重点02 将军饮马与最值问题（难点分析+5题型+巩固练习）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（沪科版）

第15章 重点02 将军饮马与最值问题 学习目标 ①会利用轴对称的性质转化线段，再根据三点共线、垂线段最短、三角形的两边之和大于第三边（两边之差小于第三边）的原理求最最短距离； ②会综合运用图形的变换与三角形的性质定理求最短（大）距离问题。 知识01 对应点连线段与对称轴的关系 ·对应点连线段与对称轴的关系：对称轴经过连接对应点的线段的中点，并且垂直于这条线段 ·应用：对称点到对称轴的距离相等 知识02 轴对称的性质 ·经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫做线段的中垂线． （线段的垂直平分线是这条线段的对称轴，线段是轴对称图形） 方法03 利用轴对称的性质求线段和的最小值 ·问题内容：如图1，P是直线l上一个动点，求PA+PB的最小值 （图1） （图2） （图3） ·解题方法：如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置 ·方法总结：利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”解决问题。 ·题型总结：适用于求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值 【题型一：三点共线求线段和的最小值】 例1.（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，直线m是中边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若，则周长的最小值是 ． 【答案】12 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、线段垂直平分线的性质 【分析】本题考查垂直平分线的性质及轴对称求最短距离问题．根据题意得到周长的最小值是，直接求解即可得到答案． 【详解】解：∵直线是中边的垂直平分线，点是直线上一动点， ∴， ∴，当A、B、P三点共线时取等号， ∴最小值为的长， ∴， 故答案为：12． 变式1.（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，已知等腰直角三角形，点是边上的一点，，，为斜边上一点，则的最小值为 ． 【答案】10 【知识点】用勾股定理解三角形、等边对等角、两点之间线段最短、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查了轴对称的性质、勾股定理、两点之间线段最短，熟练掌握轴对称的性质是解题关键．作点关于的对称点，连接，先求出，，再根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接， ∵在等腰直角三角形中，，， ∴，， 由轴对称的性质可知，， ∴，， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 此时， 即的最小值为10， 故答案为：10． 例2.（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，在内有一定点，点，分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了轴对称的性质，最短路线问题，等边三角形的判定与性质；由对称的性质得出，，；，，，得出，证出是等边三角形，可得，即可得出结果． 【详解】解：分别作点关于、的对称点、，连接，分别交、于点、，连接、、、、，如图所示： 点关于的对称点为， ，，； 点关于的对称点为， ，，， ，， ， 是等边三角形， ， 周长的最小值是3， ， ， 即， 故选：B． 变式2.（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，、分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为 ． 【答案】 【知识点】线段问题(轴对称综合题)、用勾股定理解三角形 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接，得到，，推出，得到四边形的周长的最小值为，根据对称的性质、正方形的性质和勾股定理可求出、，即可解决问题． 【详解】解：作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接， ，， ， ， 四边形的周长的最小值为， 正方形的边长为， ，，， ， 四边形的周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，轴对称的性质，勾股定理，三角形的三边关系，熟练掌握轴对称的性质，构造三角形是解题的关键． 例3.（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题考查轴对称最短路线问题，能用一条线段的长表示出三条线段的和的最小值是解题的关键． 作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出△为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接、，， 则，， ， 的最小值为的长． ，，，， ，， ， △为等边三角形， ， 即 的值最小为3； 故答案为：3 （利用对称图形转化线段）例4．（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，平分分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D．6 【答案】C 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、根据平行线判定与性质证明 【分析】作，使得，连接，则，结合角平分线的性质可证，有，则，当三点共线时，的最小值等于的长，即可知的长为5，进一步判定是等边三角形即可． 【详解】解：如图，作，使得，连接， 则， 平分． ， ． 在和中， ， ， ， 当三点共线时，的最小值等于的长， 又的最小值为5， ∴的长为5， ． ， ∴是等边三角形， ． ． 故选C． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质、三点共线和等边三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉作平行线构造全等和最小值点的确定． 【题型二：根据垂线段最短求线段的最值】 例5．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，．  将 边沿翻折，点B落在点处，连接交于点D．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】垂线段最短、折叠问题、与三角形的高有关的计算问题 【分析】本题考查直角三角形中的翻折问题、垂线段最短，解题的关键是掌握翻折的性质． 根据将边沿翻折，点B落在点F处，可得，即知当最小时，最大，此时，用面积法求出，即可得到答案． 【详解】解：如图：    ∵将边沿翻折，点B落在点F处， ∴， ∴， 当最小时，最大，此时， ∵ ∵， ∴， ∴， 故选：D． 例6.（23-24八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，点是上的动点，连接，以为边作等边，连接，则点在运动过程中，线段长度的最小值是    【答案】2 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，30度角的直角三角形性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 如图，取的中点E，连接．由，推出，推出当时，的值最小，进行求解即可． 【详解】解：如图，取的中点E，连接．    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，最小，即的值最小， 在中， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：2． 变式6．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在等边中，，且，E是线段上的一个动点，连接，线段与线段关于直线对称，连接，在点E运动的过程中，当的长取得最小值时，的长为 ． 【答案】1 【知识点】含30度角的直角三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、根据成轴对称图形的特征进行求解、等边三角形的性质 【分析】过点O作于H，连接，先根据等边三角形的性质和轴对称的性质得到点F的运动路线，再根据垂线段最短得到点F、H重合时最小，证明，得到，，即，然后利用含30度直角三角形的性质求得即可． 【详解】解：如图，过点O作于H，连接， ∵是等边三角形，， ∴， ∵线段与线段关于直线对称， ∴， ∵， ， ∴，，即， ∴点F在射线上运动，根据垂线段最短可知，当F和H重合时，的值最小，即为的长度，此时， 在中，， ∴， 即当的长取得最小值时，的长为1， 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，轴对称的性质、含30度角的直角三角形的性质、三角形全等的判定与性质，垂线段最短等知识，熟练掌握等边三角形的性质，轴对称的性质，找到点F的运动路线以及使最小时的位置是解题的关键． 例7．（22-23八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，是等边的中线，是直线上一动点，以为边作等边三角形，连接，下列说法正确的是（   ） A．的最小值是2 B．有最大值 C．的最小值是4 D．没有最小值也没有最大值 【答案】A 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质、含30度角的直角三角形 【分析】取中点K，连接，证明，得出，当时，最小，故，因此根据含角的直角三角形的性质可得出答案． 【详解】如图，取中点K，连接， ∵是等边的中线， ∴，， ∵以为边作等边三角形， ∴， ∴，即， ， ， ∴当最小时，最小，当时，最小， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题是几何最值问题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【题型三：应用“垂直”求面积的最大值】 例8．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形，平分，，，，则面积的最大值为（   ） A．8 B．9 C． D．10 【答案】C 【知识点】三角形内角和定理的应用、角平分线的有关计算、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查角分线定义、等腰三角形的判定、三角形的内角和定理，解题关键是通过作辅助线找出与面积相关的面积最大的条件．延长构造等腰三角形，与垂直时三角形的面积最大． 【详解】解：延长与交于点， ∵平分于， ∴，， ∴， ∴，为中点， ， ， ， 当时，面积最大， ∴此时面积最大， ， 故选：C． 【题型四：利用三角形的三边关系求最值】 例9．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，，点M为的中点，若，则的最大值是 ． 【答案】14 【知识点】等边三角形的判定和性质、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】本题主要考查了根据轴对称求线段和最小问题，等边三角形的性质和判定，先作点 A 关于的对称点点B关于的对称点连接 ，根据对称得出对应线段相等，再证明为等边三角形，再根据得出答案． 【详解】如图,作点 A 关于的对称点点B关于的对称点连接 ， ∴. ∵点M是的中点， ∴. ∵，， ∴． ， 为等边三角形， ， ∴的最大值为 14． 故答案为：14． 变式9.（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，四边形中，，则的最大值为 ． 【答案】7 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的性质 【分析】本题考查等边三角形的性质、全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．在的左侧作等边三角形，连接．由，推出，因为，，，所以当、、共线时，的值最大，最大值为． 【详解】解：如图，在的左侧作等边三角形，连接． 则，， ， ， 在和中， ， ， ，， 当、、共线时，的值最大，最大值为． 故答案为：7 例10.（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，边长为2的等边三角形的两个顶点A，B分别在两条直线，上滑动，若，垂足为点O，则的最大值与最小值的差是 ． 【答案】2 【知识点】三角形三边关系的应用、等边三角形的性质 【分析】本题考查三角形的三边关系，勾股定理和直角三角中线的性质，掌握这些定理和性质是解题的关键，取的中点，连接，根据三角形的边角关系得到，当共线时，取得最小值，最小值为，当点为中点时， 取得最大值，最大值为，根据为中点，得到的长，在中，根据勾股定理求出的长，在中，为斜边上的中线，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得的长，进而即可得到答案． 【详解】解：取的中点，连接，，如图： 由三角形的三边关系可得：， ∴当共线时，取得最小值，最小值为， 当点为中点时， 取得最大值，最大值为， ∵， ∴为等边三角形 ∵，为的中点， ∴ 在中，由勾股定理可得：， 在中，， ∴，， ∴的最大值与最小值的差为：． 故答案为：2． 【题型五：三角形综合与最值问题】 例11．（24-25八年级上·全国·期末）已知：为等边三角形． (1)如图1，点D、E分别为边上的点，且． ①求证：； ②求的度数． (2)如图2，点D为外一点，，、的延长线交于点E，连接，猜想线段、、之间的数量关系并加以证明． (3)如图3，D是等边三角形外一点．若，连接，直接写出的最大值与最小值的差． 【答案】(1)①证明见解析；② (2)猜想，证明见解析 (3)的最大值与最小值的差为 【知识点】三角形的外角的定义及性质、三角形三边关系的应用、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）①先由等边三角形的性质得到，，再根据“边角边”，证明三角形全等即可．②利用全等三角形的性质得到，再根据三角形的外角的性质即可解决问题； （2）在上取一点，使得，证明，得到，据此根据线段的和差关系可证明； （3）以为边向外作等边，连接，根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据三角形的三边关系，求出的取值范围，进而得出的取值范围，即可得出的最大值和最小值，然后相减即可得出答案． 【详解】（1）①证明：∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴； ②解：∵， ∴， ∴； （2）解：猜想，证明如下： 如图2中，在上取一点，使得，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图3中，以为边向外作等边，连接， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为，最大值为， ∵， ∴的最大值与最小值的差为． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的性质与判定、全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系和三角形外角的性质等知识，解本题的关键在正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 1.（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，是的中线，且，，为的中点，为的垂直平分线上一点，若的面积为，则周长的最小值为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，垂直平分线的性质是解题的关键． 如图，连接，由题意知，，，，由，可求，周长为，当三点共线时，的值最小，然后求解作答即可． 【详解】解：如图，连接， ∵，为的中点，为的垂直平分线上一点， ∴，， ∵是的中线，，为的中点， ∴， ∵， ∴， 周长为， 当三点共线时，的值最小，为， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 2.（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，，C为边上一动点（不与点A、点B重合），以为边在的上方作等边三角形，过点C作的垂线，E为垂线上任意一点，连接，F为的中点，连接，则的最小值是 ． 【答案】6 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、垂线段最短 【分析】本题考查垂线段最短，含30度角的直角三角形，等边三角形的性质，解题的关键是利用垂线段最短解决最值问题． 连接，，设交于点H，根据垂线的性质及直角三角形斜边中线的性质得出，利用等边三角的性质证明得出，再运用垂线段最短及含30度角的直角三角形的性质可得答案． 【详解】连接，如图，连接，，设交于点H， ， F为的中点， ， 为等边三角形， ， 在和中 ， ， ， 当时，的值最小，如图所示，设点为垂足， 在中，， ， 故答案为：6． 3.（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，轴于点，为线段上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】坐标与图形变化——轴对称、一次函数与几何综合 【分析】作交于，延长到使得，连接交于，此时的值最小． 【详解】解：作交于，延长到使得，连接交于，此时的值最小． 设直线的解析式为，代入点，，得： ， 解得：， 直线的解析式为， 由可设直线的解析式为，代入点得： ，即， 直线的解析式为， 由， 解得， ， ， ∴根据中点坐标公式可得：点E的横坐标为，纵坐标为， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，坐标与图形的性质，两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，学会构建一次函数确定交点坐标，属于中考常考题型． 4.（24-25八年级上·浙江·期中）如图1，在中，的面积为． （1） ． （2）如图2，若点分别是线段和上的两个动点，则的最小值为 ． 【答案】 30 【知识点】三角形内角和定理的应用、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称最短路径，含角的直角三角形的性质，理解轴对称最短路径的计算，掌握等腰三角形的性质，含角的直角三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理即可求解； （2）如图所示，点关于的对称点为，与交于点，作于点，交于点，连接，由点到直线垂线段最短可得，最小，则的值最小，根据题意可得，在中，，，设，则，在中，，则，，由此可得，，由此列式即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴； （2）如图所示，点关于的对称点为，与交于点，作于点，交于点，连接， ∴， ∴， 由点到直线垂线段最短可得，最小，则的值最小， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴， ∴的最小值为； 故答案为：（1）；（2） ． 5．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，某地有块三角形空地，已知，P是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点Q，R分别是边上的任意一点（不与各边顶点重合），求周长的最小值．    【答案】周长的最小值等于 【知识点】等边三角形的判定和性质、线段问题(轴对称综合题) 【分析】此题是几何变换综合题，考查轴对称的性质和最短路径问题，关键是根据轴对称的性质得出线段相等解答． 分别作点关于的对称点，连接交于点，，连接，此时周长的最小值等于，利用轴对称的性质解答即可． 【详解】如图所示，分别作点关于的对称点，连接交于点，连接，此时周长的最小值等于．    由轴对称性质可得，， ， 则为等边三角形， 即． 即周长的最小值等于． 6．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，点P是线段外的一个动点，以为腰向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接． (1)求证：； (2)添加适当字母，求证：； (3)若，求线段的最大值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用、三角形内角和定理的应用 【分析】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质： （1）证明，结合得出结果； （2）设交于点，交于点，根据全等三角形的性质，三角形的内角和定理，得到，即可； （3）根据，求出的最大值即可． 【详解】（1）解：∵等腰直角三角形和等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）设交于点，交于点，如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∴的最大值为， ∵， ∴的最大值为． 7.（23-24七年级下·河南郑州·期末）古建筑中，三角形结构被广泛运用在房梁设计中．如图，在等腰三角形的房梁中， ，，，，是边上的高．因年久失修，该房梁需要加固，于是工人准备在高上找一点E，在边上找一点F，使得绳子从C点出发，先绕到点E，再绕到点F，要使所用的绳子最短，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】垂线段最短、与三角形的高有关的计算问题、线段垂直平分线的性质、三线合一 【分析】本题考查了等腰三角形三线合一，垂直平分线的判定与性质，垂线段最短，三角形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键．过点作交于点，交于点，根据等腰三角形三线合一，可知，从而知道是线段的垂直平分线，推导出，那么，当点和重合时，与重合时，最短，且此时，最后结合，求得的长度，得到的最小值． 【详解】过点作交于点，交于点，连接、、，如图所示： ，， 是线段的垂直平分线 ， 根据垂线段最短，可知当点与点重合，与重合时，最短 此时 ，，， 的最小值为 故答案为：． 8.（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，是等边三角形，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且． (1)如图1，当点是的中点时，线段和的数量关系是：_____（填“”“”或者“”）； (2)如图2，当点在线段上移动时，过点作交于点，则与是否始终保持全等？若全等，请证明，若不全等，请说明你的理由； (3)当点是的中点时，，点，分别是线段，上的动点，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)全等，理由见解析 (3) 【知识点】等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、全等的性质和SAS综合（SAS）、含30度角的直角三角形 【分析】（1）根据等边三角形的性质可求出，根据等边对等角可求出，根据三角形外角的性质求出，然后根据等角对等边可得出，即可得出结论； （2）过D作交于F，证明是等边三角形，得出，结合可得出，根据等边对等角得出，结合，，可得出，然后根据证明即可； （3）过D作，过N作于G，并反向延长交于H，过D作于E，连接，由（1）知：，根据含角的直角三角形的性质求出，，则，故当G、N、M三点共线，最小，此时M、H重合，然后根据平行线间的距离求解即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：全等 理由：∵是等边三角形， ∴，， 过D作交于F， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 又，， ∴， 在和中， ， ∴； （3）解：过D作，过N作于G，并反向延长交于H，过D作于E，连接， 由（1）知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则当G、N、M三点共线，最小，此时M、H重合， ∵，，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造等边三角形、全等三角形是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第15章 重点02 将军饮马与最值问题 学习目标 ①会利用轴对称的性质转化线段，再根据三点共线、垂线段最短、三角形的两边之和大于第三边（两边之差小于第三边）的原理求最最短距离； ②会综合运用图形的变换与三角形的性质定理求最短（大）距离问题。 知识01 对应点连线段与对称轴的关系 ·对应点连线段与对称轴的关系：对称轴经过连接对应点的线段的中点，并且垂直于这条线段 ·应用：对称点到对称轴的距离相等知识02 轴对称的性质 ·经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫做线段的中垂线． （线段的垂直平分线是这条线段的对称轴，线段是轴对称图形） 方法03 利用轴对称的性质求线段和的最小值 ·问题内容：如图1，P是直线l上一个动点，求PA+PB的最小值 （图1） （图2） （图3） ·解题方法：如图2，作B关于直线l的对称点B′，连结AB′与直线l交于点C，点C就是所求的位置 ·方法总结：利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”解决问题。 ·题型总结：适用于求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值 【题型一：三点共线求线段和的最小值】 例1.（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，直线m是中边的垂直平分线，点P是直线m上的一动点．若，则周长的最小值是 ． 变式1.（24-25八年级上·江苏常州·阶段练习）如图，已知等腰直角三角形，点是边上的一点，，，为斜边上一点，则的最小值为 ． 例2.（23-24八年级上·江苏苏州·阶段练习）已知，在内有一定点，点，分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（   ） A． B．3 C． D． 变式2.（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在边长为的正方形中，点是边的中点，、分别是和边上的点，则四边形周长的最小值为 ． 例3.（24-25八年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，分别为，上的点，，，分别为，上的动点，则的最小值为 ． （利用对称图形转化线段）例4．（2024·安徽合肥·三模）如图，在中，平分分别为边上一点，且，若当的最小值为5时，则的长为（    ） A．4 B． C．5 D．6 【题型二：根据垂线段最短求线段的最值】 例5．（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，在中，．  将 边沿翻折，点B落在点处，连接交于点D．则的最大值为（   ） A． B． C． D． 例6.（23-24八年级下·福建三明·期中）如图，在中，，点是上的动点，连接，以为边作等边，连接，则点在运动过程中，线段长度的最小值是    变式6．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在等边中，，且，E是线段上的一个动点，连接，线段与线段关于直线对称，连接，在点E运动的过程中，当的长取得最小值时，的长为 ． 例7．（22-23八年级上·湖北荆门·单元测试）如图，是等边的中线，是直线上一动点，以为边作等边三角形，连接，下列说法正确的是（   ） A．的最小值是2 B．有最大值 C．的最小值是4 D．没有最小值也没有最大值 【题型三：应用“垂直”求面积的最大值】 例8．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，四边形，平分，，，，则面积的最大值为（   ） A．8 B．9 C． D．10 【题型四：利用三角形的三边关系求最值】 例9．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在四边形中，，点M为的中点，若，则的最大值是 ． 变式9.（24-25八年级上·福建福州·期中）如图，四边形中，，则的最大值为 ． 例10.（23-24八年级下·辽宁丹东·期中）如图，边长为2的等边三角形的两个顶点A，B分别在两条直线，上滑动，若，垂足为点O，则的最大值与最小值的差是 ． 【题型五：三角形综合与最值问题】 例11．（24-25八年级上·全国·期末）已知：为等边三角形． (1)如图1，点D、E分别为边上的点，且． ①求证：； ②求的度数． (2)如图2，点D为外一点，，、的延长线交于点E，连接，猜想线段、、之间的数量关系并加以证明． (3)如图3，D是等边三角形外一点．若，连接，直接写出的最大值与最小值的差． 1.（24-25八年级上·重庆·阶段练习）如图，是的中线，且，，为的中点，为的垂直平分线上一点，若的面积为，则周长的最小值为 ． 2.（24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，，C为边上一动点（不与点A、点B重合），以为边在的上方作等边三角形，过点C作的垂线，E为垂线上任意一点，连接，F为的中点，连接，则的最小值是 ． 3.（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，，，轴于点，为线段上一动点，则的最小值为 ． 4.（24-25八年级上·浙江·期中）如图1，在中，的面积为． （1） ． （2）如图2，若点分别是线段和上的两个动点，则的最小值为 ． 5．（23-24七年级下·陕西西安·阶段练习）如图，某地有块三角形空地，已知，P是内一点，连接后测得米，现当地政府欲在三角形空地中修一个三角形花坛，点Q，R分别是边上的任意一点（不与各边顶点重合），求周长的最小值．    6．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，点P是线段外的一个动点，以为腰向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接． (1)求证：； (2)添加适当字母，求证：； (3)若，求线段的最大值． 7.（23-24七年级下·河南郑州·期末）古建筑中，三角形结构被广泛运用在房梁设计中．如图，在等腰三角形的房梁中， ，，，，是边上的高．因年久失修，该房梁需要加固，于是工人准备在高上找一点E，在边上找一点F，使得绳子从C点出发，先绕到点E，再绕到点F，要使所用的绳子最短，则的最小值为 ． 8.（24-25八年级上·广东广州·期中）如图，是等边三角形，点为边上任意一点，点在边的延长线上，且． (1)如图1，当点是的中点时，线段和的数量关系是：_____（填“”“”或者“”）； (2)如图2，当点在线段上移动时，过点作交于点，则与是否始终保持全等？若全等，请证明，若不全等，请说明你的理由； (3)当点是的中点时，，点，分别是线段，上的动点，连接，求的最小值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$