D、是一元一次方程，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列命题中，正确的是（ ） A. 对角线相等的四边形是矩形 B. 一组邻边相等的四边形是菱形 C. 平行四边形的对角线互相平分且相等 D. 正方形的对角线互相垂直平分且相等 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是矩形的判定，菱形的判定，平行四边形的性质，正方形的性质，再逐一分析判断即可，掌握以上基础知识是解本题的关键． 【详解】解：A、对角线相等的平行四边形为矩形；故不符合题意； B、一组邻边相等的平行四边形是菱形；故不符合题意； C、平行四边形的对角线互相平分；故不符合题意； D、正方形的对角线互相垂直平分且相等；故符合题意； 故选：D． 3. 一个不透明的盒子中装有5个大小相同的乒乓球，将其摇匀，从中随机摸出一个乒乓球，这样重复做了次摸球试验，摸到黄球的频数为，则估计其中的黄球的个数为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了利用频率估计概率，正确运用概率公式是解题关键．在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：∵做了次摸球试验，摸到黄球的频数为， ∴估计摸到黄球的概率是：， ∴估计其中的黄球个数为：（个）． 故选：B． 4. 如图，某小区居民休闲娱乐中心是一块长方形（长60米，宽40米）的场地，被3条宽度相同的绿化带分为总面积为1750平方米的活动场所，设绿化带的宽度为x米，由题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．利用平移思想，整体处理求解即可． 【详解】解：∵长方形场地的长为60米，宽为40米， ∴被分成六块的活动场所可合成长为米，宽为米的长方形． 根据题意得：． 故选：B． 5. 如图，在矩形中，对角线，相交于点O，，则矩形的周长为（　　） A. 12 B. 16 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、含的直角三角形的性质、勾股定理及矩形的周长，解题的关键是求得矩形的长和宽． 先根据矩形的对角线相等可求得的长，然后再根据含角的直角三角形的性质求得矩形的宽，进一步根据勾股定理求得矩形的长，最后求得矩形的周长． 【详解】∵矩形， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∴矩形的周长为：． 故选：D． 6. 小刚身高，测得他站立在阳光下的影子长为，紧接着他把手臂竖直举起，测得影子长为，那么小刚举起手臂超出头顶（　　） A. 2m B. m C. m D. m 【答案】D 【解析】 【详解】此题考查相似三角形的应用，能够根据同一时刻物高与影长成比例，列出正确的比例式，然后根据比例的基本性质进行求解即可． 【解答】解：设小刚举起的手臂超出头顶是， 根据同一时刻物高与影长成比例，得， ． 故选：D． 7. 如图，是以点为位似中心经过位似变换得到的，若，则的面积与的面积之比是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了位似变换、相似三角形的判定与性质等知识，理解并掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题关键．首先根据位似图形的概念可得，，结合题意可得，然后根据相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵与是位似图形，， ∴，， ∴， ∴的面积与的面积之比． 故选：D． 8. 如图，在中，点D，E为边的三等分点，点F，G在边上，且，点为与的交点．若，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，先证明得到，则，再证明，得到，则，进而得到，同理可得． 【详解】解：点D，E为边的三等分点， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 9. 若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的相关计算，由已知比例关系可得，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 将其代入，得 ． 故答案为：． 10. 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是______． 【答案】k＜1． 【解析】 【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根， ∴△=， 解得：， 故答案为. 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是得出关于k的一元一次不等式．熟知“在一元二次方程中，若方程有两个不相等的实数根，则△=”是解答本题的关键. 11. 七巧板是一种古老的中国传统智力游戏．在如图所示的七巧板中，若正方形的边长为4，则正方形的边长为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，平行四边形的性质，等腰直角三角形的性质，计算即可． 【详解】根据题意，正方形的边长为4，得，， 故， 故答案为：． 12. 2023年第19届杭州亚运会的会徽“潮涌”将自然奇观与人文精神进行巧妙融合，其中浪潮设计借助了黄金分割比以给人协调的美感．如图，若点C可看做是线段的黄金分割点（），，则______．（结果保留根号） 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割，解题的关键是根据黄金分割的定义列式计算，即可解答． 【详解】解：点可看作是线段的黄金分割点，， ， 故答案为：． 13. 如图，矩形中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P作射线，过点C作的垂线分别交，于点M，N，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q， 矩形中，， ， ． 由作图过程可知，平分， 四边形是矩形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． ． ， ． ，， ， ，即， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出． 三、解答题（共48分） 14. 解方程 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法，因式分解法解一元二次方程是解题的关键； （1）先因式分解，再求解即可； （2）先化为一般式，再求出，再根据求根公式求解即可； （3）先移项，再因式分解，最后求解即可． 【小问1详解】 解：， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ， ， ，． 15. 已知关于x的一元二次方程有两实数根． （1）求m的取值范围； （2）若，是该方程的两个根，且，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可建立方程进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得：， ∴， 解得：． 【小问2详解】 解：由一元二次方程根与系数的关系可得：，， 则． 解得：，， 又， 所以m的值为． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 16. 某校将开展“崇尚科学科技月”主题教育活动，计划演示以下四项科学小实验：．自动升高的水；．不会湿的纸；．漂浮的硬币；．生气的瓶子．学校科技部随机对该校部分学生进行了“最希望演示的一项实验”问卷调查，得到下列不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题： （1）求此次调查中接受调查的人数； （2）请补全条形统计图； （3）已知最希望演示项实验的名学生，有名来自九年级一班，1名来自九年级二班，名来自九年级三班，现需从这四人中随机抽取名作为实验“自动升高的水”的演示员，请用列表或画树状图的方法，求抽到的名学生来自不同班级的概率． 【答案】（1）人 （2） 补全条形统计图如图所示． （3） 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图， （1）用条形统计图中的人数除以扇形统计图中的百分比可得此次调查中接受调查的人数； （2）求出最希望演示项实验的人数，补全条形统计图即可； （3）画树状图得出所有等可能的结果数以及抽到的名学生来自不同班级的结果数，再利用概率公式可得出答案； 能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法求概率是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵（人）， ∴此次调查中接受调查的人数为人； 【小问2详解】 最希望演示项实验的人数为：（人）， 图如答案所示； 【小问3详解】 将来自九年级一班的名学生记为甲，来自九年级二班的名学生记为乙，来自九年级三班的名学生记为丙，丁， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中抽到的名学生来自不同班级的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丁，甲），（丁，乙），共种， ∴抽到的名学生来自不同班级的概率为． 17. 如图，嘉嘉同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处，点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为．已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上． （1）求的长． （2）求灯泡到地面的高度． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）直接利用相似三角形的判定与性质得出的长； （2）根据相似三角形的性质列方程进而求出的长． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 则， 故， 即， 解得：， 经检验，是上述分式方程的解， ∴的长为； 【小问2详解】 ∵， ∴（）， ∵光在镜面反射中的入射角等于反射角， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（）， ∴灯泡到地面的高度为． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出相似三角形是解题关键． 18. 如图，矩形中，分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为交于． （1）求证：． （2）若为中点，且，求长． （3）连接，若为中点，为中点，探究与大小关系并说明理由． 【答案】（1） 证明：如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ∴， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质得，由折叠得出，得出，即可证明； （2）根据矩形的性质以及线段中点，得出，根据代入数值得，进行计算，再结合，则，代入数值，得，所以； （3）由折叠性质，得直线，，是等腰三角形，则，因为为中点，为中点，所以，，所以，则，所以，则，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图： ∵四边形是矩形， ∴，， ∵为中点， ∴， 设， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∵， ∴； 【小问3详解】 解：如图：延长交于一点M，连接 ∵分别在上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ∴直线 ， ， ∴是等腰三角形， ∴， ∵为中点， ∴设， ∴， ∵为中点， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 【点睛】本题考查了矩形与折叠，相似三角形的判定与性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． B卷（满分50分） 一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 19. 已知、是一元二次方程的两个根，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由于、是一元二次方程的两个根，根据根与系数的关系可得，而是方程的一个根，可得，即，那么，再把、的值整体代入计算即可． 【详解】解：∵、是一元二次方程的两个根， ∴， ∵是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查根与系数的关系，求代数式的值，一元二次方程解的定义．解题的关键是熟练掌握一元二次方程两根、之间的关系：，． 20. 有三张背面完全相同的卡片，正面上分别标有数字．把这三张卡片背面朝上，随机抽取一张，记下数字为；放回搅匀，再随机抽取一张卡片，记下数字为，则直线不经过第三象限的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，一次函数的图像和性质，运用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式：概率所求情况数与总情况数之比，求出事件A或B的概率．先画出树状图展示所有种等可能的结果数，再找出直线不经过第三象限，即的结果数，然后根据概率公式求解即可； 【详解】解：由题意，画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中直线不经过第三象限的结果有：，共2种， 直线不经过第三象限的概率为， 故答案为：． 21. 同学们学习了线段的黄金分割之后，曾老师提出了一个新的定义：点是线段上一点，若，则称点为线段的“近A，n阶黄金分割点”．例如：若，则称点为线段的“近A，2阶黄金分割点”．若点为线段的“近A，1阶黄金分割点”时，______；若点为线段的“近，6阶黄金分割点”时，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查比例线段的拓展应用，理解题中的新定义，准确根据线段比例列出相应方程并求解是解题关键．先根据点为线段的“近A，1阶黄金分割点”时，，再得出，然后根据，得出，解方程即可；根据题意先列出点C为线段的“近A，6阶黄金分割点”时，，然后表示出，，从而代入得到关于的分式方程，求解并检验即可． 【详解】解：根据题意可知：点为线段的“近A，1阶黄金分割点”时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：或， 经检验或，是上述方程的解， ∵， ∴； 由题意，点C为线段的“近A，6阶黄金分割点”时，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即：， 整理得：， 解得：或， 经检验，或是上述分式方程的解， ∵， ∴， 故答案为：；． 22. 如图，中，，，点为中点．点在右侧，，且，射线交于点，若为等腰三角形，则线段的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】延长交于点，分当时，当时，分别画出图形，根据相似三角形的性质与判定即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， 当时， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴, ∵ ∴， ∵是的中点，则 ∴ ∵，，， ∴， ∴， 设，则， 则， ∴, 在中，, ∴, 在中，， ， 即， 解得：； 当时，设， 同理可得， 则， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴, 在中，， 在中，, ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵不平行， ∴不存在的情形， 综上所述，线段的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，分类讨论是解题的关键． 23. 如图，在Rt中，为边上的中点，将沿翻折至，连接，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查折叠问题，解答中涉及翻折的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，翻折变换(折叠问题)实质上就是轴对称变换，能够灵活运用相关图象的判定和性质是解决问题的关键．连接，延长，交于F，由，即可判定，进而得到；过E作，交的延长线于G，则，即可得到，设，用x表示出，，在Rt中，利用勾股定理，用x表示出，在中，利用勾股定理，用x表示出，根据列方程，求出x，即可解决问题． 【详解】解∶如图，连接，延长，交于F， 过E作，交的延长线于G 由折叠可得，，， ，垂直平分， D为边上的中点． ， ， ，， 设则，， 中， 中， 解得 (负根舍去)， 故答案为∶． 二、解答题（共30分） 24. 某文具店购进A、B两种型号的笔袋，两次购进笔袋的情况如表： 进货批次 A型笔袋（个） B型笔袋（个） 总费用（元） 一 10 5 400 二 5 10 350 （1）求A，B两种型号的笔袋进价各是多少元？ （2）在销售过程中，为了增大A型笔袋的销售量，超市决定对A型笔袋进行降价销售，当销售单价为40元时，每天可以售出20个，每降价1元，每天将多售出5个，请问超市将每个A型笔袋降价多少元时，每天售出A型笔袋的利润为240元？ 【答案】（1）A种型号的笔袋进价是30元，乙种型号的笔袋进价是20元 （2）超市将每个A型笔袋降价2元或4元时，每天售出A型笔袋的利润为240元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元二次方程． （1）设A型笔袋的进价是x元，B型笔袋的进价是y 元，利用进货总价进货单价进货数量，结合两次购进笔袋的数量及总费用，列出二元一次方程组，解之即可； （2）设每个A型笔袋降价m元，则每个A型笔袋的销售利润为元，每天可以售出个，利用每天售出A型笔袋的利润每个的销售利润日销售量，列出关于m的一元二次方程，解之即可． 【小问1详解】 解：设A种型号的笔袋进价是x元，B种型号的笔袋进价是y元， 由题意可知：， 解得， 答：A种型号的笔袋进价是30元，B种型号的笔袋进价是20元； 【小问2详解】 解：设每个A型笔袋降价m元，则每个A型笔袋的销售利润为元，每天可以售出 个， 根据题意得：， 解得： ， 答：超市将每个A型笔袋降价2元或4元时，每天售出A型笔袋的利润为240元． 25. 在平面直角坐标系中，点B、E的坐标分别为，过点作直线轴，设直线上的动点的坐标为，连接，以为直角边作，按顺时针排列），其中． （1）当时，求直线的函数表达式； （2）当点落在坐标轴上时，求的面积； （3）点在直线上，当点A，C在第一象限时，是否存在以为直角顶点的与相似？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）设直线的函数表达式为，然后把、两点的坐标代入即可求解； （2）分点在轴及轴上两种情况进行讨论，结合三角形相似，建立等量关系，分别求出两种情况时三角形的面积即可； （3）分当时，当时，两种情况画出对应的图形，讨论求解即可． 【小问1详解】 解：设直线的函数表达式为， ∵直线过点，， ， 解得：， 直线的解析式为：； 【小问2详解】 解：当点在轴上时，设点的坐标为； 过作于点，则，，， ∵， ∴， ， ， ， ， ， 解得：，， ，， ； 当点在轴上时，分别过B、C作直线l的垂线，垂足分别为H、G， 同理可证明， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 的面积为或； 【小问3详解】 解：如图所示，当时，设交于E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的横坐标为，点E的纵坐标为， ∵， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴点E为的中点， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得； 如图所示，当时， ∴，， ∴三点共线， ∴， ∴， 如图所示，过点B、D分别作直线l的垂线，垂足分别为Q、N， 同理可证明， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得； 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 26. 在平行四边形中，的面积为48． （1）如图1，求边上的高的长； （2）P是边上的一个动点，点C，D同时绕按照逆时针方向旋转得到． i）如图2，当落在射线上时，求的长； ii）当是直角三角形时，求的长． 【答案】（1）8 （2）i）；ii）6或 【解析】 【分析】（1）根据三角形的面积公式即可解决问题； （2）i）过点C作于点H，过点作交延长线于点Q，证明，得，设，则， ，，证明，由对应边成比例求出x的值，即可得BP的长； ii）分三种情况讨论： 当以为直角顶点时，根据勾股定理求解即可；当以A为直角顶点时，先证明，再证明，设，根据列方程，解方程求出t的值即可；当以D为直角顶点时，不符合题意． 【小问1详解】 解：如图1，连接， 的面积， ， ， 边上的高的长为8； 【小问2详解】 i）解：如图2，当落在射线上时，过点C作于点H，过点作交延长线于点Q，则，     点绕P按照逆时针方向旋转得到， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 设，则，， ， ， ， ， ， ， 的长为； ii）解：如图，延长交， 分别于E，F， 由旋转可知，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 当以为直角顶点时，是直角三角形，如图， ， 落在线段的延长线上， ， ， 由（1）知，， ， ； 当以A为直角顶点时，是直角三角形，如图， 设与射线交于点，过点C作于点H，则， 由旋转可知，，， ， ， ， ， ， ， ， 由知，， 设，则， ，， ， ， ， ， ， ， ， 解得：， ， 当以为直角顶点时，点P落在的延长线上，不符合题意， 综上所述：的长为6或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，解一元二次方程，旋转的性质，平行四边形的性质等知识，解题的关键是综合运用以上知识，正确的作出辅助线，熟练运用分类讨论思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $