精品解析：河南省九师联盟2024-2025学年高二上学期11月质量检测数学试卷

河南省九师联盟2024-2025学年高二上学期11月质量检测数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册第一章～第三章第3节. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用直线倾斜角概念即可. 【详解】直线垂直于轴，所以其倾斜角为. 故选：B. 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的渐近线方程公式，即可得到答案. 【详解】双曲线的渐近线方程是，即. 故选：A. 3. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】通过直线过原点，和不过原点两种情况讨论即可. 【详解】当直线过原点时，其方程是，符合题意; 当直线不过原点时，设直线方程为，代入， 可得：，解得：，所以方程是. 故选：C. 4. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】先根据方程表示双曲线得出或，再结合充分必要定义判断即可. 【详解】方程表示双曲线，则，解得或， 所以“”是“方程表示双曲线”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知空间向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】若，则．因为，， 所以，解得． 故选：C． 6. 已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线和椭圆的位置关系，结合图象求得的取值范围. 【详解】由两边平方得，对应图象是椭圆的上半部分， 画出半椭圆和的图象如下图所示， 设半椭圆的左右顶点为， 由两边平方并化简得， 由，解得（负根舍去）， 当过点时，， 结合图象可知，要使关于的方程有两个不相等的实数根， 则需 故选：A 7. 已知是椭圆的一个焦点，是的上顶点，的延长线交于点，若，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的定义，结合余弦定理即可求解. 【详解】取椭圆的另一个焦点为,连接， 则， 由可得， 故， 故由余弦定理可得， 化简可得，故， 故选：A 8. 已知圆，过轴上的点作直线与圆交于A，B两点，若存在直线使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】有直线过圆心时，最大，构造不等式，即可求解. 【详解】 结合图像易知对于给定的点，当直线过圆心时，最大，最小，此时有最大值，又，所以，所以，即，解得. 故选：B. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 平行六面体的底面ABCD是正方形，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 若，则点在平面内 【答案】ACD 【解析】 【分析】由平方可判断A，由空间向量线性运算可判断B，通过说明，可判断C，由四点共面可判断D. 【详解】 因为，所以 ， ，故A正确; 因为，故B错误； 因为， 所以，四边形为矩形，其面积，故C正确； 因为，由于，所以四点共面， 即在平面内，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，经过的直线与交于A，B两点（A在第一象限），D（0,1），E为上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 满足为直角三角形的点有且仅有2个 B. 过点且与有且仅有一个公共点的直线恰有3条 C. 若在直线上的射影为，则 D. 若直线的倾斜角为，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线和圆的交点个数判断A，分斜率是否存在设直线联立方程组应用判别式判断B，数形结合根据三点共线判断距离和的最小值判断C，设直线联立方程组结合焦半径公式计算判断D. 【详解】对于A，显然满足的点恰有1个，又以DF为直径的圆与抛物线在第一象限有1个交点，当时，，所以满足为直角三角形的点恰有3个，故A错误； 对于B，当直线斜率不存在时，直线方程为，与抛物线只有一个公共点； 当直线斜率存在时，设直线方程为，联立消得， 当时，方程为，此时直线与抛物线只有一个交点； 当时，则，解得. 综上所述，过点与有且仅有一个公共点的直线有3条，故B正确; 对于C，如图所示，抛物线的焦点为， 当且仅当在线段DF上时取等号，故C正确； 对于D，因为，直线的倾斜角为，则直线的方程为， 联立得，解得， 所以，则，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是抛物线定义，距离和的转化是解题的关键，的判断关键也是定义的应用. 11. 关于曲线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线围成的区域面积小于2 C. 曲线上的点到轴、轴的距离之积的最大值是 D. 曲线上的点到轴、轴的距离之和的最大值是 【答案】ABC 【解析】 【分析】代入对称点判断曲线对称判断A,找到曲线围成的面积小于围成的面积判断B,根据基本不等式得出乘积的最大值判断C,应用基本不等式求和的最大值判断D. 【详解】对于方程，以代替，同时以代替方程不变，所以曲线关于对称，故A正确； 对于B，设分别为与图象上第一象限内的点，， 则，所以在的下方， 所以曲线围成的面积小于围成的面积，围成的面积为，故B正确； 对于C，因为，等号仅当时成立， 所以曲线上的点到轴、轴的距离之积，故C正确; 对于D，因为，所以， 等号仅当时成立，所以曲线上的点到轴、轴的距离之和的最小值为，故D错误. 故选:ABC. 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量是实数，则的最小值是___________. 【答案】3 【解析】 【分析】计算出，得到，故当时，取最小值为3. 【详解】因为， 所以， 所以当时，取最小值，且最小值为3. 故答案为：3 13. 如图是正在施工建设的济新黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆悬索桥，大桥主跨长约500米，主塔的高约100米.缆悬索是以为顶点并开口向上的抛物线的一部分，则主塔顶端点到抛物线的焦点的距离为___________米. 【答案】725 【解析】 【分析】建系，得到相应抛物线方程即可求解. 【详解】以为坐标原点，过且与主塔AB平行的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则， 设抛物线的方程为，则100，解得， 所以抛物线的准线方程为. 故答案为：725 14. 设直线与圆交于A，B两点，对于任意的实数，在轴上存在定点，使得的平分线在轴上，则的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】将直线与圆的方程联立，将问题转化为，然后根据韦达定理求解. 【详解】设，由题得，即， 整理得，又， 所以，整理得， 由联立得， 所以，代入①并整理得， 此式对任意的都成立，所以. 故答案为：3 【点睛】关键点点睛：本题考查的是直线与圆的综合问题，关键是把轴是这句话转化为，进而利用韦达定理求解，在利用韦达定理的求解的过程中，运用了设而不求的思想. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，直线方程为. （1）证明：无论取何值，直线必过第三象限； （2）若点A，B到直线的距离相等，求的值. 【答案】（1） 直线的方程为，即， 所以直线过定点， 因为位于第三象限， 所以无论取何值，直线必过第三象限. （2）或. 【解析】 【分析】（1）分离参数得出直线的定点，再根据定点在第三象限即可得证； （2）法一：根据点到直线距离公式转化距离相等求解计算；法二：由距离相等得出直线平行或者过线段中点计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 法一：由点到直线的距离公式知：， 即， 所以或， 解得或. 法二：若点A、B到直线l的距离相等，则直线或直线l经过线段AB的中点， 当时，，解得， 线段AB的中点坐标为，即， 当直线经过线段AB的中点时，，解得， 综上，或. 16. 已知抛物线与圆相交于、两点，且. （1）求抛物线的方程; （2）若直线与相交于、两点，是的焦点，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对称性，设，将点的坐标代入圆的方程，求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）设、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式以及抛物线的焦半径公式可求得的周长. 【小问1详解】 因为，根据圆与抛物线的对称性，不妨设， 因为点在圆上，所以， 解得（负值舍去），所以的方程是. 【小问2详解】 由消去并整理得， 设、，则， 由韦达定理可得，， 所以， ， 所以的周长为. 17. 设，，，，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中的三个点． （1）求圆Q的方程； （2）若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）首先分析圆只能过点，，三点，再求出线段、线段的垂直平分线方程，联立求出交点坐标，即为圆心，再求出半径，即可得到圆的方程； （2）设，根据，得到，即可得到点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该可知圆与圆相交，由圆心距与半径和差的关系得到不等式组，解得即可； 【小问1详解】 若圆经过，，则圆心必在的垂直平分线上，不合题意； 又与关于轴对称，圆心在轴的正半轴上，所以圆只能过点，，三点， 因为，的中点为， 所以线段的垂直平分线的方程为，即， 又线段的垂直平分线的方程为， 联立方程组解得， 所以圆心为，半径为，所以圆的方程为． 【小问2详解】 设，因为， 所以， 化简得，所以． 则点在以为圆心，为半径的圆上，依题意该圆与圆有两个交点，即可两圆相交， 又， 则，解得． 18. 已知是椭圆上的一点，是的一个焦点，为坐标原点. （1）求的方程; （2）是上的四个点，与相交于点. ①若分别为与轴的正半轴的交点，求直线的斜率; ②若直线的斜率为，求面积的最大值，并求出此时直线的方程. 【答案】（1） （2）①；②1，或. 【解析】 【分析】（1）由，可求，再结合，求得即可求解； （2）①由点坐标求得与方程，联立椭圆方程，求得坐标即可求解； ②设由弦长公式及点到线的距离公式，表示出面积，进而可求解. 【小问1详解】 因为是椭圆上的一点，所以，即， 又，又，所以， 故的方程为 【小问2详解】 ①若A，B分别为椭圆与x，y轴的正半轴的交点，则， 则直线的方程是，即， 代入椭圆的方程，消去并整理得，解得或， 因为，所以，则，即， 直线的方程是，即， 代入椭圆的方程，消去并整理得，解得或， 因为，所以，则， 即， 所以. ② 因为直线AB的斜率为，所以可设直线AB的方程为， 代入消去并整理得， 设，则， ， 又点到直线AB的距离， 所以的面积，等号仅当，即时成立， 显然满足，所以面积的最大值是1. 此时，直线AB的方程是，即或 19. 在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以且代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比. （1）若不过原点的直线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，证明：是与平行的直线； （2）已知伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，且与轴有A，B两个交点（在的左侧），过点且斜率为的直线与在轴的右侧有，两个交点. ①求的取值范围； ②若直线的斜率分别为，证明：为定值. 【答案】（1） 证明：设不过原点的直线的方程是都是常数，且a，b不同时为， 则曲线的方程是，且，即， 因为都是常数，且a，b不同时为， 所以曲线是一条直线，且与直线平行. （2）①； ②证明：由①知或，所以， ， ， 所以为定值. 【解析】 【分析】（1）根据伸缩比的定义，计算证明即可. （2）①直曲联立，借助韦达定理计算即可；②结合①的结论，直接运算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是， 所以曲线的方程是，即. 与轴的两个交点A，B的坐标分别是， 因为直线点，斜率为，所以直线的方程为，代入， 消去并整理得， 设， 则，， 因为与在轴的右侧有两个交点， 所以，且，解得或， 所以的取值范围是. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省九师联盟2024-2025学年高二上学期11月质量检测数学试卷 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：北师大版选择性必修第一册第一章～第三章第3节. 一、选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. 0 B. C. D. 2. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程是（ ） A. B. C. 或 D. 或 4. “”是“方程表示双曲线”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知空间向量，，若，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 6 6. 已知，若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知是椭圆的一个焦点，是的上顶点，的延长线交于点，若，则的离心率是（ ） A. B. C. D. 8. 已知圆，过轴上的点作直线与圆交于A，B两点，若存在直线使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 平行六面体的底面ABCD是正方形，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 若，则点在平面内 10. 已知抛物线的焦点为，准线为，经过的直线与交于A，B两点（A在第一象限），D（0,1），E为上的动点，则下列结论正确的是（ ） A. 满足为直角三角形的点有且仅有2个 B. 过点且与有且仅有一个公共点的直线恰有3条 C. 若在直线上的射影为，则 D. 若直线的倾斜角为，则 11. 关于曲线，下列说法正确的是（ ） A. 曲线关于直线对称 B. 曲线围成的区域面积小于2 C. 曲线上的点到轴、轴的距离之积的最大值是 D. 曲线上的点到轴、轴的距离之和的最大值是 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量是实数，则的最小值是___________. 13. 如图是正在施工建设的济新黄河三峡大桥鸟瞰图，该桥是世界首座独塔地锚式回转缆悬索桥，大桥主跨长约500米，主塔的高约100米.缆悬索是以为顶点并开口向上的抛物线的一部分，则主塔顶端点到抛物线的焦点的距离为___________米. 14. 设直线与圆交于A，B两点，对于任意的实数，在轴上存在定点，使得的平分线在轴上，则的值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知点，直线方程为. （1）证明：无论取何值，直线必过第三象限； （2）若点A，B到直线的距离相等，求的值. 16. 已知抛物线与圆相交于、两点，且. （1）求抛物线的方程; （2）若直线与相交于、两点，是的焦点，求的周长. 17. 设，，，，圆Q的圆心在x轴的正半轴上，且过A，B，C，D中的三个点． （1）求圆Q的方程； （2）若圆Q上存在两个不同的点P，使得成立，求实数的取值范围． 18. 已知是椭圆上的一点，是的一个焦点，为坐标原点. （1）求的方程; （2）是上的四个点，与相交于点. ①若分别为与轴的正半轴的交点，求直线的斜率; ②若直线的斜率为，求面积的最大值，并求出此时直线的方程. 19. 在平面直角坐标系xOy中，若在曲线的方程中，以且代替得到曲线的方程，则称是由曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线，称为伸缩比. （1）若不过原点的直线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，证明：是与平行的直线； （2）已知伸缩比时，曲线通过关于原点的“伸缩变换”得到的曲线是，且与轴有A，B两个交点（在的左侧），过点且斜率为的直线与在轴的右侧有，两个交点. ①求的取值范围； ②若直线的斜率分别为，证明：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $