广东省名校联盟2024-2025学年高二上学期期中联合质量检测数学试题

高二数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第十章，选择性必修第一册第一、 二章。 鼠 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符台 如 题目要求的、 1.已知A与B是互斥事件，且P(A)=0.3,P(B)=0.2,则P(AUB)= 的 A.0.5 B.0.6 C.0.8 D.0.9 2.已知直线工十my一3=0的倾斜角为爱，则m= A、3 3 B C.-3 D.5 数 3.已知坐标原点不在圆C:x2+y2+x十2y十m=0的内部，则m的取值可能为 A.1 B.-1 C.2 D.-2 拓 4,从三名男生和两名女生中任意选出两人参加冬奥知识竞赛，则选出的两人恰好是一名男生和 一名女生的概率为 茵 A号 B号 c号 片 5.已知空间向量a,b,c满足a+2b十√7c=0,a|=b|=|c|=1,则a与b的夹角为 A.30 B.150° C.60 D.120 6.若过点A(1,1)的直线l与圆C:x2+y2-4x一8y+2=0交于M,N两点，则弦长|MN|的 最小值为 A.4 B.2√2 C.42 D.82 7.已知点A(一4,4)，B(-2,一3)，直线1：kx-y十k+1=0,若A,B位于直线l的两侧，则 k的取值范围为 A.(-4,1) B.(-1,4) C.(-∞，-1)U(4,+∞) D.(-∞，-4)U(1,+∞) 【高二数学第1页（共4页）】 8.在△ABC中，A(-1,0),B(W7,32),C(1,0),若动点M满足MA·M心=3，则1MB|的取 值范围为 A.[1,3] B.[0,4] C.[3,7] D.[1,5] 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.先后两次掷一枚质地均匀的骰子，事件A表示“两次掷出的点数之和是5”，B表示“第二次掷 出的点数是偶数”，C表示“两次掷出的点数相同”，D表示“至少出现一个奇数点”，则 A.A与C互斥 B.A与B相互独立 C.B与D对立 D.B与C相互独立 10.如图，已知正方体ABCD-AB1C,D1的棱长为2，O为正方体ABCD-A1B,C,D1的中心， 点E满足A1D,=4ED1,则 A.AO⊥平面A1BD B.EO/平面A1BD cD心在D时上的投影狗量为号D品 D D,二面角D-A1BA的余弦值为】 11.已知点P在圆0：x2+y2=6上，点A(3,0),B(0,33),则下列说法正确的是 A圆M:x2+y2+4x十7y+1=0与圆0的公共弦方程为4x十7y+7=0 B.满足AP⊥BP的点P有2个 C,若图N与圆0，直线AB均相切，则圆N的半径的最小值为33，一6 2 D.√6|PA|+3|PB|的最小值是3√3I 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.两个篮球运动员罚球时命中的概率分别是0.4和0.5，两人各罚一次球，则他们至少有一人 命中的概率是▲ 13.若点A(0,4)和点B(-1,3)关于直线l:mx十y十n=0对称，则m十n=▲ 14.已知A(1,1,1),B(2,0,1),C(1,0,2)是球M上三点，球心M的坐标为(1,0,1)，P是球M 上一动点，则三棱锥P-ABC的体积的最大值为▲ 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在四棱柱ABCD-A1B,C,D1中，四边形ABCD为菱形，∠BAD=∠A1AD=∠A1AB= 60°，AA1=3,AB=2,O为AC的中点 (1)用AB,AD,AA1表示A1O,并求|A1O1的值； (2)求A16.DC的值， 16.(15分) 已知圆M经过点(1,4)和(3,2)，其圆心在直线2x一y一2=0上 (1)求圆M的标准方程； (2)若直线1过点P(1,0)且与圆M相切，求l的方程. 17.(15分) 垃圾分类可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会、 经济、生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学 校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为p,乙 同学答对每题的概率都为q(p>q),且在考试中每人各题答题的结果互不影响.已知每题 甲、乙同时答对的概率为2，恰有一人答对的概率为是 (1)求p和q的值； (2)试求两人共答对至少3题的概率， 18.(17分) 如图，在四棱台ABCD-A1B,C,D1中，AA1⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形，AB= 2AA1=2A1B1=4,点P在线段C1D上运动. (1)证明：B1D1⊥CC. (2)求异面直线AB,与DD1所成角的余弦值， (3)求直线D1P与平面AB,D1所成角的正弦值的取值范围. 鳄 学 烯 19.(17分) 定义：P是圆C外一点，过点P所作的圆C的两条切线PM,PN(M,N为切点)相互垂直， 记圆D经过点P,M,N,C,则称P为圆C的“伴随点”，圆D为“C-P伴随圆”.已知O为坐 标原点，圆O:x2十y2=26,P为圆O的“伴随点”，圆G为“O-P伴随圆”. (1)求点P所在曲线的方程 烟 (2)已知点P的横坐标为6，且位于第一象限. 鸣 (1)求圆G的方程； (I)已知M,N为过点P所作的圆O的两条切线的切点，直线MN与x,y轴分别交于 点E,F,过点T(0,5)且斜率为k的直线l与圆G有两个不同的交点A,B,若OA.OB =36(1OE1+1OFD,求1的方程， 13高二数学参考答案 1.D由P(A)=0.3,可得P(A)=1一P(A)=0.7.由于A与B是互斥事件，故P(AUB)= P(A)+P(B)=0.7+0.2=0.9. 2D由题可得。解得n3 3.A依题意，方程2十y+x十2y十m=0表示圆，则1+2-m>0,解得m<是.因为坐标 原点不在圆C:2+y+x十2y十m-0的内部，所以m≥0，综上，0Cm<是 4.B记三名男生为A,B,C,两名女生为1,2，任意选出两人的样本空间为{AB,AC,A1,A2, BC,B1,B2,C1,C2,12},共10个样本点，恰好一男生和一女生的样本点有6个，所以选出的 两人恰好是一名男生和一名女生的概率为0一亏： 6.3 5.C设a与b的夹角为0.由a+2b十7c=0,得a+2b=-√7c,两边平方得a2+4a·b十 4b2=7c,所以1+4X1X1Xcos0+4=7,解得cos9=2·又0∈[0，]，所以0=60°， 6.Cx2+y2-4x-8y+2=0可化为(x-2)2+(y-4)2=18,可得圆心C(2,4),半径r= 3√2.当CA⊥l时，MN|最小，此时点C到1的距离d=CA=√I0,所以|MN|的最小值 为2wr2-d=218-10=4vw2. 7.B由kx一y+k+1=0,可得k(x+1)-y+1=0,所以直线l恒过点 -3-1 P(1D,则k三1，km2三4，故k的取值范围 为(-1,4). 8.C设M(x,y),则Mi.MC=(-1-x,-y)·(1-x,-y)=x2-1 十y2=3,即x2十y=4,即点M的轨迹是以O(0,0)为圆心，2为半径 B 的圆.又|BO引=√7+18=5，所以MB的取值范围为[3,7门. 9.ABD试验的样本空间2={(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)， (2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4), (4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5), (6,6). 事件A={(1,4),(4,1),(2,3),(3,2)},B={(1,2),(1,4),(1,6),(2,2),(2,4),(2,6), (3,2),(3,4),(3,6),(4,2),(4,4),(4,6),(5,2),(5,4),(5,6),(6,2),(6,4),(6,6)},C= (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)} 对于A,A与C没有公共的基本事件，A与C互斥，A正确： 对于PA-希-号PB-号AB=,.8,2,PAB)-系=8=PA… P(B),A与B相互独立，B正确； 对于C,显然，B与D可以同时发生，C错误： 【高二数学·参考答案第1页（共5页）】 对于D.BC=2.2.4,.(6.6,P(C)-6GP(BC)=需是=P(B)PC).B与 C相互独立，D正确。 10.AD以D为原点，DA,DC,DD,所在直线为x,y,之轴建立空间直角坐标系（图略），则 D1(0,0,2),A1(2,0,2),D(0,0.0),B(2,2,0,A(2,0,0),C(0,2,2),01,1,1),E(20 2),所以DA=(2,0,2),D=(2,2,0),E0=(1,-1.A0=(-1,1,1),DC=(0,2. 1n·DA,=2.x+2x=0, 2.设平面A,BD的法向量为n=(红y,),则n·D丽=2x十2y=0, 令x=1,则n=(1, -1,-1D.因为A0-=-,所以A0⊥平面ABD,A正确n·EB0-号≠0，所以EB0不与平 面A,BD平行，B错误DC在DA:上的投影向量为 XDA.DA:-DA IDA 2 C错误，易知平面 A1AB的一个法向量为m=(1,0,0),设二面角D-AB-A的大小为0，所以cos0= 1n·n mn 店3，D正确 11.ABDx2+y2+4x+7y十1=0和x2十y2=6两式作差，可得4x十7y+7=0,故A正确 由AP1BP,可得点P的轨迹是以AB为直径，3为半径的圆，圆心的坐标为（受，3）.两 圆的圆心距为(0-)'+(0-3)'=3，半径和与半径差分别为3+6,3-6，于是 3十√6>3>3一√6，即两圆相交，满足条件的点P有2个，故B正确. 直线AB的方程为3十331，即V3x十y一33=0，圆心0(0,0)到直线AB的距离为 ，所以圆N的半径的最小值为3,5,2,6，故C错误 35 4 设存在定点C(t,0),使得点P在圆O上任意移动时均有3PC=√6|PA.设P(xy),则 有9[(x-t)2+y门=6[(x-3)+y],化简得x2+y°+(12-6t)x=18-3.因为x2+y 6,所以30即1=2，C(2,0,所以w6PA+3PB=3PB+PCD≥ 3BC|=33I,故D正确. 12.0.7他们至少有一人命中的概率是1一(1一0.4)×(1一0.5)=0.7. 18-2因为AB11,所以3。（一m)=-1,解得m=1.又AB的中点坐标为（一 召)，所以一号+名十m=0,解得m=-3故m十n=-2 14.3+1由题意，A店=1，-1,0)，AC=(0,-1,1D,则1A81=AC1=2,0A= 6 【高二数学·参考答案第2页（共5页）】 成专·所以A专·期△AC的面积为×反X巨×-因为=0 AB.AC 1 1,0),所以球M的半径为1.设平面ABC的法向量为n=(x,y,之)，则 n·AB=x-y=0, n.AC=-y+z=0, 取n=(1,1,D,则点M到平面ABC的距离dn:-上-5 n√3 3 所以三校锥PABC的体积的最大值为写×号×（停+1）- 6 15.解：1)A,0=A+0=-AA+号AC=号A+2AD-AA,…3分 店.=2x3×号-3店.Ad=2×2×号=2mAd=2X3X号3,6分 则1A0=√（2店+2A市-A) =,√A店+A市+AA+A店·A花-A店·AA-A市·A =/1+1+9+1-3-3=√6.… …9分 (2)DC=DC+CC=AB+AA. …10分 Ad.DC=(2A店+2A市-AA)·(A馆+AA)=2A+2A市·A店-2A店. A+号ad.a-am=2+1-+ -9=-6. 13分 16.解：(1)设圆M的标准方程为(.x一a)2+(y-b)2=r …1分 (1-a)2+(4-b)2=r2, 所以(3-a)2+(2-b)2=r2, …4分 2a-b-2=0. 解得a=3,b=4,r=2,… 6分 故圆M的标准方程为(x一3)2十(y一4)2=4，…7分 (2)由(1)可知圆心为M(3,4),r=2. ①当直线1的斜率不存在时，易得直线（的方程为x=1,符合题意：…10分 ②当直线1的斜率存在时，设直线（的方程为y=k(x一1），即kx一y一k=0,…12分 由题意，圆心(3，)到直线1的距离等于半径2，即34=2，解得太=，此时直线 3 k2+1 的方程为3.x一4y一3=0.…14分 综上，所求直线1的方程为x=1或3.x一4y一3=0.…15分 17.解：(1)设事件A=“甲同学答对第一题”，B=“乙同学答对第一题”， 则P(A)=p,P(B)=g. 设事件C=“甲、乙两人均答对第一题”，D=“甲、乙两人恰有一人答对第一题”，则C=AB, D=AB十AB.… …】分 ,两人答题互不影响，且每人各题答题的结果互不影响， A与B相互独立，AB与AB互斥， 【高二数学·参考答案第3页（共5页）】 .P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=pg,…3分 P(D)=P(AB+AB)=P(AB)+P(AB)=P(A)(1-P(B))+(1-P(A))P(B). 1 g=2' 由题意得 …5分 5 p1-q)+g1-p)=i2' p= 4 D= 解得 或 3 9=3 q=4 :p>qp=子9=号 3 2 …7分 (2)设事件A,=“甲同学答对了i题”，B,=“乙同学答对了i题”，i=0,1,2. 由题意得PA,)-×是+×-号PA,)=×-品 PB,)=号×对+号×号-青PB,)=号×号 2.4 …11分 设事件E=“甲、乙两人共答对至少3题”，则E=AB2UA2B1UAzB2, PE)=PA,B)+PA,B)+PA,B:=×+8×号+6×号-号 “甲，乙两人共答对至少3题的概率为3 …15分 18.(1)证明：以{AB,AD,AA}为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0), B1(2.0,2),D1(0,2,2),C1(2,2,2),C(4,4,0),D(0,4,0),所以B1D=(-2,2,0).CC= (一2，一2,2)，…2分 则B,D,.CC=-2×(-2)+2×(-2)=0, 所以BD1⊥CC,…4分 (2)解：由(1)可得AB,=(2,0,2),DD=(0,-2,2) 所以cos(AB1,DD,)1= 1 2V2×2√2 =2…6分 故异面直线AB,与DD,所成角的余弦值为2，…8分 (3)解：设C1P=C1D(0≤≤1).因为CD=(-2,2,-2),所以C1P=(-2以，2x,-2λ)， 则D1P-D1C+CP=(2,0,0)十(-2x,2x,-2x)=(2-2,2x,-2).…10分 由(1)可得AB1=(2,0,2),AD1=(0,2,2). 设平面AB,D的法向量为n=(x,y,x), n·AB1=2.x+2=0, 则 取n=(1,1,一1).… …12分 n·AD1=2y+2≈=0， 设直线D,P与平面AB,D,所成的角为0，则m0=1osn,D,方1=m,D方 nDP 【高二数学·参考答案第4页（共5页）】 2-21+2λ+2λ |入+1 令入十1=t,则t∈[1,2]， √3×W(2-2λ)2+(2λ)+(-2)2√5×√3x2-2λ+1 所以sin0 …15分 -+3×6()+ 当}号，即：=时n0取得录大值，最大值为1：当-1，即1=1时血0取得最小 值，最小值为故直线D,P与平面AB,D所成角的正孩值的取值范为停.] …17分 19.解：(1)因为P为圆O的“伴随点”，所以四边形PMON为正方形，…1分 则|P0川=2X/26=2/13,…2分 所以点P的轨迹是以O为圆心，2√13为半径的圆，…3分 故点P所在曲线的方程为x2十y2=52.…4分 (2)由题可知P(6,4).…5分 (1)因为四边形PMON为正方形，所以圆心G的坐标为(3,2)，…6分 半径为6十4/B,…7分 2 故圆G的方程为(.x一3)2+(y-2)2=13. 8分 (ⅱ)因为直线MN为圆G与圆O的公共弦所在直线， 所以直线MV的方程为3.x十2y一13=0.… …9分 令y=0,可得x号令x=0,可得y号 所以360E十0听D-39X(3+18=30,……10分 13 由题意，可知直线1的方程为y=k.x十5 代入方程(x-3)2十(y-2)2=13,整理得(1十k2).x2-6(1-k)x十5=0. 6(1-k) 5 设A(y,Bx2y2),则x十xa=1+ 1221十k,…12分 所以OA.OB=x1x2十y1y2=x1x2十(k.x1+5)(kx2十5) =1+k15+56+)+25=3042+30.…14分 1+k2 由题意可很30k大2牛30=30，解得=1或k=0. ，…15分 经检验，当k=1时，不满足△=[一6(1一k)]一4×(1十k2)×5>0:…16分 当k=0时，满足△=[-6(1-k)]2-4×(1+k2)×5>0. 故的方程为y=5.…17分 【高二数学·参考答案第5页（共5页）】