精品解析：吉林省长春市长春汽车经济技术开发区第三中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

汽开三中2024-2025学年度上学期期中考试 高二数学学科试卷 注意事项：本试卷共2页，总分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 与双曲线有公共焦点，且长轴长为6的椭圆方程为（     ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 4. 已知椭圆，其上顶点为，左､右焦点分别为，且三角形为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（ ） A. B. C. D. 6. 过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（ ） A. B. C. D. 8. 图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该拋物线上一点，点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知曲线，，则（ ） A. 的长轴长为4 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点坐标相同 10. 已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论错误的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取得最大值时， D. 11. 过抛物线上一点作两条相互垂直的直线，与的另外两个交点分别为，则（ ） A. 的准线方程是 B. 过的焦点的最短弦长为2 C. 直线过定点 D. 若直线过点，则的面积为24 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分.） 12. 若抛物线C ：上的一点到焦点的距离为，到轴的距离为3，则___________ . 13. 公差为的等差数列的首项为，前项和为，且满足，则________． 14. 如图，我们把由半椭圆和半椭圆合成的曲线称作“果圆”．，，是相应半椭圆的焦点，则的周长为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分.其中15题满分13分，16，17题满分15分，18，19题满分17分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在等差数列中，的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值和取得最大值时的值. 16. 已知点P是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过. （1）求椭圆的标准方程； （2）若动直线l过与椭圆交于A、B两点，求的周长. 17. 已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且． （1）求抛物线的方程； （2）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程． 18. 已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为． （1）求的方程和焦点坐标； （2）设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求． 19. 已知椭圆的离心率，且点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若经过定点的直线与椭圆交于两点，记椭圆的上顶点为，当直线的斜率变化时，求面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 汽开三中2024-2025学年度上学期期中考试 高二数学学科试卷 注意事项：本试卷共2页，总分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由抛物线方程求出的值，从而可求出其焦点坐标. 【详解】由于抛物线的方程为， 所以，，则 所以抛物线的焦点坐标是， 故选：A. 2. 与双曲线有公共焦点，且长轴长为6的椭圆方程为（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求得双曲线的焦点坐标，再根据椭圆的长轴长为6求解. 【详解】解：双曲线的焦点坐标为：， 即椭圆的焦点为， 又长轴长为6，即， 所以椭圆的方程为， 故选：B 3. 在等差数列中，，，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列下标和性质计算可得. 【详解】等差数列中，，， 所以，解得. 故选：D 4. 已知椭圆，其上顶点为，左､右焦点分别为，且三角形为等边三角形，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合椭圆离心率的定义，即可求求解. 【详解】如图所示，椭圆，其上顶点为，左､右焦点分别为， 为等边三角形， 则椭圆的离心率为. 故选：A. 5. 已知圆：与圆：相内切，则与的公切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两圆的位置关系得出，进而联立两圆方程得出公切线方程. 【详解】圆：的圆心，圆：可化为 ，，则其圆心为，半径为， 因为圆与圆相内切，所以，即，故. 由，可得， 即与的公切线方程为. 故选：D 6. 过点的直线与双曲线相交于两点，若是线段的中点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用点差法求解. 【详解】解：设，则， 两式相减得直线的斜率为， 又直线过点， 所以直线的方程为， 经检验此时与双曲线有两个交点. 故选：A 7. 已知双曲线的右焦点为，点，若直线与只有一个交点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析可得直线与渐近线平行，结合平行关系运算求解. 【详解】双曲线可得，，， 所以双曲线的渐近线方程为，右焦点为， 因为直线与只有一个交点，所以直线与双曲线的渐近线平行， 所以，解得. 故选：B. 8. 图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为拋物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径，深度，信号处理中心位于焦点处，以顶点为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系，若是该拋物线上一点，点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由已知点在抛物线上，利用待定系数法求抛物线方程，结合抛物线定义求的最小值. 【详解】设抛物线的方程为，因为，，所以点在抛物线上，所以，故，所以抛物线的方程为，所以抛物线的焦点的坐标为，准线方程为，在方程中取可得，所以点在抛物线内，过点作与准线垂直，为垂足，点作与准线垂直，为垂足，则，所以，当且仅当直线与准线垂直时等号成立，所以的最小值为3， 故选：B. 二、多项选择题（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知曲线，，则（ ） A. 的长轴长为4 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点坐标相同 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆方程和双曲线方程求得a，b，c，再逐项判断. 【详解】解：因为，所以， 因为，所以， 所以的长轴长为8，故A错误； 的渐近线方程为，故B正确； 与的离心率互为倒数，故C正确； 与的焦点坐标不相同，故D错误； 故选：BC 10. 已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论错误的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当取得最大值时， D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式结合已知条件可得，，从而得且，进而可得出答案． 【详解】等差数列的前项和为， ，所以， ，所以，所以且， 所以等差数列是递减数列，且当时，取得最大值． 故D正确，ABC错误． 故选：ABC． 11. 过抛物线上一点作两条相互垂直的直线，与的另外两个交点分别为，则（ ） A. 的准线方程是 B. 过的焦点的最短弦长为2 C. 直线过定点 D. 若直线过点，则的面积为24 【答案】AC 【解析】 【分析】由题可得抛物线为，进而判断A；利用焦点弦的方程结合抛物线的定义结合条件可判断B；设直线为，联立抛物线利用韦达定理结合条件可得m、n的数量关系，可判断C；由直线过点可得直线为，进而结合点到直线的距离和弦长公式求解，进而判断D. 【详解】将代入中得，即， 则抛物线为， 所以的准线方程是，故A正确； 抛物线的焦点为，可设过的焦点的直线为， 联立，可得，设交点为， 则，， 所以，即过C的焦点的最短弦长为4，故B不正确； 设，，直线为， 联立，可得：， 所以，， 又， 所以， 因为，，即， 所以， 化简整理得， 即，得， 所以直线为， 所以直线过定点，故C正确； 若直线过点，则，即，， 所以，， 直线为，即， 所以， 点到直线的距离为， 所以，故D不正确. 故选：AC. 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分.） 12. 若抛物线C ：上的一点到焦点的距离为，到轴的距离为3，则___________ . 【答案】2 【解析】 【分析】由抛物线的定义可得，解之即可求得. 【详解】抛物线C ：上的一点到焦点的距离为， 该点到准线的距离为. 又该点到轴的距离为3， ，解之可得或， 又. 故答案为：. 13. 公差为的等差数列的首项为，前项和为，且满足，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据通项公式化简已知，结合求和公式整体代入可得. 【详解】由题知，，整理得， 所以. 故答案为： 14. 如图，我们把由半椭圆和半椭圆合成的曲线称作“果圆”．，，是相应半椭圆的焦点，则的周长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据各半椭圆方程可得，，的坐标，再根据两点间距离公式求得距离及周长. 【详解】由，是半椭圆的焦点，得，， 由是半椭圆的焦点，得， 则，， 所以的周长为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.其中15题满分13分，16，17题满分15分，18，19题满分17分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 在等差数列中，的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）求的最大值和取得最大值时的值. 【答案】（1） （2）,. 【解析】 【分析】（1）根据通项公式列方程组求出首项和公差即可得通项公式； （2）根据等差数列的求和公式，结合二次函数性质可解. 【小问1详解】 记数列的公差为，则，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以，当时，取得最大值. 16. 已知点P是椭圆上的一点，和分别为左右焦点，焦距为6，且过. （1）求椭圆的标准方程； （2）若动直线l过与椭圆交于A、B两点，求的周长. 【答案】（1） （2）20 【解析】 【分析】（1）根据焦距可求，根据所过点可求，进而得到方程； （2）利用椭圆的定义可得的周长为，代入可得答案. 【小问1详解】 设焦距为，由，得， 又椭圆过，∴， 得， ∴椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 动直线l过与椭圆交于A、B两点， ∴，， ∴， ∴的周长为20. 17. 已知抛物线的焦点为是抛物线上的点，且． （1）求抛物线的方程； （2）已知直线交抛物线于两点，且的中点为，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义求解； （2）设点代入抛物线方程，然后利用点差法求解直线的斜率，然后根据点斜式即可解得直线的方程； 【小问1详解】 因为， 所以， 故抛物线的方程为． 【小问2详解】 易知直线的斜率存在，设直线的斜率为， 则 两式相减得，整理得． 因为的中点为，所以， 所以直线的方程为，即. 18. 已知双曲线的虚轴长为2，且离心率为． （1）求的方程和焦点坐标； （2）设的右焦点为，过的直线交于两点，若中点的横坐标为3，求． 【答案】（1）方程为，左、右焦点坐标分别为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据双曲线虚轴长以及离心率联立方程组即可得出的方程； （2）联立直线与双曲线方程，由韦达定理以及弦长公式计算可得. 【小问1详解】 因为的离心率为，又的虚轴长为2，所以， 又， 联立解得，， 所以的方程为，左、右焦点坐标分别为． 【小问2详解】 由（1）知， 根据题意易得过的直线斜率存在， 设的直线方程为，如下图所示： 联立，化简得， 所以， 因为中点横坐标为3，所以， 解得，所以， 则， 则． 19. 已知椭圆的离心率，且点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）若经过定点的直线与椭圆交于两点，记椭圆的上顶点为，当直线的斜率变化时，求面积的最大值. 【答案】（1） （2）16 【解析】 【分析】根据离心率的值和定义可以求出之间的关系式，待定系数法设出椭圆方程后把已知点代入求解即可. 设出直线方程后，联立直线和椭圆方程，消元化简后，可得，利用弦长公式求出弦长，再利用点到直线距离公式求出三角形的高，的面积可用直线斜率进行表达，通过换元转化为一元二次函数，求出最值即可. 【小问1详解】 椭圆的离心率， 则，即， 所以，椭圆方程为. 将点代入方程得， 故所求方程为. 【小问2详解】 点在椭圆内，直线的斜率存在，设直线的方程为， 由得. 设，则. . 点到的距离. 令，则则. 因为，所以当时，是所求最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $