精品解析：四川省遂宁绿然国际学校、广安友实学校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题

高2023级2024年秋季半期考试数学试题 考试时间：120分钟 考试分数：150分 注意事项： 1.本试题卷共2页，满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置； 3.全部答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效； 4.做选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需修改，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号； 5.考试结束后，只收答题卡，本试题卷不回收； 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系关于坐标轴的对称点的特征即可求解. 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点坐标为. 故选：C. 2. 从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据古典概型概率计算公式直接计算. 【详解】有三件正品（用，，表示）和一件次品（用表示）的产品中任取两件的样本空间，恰有一件次品， 由古典概型得， 故选：D. 3. 如图，在直三棱柱中，若，，，则 等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合图象，根据向量线性运算法则利用基底表示即可. 【详解】， 又，，， 所以. 故选：C. 4. 已知直线与垂直，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用一般式方程下两直线垂直的公式代入求解即可得到结果. 【详解】因为直线与垂直， 所以，解得． 故选：C． 5. 如图所示，直线与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析两直线的斜率以及在轴上的截距，可得出的符号，即可得出合适的选项. 【详解】直线方程可化为，斜率为，在轴上的截距为， 直线方程可化为，斜率为，在轴上的截距为， 对于A选项，由直线的图象可得，即， 由直线的图象可得， A不满足条件； 对于B选项，由直线的图象可得，即， 由直线的图象可得，即，B不满足条件； 对于C选项，由直线的图象可得，即， 由直线的图象可得， C满足条件； 对于D选项，由直线的图象可得，即， 由直线图象可得，D不满足条件. 故选：C 6. 设，若点在线段上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的倾斜角和斜率的关系求式子的取值范围. 【详解】如图： 问题转化为过点的直线与线段有公共点时，直线斜率的取值范围. 因为，， 且当倾斜角是锐角时，，随着倾斜角的增大，斜率增大； 当倾斜角是钝角时，，随着倾斜角的增大，斜率增大. 所以斜率的取值范围是：或. 故选：C 7. 在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得直线与直线相交 B. 存在点，使得直线平面 C. 直线与平面所成角的大小为 D. 平面被正方体所截得的截面面积为 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，取的中点，连接，点到线段的最短距离大于，即可判断；建立空间直角坐标系，点到平面的距离为，即可判断；由平面，连接交于点，与全等，所以，即可判断；平面被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为，可求截面面积. 【详解】 连接，，所以，，取中点，连接， 所以，点到线段的最短距离大于，所以不存在点，使得直线与直线相交，故不正确； 以为坐标原点，分别以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则，，，， 所以，，， 设平面的法向量为，所以，即， 令，则，，所以， 所以点到平面的距离为，而，所以不存在点，使得直线平面，故不正确； 因为，所以平面，连接交于点，所以为的中点，， 所以为直线与平面所成角， 因为，在中，， 所以，因为与全等，所以，故正确； 延长交的延长线于，连接交于，连接，取的中点，的中点， 连接，，，，，， 平面被正方体所截得的截面图形为正六边形，且边长为， 所以截面面积为，故不正确. 故选：. 8. 已知，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点关于线段的对称点的坐标，且有，根据几何意义，结合图形，即可得出取最小值，从而得解. 【详解】如图，过点作点关于线段对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设，则，所以， 又，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离与到的距离之和. 过作轴，过点作轴， 显然有，则为所求最小值，此时与线段的交点，即为最小值时的位置. 易得，所以的最小值为. 故选：B． 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于将问题转化为点到轴的距离与到的距离之和，从而结合图形即可得解. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的） 9. 已知圆心为的圆与点，则（ ） A. 圆的半径为2 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 点与圆上任一点距离的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出，即可判断. 【详解】因为，即， 所以圆心为，半径，故A错误； 又，所以点在圆外，故B正确，C错误； 因为，所以点与圆上任一点距离的最小值为，故D正确. 故选：BD 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 点在直线上 D. 存在使得直线与直线垂直 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出直线的斜率，从而得到倾斜角，即可判断A；利用特殊值判断B；将点的坐标代入方程即可判断C；根据两直线垂直求出参数的值，即可判断D. 【详解】对于A：直线的斜率，所以该直线的倾斜角为，故A正确； 对于B：当，时，直线经过第三象限，故B错误； 对于C：将代入方程，则，即点在直线上，故C正确； 对于D：若两直线垂直，则，解得，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线：上一动点，则（ ） A. 周长的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为4 【答案】BCD 【解析】 【分析】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为，对于A：根据对称性可得，进而可得结果；对于B：根据点到直线的距离分析判断；对于C：因为，结合点到直线的距离分析判断；对于D：根据题意分析可得，结合点到直线的距离分析判断. 【详解】设关于直线：的对称点为，关于轴的对称点为， 可知， 对于选项A： 可得周长， 当且仅当四点共线时，等号成立， 所以周长的最小值为，故A错误； 对于选项B：设到轴，直线：的距离分别为， 则， 可得， 所以的最小值为，故B正确； 对于选项C：因为， 设到直线：的距离为， 可得， 所以的最小值为，故C正确； 对于选项D：作，垂足为， 因为直线的斜率，则，可得， 则， 可得， 所以的最小值为4，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把正确的答案填在横线上） 12. 已知点在平面内，并且对空间任一点，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据四点共面的知识列方程，由此求得. 【详解】由于平面， 所以，解得. 故答案为： 13. 已知直线与直线平行，则它们之间的距离是_______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式计算即得. 【详解】直线与直线平行，则，解得， 直线为， 所以它们之间的距离是. 故答案为： 14. 如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，先建立空间直角坐标系，然后写出相关点的坐标，再写出相关的向量，然后根据点分别为直线上写出点的坐标，这样就得到，然后根据的取值范围而确定 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系，则有： ，，，，， 可得： 设，且 则有：， 可得： 则有： 故 则当且仅当时， 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 一个不透明的袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，编号分别为A，B，C，有2个黑球，编号分别为D，E，从中一次摸取1个球，取后不放回，连续取两次． （1）试写出该试验的样本空间； （2）设事件M：“第一次摸到红球”，事件N：“第二次摸到黑球”，求事件M和事件N发生的概率． 【答案】（1）答案见解析 （2）事件M和事件N发生的概率分别为 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合列举法，即可求解； （2）结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解． 【小问1详解】 试验从中一次摸取1个球，取后不放回，连续取两次的样本空间为： 【小问2详解】 由（1）可知样本空间中基本事件总数为 符合事件M：“第一次摸到红球”的样本空间为：共个基本事件 符合事件N：“第二次摸到黑球”样本空间为： 共个基本事件 故 则事件M和事件N发生的概率分别为. 16. 棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点. （1）证明：； （2）求； （3）求FH的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，计算出，得到直线垂直； （2）利用空间向量夹角余弦公式进行求解； （3）求出的坐标，由公式计算出. 【小问1详解】 如图，以为原点，，，分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 因为，， 所以， 所以，故； 【小问2详解】 因为，所以 因为，且， 所以； 【小问3详解】 因为是的中点，所以， 又因为，所以，，即. 17. 已知直线的方程为． （1）求直线过的定点P 的坐标； （2）直线与x 轴正半轴和y 轴正半轴分别交于点A，B ，当面积最小时，求直线的方程； 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）将直线的方程变形，列出方程组即可求解； （2）利用直线的截距式方程设出直线的方程，根据（1）的结论及基本不等式，结合三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 由题意，直线的方程可化为， 联立方程组解得， 所以直线过的定点． 【小问2详解】 设直线 ，则， 由 （1） 知，直线 过的定点，可得， 因为， 所以，解得， 当且仅当且即时，等号成立， 所以面积为 ， 此时对应的直线方程为，即． 18. 在等腰直角三角形中，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、反射后又回到原点，光线经过的重心.（若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有. （1）建立适当的坐标系，请求的重心的坐标； （2）求点的坐标； （3）求的周长. 【答案】（1）答案见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，写出三个顶点的坐标，即可求出该三角形重心的坐标； （2）设，求出点直线、的对称点、的坐标，根据、、、共线且光线经过的重心，结合斜率公式可得出关于的等式，结合求出的值，即可得出点的坐标； （3）由对称性可知，，可得出的周长为，结合两点间的距离公式求解即可. 【小问1详解】 在等腰直角三角形中，，则， 以为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、， 故的重心的坐标为，即； 【小问2详解】 设，关于直线、对称点分别设为、，则， 设，直线的方程为， 则，解得，即， 由光的反射原理可知、、、共线，且光线经过的重心， 故，解得或（舍去），故. 【小问3详解】 由（2）可得、，由题意可知，， 故的周长. 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）已知点在棱上，且直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）要证明线面平行，转化为证明线线平行，根据几何关系，构造中位线，即可证明； （2）首先建立空间直角坐标系，分别求平面和的法向量，根据法向量夹角的余弦值，即可求解； （3）根据（2）的结果，代入线面角的向量公式，即可求解. 【小问1详解】 连结，交于点，连结， 点是的中点，点是的中点， 所以，平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 如图，以向量，，为轴的正方向建立空间直角坐标系， ，，， 则，， 设平面的法向量， 则，令，，， 所以平面的法向量， 平面的一个法向量为， 设平面和平面的夹角为， 则， 所以平面和平面的夹角的余弦值为； 【小问3详解】 ，，，， ，，， ， 由（2）知平面的法向量， 设直线与平面的夹角为， 则， 解得或， 又， 则或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2023级2024年秋季半期考试数学试题 考试时间：120分钟 考试分数：150分 注意事项： 1.本试题卷共2页，满分150分，考试时间120分钟； 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡的相应位置； 3.全部答案写在答题卡上，写在本试题卷上无效； 4.做选择题时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的标号涂黑，如需修改，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号； 5.考试结束后，只收答题卡，本试题卷不回收； 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1. 在空间直角坐标系中，点关于x轴对称的点坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 从含有三件正品和一件次品产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在直三棱柱中，若，，，则 等于（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线与垂直，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 5. 如图所示，直线与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 设，若点在线段上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 在棱长为的正方体中，，，分别为棱，，的中点，动点在平面内，且.则下列说法正确的是（ ） A. 存在点，使得直线与直线相交 B. 存在点，使得直线平面 C. 直线与平面所成角的大小为 D. 平面被正方体所截得的截面面积为 8. 已知，满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的） 9. 已知圆心为的圆与点，则（ ） A. 圆的半径为2 B. 点在圆外 C. 点在圆内 D. 点与圆上任一点距离的最小值为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角为 B. 若直线经过第三象限，则， C. 点在直线上 D. 存在使得直线与直线垂直 11. 已知为坐标原点，，为轴上一动点，为直线：上一动点，则（ ） A. 周长的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为 D. 的最小值为4 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，把正确的答案填在横线上） 12. 已知点在平面内，并且对空间任一点，，则________． 13. 已知直线与直线平行，则它们之间距离是_______． 14. 如图，正四棱锥的棱长均为2，点E为侧棱PD的中点．若点M，N分别为直线AB，CE上的动点，则MN的最小值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 一个不透明袋子中装有除颜色外完全相同的5个球，其中有3个红球，编号分别为A，B，C，有2个黑球，编号分别为D，E，从中一次摸取1个球，取后不放回，连续取两次． （1）试写出该试验的样本空间； （2）设事件M：“第一次摸到红球”，事件N：“第二次摸到黑球”，求事件M和事件N发生的概率． 16. 棱长为2的正方体中，E，F分别是，DB的中点，G在棱CD上，且，H是的中点. （1）证明：； （2）求； （3）求FH的长. 17. 已知直线的方程为． （1）求直线过的定点P 的坐标； （2）直线与x 轴正半轴和y 轴正半轴分别交于点A，B ，当面积最小时，求直线的方程； 18. 在等腰直角三角形中，，点是边上异于、的一点，光线从点出发，经、反射后又回到原点，光线经过的重心.（若、、、分别是三角形的重心和三个顶点，且分别为、、、，则有. （1）建立适当的坐标系，请求的重心的坐标； （2）求点的坐标； （3）求的周长. 19. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，是的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）已知点在棱上，且直线与平面所成角正弦值为，求线段的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $