精品解析：浙江省台金七校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题

2024学年第一学期台金七校联盟期中联考 高二年级数学学科试题 命题学校：浙江省台州中学东校区 审题学校：仙居中学 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一．单选题：（本题共8小题，每题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为( ). A. B. C. D. 2. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的渐近线方程是（ ）． A. B. C. D. 4. 若直线：与：平行，则实数m等于( ). A. 1 B. 0 C. D. 1或 5. 正方体的棱长为2，是棱的中点，是棱上一点（含端点），且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 1 6. 圆与圆的公共弦所在的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为2，则的值为（ ） A. B. 3 C. 7或 D. 或3 7. 已知直线：与直线：相交于点P，若点P始终在圆内，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线（，）的左、右焦点为，，过的直线与C的左支交于P，Q两点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 二．多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的部分得分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 直线在轴的截距是 B. 直线的倾斜角为 C. 过点且倾斜角为的直线方程为 D. 过点的直线与轴，轴正半轴分别交于，两点，则（为坐标原点）面积的最小值为． 10. 在正方体中，（），则（ ） A. B. 当点Q在平面内时， C. 与平面所成角的正切值为 D. 当时，四棱锥的体积为定值 11. 已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线E交于两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（ ） A. B. 若为的中线，则 C. 存在直线使得 D. 对于任意直线1，都有 非选择题部分 三．填空题：（本题共3题，每小题5分，共15分） 12. 抛物线的焦点坐标是______. 13. 在棱长为的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为________. 14. 已知，M是椭圆上的动点，，分别是其左右焦点，则的最大值为________． 四．解答题：（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 若直线的方程为(). （1）若直线与直线m：垂直，求的值； （2）若直线在x轴上截距是y轴上截距的2倍，求该直线的方程. 16. 如图，在平行六面体中，，，， （1）求的长； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 17. 已知圆C：关于直线的对称圆的圆心为D，直线l过点． （1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程； （2）若直线l与圆D交于A，B两点，，求直线l的方程． 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，，为，中点． （1）求证：平面； （2）若（），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值； （3）在（2）的条件下，若点为直线上一点，求直线与平面所成角正弦值的最大值． 19. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础．已知椭圆（）的离心率为，且右顶点A与上顶点B的距离． （1）求椭圆C的面积； （2）若直线l交椭圆C于P，Q两点， （ⅰ）求的面积的最大值（O为坐标原点）； （ⅱ）若以P，Q为直径的圆过点A，，D为垂足．是否存在定点T，使得为定值？若存在，求点T的坐标；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期台金七校联盟期中联考 高二年级数学学科试题 命题学校：浙江省台州中学东校区 审题学校：仙居中学 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字． 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效． 4．考试结束后，只需上交答题纸． 选择题部分 一．单选题：（本题共8小题，每题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知直线经过，两点，则直线的倾斜角为( ). A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设出倾斜角，求出其正切值，即斜率，进而可得倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为，，则，. 故选：B. 2. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量共面定理逐项进行判断即可. 【详解】因为构成空间的一个基底，所以不共面， 对于A，因为，所以共面，故A错误； 对于B，因为，所以共面，故B错误； 对于C，设，则，方程组无解，所以不共面，故C正确； 对于D，因为，所以共面，故D错误； 故选：C. 3. 双曲线的渐近线方程是（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，即可求出渐近线方程． 【详解】令，解得，所以双曲线的渐近线方程是． 故选：B． 4. 若直线：与：平行，则实数m等于( ). A. 1 B. 0 C. D. 1或 【答案】C 【解析】 【分析】先判断和两种情况不符合题意，再根据计算判断即可. 【详解】直线：的斜率，：， 当时，两直线不平行；当时，两条直线不平行； 当且时，的斜率，由于，则， 解得：或，当时两直线重合，不符合题意， 时，两直线平行，故. 故选：C. 5. 正方体的棱长为2，是棱的中点，是棱上一点（含端点），且，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量数量积确定位置，再由体积公式即可求解. 【详解】如图建立空间直角坐标系： 则，设， 则：， 所以，又是棱上一点，所以， 即是棱的中点， 所以三棱锥的体积为， 故选： 6. 圆与圆的公共弦所在的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为2，则的值为（ ） A. B. 3 C. 7或 D. 或3 【答案】C 【解析】 【分析】先分析两圆的圆心和半径，列出相交需满足的条件，再求出公共弦所在直线的方程并表示出三角形面积，由此可计算出的值，注意检验. 【详解】圆的圆心为，半径， 圆，圆心为，半径， 由题意可知两圆相交，且，所以； 两圆方程作差可得，即为公共弦所在直线的方程， 令，则，令，则， 所以直线与坐标轴围成的三角形面积为， 解得或，经检验或满足条件， 故选：C. 7. 已知直线：与直线：相交于点P，若点P始终在圆内，则a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线经过定点，且垂直可判断点的轨迹为，进而利用两圆的位置关系为内含，利用圆心距和半径的关系求解. 【详解】由于：恒过定点，直线：恒过， 且两直线互相垂直， 因此在以为直径的圆上运动，故点的轨迹为(去除点)， 由于点P始终在圆内，因此内含于， 故两圆的圆心距， 解得， 故选：D 8. 双曲线（，）的左、右焦点为，，过的直线与C的左支交于P，Q两点，若，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，由双曲线的定义分别得到，再由，结合余弦定理代入计算，化为的齐次式，即可得到结果. 【详解】因为，故， 且，故，故， 根据余弦定理， ，且， 代入计算可得， 化简可得，即，解得或（舍去）. 故选：A 二．多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每个小题给出的选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的部分得分） 9. 下列命题正确的是（ ） A. 直线在轴的截距是 B. 直线的倾斜角为 C. 过点且倾斜角为的直线方程为 D. 过点的直线与轴，轴正半轴分别交于，两点，则（为坐标原点）面积的最小值为． 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线的截距、倾斜角、直线方程结合基本不等式等知识可确定正确答案. 【详解】对于A：由，令，得， 所以直线在轴的截距是，即A错误； 对于B：由，得斜率，所以倾斜角为，故B正确； 对于C：过点且倾斜角为的直线方程为，即，故C正确； 对于D：设与轴，轴的交点，， 则， ∵过点，∴， 由基本不等式得， ∴，当且仅当时，等号成立 所以，即面积的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 10. 在正方体中，（），则（ ） A. B. 当点Q在平面内时， C. 与平面所成角的正切值为 D. 当时，四棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】依题意点Q在四边形内及边界运动（不含）.对于A，通过证明线面垂直证得线线垂直得出结果；对于B，当点Q在平面内时，即点在线段上，即可直接判断结果；对于C，分析可得的大小等于与平面所成角的大小，再结合直角三角形求解即可；对于D，通过分析点到平面的距离是定值，四边形的面积为定值，得出结果. 【详解】因为在正方体中，（）， 所以，所以点在四边形内及边界运动（不含）. 对于A，因为底面，底面，所以. 又，，平面， 所以平面，平面， 所以，故A正确； 对于B，当点在平面内时，即点在线段上， 所以，无法确定，故B错误； 对于C，因为，平面，平面， 所以平面，由A知，平面， 所以的大小等于与平面所成角的大小， 即的大小等于与平面所成角的大小， 设正方体棱长为，则，， 则在中，，故C正确； 对于D，设，，连结， 当时，点在线段上运动， 因为，平面，平面， 所以平面，则点到平面的距离为定值， 而四边形的面积为定值， 所以四棱锥的体积是定值，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线E交于两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（ ） A. B. 若为的中线，则 C. 存在直线使得 D. 对于任意直线1，都有 【答案】AD 【解析】 【分析】设，不妨令,,,都在第一象限，联立抛物线，根据已知及韦达定理得，即可根据焦半径公式求解A，根据，，以及中点关系即可求解B，根据等腰直角三角形的性质可得矛盾即可求解C，根据，结合焦半径公式即可求解D. 【详解】由题意，, 设，不妨令，都在第一象限， 联立，则，且，即，则， 则直线的斜率为，因此， 当轴时，此时,此时直线的斜率为， 要使与抛物线有两个交点，则，故，A正确， 所以，，则，如图所示， 对于B：若为的中线，则，结合可得，所以，故，进而，则，故B错误； 对于C：若，过作准线的垂线，垂足为，即，即为等腰直角三角形， 此时，即,，所以， 所以，所以，所以，则此时，为同一点，不合题设，故C错误； 对于D,，而， 结合，可得，即恒成立，故D正确． 故选：AD． 非选择题部分 三．填空题：（本题共3题，每小题5分，共15分） 12. 抛物线的焦点坐标是______. 【答案】## 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程进行求解即可. 【详解】由，所以该抛物线的焦点在纵轴上，因此焦点的坐标为：， 故答案为： 13. 在棱长为的正方体中，为的中点，则点到平面的距离为________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求得平面的法向量，根据空间距离的向量求法，即可求得答案. 【详解】如图，以为坐标原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，故， ，，设平面的法向量为， 则，令，则 ， 故点到平面的距离为：. 故答案为：. 14. 已知，M是椭圆上的动点，，分别是其左右焦点，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，可得，结合椭圆的第二定义可得，进而得到，进而利用基本不等式求解即可. 【详解】由题意，要求的最大值，设， 则，即， 由，得，则， 则，，椭圆的右准线为， 则到右准线为的距离为， 根据椭圆的第二定义可知，，即， 又，， 则 ， 由于，则， 当且仅当，即时，等号成立， 则， 即的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用椭圆的第二定义得到，进而表示出，再利用基本不等式求解即可. 四．解答题：（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 若直线的方程为(). （1）若直线与直线m：垂直，求的值； （2）若直线在x轴上截距是y轴上截距的2倍，求该直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）直线与直线垂直，可得，解得； （2）分直线过坐标原点与不过坐标原点两种情况讨论求解即可. 【小问1详解】 将化为斜截式方程得， 因为直线与直线垂直，所以且， 解得； 【小问2详解】 当直线过坐标原点时，，解得，此时直线的方程为， 此时满足条件； 当直线不过坐标原点时，由于直线在两轴上截距都存在， 则且，故令得，令得， 因为直线在轴上截距是轴上截距的，所以， 解得，此时直线方程为. 综上，直线的方程为或. 16. 如图，在平行六面体中，，，， （1）求的长； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，以为基底，利用线性运算以及数量积求出，可得答案； （2）利用（1）的基底，结合数量积的运算，向量法求异面直线所成角的余弦值． 【小问1详解】 在平行六面体中，，， ，， 由得， ， 则，即的长为4. 【小问2详解】 ，， ，，， ， 设异面直线与所成角为，则. 所以异面直线与所成角的余弦值. 17. 已知圆C：关于直线的对称圆的圆心为D，直线l过点． （1）若直线l与圆C相切，求直线l的方程； （2）若直线l与圆D交于A，B两点，，求直线l的方程． 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）分类讨论直线l的斜率存在与不存在，利用圆心到直线的距离等于圆的半径计算即可； （2）由题意知直线l的斜率一定存在，设直线方程，利用点到直线的距离公式和圆的半径计算即可. 【小问1详解】 由题意可知圆C：，即， 则圆心坐标，半径， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为时，此时直线与圆相切，符合题意； 当直线l的斜率存在时，设l直线的方程为，即， 则，解得，所以l的方程为：，即. 综上所述，直线l的方程为或. 【小问2详解】 由（1）知，圆的圆心坐标，半径， 设，因为圆关于直线的对称圆的圆心为， 所以，解得，圆的圆心为，半径为1， 则圆D的方程为， 当直线斜率不存在时，直线的方程为，此时直线与圆相离，不符合题意； 当直线斜率存在时，设直线l的方程为，即， 则圆心到直线的距离， 因为直线l与圆D交于A，B两点，， 根据勾股定理可得， 即，解得或， 所以直线l的方程为或. 18. 如图，在四棱锥中，平面，底面为菱形，，，为，中点． （1）求证：平面； （2）若（），且直线与平面所成角的正弦值为，求的值； （3）在（2）的条件下，若点为直线上一点，求直线与平面所成角正弦值的最大值． 【答案】（1） 取中点，连接. 在中，因为分别为的中点， 所以，， 在菱形中，因为，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 因此. 又因为平面，平面， 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由中点还需中点帮.取中点.连接很容易得到四边形为平行四边形，再用线面平行的定理证明. （2）可以为原点建立空间直角坐标系.求出点的坐标.算出平面的法向量.用向量夹角余弦值来算直线与平面所成角的正弦值即可. （3）设，结合（2）求得坐标，代入线面夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，. 因为，所以. 在菱形中，， 因为为中点，所以. 建立如图空间直角坐标系D-xyz. 在正三角形中，.又， 所以，，， ，， 所以向量，. 设平面的法向量为，则，即. 取得,. 设直线与平面所成角为， . 可得：， 解得：，又， 所以. 【小问3详解】 设，由（2）知：，， 所以， 设直线与平面所成角为，平面的法向量为， 则， 当时，取到最大值，此时. 19. 著名古希腊数学家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了椭圆的面积公式（a，b分别为椭圆的长半轴长和短半轴长），为后续微积分的开拓奠定了基础．已知椭圆（）的离心率为，且右顶点A与上顶点B的距离． （1）求椭圆C的面积； （2）若直线l交椭圆C于P，Q两点， （ⅰ）求的面积的最大值（O为坐标原点）； （ⅱ）若以P，Q为直径的圆过点A，，D为垂足．是否存在定点T，使得为定值？若存在，求点T的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）（ⅰ）1；（ⅱ）存在定点，使得为定值 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解出的值，进而结合题意求解即可； （2）（ⅰ）分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在两种情况，结合韦达定理及基本不等式求解即可； （ⅱ）由题意可得，进而得到，分直线l的斜率不存在和直线l的斜率存在两种情况，结合（ⅰ）可得直线l恒过点，进而结合题意确定点D在以A，M为直径的圆上，取的中点，即可求解. 【小问1详解】 由题意，，解得， 所以椭圆C的方程为，则椭圆C的面积为. 【小问2详解】 （ⅰ）当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为（，且）， 则， 即， 当且仅当，即时，等号成立， 此时的面积的最大值为1； 当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，， 联立，得， 则， ， 则 ， 又点到直线l的距离为， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 此时的面积的最大值为1. 综上所述，的面积的最大值为1. （ⅱ）因为点在以P，Q为直径的圆上，所以， 因为，， 所以， 则， 当直线l的斜率存在时，由（i）知， ， 所以， 整理得，， 即，即或， 当时，直线l的方程为，过点，不符合题意； 当时，直线l的方程为，恒过点. 当直线l的斜率不存在时，，，， 由（i）知，，则， 由，得，解得或（舍去）， 所以直线l的方程为，过点. 综上所述，直线l恒过点. 因为，D为垂足，为定值， 所以点D在以A，M为直径的圆上， 取的中点，则， 所以存在定点，使得为定值. 【点睛】关键点点睛：本题第（2）（ii）关键在于根据得到直线l恒过点，进而确定定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $