1.4角平分线(1)课件 2023-2024学年北师大版数学八年级下册

第一章 三角形的证明 1.4 角平分线(1) 从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角, 这条射线就叫这个角的角平分线. 1.角平分线的定义是什么? A O B C 2.角平分线的性质是什么? 角平分线上的点到角两边的距离 . 温故知新 D E P 你是怎么知道的? 相等 你发现了什么? 探一探 角平分线的性质 应该怎样进行证明呢? PD = PE. 已知:如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别为D,E. 求证:PD = PE. 求证:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. A O B D E P C 1 2 探一探 角平分线的性质 证明:∵PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别为D,E, ∴∠PDO =∠PEO = 90 . ∵OP平分∠AOB, ∴∠1 = ∠2 (角平分线的定义). ∴PD = PE(全等三角形的对应边相等). ∵OP = OP, ∴ PDO≌ PEO(AAS). 定理: 角平分线性质定理: 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 几何语言 ∵ OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA, PE⊥OB (已知), ∴ PD = PE(角平分线上的点到这个角的两边的距离相等). 学一学 A O B D E P C 1 2 注意:1.在应用定理时,要写出点的位置和两组垂直,再得出相等的结论. 2.性质定理主要是用角的相等关系来证明线段的相等关系. 判断题下列说法是否正确: (1)∵ AD平分∠BAC (已知), ∴ BD = DC ( ). (2)∵ DC⊥AC于C,DB⊥AB于B (已知) , ∴ BD = DC ( ). (3)∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC于C ,DB⊥AB于B (已知), ∴ BD = DC ( ) . √ A D C B A D C B A D C B 试一试 1.如图,AD,AE分别是 ABC中∠A的内角平分线和外角平分线,它们有 什么关系? 随堂练习 解:AD ⊥ AE. 证明:∵AD,AE分别平分∠BAC和∠CAF, ∴∠CAD = ∠BAC,∠CAE = ∠CAF. ∴∠CAD +∠CAE = ∠BAC+ ∠CAF, = (∠BAC+∠CAF), = 180 , =90 . ∴∠DAE = 90 . 即 AD ⊥ AE . 定理:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 逆命题: 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 条件 结论 这个命题是假命题.如图,当点P在∠AOB的 外部时,虽然也满足“到角的两边距离相等” 的条件,但点P并不在这个角的平分线上. 探一探 角平分线上点的位置的确定 你能写出这个定理的逆命题吗? 这个命题是真命题吗? A O B P E F 增加什么条件,能让这 个命题成为真命题呢? 求证:在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. 已知:如图,点P为∠AOB内一点,PD丄OA, PE丄OB,垂足分别为D,E, 且PD = PE. 求证:OP平分∠AOB. 探一探 角平分线上点的位置的确定 A O B D E P C 1 2 证明:∵PD⊥OA ,PE⊥OB,垂足分别为D,E, ∴∠ODP = ∠OEP = 90 . ∵PD = PE ,OP = OP , ∴Rt DOP ≌ Rt EOP (HL). ∴∠1=∠2 (全等三角形的对应角相等). ∴OP平分∠AOB. 几何语言 ∵点P为∠AOB内一点,PD丄OA于D,PE丄OB于E,PD=PE , ∴OP平分∠AOB. 学一学 角平分线判定定理: 在一个角的内部,到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上. A O B D E P C (即射线OP为∠AOB的角平分线). 注意:判定定理主要是用线段的相等关系来证明角的相等关系. 随堂练习 2.如图,一目标在A区,到公路、铁路距离相等,离公路与铁路交叉处 500m,在图上标出它的位置(比例尺1:20 000). 解:设铁路为直线OM,公路为直线ON,目标为点P. N M O ∵点P到公路、铁路距离相等,且位于A区, ∴点P在∠MON的角平分线上. B ∵500 20 000 = 0.025m = 2.5cm, ∴在射线OB上截取OP = 2.5cm, 作∠MON的角平分线OB. P 则点P即为所求作的目标位置. 例题学习 在 ABC中,∠BAC = 60 ,点D在BC上,AD = 10,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为 E,F,且DE = DF,求DE的长. 例1 10 30 解:∵DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F,且DE = DF, ∴AD平分∠BAC(在一个角的内部,到角的两边 距离相等的点在这个角的平分线上). 又∵∠BAC = 60 , ∴∠BAD = 30 . 在Rt ADE中,∠AED = 90 ,AD=10, ∴DE = AD = 10 = 5 .(在直角三角 形中,如果一个锐角等于30 ,那么 它所对的直角边等于斜边的一半). 1.利用尺规作一个三角形三个内角的平分线,你发现了什么? 习题1.9 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 P P P 发现:三角形三个内角的平分线交于三角形内部一点, 并且这一点到三条边的距离相等. 习题1.9 2.已知:如图,在 ABC中,AD是它的角平分线,且BD = CD,DE⊥AB, DF⊥AC,垂足分别为E,F. 求证:EB = FC. 证明:∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F. ∴DE = DF ,∠BED = ∠CFD = 90 . 在Rt BED和Rt CFD中, ∵BD = CD , DE = DF , ∴Rt BED ≌ Rt CFD (HL) . ∴EB = FC. 习题1.9 3.如图,在 ABC中,∠C = 90 ,∠A=30 ,作AB的垂直平分线,交AB 于点D,交AC于点E,连接BE,则BE平分∠ABC.请证明这一结论.你有几 种证明方法? 30 30 30 【方法一】 证明:∵ED垂直平分AB, ∴EB = EA , ∴∠ABE = ∠A = 30 . ∵∠C = 90 , ∴∠ABC = 90 -30 = 60 . ∵∠ABE = 30 , ∴∠CBE = 60 -30 = 30 . ∴∠CBE = ∠ABE. 即BE平分∠ABC. 习题1.9 3.如图,在 ABC中,∠C = 90 ,∠A=30 ,作AB的垂直平分线,交AB 于点D,交AC于点E,连接BE,则BE平分∠ABC.请证明这一结论.你有几 种证明方法? 【方法二】 30 证明:在 ABC中,∵∠C = 90 ,∠A=30 , ∴BC = AB . ∵ED垂直平分AB , ∴BD = AD = AB ,∠BDE = 90 . ∴BC = BD . 在Rt BCE和Rt BDE中, ∵BC = BD , BE = BE , ∴Rt BCE ≌ Rt BDE (HL) . ∴∠CBE = ∠DBE. 即BE平分∠ABC. 习题1.9 4.如图,在∠AOB内部求作一点P,使PC = PD,并且点P到∠AOB两边的 距离相等. 作法: 1.连接CD,作线段CD的垂直平分线 l . l 2.作∠AOB的角平分线OM,交直线 l 于点P. M P 点P即为所求作的点. 课堂小结 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 角平分线判定定理 在一个角形内部,到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上. 角平分线性质定理 定理的实际应用与作图 1.如图,Rt ABC中,∠C = 90 ,∠ABC的平分线BD交AC于点D,若CD = 3cm, 则点D到AB的距离DE长度是( ) A.5 cm B.4 cm C.3 cm D.2 cm 随堂检测 C 2.如图, DE⊥AB, DF⊥BC, 垂足分别是E,F, DE = DF, ∠EDB= 60 , ED = ,则∠EBF = ,BE = . 60 3 A B C D E F 60 3.已知:如图,BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E,BF和CE相交于点D,BE = CF. 求证:AD平分∠BAC. 随堂检测 证明:∵BF⊥AC于点F,CE⊥AB于点E, ∴∠BED = ∠CFD = 90 . ∵∠BDE = ∠ CDF , BE = CF , ∴ BDE ≌ CDF (AAS). ∴DE = DF . ∵DE⊥AB于点E,DF⊥AC于点F, ∴AD平分∠BAC. 作 业 教材34页 第11题 再 见 EVCapture4.1.8软件录制 Lavf57.25.100 本视频由湖南一唯信息科技开发的EV录屏软件录制,www.ieway.cn $$