第十三章 轴对称（单元重点综合测试，人教版）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（湖南专用）

第十三章 轴对称（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列图形中，属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）如图，和关于直线对称，下列结论中，正确的有（   ） ①；②；③直线垂直平分；④直线平分． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 3．（本题3分）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 4．（本题3分）如图，在中，，、分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 5．（本题3分）如图，长方形纸带中，，将纸带沿折叠，两点分别落在处若则的大小是（　　） A． B． C． D． 6．（本题3分）明堂位于隋唐洛阳城中轴建筑群中制高点，共分三层，下方上圆，分别对应四时、十二时辰和二十四节气，开创了明堂建筑由方到圆的先河，其形制及理念为后世所延用．如图所示，明堂的顶端可以近似看作是等腰，其中，是边上的中线，已知，则以下结论：①；②；③，；④其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①② 7．（本题3分）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．（本题3分）如图，在中，，，以为圆心、任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以、为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，给出下列说法：①是的平分线：②；③点在的垂直平分线上；④点是线段的中点． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 10．（本题3分）如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．有以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）镜子里写着则实际数字为 ． 12．（本题3分）已知点和和关于轴对称，则的值为 ． 13．（本题3分）如图，在中，，，，的垂直平分线交于，交于，的垂直平分线交于，交于，则的长为 ． 14．（本题3分）如图，平分， ，，于点D，，则的面积是= ． 15．（本题3分）已知等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的腰长为 cm． 16．（本题3分）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点．过点作于点．下列四个结论：①；②；③若三点共线时，；④，；其中正确结论的序号为 ． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题6分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格子上） (1)在图中作出关于直线l对称的（A与，B与，C与对应）； (2)在直线l对上找一个点P，使最短； (3)在（1）问的结果下，连接，，求四边形的面积． 18．（本题6分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求∠A，∠ADB的度数． 19．（本题6分）已知：如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC． 试判断AB与AC的大小关系，并说明理由． 20．（本题8分）如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点，点D在边CB的延长线上，且ED＝EC． (1)当点E为AB的中点时，则有AE DB（填“＞”“＜”或“＝”）； (2)猜想AE与DB的数量关系，并证明你的猜想． 21．（本题8分）如图，在锐角△ABC中，BE，CF是高，点M，N分别为BC，EF的中点，求证：MN⊥EF. 22．（本题9分）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分别是这两个等腰三角形的底边，且∠BAC=∠DAE． （1）求证：BD=CE； （2）连接DC．如果CD=CE，试说明直线AD垂直平分线段BC． 23．（本题9分）如图，点是等边内一点，，．将绕点顺时针旋转得，连接． 求证：是等边三角形； 当，，时，求的长； 探究：当为多少度时，是等腰三角形． 24．（本题10分）如图，已知AE⊥FE，垂足为E，且E是DC的中点． (1)如图①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为C，D，且AD＝DC，判断AE是∠FAD的角平分线吗？(不必说明理由) (2)如图②，如果(1)中的条件“AD＝DC”去掉，其余条件不变，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由； (3)如图③，如果(1)中的条件改为“AD∥FC”，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由． 25．（本题10分）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，    （1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=　 　；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=　 　；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=　 　； （2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=　 　（用含α的式子表示）； （3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十三章 轴对称（单元重点综合测试） （考试时间：120分钟；满分：120分） 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．（本题3分）下列图形中，属于轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形．熟练掌握轴对称图形的定义，是解题的关键．沿某条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合的图形就是轴对称图形． 根据轴对称图形的定义，逐一判断，即得． 【详解】 A. ，不是轴对称图形； B. ，不是轴对称图形； C. ，不是轴对称图形； D. ，是轴对称图形． 故选：D． 2．（本题3分）如图，和关于直线对称，下列结论中，正确的有（   ） ①；②；③直线垂直平分；④直线平分． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题考查成轴对称，根据成轴对称的两个图形全等，对应边相等，对应角相等，对称轴垂直平分对应点所连线段，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵和关于直线对称， ∴，，直线垂直平分，， ∴直线平分， 综上，正确的有①②③； 故选A． 3．（本题3分）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的球袋是（　　） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】本题考查了生活中的轴对称现象，利用轴对称的性质是解题的关键. 根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【详解】解：如图所示，根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 该球最后落入2号袋． 故选：B． 4．（本题3分）如图，在中，，、分别是的中线和角平分线．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理以及角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质及角平分线的定义是解题的关键．根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理求出，最后根据角平分线的定义计算即可． 【详解】解：∵，是的中线，且， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 故选：B． 5．（本题3分）如图，长方形纸带中，，将纸带沿折叠，两点分别落在处若则的大小是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平行线的性质，折叠性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算．根据可知，由折叠知，再由平角的定义可求出． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠知， ∴． 故选：B． 6．（本题3分）明堂位于隋唐洛阳城中轴建筑群中制高点，共分三层，下方上圆，分别对应四时、十二时辰和二十四节气，开创了明堂建筑由方到圆的先河，其形制及理念为后世所延用．如图所示，明堂的顶端可以近似看作是等腰，其中，是边上的中线，已知，则以下结论：①；②；③，；④其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①②③④ D．①② 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，根据等腰三角形的性质得出，，，，进而直接判断③和④，根据直角三角形的两个锐角互余判断①，进而根据证明，即可判断②，即可求解． 【详解】解：∵，是边上的中线， ∴，，，，故③④正确 ∵， ∴，故①正确 在中， ， ∴，故②正确 故选：C． 7．（本题3分）如图，L是一段平直的铁轨，某天小明站在距离铁轨80米的A处，他发现一列火车从左向右自远方驶来，已知火车长150米，设火车的车头为B点，车尾为C点，小明站着不动，则从小明发现火车到火车远离他而去的过程中，以A、B、C三点为顶点的三角形是等腰三角形的时刻共有（  ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，熟练掌握等腰三角形的判定是解题的关键； 在火车自左向右运动的过程中，车长可以是腰，也可以是底边，分别判断即可． 【详解】解：当车长为底时， ， 是等腰三角形是； 当车长为腰时， ，，，， ，，，是等腰三角形， 故得到的等腰三角形共有5个． 故选：D． 8．（本题3分）如图，在中，，，以为圆心、任意长为半径画弧分别交，于点和，再分别以、为圆心，大于的长的一半为半径画弧，两弧交于点，连接并延长交于点，给出下列说法：①是的平分线：②；③点在的垂直平分线上；④点是线段的中点． 其中正确的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本作图可判断①；利用角平分线的定义计算出，可得的度数，可判断②；由得到，根据线段垂直平分线的判定可判断③；根据直角三角形中斜边长大于直角边长可得，可判断④． 【详解】解：由作图可知：是的平分线，故说法①正确； ∵中，，， ∴， ∴， ∴，故说法②正确； ∵， ∴， ∴点在的垂直平分线上，故说法③正确； ∵在中，， ∴为直角三角形， ∴， ∴， ∴点不是线段的中点，故说法④错误， 综上所述，正确的有①②③，共个， 故选：C． 【点睛】本题考查作图—基本作图，角平分线的定义，三角形外角的定义及性质，等角对等边，垂直平分线的判定，熟知角平分线的作法是解题的关键． 9．（本题3分）如图，已知，，点、、…在射线上，点、、在射线上，、、、均为等边三角形，若，则的边长为（    ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【分析】此题考查等边三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ， ，， ， ，，， 以此类推：的边长为， 的边长为：． 故选：C． 10．（本题3分）如图，已知和都是等边三角形，且A、C、E三点共线，与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接．有以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤．其中正确结论的个数是（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形判定和的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 由等边三角形的性质，证，即可判断①结论；根据三角形外角的性质，即可判断②结论；证明，即可判断③结论；根据全等三角形的性质，结合等边三角形的判定，即可判断④结论：根据等边三角形的性质，即可判断⑤结论； 【详解】解：和都是等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，故①正确； ，， ， ，故②正确； ， ， ， 在和中 ， ，故③正确； ， ， 是等边三角形，故④正确； 。 由于题目中给出的条件不足，不能证明Q是中点，故不能证明，故⑤错误 故正确的有①②③④共4个， 故选：C. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）请把答案直接填写在横线上 11．（本题3分）镜子里写着则实际数字为 ． 【答案】50281 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，解决此类题应认真观察，注意技巧． 【详解】解：根据镜面对称的性质，将“18502”按轴对称左右颠倒，即可得“50281”， 故答案为：50281． 12．（本题3分）已知点和和关于轴对称，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系； 根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数，先求得，的值，再求代数式的值即可． 【详解】解：依题意，， 解得：， 则， 故答案为． 13．（本题3分）如图，在中，，，，的垂直平分线交于，交于，的垂直平分线交于，交于，则的长为 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．连接、，根据线段的垂直平分线的性质证明，得到，同理，，得到，得到答案． 【详解】解：如图，连接、， ，， ， 是的垂直平分线， ， ， ， 同理，， 是等边三角形， ， 故答案为：2． 14．（本题3分）如图，平分， ，，于点D，，则的面积是= ． 【答案】 【分析】本题主要考查平行线的性质、等腰三角形的判定及含30度直角三角形的性质，熟练掌握平行线的性质、等腰三角形的判定及含30度直角三角形的性质是解题的关键；过点P作于点E，由题意易得，，然后根据三角形面积公式可进行求解． 【详解】解：过点P作于点E，如图所示： ∵平分， ，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 15．（本题3分）已知等腰三角形的底边长为10cm，一腰上的中线把三角形的周长分为两部分，其中一部分比另一部分长5cm，那么这个三角形的腰长为 cm． 【答案】15 【详解】根据题意设等腰三角形的腰长x厘米，有两种情况：当上边部分比下边部分大时，列出方程：（x+） —（10+）=5 ，解得x=15；当上边部分比下边部分小时，列出方程： （10+）—（x+）=5，解得x=5，又因5+5=10，不符合三角形的三边关系，所以该等腰三角形的腰长为15cm． 点睛：本题主要考查了等腰三角形的计算，分两种情况讨论是解题的关键，同时要考虑求出的腰长必须满足三角形的三边关系． 16．（本题3分）如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点．过点作于点．下列四个结论：①；②；③若三点共线时，；④，；其中正确结论的序号为 ． 【答案】①③④ 【分析】根据题意，在中，和的平分线相交于点，根据角平分线的定义与三角形内角和定理，即可求得②错误；由平行线的性质和角平分线的定义得出和是等腰三角形得出故①正确；由角平分线的性质得出点到各边的距离相等，故③正确；由角平分线定理与三角形面积的求解方法，即可求得③设，，则，故④正确． 【详解】解：在中，和的平分线相交于点， ∴，，， ∴， ∴，故②错误； 在中，和的平分线相交于点， ∴，∠， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 过点作于，作于，连接， 在中，和的平分线相交于点， ∴， ∴，故④正确； 在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O， ∴点到各边的距离相等，故③正确． 故答案为：①③④． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，角平分线的定义及性质定理，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握角平分线的定义及性质定理，等腰三角形的判定和性质是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题6分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格子上） (1)在图中作出关于直线l对称的（A与，B与，C与对应）； (2)在直线l对上找一个点P，使最短； (3)在（1）问的结果下，连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)12 【分析】本题考查轴对称作图，利用成轴对称的性质求解： （1）根据成轴对称的性质，作图即可； （2）利用成轴对称的性质求解即可． （3）根据梯形面积公式求解即可； 【详解】（1）解：如图，是关于直线l的对称图形． （2）解：如图，点P就是求作的点； ，此时最小． （3）解：由图可知，四边形是等腰梯形，，，高， ∴． 18．（本题6分）如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求∠A，∠ADB的度数． 【答案】∠A=36°,∠ADB=108° 【详解】试题分析：根据等边对等角可得∠ABC=∠C，∠A=∠ABD，∠C=∠BDC，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可． 试题解析： ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C， ∵BD=BC=AD， ∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC， 在△ABD中，∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A， 在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴∠A+2∠A+2∠A=180°， 解得∠A=36°， ∴∠ADB=180°-∠A-∠ABD=180°-36°-36°=108°． 19．（本题6分）已知：如图，在△ABC中，D为BC上的一点，AD平分∠EDC，且∠E=∠B，DE=DC． 试判断AB与AC的大小关系，并说明理由． 【答案】AB=AC，理由见解析. 【分析】利用SAS定理证明△ADE≌△ADC，根据全等三角形的性质得到∠E=∠C，根据题意得到∠B=∠C，根据等角对等边得到结论． 【详解】解：AB=AC．理由如下： ∵AD平分∠EDC， ∴∠ADE=∠ADC． 在△ADE和△ADC中， ， ∴△ADE≌△ADC， ∴∠E=∠C． ∵∠E=∠B， ∴∠B=∠C， ∴AB=AC． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定以及全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 20．（本题8分）如图，在等边△ABC中，点E为边AB上任意一点，点D在边CB的延长线上，且ED＝EC． (1)当点E为AB的中点时，则有AE DB（填“＞”“＜”或“＝”）； (2)猜想AE与DB的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)＝ (2)AE＝DB，证明见解析 【分析】（1）由△ABC是等边三角形，得到∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC，由三线合一得到AE＝BE，∠BCE=∠ACB＝30°，由ED=EC，得∠D=∠BCE=30°，由外角的性质得到∠BED=30°，得到∠D=∠BED，则BD=BE，证得AE＝DB； （2）过E作EFBC交AC于F，先证明△AEF是等边三角形，得到AE＝EF＝AF，再用AAS证明△DEB≌△ECF，得到BD＝EF＝AE，进而证得猜想 【详解】（1）解：∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝60°，AB＝AC＝BC． ∵E为AB的中点， ∴AE＝BE，∠BCE=∠ACB＝30°， ∵ED=EC， ∴△CDE是等腰三角形， ∴∠D=∠BCE=30°， ∵∠ABC＝∠D＋∠BED， ∴∠BED=30°， ∴∠D=∠BED， ∴BD=BE， ∴AE＝DB． 故答案为：＝ （2）解：猜想AE＝DB，理由如下： 如图，过E作EFBC交AC于F， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，AB＝AC＝BC． ∴∠AEF＝∠ABC＝60°，∠AFE＝∠ACB＝60°， ∴∠AEF＝∠AFE＝∠A＝60°． ∴△AEF是等边三角形． ∴AE＝EF＝AF． ∵∠ABC＝∠ACB＝∠AFE＝60°， ∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∠D＋∠BED＝∠FCE＋∠ECD＝60°． ∵DE＝EC， ∴∠D＝∠ECD． ∴∠BED＝∠FCE． 在△DEB和△ECF中， ∴△DEB≌△ECF(AAS)． ∴BD＝EF＝AE， 即AE＝DB． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质等知识，在等边三角形中通过作平行线构造全等三角形是解题的关键． 21．（本题8分）如图，在锐角△ABC中，BE，CF是高，点M，N分别为BC，EF的中点，求证：MN⊥EF. 【答案】见解析 【详解】试题分析：找到图中直角三角形和斜边上的中线，得到等腰，即可解答． 试题解析：证明：连接ME，MF. 则有(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半). ∴ME=MF. 又∵N为EF中点， ∴MN⊥EF. 22．（本题9分）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分别是这两个等腰三角形的底边，且∠BAC=∠DAE． （1）求证：BD=CE； （2）连接DC．如果CD=CE，试说明直线AD垂直平分线段BC． 【答案】(1)证明见解析；（2）说明见解析. 【详解】分析：（1）由△ABC和△ADE都是等腰三角形且∠BAC=∠DAE知AB=AC、AD=AE、∠BAD=∠CAE，证△ABD≌△ACE即可得证；     （2）由（1）知BD=CE，结合CD=CE知CD=BD，据此可得点D在BC的中垂线上，根据AB=AC知点A在BC的中垂线上，从而得出AD垂直平分线段BC． 详解：（1）∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，且∠BAC=∠DAE，∴AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE． 在△ABD和△ACE中，     ∵，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD=CE．     （2）由（1）知△ABD≌△ACE，∴BD=CE．     ∵CD=CE，∴CD=BD，∴点D在BC的中垂线上．     ∵AB=AC，∴点A在BC的中垂线上，∴AD垂直平分线段BC． 点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质与全等三角形的判定和性质、线段的中垂线的性质． 23．（本题9分）如图，点是等边内一点，，．将绕点顺时针旋转得，连接． 求证：是等边三角形； 当，，时，求的长； 探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】证明见解析；；、或． 【分析】由旋转的性质可以知道，，可判断是等边三角形； 由可知，当时，，可判断为直角三角形； 根据是等腰三角形，推出两腰相等，分三种情况进行讨论，利用旋转和全等的性质即可得出答案. 【详解】∵将绕点按顺时针方向旋转得， ∴，， ∴． ∴是等边三角形； ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，又， ∴， ∴为直角三角形． 又，，∴， ∴； 若是等腰三角形， 所以分三种情况：①②③， ∵，， ∴， 而， 由①可得， 求得； 由②可得 求得； 由③可得， 求得； 综上可知、或． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰（边）三角形的判定与性质，掌握图形的关系是解题的关键. 24．（本题10分）如图，已知AE⊥FE，垂足为E，且E是DC的中点． (1)如图①，如果FC⊥DC，AD⊥DC，垂足分别为C，D，且AD＝DC，判断AE是∠FAD的角平分线吗？(不必说明理由) (2)如图②，如果(1)中的条件“AD＝DC”去掉，其余条件不变，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由； (3)如图③，如果(1)中的条件改为“AD∥FC”，(1)中的结论仍成立吗？请说明理由． 【答案】(1)AE是∠FAD的角平分线 (2)成立，理由见解析 (3)成立，理由见解析 【分析】见详解 【详解】（1）解：AE是∠FAD的角平分线； （2）解：成立，如图，延长FE交AD于点B， ∵E是DC的中点， ∴EC=ED， ∵FC⊥DC，AD⊥DC， ∴∠FCE=∠EDB=90°， 在△FCE和△BDE中， , ∴△FCE≌△BDE， ∴EF=EB， ∵AE⊥FE， ∴AF=AB， ∴AE是∠FAD的角平分线； （3）解：成立，如图，延长FE交AD于点B， ∵AD=DC， ∴∠FCE=∠EDB， 在△FCE和△BDE中， , ∴△FCE≌△BDE， ∴EF=EB， ∵AE⊥FE， ∴AF=AB， ∴AE是∠FAD的角平分线. 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、线段的垂直平分线的性质以及等腰三角形三线合一的性质，延长FE交AD于点B，发现△FCE与△BDE一定全等是解决问题的关键. 25．（本题10分）已知点C为线段AB上一点，分别以AC、BC为边在线段AB同侧作△ACD和△BCE，且CA=CD，CB=CE，∠ACD=∠BCE，直线AE与BD交于点F，    （1）如图1，若∠ACD=60°，则∠AFB=　 　；如图2，若∠ACD=90°，则∠AFB=　 　；如图3，若∠ACD=120°，则∠AFB=　 　； （2）如图4，若∠ACD=α，则∠AFB=　 　（用含α的式子表示）； （3）将图4中的△ACD绕点C顺时针旋转任意角度（交点F至少在BD、AE中的一条线段上），变成如图5所示的情形，若∠ACD=α，则∠AFB与α的有何数量关系？并给予证明． 【答案】（1）120°，90°，60°；（2）180°﹣α；（3）∠AFB=180°﹣α,证明详见解析. 【分析】（1）如图1，证明△ACE≌△DCB，根据全等三角形的性质可得∠EAC=∠BDC，再根据∠AFB是△ADF的外角求出其度数即可；如图2，证明△ACE≌△DCB，得出∠AEC=∠DBC，又有∠FDE=∠CDB，进而得出∠AFB=90°；如图3，证明△ACE≌△DCB，得出∠EAC=∠BDC，又有∠BDC+∠FBA=180°-∠DCB得到∠FAB+∠FBA=120°，进而求出∠AFB=60°；（2）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，再由三角形的内角和定理得∠CAE=∠CDB，从而得出∠DFA=∠ACD，得到结论∠AFB=180°-α；（3）由∠ACD=∠BCE得到∠ACE=∠DCB，通过证明△ACE≌△DCB得∠CBD=∠CEA，由三角形内角和定理得到结论∠AFB=180°-α． 【详解】解：（1）如图1，CA=CD，∠ACD=60°， 所以△ACD是等边三角形． ∵CB=CE，∠ACD=∠BCE=60°， 所以△ECB是等边三角形． ∵AC=DC，∠ACE=∠ACD+∠DCE，∠BCD=∠BCE+∠DCE， 又∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACE=∠BCD． ∵AC=DC，CE=BC， ∴△ACE≌△DCB． ∴∠EAC=∠BDC． ∠AFB是△ADF的外角． ∴∠AFB=∠ADF+∠FAD=∠ADC+∠CDB+∠FAD=∠ADC+∠EAC+∠FAD=∠ADC+∠DAC=120°． 如图2，∵AC=CD，∠ACE=∠DCB=90°，EC=CB， ∴△ACE≌△DCB． ∴∠AEC=∠DBC， 又∵∠FDE=∠CDB，∠DCB=90°， ∴∠EFD=90°． ∴∠AFB=90°． 如图3，∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACD﹣∠DCE=∠BCE﹣∠DCE． ∴∠ACE=∠DCB． 又∵CA=CD，CE=CB， ∴△ACE≌△DCB． ∴∠EAC=∠BDC． ∵∠BDC+∠FBA=180°﹣∠DCB=180°﹣（180﹣∠ACD）=120°， ∴∠FAB+∠FBA=120°． ∴∠AFB=60°． 故填120°，90°，60°． （2）∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE． ∴∠ACE=∠DCB． ∴∠CAE=∠CDB． ∴∠DFA=∠ACD． ∴∠AFB=180°﹣∠DFA=180°﹣∠ACD=180°﹣α． （3）∠AFB=180°﹣α； 证明：∵∠ACD=∠BCE=α，则∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE， 即∠ACE=∠DCB． 在△ACE和△DCB中  ， 则△ACE≌△DCB（SAS）． 则∠CBD=∠CEA，由三角形内角和知∠EFB=∠ECB=α． ∠AFB=180°﹣∠EFB=180°﹣α． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、三角形的外角性质及三角形的内角和定理，熟练运用三角形全等的判定方法证明三角形全等，利用全等三角形的性质解决问题是解决这类题目的基本思路． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！18 学科网（北京）股份有限公司 $$