1.4 第1课时 角平分线的性质 （课件）2024—2025泶年北师大版数学八年级下册

北师大版数学八年级下册 第一章 三角形的证明 汇报人：孙老师 汇报班级：X级X班 1.4 第1课时 角平分线的性质 4 角平分线 目录 壹 课前复习 贰 新课导入 叁 新知探究 肆 随堂练习 伍 课堂小结 第壹章节 课前复习 课前复习 ，， 三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳 子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏 公平，则凳子应放的最适当的位置是在 的( ). B A.三边中线的交点 B.三边垂直平分线的交点 C.三条角平分线的交点 D.三边上高的交点 第贰章节 新课导入 新课导入 什么叫角平分线？ 如果一条射线把一个角分成两个相等的角，那么这条射线是这个角的平分线. 你还记得角平分线上的点有什么性质吗？ 第叁章节 新知探究 新知探究 在∠AOB 的角平分线上任意取一点 C，分别折出过点 C 且与∠AOB 的两边垂直的直线，垂足分别为D， E，将∠AOB 再次对折，线段 CD 与 CE 能重合吗? 改变点 C 的位置，线段 CD 和 CE 还相等吗? 结论：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的性质 1 对此你能得出什么结论？动手证一证. C A O B C D E 已知：如图，OC 是∠AOB 的平分线，点 P 在 OC 上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E. 求证：PD = PE. 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E， ∴∠PDO =∠PEO = 90°. ∴△PDO≌△PEO (AAS). ∴ PD = PE(全等三角形的对应边相等). 结论证明 B A D O P E C 1 2 ∵OC 是∠AOB 的平分线， ∴∠1 =∠2. ∵OP = OP， 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： (1) 角的平分线； (2) 点在该平分线上； (3) 垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. B A D O P E C 应用格式： ∵ OP 是∠AOB 的平分线， ∴ PD = PE PD⊥OA，PE⊥OB， 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. (角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 知识要点 例1 如图，AM 是∠BAC 的平分线，点 P 在 AM 上，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别是 D、E，PD = 4 cm，则 PE = ______cm. B A C P M D E 4 温馨提示：存在两条垂线段——直接应用 典例精析 定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 角平分线的判定 2 类比探究 它是真命题吗？你能证明吗？ 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 逆命题 P A O B C D E 已知：如图，点 P 为是∠AOB 内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D、E，且 PD = PE. 求证：点 P 在∠AOB 的平分线上. ∴ OP 平分∠AOB. ∵PD = PE ，OP = OP ， 证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为 D，E， ∴∠ODP =∠OEP = 90°. ∴ Rt△DOP≌Rt△EOP (HL). ∴∠1 =∠2 (全等三角形的对应角相等). 结论证明 B A D O P E C 1 2 判定定理： 角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上. P A O B C D E 应用所具备的条件： (1) 位置关系：点在角的内部； (2) 数量关系：该点到角两边的距离相等. 定理的作用：判断点是否在角平分线上. 应用格式： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB，PD = PE， ∴ 点 P 在∠AOB 的平分线上. 知识要点 例2 如图，在△ABC中，∠BAC= 60°，点 D 在 BC 上，AD = 10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E，F，且DE = DF，求 DE 的长. A B C D E F 典例精析 解：∵ DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且 DE = DF， ∴ AD 平分∠BAC (在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上). 又∵∠BAC= 60°，∴∠BAD= 30°. 在 Rt△ADE 中，∠AED = 90°，AD = 10， A B C D E F ∴ DE = AD = ×10 = 5 (在直角三 角形中，如果一个锐角等于30°，那 么它所对的直角边等于斜边的一半) . 例3 如图，已知∠CBD 和∠BCE 的平分线相交于点 F. 求证：点 F 在∠DAE 的平分线上． 证明： 过点 F 作 FG⊥AE 于 G，FH⊥AD 于 H，FM⊥BC 于 M. ∵ 点 F 在∠BCE 的平分线上， FG⊥AE，FM⊥BC， ∴ FG＝FM. 又∵点 F 在∠CBD 的平分线上， 　　　　FH⊥AD，FM⊥BC， ∴ FM＝FH. ∴ FG＝FH. ∴ 点 F 在∠DAE 的平分线上.　　　 G H M A B C F E D ┑ ┑ ┑ O N M A B 方法总结：到角两边距离相等的点在角的平分线上，到两点距离相等的点在两点连线的垂直平分线上. 解：如图所示. P. 回顾导入 图形 已知 条件 结论 P C P C OP 平分∠AOB PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E PD = PE OP 平分∠AOB PD = PE PD⊥OA 于 D PE⊥OB 于 E 角的平分线的判定 角的平分线的性质 归纳总结 第肆章节 随堂练习 随堂练习 (第1题) 1.小明同学在学习了全等三角形的相关知识后发现， 只用两把完全相同的长方形直尺就可以作出一个角 的平分线.如图：一把直尺压住射线 ，另一把直 尺压住射线并且与第一把直尺交于点 .其理论 依据是______________________________________ ___________. 在角的内部，到角两边距离相等的点在角的平分线上 (第2题) 2.如图，在中， ， 平分 ，交于点，，垂足为点 ，若 ，则 的长为( ). A A.3 B. C.4 D.6 22 3.如图，平分，点在上，于，，点 是射线上的动点，则的最小值为___ . 5 23 4.如图，在中，的平分线交 于 点,过点作交于点 . (1)求证： ; 证明：是 的平分线， , , , , . 24 (2)若 , ,求 的度数. 解： , , , , , . 25 5.如图，在中， ， ，，点为上的点， ， 垂足为点， . (1)求证：为 的平分线； 证明： ， ，，又 ， 为 的平分线； 26 (2)求 的度数. 解： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 27 ， 由(1)可得为 的平分线， ， . 第伍章节 课堂小结 课堂小结 定理 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 定理 在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 人教版数学八年级下册 汇报人：孙老师 汇报班级：X级X班 谢谢观看 $$