1.4 角平分线(2) 课件2024-2025学年北师大版数学八年级下册

1.4 角平分线(2) 第一章 三角形的证明 学习目标 1.利用角平分线的性质及判定探索证明三角形三条角平分线的特殊位置关系及性质. 2.进一步提升运用角平分线性质及判定解决实际问题的能力. 3.经历“探索-发现-猜想-证明”的过程，进一步体会证明的必要性，增强证明意识和能力，发展推理能力. 温故知新 角的平分线的性质 角的平分线的判定 图形 已知 条件 结论 P C P C OP平分∠AOB, PD⊥OA于点D, PE⊥OB于点E. PD = PE . PD⊥OA于点D， PE⊥OB于点E， PD=PE OP平分∠AOB 要在一个三角形居住区内修有一个学校P，要求点P到AB、BC、CA三边的距离都相等,请在三角形居住区内标出学校P的位置,那么点P应在什么位置？ A B C 情境引入 若点P到边AB,AC的距离相等，则点P应在 ； 若点P到边AB,BC的距离相等，则点P应在 ； ∠A的平分线上 ∠B的平分线上 猜想：点P是 . 若点P到边AC,BC的距离相等，则点P应在 ； ∠C的平分线上 三角形三个内角的角平分线的交点 这三条角平分线一 定会交于一点吗？ 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 P P P 发现：三角形三个内角的平分线交于三角形内部一点， 并且这一点到三条边的距离相等. 三角形三条内角角平分线的性质 探一探 任意画一个三角形，作出它的三条角平分线，看看它们有什么特殊的性质. 你会证明吗？ F A B C D E 【思路】要证明三角形的三条角平分线相交于一点，只要证 明其中两条角平分线的交点一定在第三条角平分线 上即可.思路可表示如下： 试试看，你会写出证明过程吗？ AP是∠BAC的平分线 PI=PH BP是∠ABC的平分线 PG=PI PH=PG 点P在∠BCA的平分线上 P 三角形三条内角角平分线的性质 探一探 H I G 证明：∵BM是△ABC的角平分线，点P在BM上， 且PD⊥AB，PE⊥BC，垂足分别为D，E， ∴PD = PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 已知：如图，在△ABC中，角平分线BM与角平分线CN相交于点P. 过点P分别作AB,BC,AC的垂线，垂足分别为D,E,F. 求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等. N 三角形三条内角角平分线的性质 探一探 A B C D M P F D E ∴点P在∠A的平分线上(在一个角的内部，到角的两边距离相等的 点在这个角的平分线上). 即∠A的平分线经过点P. 同理，PE = PF . ∴PD = PE = PF . 【性质】:三角形三个内角的平分线交于三角形内部一点，并且这一点到三 条边的距离相等.(这一点叫做三角形的内心) ∵∠ACB = 90°， ∴∠ADC = 90°－15°= 75°, ∴∠MEF = ADC. 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=6O°，AD，CE是角平分线， AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N. 求证：FE = FD. 随堂练习 6O° H 证明：作FH⊥AC,垂足为H. AD，CE分别平分∠BAC和∠ACB， FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N, ∴FE = FH , FH = FN. ∴FM = FN. ∵∠ACB = 90°，∠B=6O°， ∴∠BAC = 30°. ∵AD，CE分别平分∠BAC和∠ACB， ∴∠BAD =∠CAD =15°,∠ACE=45°. 15° 15° 45° ∵∠MEF是△ACE的外角， ∴∠MEF = 30°＋45°= 75°. ∵∠EMF = ∠DNF,FM = FN, ∴△EMF≌△NDF(AAS). ∴FE = FD. 例题学习 如图，在△ABC中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E. (1)已知CD = 4cm，求AC的长； 例2 (1)解:AD是△ABC的角平分线,DC⊥AC,DE⊥AB,垂足为E， ∴DE = CD = 4cm(角平分线上的点到这个角的两 边的距离相等). ∵∠C = 90°， ∴∠B = ×90°=45°. ∴∠BDE = 90°-45°= 45°. ∴BE = DE = 4cm(等角对等边). ∵AC = BC, ∴∠B = ∠BAC(等边对等角). 在等腰直角三角形BDE中， BD = ==4cm. (勾股定理) ∴AC = BC = CD＋BD =(4＋4)cm . 4 4 45° 4 例题学习 如图，在△ABC中，AC = BC，∠C = 90°，AD 是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E. (2)求证：AB = AC＋CD. 例2 证明：在Rt△ACD和Rt△AED中， CD = DE ，AD = AD . ∴Rt△ACD ≌ Rt△AED (HL). ∴AC = AE (全等三角形的对应边相等). ∵CD = DE = EB (已证)， ∴AB = AE ＋ EB = AC ＋ CD. 习题1.10 1.已知：如图，∠C = 90°，∠B = 30°，AD是△ABC的角平分线. 求证：BD = 2CD . 30° 证明:∵∠C = 90°，∠B = 30°， ∴∠BAC = 90°－30°= 60°. ∵AD平分∠BAC, ∴∠BAD = ∠CAD = ∠BAC = 30°. ∴∠B = ∠BAD, ∴ BD = AD . 在△ACD中，∵∠C = 90°，∠CAD = 30°， ∴CD = AD = BD , ∴BD = 2CD. 30° 30° 习题1.10 2.已知：如图，△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F. 求证：点F在∠DAE的平分线上. G H P 证明：过点F分别作FG⊥AD，FH⊥BC，FP⊥AE , 垂足分别为G，H，P. ∵BF平分∠CBD，FG⊥AD，FH⊥BC， ∴FG = FH . ∵CF平分∠BCE，FH⊥BC，FP⊥AE , ∴FH = FP . ∴FG = FP . ∴点F在∠DAE的平分线上. 习题1.10 3.已知:如图,P是∠AOB平分线上的一点,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别为C,D. 求证：(1)OC = OD；(2)OP是CD的垂直平分线. ∵OP = OP , ∴△OCP ≌ △ODP (AAS). ∴OC = OD(全等三角形的对应边相等). 证明:(1)∵PC⊥OA,PD⊥OB, ∴∠OCP = ∠ODP = 90°. ∵OP平分∠AOB , ∴∠AOP = ∠BOP. (2)∵OC = OD ，OP平分∠COD, ∴OP⊥CD ,OP平分CD (三线合一). 即OP是CD的垂直平分线. 习题1.10 4.如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库. (1)如果要求油库到两条公路AB,AC的距离都相等,那么如何选择油库的位置？ l1 l2 解：(1)油库的位置在直线AB和AC 相交所成夹角的角平分线上, 即直线l1 和 l2 上. 习题1.10 4.如图，三条公路两两相交，现计划修建一个油库. (2)如果要求油库到这三条公路的距离都相等，那么如何选择油库的位置？ P1 P2 P3 P4 (2)油库应建在三条公路AB，AC，BC 两两相交所构成的角的角平分线 的交点处.如图，满足条件的油 库位置有4个，分别是图中点P1， P2，P3，P4所在的位置. 比一比 比较三角形三边的垂直平分线和三条角平分线的性质定理 三边垂直平分线 三条角平分线 三 角 形 锐角三角形 钝角三角形 直角三角形 交点性质 交于三角形内一点 交于三角形外一点 交于斜边的中点 交于三角形内一点 到三角形三个顶点的距离相等 到三角形三边的距离相等 课堂小结 三角形内角平 分线的性质 性质：三角形的三条角平分线交于一点， 并且这一点到三条边的距离相等． 应用：位置的选择问题. 已知角平分线上的点,要利用角平分线性质定理寻找线段相等关系,有时可结合全等三角形、直角三角形来求解. 随堂检测 1.在一块三角形的草坪上建一座凉亭,要使凉亭到草坪三边的距离相等, 凉亭的位置应选在(　 　) A.三角形的三条中线的交点处； B.三角形的三边的垂直平分线的交点处； C.三角形的三条角平分线的交点处； D.三角形的三条高所在直线的交点处. C 2.△ABC是一个任意三角形,用直尺和圆规作出∠A,∠B的平分线相交于点O, 那么下列说法不正确的是 (　 　) A.点O一定在△ABC的内部； B.∠C的平分线一定经过点O； C.点O到△ABC三边的距离一定相等；　 D.点O到△ABC的三个顶点的距离一定相等. D 随堂检测 3.在Rt△ABC中，∠B = 90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE⊥AC，垂足 为点E，若BD = 3，则DE的长为( ). A A.3 B.1.5 C.2 D.6 4.如图,在Rt△ABC中,点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等． 若∠A = 40°，则∠BOC的度数为( 　　) A A．110° B．120° C．130° D．140° 随堂检测 5.如图,已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA=PB． 下列确定P点的方法正确的是( ) A.P为∠A，∠B两角平分线的交点； B.P为∠A的平分线与AB的垂直平分线的交点； C.P为AC，AB两边上的高的交点； D.P为AC，AB两边的垂直平分线的交点. B 6.如图,△ABC的三边AB,BC,CA长分别是20,30,40, 其三条角平分线将△ABC分为三个三角形,则 S△ABO∶S△BCO∶S△CAO等于 (　 　) A.1∶1∶1 B.1∶2∶3 C.2∶3∶4 D.3∶4∶5 C 随堂检测 7.已知：如图,△ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E， 点F在AC上,BD = DF. 求证：CF = EB . 证明：∵AD平分∠CAB, DC⊥AC,DE⊥AB， ∴CD = DE . D F C A B E 在Rt△CDF和Rt△EDB中, ∵CD = ED , DF = DB , ∴Rt△CDF≌Rt△EDB (HL). ∴ CF = EB(全等三角形的对应边相等). 随堂检测 8.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AO,CO分别平分∠BAC和∠ACB,OD⊥AC于D. 若AB = 10,BC = 8,试求线段OD的长度. 解:连接OB,过点O分别作OE⊥AB于点E,OF⊥BC于点F. E F ∵AO平分∠BAC,CO平分∠ACB,OE⊥AB,OF⊥BC,OD⊥AC, ∴OE = OD = OF. 设OE = OF = OD = x, ∵S△ABC = S△ABO＋S△ACO＋S△BCO, ∴ AC·BC = AB·OE＋ AC·OD＋ BC·OF， ∴6×8 = 10x＋6x＋8x, 解得 x = 2. ∴OD的长为2. 在△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=8, ∴由勾股定理得 AC = = = 6 . 作 业 教材35页第12题 再 见 $$