重点01 尺规作图（重点总结+6题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪科版）

重难点01 尺规作图 学习目标 1.掌握基本尺规作图的四种类型： （1）作一条线段等于已知线段 （2）作已知线段的垂直平分线 （3）作一个角等于已知角 （4）作已知角的角平分线 （5）过一点作已知线段的垂线 2.会应用基本尺规作图解决实际问题。 知识点01 尺规作图的概念 ·尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。 直尺作用：画直线（连接两个交点） 圆规作用：量取线段长度、确定直线位置 知识点02 基本作图类型 ·基本作图类型： （1）作一条线段等于已知线段 （2）作一个角等于已知角 （3）作已知线段的垂直平分线 （4）作已知角的角平分线 （5）过一点作已知线段的垂线 Ⅰ.经过直线上一点Z作已知直线的垂线。 Ⅱ.经过直线外一点作已知直线的垂线 ·尺规基本作图 【题型一：尺规作作一条线段等于已知线段】 例1．（23-24七年级上·陕西西安·期中）尺规作图：如图，已知线段a，b，请用尺规作一条线段，使．（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】作线段(尺规作图) 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，先作射线，再以A为圆心，线段a的长为半径画弧交射线于E，再以E为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于F，再以F为圆心，线段b的长为半径画弧交射线于E，则先即为所求． 【详解】解：如图所示，线段即为所求． 【题型二：作一个角等于已知角】 例2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）尺规作图：已知：如图（1），，如图（2），，请在图（2）中直线的上方作射线，使（不写作法，保留作图痕迹）． 【答案】见解析 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】以点E为顶点，直线的上方作，则即为所求．此题考查了作一个角等于已知角，熟练掌握作图方法是解题的关键． 【详解】解：如图所示，即为所求， 例3．小亮的一张地图上有A、B、C三个城市，但地图上的C城市被墨迹污染了（如图），但知道，请你用尺规作图法帮他在如图中确定C城市的具体位置．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）    【答案】图见详解 【知识点】尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查作图−应用与设计，解题的关键是熟练掌握五种基本作图，属于中考常考题型．如图作，射线交射线于点C，点C即为所求． 【详解】解：如图作，射线交射线于点C， 点C即为所求．    【题型三：尺规作垂直平分线】 例4．（22-23八年级下·福建漳州·期中）已知，如图，，，； (1)请在上作出点，使，并连接（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)求出的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、三角形内角和定理的应用 【分析】 （1）作的垂直平分线交于点，故可得； （2）根据线段垂直平分线的性质可得，结合题目条件可求出结论． 【详解】（1）解：如图，为所作的图形； （2）解：∵，， ∴ ∵， ∴， ∴ 【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的作法以及性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答此题的关键． 【题型四：尺规作角平分线】 例5．如图，在直线上求作一点P，使点P到射线和的距离相等．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）    【答案】见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、角平分线的性质定理 【分析】作的平分线，交直线于点P，即为所求； 【详解】解：如图，作的平分线，交直线于点P，即为所求； 根据角平线的性质，点P到两边的距离相等；    【点睛】本题考查尺规作图：作角的平分线；角平分线的性质；理解角平分线的性质是解题的关键． 例6.如图，在中，是的一个外角．根据要求尺规作图，在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法），并回答相关问题． (1)作的平分线； (2)作线段的垂直平分线，与交于点F，与边交于点E； (3)判断线段是否也被垂直平分，并说明理由． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)线段EF也被AB垂直平分 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据等边对等角证明 【分析】本题考查基本作图—作角平分线，作垂线，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，掌握作角平分线，作垂线的方法，是解题的关键． （1）根据作角平分线的方法，作图即可； （2）根据作垂线的方法，作图即可； （3）证明，得到即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，即为所求； （3）线段也被垂直平分． 理由：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又，， ∴， ∴，即线段也被垂直平分． 例7.（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔在内，到两个城镇M，N的距离相等，且到两条公路和的距离也相等，发射塔P应修建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．） 【答案】见解析 【知识点】作垂线(尺规作图)、作角平分线(尺规作图)、作已知线段的垂直平分线、角平分线的性质定理 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，角平分线的性质，尺规作图；由发射塔到两个城镇M，N的距离相等可知发射塔在线段的垂直平分线上，由发射塔到两条公路和的距离也相等可知发射塔在的角平分线上，故作线段的垂直平分线与的角平分线，它们的交点即为所求． 【详解】解：点P位置如图所示： 【题型五：尺规作垂线】 例8．如图，在中，，D是上一点（D与C不重合）． (1)尺规作图：过点D作的垂线交于点E．作的平分线交于点F，交于点H（保留作图痕迹，不用写作法）． (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】作角平分线(尺规作图)、作垂线(尺规作图)、根据等角对等边证明等腰三角形 【分析】本题考查了尺规作垂线和角平分线以及等腰三角形的判定． （1）根据垂线的作法和角平分线的作法作图即可； （2）根据平行线的性质和角平分线的性质得到，再由等角对等边即可得到结论． 【详解】（1）如图，即为所求的垂线． 即为所求的角平分线． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵AF为的平分线， ∴， ∴， ∴． 【题型六：尺规作三角形】 例9．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）在中，． 小明的思路 如图①，延长至点，使，连接． 小红的思路 如图②，将沿直线翻折，使点与点重合，与，分别交于点，，连接． (1)设，，，求证：，在小明和小红的思路中，请选择一种继续完成证明． (2)如图③，已知线段，．求作：满足已知条件的，且，，（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析； 【知识点】一次函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合、尺规作图——作三角形 【分析】（1）选择小明的思路，证明，则，得到，即可得出结论；选择小红的思路：由翻折可知，证出，得出，由此可知，代入即可得出结论； （2）按照步骤，①作，②以点C为圆心，n为半径作圆，以点D为圆心，m为半径作圆，两圆相交于点A，③以点A为圆心，m为半径作圆，交的延长线于点B，得出即可； 【详解】（1）选择小明的思路，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ． 选择小红的思路；由翻折可知， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ． （2）①作， ②以点C为圆心，n为半径作圆，以点D为圆心，m为半径作圆，两圆相交于点A， ③以点A为圆心，m为半径作圆，交的延长线于点B，则即为所求， 一、选择题 1．（22-23八年级上·北京东城·期末）已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】尺规作一个角等于已知角、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】本题主要考查了尺规作图作一个角等于已知角、全等三角形的判定等知识点，掌握尺规作图作一个角等于已知角的作法成为解题的关键．根据“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹，结合全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：由题意可知，“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图的依据是． 故选：B． 2．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）如图，，依据尺规作图的方法可以计算出的长为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【知识点】含30度角的直角三角形、根据三线合一证明、用勾股定理解三角形、作角平分线(尺规作图) 【分析】根据尺规作图可知，平分，进而得到，然后利用含角直角三角形的性质得到，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：根据尺规作图可知，平分 ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查尺规作角平分线，含角直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形性质，解题的关键是根据尺规作图得到，平分． 3．（2019·广西·二模）如图，通过尺规作图得到的依据是（    ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【知识点】尺规作一个角等于已知角、用SSS证明三角形全等（SSS） 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．利用全等三角形的判定方法判断即可． 【详解】解：由作法易得，，， 在和中， ， ， 故选A． 二、解答题 4.动手操作．已知，，求作一个角，使它等于与的和．（要求：尺规作图，不在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【知识点】尺规作角的和、差 【分析】先作，然后在的外部作，则． 【详解】解：如图所示，． 【点睛】本题考查了复杂作图，主要利用了作一个角等于已知角，是基本作图，需熟练掌握． 5．如图，在中， (1)（尺规作图）作的垂直平分线交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若，的周长是，求的长 【答案】(1)见详解 (2) 【知识点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图) 【分析】本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质等知识，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线的作法作图：分别以点A、B为圆心，大于的一半为半径画弧，相交于两点，过这两点做直线，即为的垂直平分线，即可作答； （2）利用线段垂直平分线的性质得，可得答案； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：∵垂直平分， ∴， ∵的周长 又∵ ∴； 6．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）尺规作图：（不写作图过程，但要保留作图痕迹） (1)作； (2)在直线l上求作一点P，使点P到射线和的距离相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】角平分线的性质定理、作角平分线(尺规作图)、尺规作一个角等于已知角 【分析】本题考查了作图-作一个角等于已知角，作角平分线及角平分线的性质定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． （1）根据作一个角等于已知角的作图步骤作图即可； （2）根据角平根线的性质，作的角平分线交直线l于点P即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图所示，作的角平分线交直线l于点P，过点P作，垂足分别为， ，即点P到射线和的距离相等． 7.（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）问题探究： 尺规作图：作一个角等于已知角． 如图，已知：． 求作：，使． 作法：（1）如图，以点______为圆心，任意长为半径画弧，交、于点、； （2）作射线，以点为圆心，______长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，______长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； （4）经过点画射线，则． 连接、，根据以上作法证得（④______填理论依据“”、“”、“”或“”） 根据以上作图和求证过程完成以上填空： ______；______；______；_____． 实践应用： 已知：如图，是的边上一点．求作：射线，使，交于E，（不写作法，但要保留作图痕迹）    【答案】问题探究：，实践应用：图见解析 【知识点】尺规作一个角等于已知角、同位角相等两直线平行 【分析】问题探究：根据作图步骤解答即可； 实践应用：利用同位角相等，两直线平行，再作即可． 【详解】解：问题探究：作法： （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，交、于点、； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； （4）经过点画射线，则． 连接、，根据以上作法证得 故答案为：，，，； 实践应用：如图，射线即为所求．    【点睛】本题考查的是作一个角等于已知角，过一点作已知直线的平行线，熟练的作一个角等于已知角是解本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点01 尺规作图 学习目标 1.掌握基本尺规作图的四种类型： （1）作一条线段等于已知线段 （2）作已知线段的垂直平分线 （3）作一个角等于已知角 （4）作已知角的角平分线 （5）过一点作已知线段的垂线 2.会应用基本尺规作图解决实际问题。 知识点01 尺规作图的概念 ·尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。最基本,最常用的尺规作图,通常称基本作图。 直尺作用：画直线（连接两个交点） 圆规作用：量取线段长度、确定直线位置 知识点02 基本作图类型 ·基本作图类型： （1）作一条线段等于已知线段 （2）作一个角等于已知角 （3）作已知线段的垂直平分线 （4）作已知角的角平分线 （5）过一点作已知线段的垂线 Ⅰ.经过直线上一点Z作已知直线的垂线。 Ⅱ.经过直线外一点作已知直线的垂线 ·尺规基本作图 【题型一：尺规作作一条线段等于已知线段】 例1．（23-24七年级上·陕西西安·期中）尺规作图：如图，已知线段a，b，请用尺规作一条线段，使．（用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） 【题型二：作一个角等于已知角】 例2．（23-24七年级上·安徽合肥·期末）尺规作图：已知：如图（1），，如图（2），，请在图（2）中直线的上方作射线，使（不写作法，保留作图痕迹）． 例3．小亮的一张地图上有A、B、C三个城市，但地图上的C城市被墨迹污染了（如图），但知道，请你用尺规作图法帮他在如图中确定C城市的具体位置．（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）    【题型三：尺规作垂直平分线】 例4．（22-23八年级下·福建漳州·期中）已知，如图，，，； (1)请在上作出点，使，并连接（要求尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）． (2)求出的度数． 【题型四：尺规作角平分线】 例5．如图，在直线上求作一点P，使点P到射线和的距离相等．（要求用尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明过程）    例6.如图，在中，是的一个外角．根据要求尺规作图，在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法），并回答相关问题． (1)作的平分线； (2)作线段的垂直平分线，与交于点F，与边交于点E； (3)判断线段是否也被垂直平分，并说明理由． 例7.（23-24八年级上·内蒙古呼和浩特·期中）如图，电信部门要修建一座电视信号发射塔，按照设计要求，发射塔在内，到两个城镇M，N的距离相等，且到两条公路和的距离也相等，发射塔P应修建在什么位置？请用尺规作图标出它的位置．（作图不写作法，但要求保留作图痕迹．） 【题型五：尺规作垂线】 例8．如图，在中，，D是上一点（D与C不重合）． (1)尺规作图：过点D作的垂线交于点E．作的平分线交于点F，交于点H（保留作图痕迹，不用写作法）． (2)求证：． 【题型六：尺规作三角形】 例9．（24-25九年级上·安徽黄山·期中）在中，． 小明的思路 如图①，延长至点，使，连接． 小红的思路 如图②，将沿直线翻折，使点与点重合，与，分别交于点，，连接． (1)设，，，求证：，在小明和小红的思路中，请选择一种继续完成证明． (2)如图③，已知线段，．求作：满足已知条件的，且，，（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出必要说明．） 一、选择题 1．（22-23八年级上·北京东城·期末）已知，下面是“作一个角等于已知角，即作”的尺规作图痕迹．该尺规作图的依据是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·安徽池州·阶段练习）如图，，依据尺规作图的方法可以计算出的长为（    ） A． B．1 C． D． 3．（2019·广西·二模）如图，通过尺规作图得到的依据是（    ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 二、解答题 4.动手操作．已知，，求作一个角，使它等于与的和．（要求：尺规作图，不在原图上作图，不写作法，保留作图痕迹） 5．如图，在中， (1)（尺规作图）作的垂直平分线交于点，交于点（不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若，的周长是，求的长 6．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）尺规作图：（不写作图过程，但要保留作图痕迹） (1)作； (2)在直线l上求作一点P，使点P到射线和的距离相等． 7.（22-23八年级上·安徽滁州·阶段练习）问题探究： 尺规作图：作一个角等于已知角． 如图，已知：． 求作：，使． 作法：（1）如图，以点______为圆心，任意长为半径画弧，交、于点、； （2）作射线，以点为圆心，______长为半径画弧，交于点； （3）以点为圆心，______长为半径画弧，与第（2）步中所画的弧相交于点； （4）经过点画射线，则． 连接、，根据以上作法证得（④______填理论依据“”、“”、“”或“”） 根据以上作图和求证过程完成以上填空： ______；______；______；_____． 实践应用： 已知：如图，是的边上一点．求作：射线，使，交于E，（不写作法，但要保留作图痕迹）    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$