精品解析：安徽省卓越县中联盟&皖豫名校联盟2024-2025学年高一上学期11月期中联考数学试题

安徽卓越县中联盟&皖豫名校联盟 2024-2025学年上学期高一年级期中联考 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】修改量词，否定结论，由此得出结果. 【详解】修改量词否定结论，可得“，”， 故选：B. 2. 已知集合，，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合与集合间的关系列方程求解实数的值即可. 【详解】已知集合，，且， 所以，所以. 故选：C. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于、分式分母不为求得结果. 【详解】因为，所以， 所以定义域为， 故选：B. 4. 已知为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据“”与“”互相推出的情况判断属于何种条件. 【详解】当时，取，，但， 所以不能推出； 当时，取，，但， 所以不能推出， 所以是的既不充分也不必要条件， 故选：D. 5. 已知幂函数的图象经过点，函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. 为增函数 D. 为减函数 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂函数的定义与求解，从而可得的单调性，于是可得的单调性与奇偶性. 【详解】因为是幂函数，所以，即， 又的图象经过点，所以，解得， 所以，则为上的增函数， 则，则函数的定义域为， 所以非奇非偶函数，且为上的减函数. 故选：D. 6. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数为偶函数可得在上单调递减，则可得，于是可得的大小关系，分析选项可得答案. 【详解】因为是定义在上的偶函数，且在上单调递增， 所以在上单调递减，所以， 因为为偶函数，所以，则，即. 故选：C. 7. 已知函数在区间上的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析的函数值，结合图象确定出值域为时的范围. 【详解】因为，且， 令，解得或，作出图象如下图所示， 由图象可知，当时，若的值域为，则， 故选：C. 8. 若正数满足，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】将原等式变形后代入化简，利用基本不等式求解出最小值. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为， 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据指数幂的运算以及根式与指数的互化逐项计算并判断. 【详解】A：，故正确； B：，故错误； C：，故正确； D：，故正确； 故选：ACD. 10. 下列各组中的函数与是同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意，由同一函数的定义，对选项逐一判断，即可得到结果. 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为， 定义域不同，所以不是同一函数，故A错误； 对于B，与的定义域都是， 且，两个函数的对应法则也相同，所以是同一函数，故B正确； 对于C，两个函数的定义域都是，且对应法则也相同，所以是同一函数，故C正确； 对于D，因为，，所以不是同一函数，故D错误； 故选：BC 11. 对任意实数，定义为不大于的最大整数，如，，．设函数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】BCD 【解析】 【分析】A：取计算并判断；B：根据和分类讨论即可；C：先证明，然后计算出在给定范围下的正负即可判断；D：直接根据不等式性质进行比较. 【详解】对于A：取，则， ，所以，故A错误； 对于B：当时，，所以一定成立， 当时，，所以， 所以，成立，故B正确； 对于C：不妨设，，，则， 又，则，所以； 当时，， 所以，所以， 又因为，所以，所以，故C正确； 对于D：当时，，所以且， 所以，所以，所以，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键点有两个，一方面是理解取整函数的定义，能根据定义通过举例的方式验证所给选项；另一方面是隐含条件的证明和使用，本题中应用在C项的证明中会更方便. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则_____. 【答案】2 【解析】 【分析】由集合相等，求出a，b的值，即可得答案. 【详解】由题意，则，解得， 则，解得（不满足互异性，舍去）， 所以， 故答案为：2 13. 若函数的图象是一条连续不断的曲线，且，则______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】根据连续可得，即可代入求解. 【详解】由于的图象是一条连续不断的曲线，故，由于，故， 所以 故， 故答案为： 14. 若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为“的图象在上有唯一交点” ，然后对进行分类讨论，根据值域间的关系求解出的取值范围. 【详解】因为对任意的，总存在唯一的，使得成立， 即对任意的，方程在上有唯一解， 即对任意的，的图象在上有唯一交点； 在同一平面直角坐标系中作出的函数图象如下图， 因为的对称轴为且开口向上，所以在上单调递减， 所以，所以， 当时，，此时与在上有唯一交点，符合条件； 当时，，若满足条件只需，解得； 当时，，若满足条件只需，解得； 综上所述，的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知命题，，设为假命题时实数的取值范围为集合． （1）求集合； （2）设非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据判别式求解出为真命题时的范围，再根据补集思想求得结果； （2）分析条件得到⫋，列出不等式组求解出结果. 【小问1详解】 当为真命题时，即“，”为真命题， 所以，所以或， 所以若为假命题，则的范围是， 所以. 【小问2详解】 因为是的必要不充分条件，所以⫋， 因为时，若⫋，只需，解得， 经检验，和时满足条件， 综上所述，的取值范围是. 16. （1）计算：； （2）计算：； （3）已知，且，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）. 【解析】 【分析】根据题意，由指数幂的运算代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）原式； （2）原式； （3）由题意可知，所以， ， 因为，所以，所以， 所以. 17. 已知关于的函数． （1）若，求时的取值范围． （2）是否存在实数，满足当时，的最大值为3?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）问题转化成解一元二次不等式解决. （2）分情况讨论函数在上最大值，令最大值为3求的值. 【小问1详解】 当时，可转化为：. 所以或. 所以的取值范围是：. 【小问2详解】 函数在的最大值，可能是在行或或时取得. 若.此时为开口向上的抛物线，且，，所以满足题意. 若.此时为开口向下的抛物线，且，，对称轴为，所以满足题意； 若，解得或. 当时，，对称轴为，故不合题意. 综上可知：存在实数或，使得满足当时，的最大值为3. 18. 已知函数． （1）若为偶函数，求的值； （2）若，用定义证明在上单调递增； （3）若存在正数满足，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 当时，； ，且， 则 ， 因为，所以，，，所以， 所以，所以， 所以在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）根据化简计算出的值； （2）先设变量，然后表示出并对其进行因式分解，根据条件判断出的正负，由此可证明出单调性； （3）将问题转化为“有正数解”，通过换元法以及参变分离求解出的取值范围. 【小问1详解】 的定义域为且关于原点对称，因为为偶函数， 所以，所以， 所以，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为有正数解，所以有正数解， 所以有正数解，所以有正数解； 令，因为，由对勾函数的性质可知， 所以在上有解，所以在上有解， 令，且均在上单调递增， 所以在上单调递增，所以， 所以，所以. 19. 对于非空的有限整数集，定义，． （1）若集合，求和． （2）已知，为非空的有限整数集，且． （ⅰ）若，求集合； （ⅱ）证明：． 【答案】（1）；. （2）（ⅰ）或； （ⅱ）设，因为，所以， 又因为，所以，即， 若，则，故可以是； 若，则，故可以是，； 若，则，故可以是，； 若，则， 像这样可以得到无限个中的元素，不符合是有限集； 若，则， 同样不符合是有限集； 同理可得，当或时，也不符合是有限集； 综上，可以是，，，，， 均满足. 【解析】 【分析】（1）根据题意，由集合新定义代入计算，即可得到结果； （2）（ⅰ）根据题意，由集合新定义可得，从而可得，即可得到结果；（ⅱ）结合新定义可得，则，然后分别考虑属于时的情况，再考虑，时，由是有限集即可舍去，从而证明. 【小问1详解】 由题意可得，. 【小问2详解】 （ⅰ）设，则， 因为，所以，所以， 即，因此， 因为，所以，所以， 由此可知中至少有和两个元素，所以， 故或. （ⅱ）略 【点睛】关键点睛：本题主要考查了集合新定义问题，难度较大，解答本题的关键在于从新情境中获取信息，搭建相关的集合知识网络，将其运用到新情境中，从而求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 安徽卓越县中联盟&皖豫名校联盟 2024-2025学年上学期高一年级期中联考 数学 考生注意： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知集合，，且，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 1 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知幂函数的图象经过点，函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 为奇函数 C. 为增函数 D. 为减函数 6. 已知是定义在上的偶函数，且在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上的值域为，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若正数满足，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 7 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，则下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 下列各组中的函数与是同一个函数的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. 11. 对任意实数，定义为不大于的最大整数，如，，．设函数，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则_____. 13. 若函数的图象是一条连续不断的曲线，且，则______． 14. 若对任意的，总存在唯一的，使得成立，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知命题，，设为假命题时实数的取值范围为集合． （1）求集合； （2）设非空集合，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. （1）计算：； （2）计算：； （3）已知，且，求的值． 17. 已知关于的函数． （1）若，求时的取值范围． （2）是否存在实数，满足当时，的最大值为3?若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 18. 已知函数． （1）若为偶函数，求的值； （2）若，用定义证明在上单调递增； （3）若存在正数满足，求的取值范围． 19. 对于非空的有限整数集，定义，． （1）若集合，求和． （2）已知，为非空的有限整数集，且． （ⅰ）若，求集合； （ⅱ）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $