精品解析：江苏省泰州中学2024-2025学年高一上学期11月期中考试数学试题

江苏省泰州中学2024－2025学年度第一学期期中考试 高一数学试题 (考试时间：120分钟；总分：150分) 命题人：孙娟 审题人：陈莉 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项将合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入，若该高校2023年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（ ）（参考数据：，，） A. 2025年 B. 2026年 C. 2027年 D. 2028年 5. 已知,,且,则的最小值为( ) A. B. C. D. 6. 若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 8. 已知函数，是定义在上的函数，其中是偶函数，是奇函数，且，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知，，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 当， 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，为偶函数 B. 存在实数，使得为奇函数 C. 当时，取得最小值 D. 当时，方程可能有三个实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象如图所示，则________ 13. 设，且，则________ 14. 是定义在上的奇函数，且当时，．若在上有最大值，则实数的取值范围为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）. 16. 已知，． （1）若，求； （2）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答． 问题：若__________，求实数的取值范围． 17. 如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设米． （1）要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内； （2）要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？ 18. 设函数. （1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围； （2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式：. 19. 黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在上，． （1）请用描述法写出满足方程的解集；（直接写出答案即可） （2）解不等式； （3）探究是否存在非零实数，使得为偶函数？若存在，求k，b应满足的条件；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省泰州中学2024－2025学年度第一学期期中考试 高一数学试题 (考试时间：120分钟；总分：150分) 命题人：孙娟 审题人：陈莉 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项将合题目要求. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元一次不等式写出集合，根据交集的定义，可得答案. 【详解】因为，，所以． 故选：B. 2. 已知命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为特称量词命题判断即可. 【详解】解：命题，为全称量词命题， 其否定为：，. 故选：D 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用作差法，得出的等价条件，再分析充分性和必要性，即可得出结论. 【详解】由于，则成立，等价于成立， 充分性：若，且，则，则， 所以成立，满足充分性； 必要性：若，则成立， 其中，且， 则可得成立，即成立，满足必要性； 故选：C. 4. 某高校为提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入，若该高校2023年全年投入科研经费1300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长，则该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元的年份是（ ）（参考数据：，，） A. 2025年 B. 2026年 C. 2027年 D. 2028年 【答案】C 【解析】 【分析】取2024年是第1年，根据题意得第n年该高校全年投入的科研经费，根据条件列出不等式，解得n的范围即可． 【详解】取2024年是第1年，根据题意得第n年该高校全年投入的科研经费为， 令，即，即， 两边取对数可得：，即， 则， 则第4年，即2027年该高校全年投入的科研经费开始超过2000万元． 故选：C． 5. 已知,,且,则的最小值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】因为,利用基本不等式,注意等号成立的条件,即可求得答案. 【详解】 当且仅当,取等号,即,结合, 可得时,取得最小值． 故选:A. 【点睛】本题主要考查了根据均值不等式最值,解题关键是灵活使用均值不等式,注意等号验证,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 6. 若函数的值域为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对分两种情况讨论，分别根据一次函数、二次函数的性质，结合值域求参数取值范围即可. 【详解】①时，，值域为，满足题意； ②时，若的值域为， 则，解得， 综上，. 故选：C. 7. 已知奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则的值为（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的概念求解. 【详解】∵奇函数，∴，则，即， ∵为偶函数，∴， ∴，， ∴，，则， 故选：A. 8. 已知函数，是定义在上的函数，其中是偶函数，是奇函数，且，若对于任意，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数的奇偶性求出，再结合恒成立的不等式分离参数求出范围. 【详解】函数，分别是上偶函数，奇函数，由， 得，即， 解得，对于任意，， 则，而，，因此， 所以实数的取值范围是. 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 已知，，，则下列说法中正确的是（ ） A. B. ， C. ， D. ， 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据不等式的性质及幂函数的单调性判断ABC；及特值法判断D. 【详解】对于A，当时，；当时，，则， 综上，，故A正确； 对于B，，，故B正确； 对于C，∵是上的增函数，∴， 又，∴，即，故C正确； 对于D，取，满足，，但，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 当， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，逐项分析即得. 【详解】因为， 所以，即，故A正确； 所以，，故B错误； 所以，故C正确； 当时，，所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 当时，为偶函数 B. 存在实数，使得为奇函数 C. 当时，取得最小值 D. 当时，方程可能有三个实数根 【答案】AC 【解析】 【分析】考虑a是否等于零，即可研究奇偶性判断A和B；将函数写成分段函数，结合 二次函数的性质即可求其最小值、研究根的情况，判断C和D，即可解答． 【详解】函数定义域为． 当时，， ， 则为偶函数，故A正确； 当时，，， 函数不可能为奇函数， 当时，， 则，函数不可能为奇函数， 则不存在实数，使得为奇函数，故B错误； 因为， 所以 当时，时，函数单调递增，所以最小值为， 时，函数单调递减，所以， 所以函数的最小值为，故C正确； 若时，函数在上递减，在上递增，方程最多有个根， 若时，函数在上递减，在上递增，方程最多有个根， 所以方程不可能有三个实数根，故D错误． 故选：AC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象如图所示，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的图象，直接求函数值即可. 【详解】由函数图象知，. 故答案为： 13. 设，且，则________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用对数运算法则及指数 式与对数式互化关系求出的值. 【详解】依题意，，由，得， 则，又，于是， 因此，而，所以. 故答案为： 14. 是定义在上的奇函数，且当时，．若在上有最大值，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性的性质求出的解析式，作出函数的图象，数形结合可得结果. 【详解】∵是定义在上的奇函数，∴， ∴，得， 若，则，则， 所以 作出函数的图象，如图所示． 当时，， 由图知在区间上有最大值，满足题意； 当时，，由图知在区间上无最大值，不满足题意； 当时，由图知在区间上有最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围为． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 计算下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1）3 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据对数的运算法则可得答案； （2）由指数幂的运算法则及平方和，立方差等公式计算可得答案. 【小问1详解】 【小问2详解】 16. 已知，． （1）若，求； （2）从①；②；③这三个条件中任选一个，补充在下面横线上，并进行解答． 问题：若__________，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解不等式可分别求得集合，由补集和交集定义可求得结果； （2）根据条件中的交集、并集结果都可以确定，分别在、和的情况下，根据包含关系可构造不等式求得结果. 【小问1详解】 由得：，即； 当时，由得：，即，， . 【小问2详解】 由（1）知：； 若选条件①，， 若，则，即； 当时，，不合题意； 当时，，则，解得：； 当时，，则，解得：（舍）； 综上所述：实数的取值范围为； 若选条件②，，； 当时，，不合题意； 当时，，则，解得：； 当时，，则，解得：（舍）； 综上所述：实数的取值范围为； 若选条件③，，； 当时，，不合题意； 当时，，则，解得：； 当时，，则，解得：（舍）； 综上所述：实数的取值范围为. 17. 如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过点C，已知AB长为4米，AD长为3米，设米． （1）要使矩形花坛AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内； （2）要使矩形花坛AMPN的扩建部分铺上大理石，则AN的长度是多少时，用料最省？ 【答案】（1） （2）米时，用料最省． 【解析】 【分析】（1）由，取得，得到AMPN面积等于，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）求得到扩建部分面积，令，可得，结合基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 解：由，可得，则，则， 花坛AMPN面积等于， 由题意，可得，即， 解得或，所以AN的长应在范围内. 【小问2详解】 解：根据题以，可得扩建部分面积， 令，可得， 当且仅当时，即时，等号成立，即米时，用料最省． 18. 设函数. （1）若关于的不等式有实数解，求实数的取值范围； （2）若不等式对于实数时恒成立，求实数的取值范围； （3）解关于的不等式：. 【答案】(1)；(2)； (3)当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】(1)将给定的不等式等价转化成，按与并结合二次函数的性质讨论存在实数使不等式成立即可； (2)将给定的不等式等价转化成，根据给定条件借助一次函数的性质即可作答； (3)将不等式化为，分类讨论并借助一元二次不等式的解法即可作答. 【详解】(1)依题意，有实数解，即不等式有实数解， 当时，有实数解，则， 当时，取，则成立，即有实数解，于是得， 当时，二次函数的图象开口向下，要有解，当且仅当，从而得， 综上，， 所以实数的取值范围是； (2)不等式对于实数时恒成立，即， 显然，函数在上递增，从而得，即，解得， 所以实数的取值范围是； (3) 不等式， 当时，， 当时，不等式可化为，而，解得， 当时，不等式可化为， 当，即时，， 当，即时，或， 当，即时，或， 所以，当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为， 当时，原不等式的解集为. 19. 黎曼函数是一个特殊的函数，是德国著名数学家波恩哈德·黎曼发现并提出，在数学中有广泛的应用．黎曼函数定义在上，． （1）请用描述法写出满足方程的解集；（直接写出答案即可） （2）解不等式； （3）探究是否存在非零实数，使得为偶函数？若存在，求k，b应满足的条件；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）为大于1的正整数 （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解； （2）根据黎曼函数的定义，分类讨论求解； （3）根据黎曼函数的定义，分类讨论可证得，则关于对称，即，则为偶函数，即可得解. 【小问1详解】 依题意，， 当时，，则方程无解， 当为内的无理数时，，则方程无解， 当(为既约真分数)时，则，为大于1的正整数， 则由方程，解得，为大于1的正整数， 综上，方程的解集为为大于1的正整数. 【小问2详解】 若或或为内无理数时，， 而，此时， 若(为既约真分数)，则，为大于1的正整数， 由，得，解得， 又因为(为既约真分数)，所以， 综上，不等式的解为. 【小问3详解】 存在非零实数，使得为偶函数，即为偶函数，证明如下： 当或时，有成立，满足， 当为内的无理数时，也为内的无理数，所以，满足， 当(为既约真分数)，则为既约真分数， 所以，满足， 综上，对任意，都有， 所以关于对称，即，则为偶函数， 所以，存在非零实数，使得为偶函数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $