专题 二元一次方程组的实际应用（解答题）（12大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

（北师大版）八年级上册数学《第5章 二元一次方程组》 专题 二元一次方程组的实际应用（解答题） 题型一 鸡兔同笼问题 1．（2023春•兴安县校级期中）“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有二十五头，下有七十六足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有25个头；从下面数，有76条腿，问笼中各有几只鸡和兔？ 2．（2023春•蓬江区期中）已知一个笼子里装有鸡和兔子一共52只，现经过清点发现一共有148条腿，求鸡和兔子数量分别是多少？ 3．古书上有这样一道题：“今有雉（鸡）兔同笼，上有25头，下有80足，问雉兔各几何？题目的大意是：笼子里有25只鸡和兔子，共有80条腿，请问笼子里鸡和兔子各有多少只？ 4．（2024春•明水县期末）古老的“鸡兔同笼问题”：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡、兔各几何？”这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题．它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣．怎样来解答这个问题呢？ 题型二 行程问题 1．（2024春•延庆区期末）学校和博物馆相距20千米，小明与小强分别从学校和博物馆出发，相向而行．如果小明比小强早出发30分钟，那么在小强出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米．求小明、小强每小时各走多少千米． 2． （2023春•长宁区期末）一列火车从A站开往B站，若火车以90千米/时的速度行驶，能准时到达B站，现火车以80千米/时的速度行驶了2小时后把速度提高到120千米/时，也能准时到达B站，求A、B两站之间的距离． 3．某铁路桥长1800m，现有一列高铁列车从桥上通过，测得此列高铁从开始上桥到完全过桥共用25s，整列高铁在桥上的时间是20s．试求此列高铁的车速和车长． 3． （2024春•聊城期中）黄玉骑自行车去香山，她先以8千米/时的速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达香山，共用了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度经过平路，回到原出发点，共用去55分钟，求从出发点到香山的路程是多少千米？ 题型三 工程问题 1．（2024春•嘉禾县校级月考）为防止城市雨水内涝，政府对一段1200米长的管道进行改造，如果乙工程队单独施工了18天，剩余的任务由甲工程队再单独施工8天可以完成；如果甲工程队单独施工了16天，剩余的任务由乙工程队再单独施工6天可以完成． （1）甲、乙工程队每天各施工多少米？ （2）若甲工程队施工一天的费用为3000元，乙工程队施工一天的费用为2000元，当两队施工天数相同时，求需支付的总费用为多少元？ 2．（2023春·湖南常德·七年级统考期末）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需要6周完成，共需装修费5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成． (1)设工作总量为1，甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据题意列出关于m、n的二元一次方程组． (2)如果从节约时间的角度考虑，应选哪家公司？请说明理由． (3)如果从节约开支的角度考虑，应选哪家公司？请说明理由． 3．（2023春·河北邯郸·七年级统考期中）有一块面积为180亩的荒地需要绿化，甲工程队绿化若干天后，因有急事，剩余工作由乙工程队完成，已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，一共用20天完成． (1)设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，依题意可列方程组：______． (2)设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，请列方程组求甲、乙两工程队分别绿化荒地的亩数． 题型四 配套问题 1．一套工具由1个A部件和6个B部件构成．用1kg材料可以做5个A部件或20个B部件．现有10kg材料，若要生产出最大数量的该套工具，则应该如何分配材料制作A、B部件？ 2．（2023秋•梁河县期末）某工厂生产茶具，每套茶具由1个茶壶和4只茶杯组成，生产这套茶具的主要材料是紫砂泥，用1千克紫砂泥可做2个茶壶或8只茶杯．现要用6千克紫砂泥制作这些茶具，应用多少千克紫砂泥做茶壶，多少个千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具多少套？ 3．一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有10m3木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？ 题型五 年龄问题 1．（2023秋•汉寿县期末）小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是多少岁？ 2．（2023•无锡模拟）一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是多少岁？ 4． （2024•沭阳县校级开学）小红和爸爸现在年龄之和是49岁，16年后，爸爸的年龄是小红年龄的两倍，小红和爸爸今年年龄各是多少岁？ 题型六 商品销售问题 1．某超市有线下和线上两种销售方式，去年计划实现总销售利润200万元，经过努力，实际总销售利润为225万元，其中线下销售利润比原计划增长5%，线上销售利润比原计划增长15%，则该超市去年实际完成线下销售利润、线上销售利润各多少万元？ 2．（2024春•潍坊期末）体育无处不在，运动无限精彩．随着天气转暖，户外活动人数逐渐增多．某体育用品店为了吸引顾客，准备在五一假期搞促销活动，对部分品牌篮球进行打折销售，其中甲品牌篮球打九折，乙品牌篮球打八折．已知打折前，买1个甲品牌篮球和1个乙品牌篮球共需180元；打折后，买3个甲品牌篮球和2个乙品牌篮球共需398元．（1）打折前甲、乙两种品牌篮球每个分别为多少元？ （2）某校需购买甲品牌篮球10个，乙品牌篮球6个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？ 3．（2023秋•城阳区期末）为保障师生健康安全，学校计划从商场购进一批免洗手消毒液和医用口罩．两商场的标价相同，如果按照商场标价购买，购买60瓶免洗手消毒液和20包医用口罩，共需花费2100元，如果购买45瓶免洗手消毒液和40包医用口罩，共需花费1950元． （1）求商场每瓶免洗手消毒液和每包医用口罩的标价分别是多少元？ （2）甲乙商场开展促销活动：甲商场，所有购买商品均打八折；乙商场，商品按照标价销售，每购买20瓶免洗手消毒液送10包医用口罩．某校计划购进免洗手消毒液80瓶，50包医用口罩，到哪家商场购买更合算？请说明理由． 4．（2024春•高密市期中）某超市购进A，B型两种大米进行销售，其中两种大米的进价、售价如表： 大米种类 进价（元/袋） 售价（元/袋） A型 25 35 B型 30 42 （1）已知购进A，B型两种大米共100袋，进货款恰好为2800元，求这两种大米各购进多少袋？ （2）若售出两种大米的销售总额为1400元，求售出的大米的进货款为多少元？ 题型七 分配问题 1．（2023春·北京海淀·七年级北京育英中学校考期末）为迎接年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为盒和盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为盒和盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为盒和盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？ 2．（2023春·广西桂林·七年级校考期中）某汽车制造厂生产一款电动汽车，计划一个月生产200辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车，2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车 （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）若工厂现在有熟练工人30人，求还需要招聘多少新工人才能完成一个月的生产计划？ 3．（2023春·浙江·七年级期末）杭州某公司准备安装完成6000辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现： 1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多． （1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车? （2）若公司原有熟练工a人，现招聘n名新工人，使得最后能刚好一个月（30天）完成安装任务，求a的值． 题型八 几何图形问题 1．（2024春•潍坊期末）体育无处不在，运动无限精彩．随着天气转暖，户外活动人数逐渐增多．某体育用品店为了吸引顾客，准备在五一假期搞促销活动，对部分品牌篮球进行打折销售，其中甲品牌篮球打九折，乙品牌篮球打八折．已知打折前，买1个甲品牌篮球和1个乙品牌篮球共需180元；打折后，买3个甲品牌篮球和2个乙品牌篮球共需398元．（1）打折前甲、乙两种品牌篮球每个分别为多少元？ （2）某校需购买甲品牌篮球10个，乙品牌篮球6个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？ 2．（2024春•桐乡市月考）如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形，已知BC＝11，DE＝7． （1）设每个小长方形的长为x，宽为y，求x，y的值． （2）求图中阴影部分的面积． 3．（2024•威海一模）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）． 若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张，问竖式纸盒、横式纸盆各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 题型九 古代数学问题 1．（2023•宁江区二模）《九章算术》中记载这样一道问题． 原文：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀各重几何？” 译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每只各重多少斤？” 请解答上述问题． 2．（2024•高新区校级模拟）列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？” 题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？ 3．（2024秋•鼓楼区校级月考）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙说得甲九只，两家之数相当．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊就一样多．”求甲、乙各有多少只羊？ 题型十 数字问题 1．一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，把这个两位数加45后，结果恰好成为数字对调后新的两位数，求这个两位数． 2．小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 7：00 8：00 9：00 碑上的数 是一个两位数，数字之和为7 十位与个位数字与7：00时所看到的正好颠倒了 比7：00时看到的两位数中间多了个0 则小明在7：00时看到的两位数是多少？ 3．（2023秋•姜堰区校级月考）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为13，若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的2倍小4，求原来的两位数． 4．（2023秋•渠县校级月考）有大、小两个两位数，在大数的右边写上一个0再写上小数，得到一个五位数；又在小数的右边写上大数，然后再写上一个0，亦得到一个五位数；第一个五位数除以第二个五位数得到的商为2，余数为590．此外，二倍的大数与三倍的小数的和是72，求这两个两位数． 题型十二 图表信息问题 1．（2023春•淅川县期中）请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）分别求每个水瓶和每个水杯的钱数． （2）王老师购买了6个水瓶和20个水杯，商家打八折，求王老师花的钱数． 3．（2024春•鼓楼区校级月考）邮购每册6元的某种杂志，邮寄费和优惠率如表： 邮购册数 1～99 100以上（含100） 邮寄费用 书价的10% 免费邮寄 书价优惠 不优惠 优惠10% 两次邮购这种杂志共200册，总计金额1140元，两次邮购杂志各多少册？ 2．（2024•金昌三模）一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的情况如下表： 第一次 第二次 甲种货车辆数（单位：辆） 2 5 乙种货车辆数（单位：辆） 3 6 累计送货吨数（单位：吨） 31 70 （1）问甲、乙两种货车的载质量分别为多少吨？ （2）现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货物，如果按每吨付运费30元计算，问货主这次应付运费多少元？ 4．（2023秋•周村区期末）某校初一（3）班组织生活小常识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 88 C 64 D 10 10 40 （1）参赛者E说他错了10个题，得分为50分，请你判断可能吗？并说明理由； （2）参赛者C答对了几道题？请你通过计算说明． 题型十二 方案选择问题 1．（2023秋•滕州市期末）张老师在某文体店购买商品A、B若干次（每次A、B两种商品都购买，且A、B都只能购买整数个），其中第一、二两次购买时，均按标价购买，两次购买商品A、B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 980 第二次购物 3 7 940 （1）求商品A、B的标价； （2）若张老师第三次购物时，商品A、B同时打6折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？ 2．（2023秋•彰武县期末）2023上海国际车展于2023年4月18日正式开幕，新能源汽车成为本次车展的亮点．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计55万元；4辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计120万元． （1）求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 3．（2024•东兴区三模）甘肃临夏州积石山县在12月18日23时59分发生6.2级地震，震源深度10公里，当地群众生命和财产安全受到了极大的影响．“众志成城，共克时艰”，某市筹集了大量的生活物资，用甲、乙两种型号的货车，分两批运往积石山县，具体运输情况如表： 批次货车辆数 第一批 第二批 甲型货车的数量（单位：辆） 2 3 乙型货车的数量（单位：辆） 3 4 已知第一批、第二批每辆货车均满载，第一批累计运输物资42吨，第二批累计运输物资58吨． （1）求甲、乙两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？ （2）该市后续又筹集了100吨生活物资，计划同时使用两种货车一次性运完（每辆货车都满载），请问共有几种运输方案？ （3）已知甲型货车每辆运输成本400元/次，乙型货车每辆运输成本500元/次，哪种运输方案的成本最少？最低成本为多少元？ 4．（2024春•赣榆区月考）连云港市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1～39套（含39套） 40～69套（含69套） 70套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 经调查：两个乐团共85人（甲乐团人数不少于46人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6300元．请回答以下问题： （1）如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？ （2）甲、乙两个乐团各有多少名学生？ （3）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团每位成员负责3位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ （北师大版）八年级上册数学《第5章 二元一次方程组》 专题 二元一次方程组的实际应用（解答题） 题型一 鸡兔同笼问题 1．（2023春•兴安县校级期中）“鸡兔同笼”是我国古代著名的数学趣题之一．大约在1500年前成书的《孙子算经》中，就有关于“鸡兔同笼”的记载：“今有雉兔同笼，上有二十五头，下有七十六足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔关在一个笼子里，从上面数，有25个头；从下面数，有76条腿，问笼中各有几只鸡和兔？ 【分析】设笼中有x只鸡，y只兔，根据“上有二十五头，下有七十六足”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设笼中有x只鸡，y只兔， 根据题意得：， 解得：． 答：笼中有12只鸡，13只兔． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（2023春•蓬江区期中）已知一个笼子里装有鸡和兔子一共52只，现经过清点发现一共有148条腿，求鸡和兔子数量分别是多少？ 【分析】设鸡有x只，兔子有y只，根据“笼子里装有鸡和兔子一共52只，现经过清点发现一共有148条腿”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设鸡有x只，兔子有y只， 根据题意得：， 解得：． 答：鸡有30只，兔子有22只． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．古书上有这样一道题：“今有雉（鸡）兔同笼，上有25头，下有80足，问雉兔各几何？题目的大意是：笼子里有25只鸡和兔子，共有80条腿，请问笼子里鸡和兔子各有多少只？ 【分析】设笼子里有x只鸡，y只兔子，根据鸡和兔子共25只且有80条腿，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设笼子里有x只鸡，y只兔子， 依题意，得：， 解得：． 答：笼子里有10只鸡，15只兔子． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 4．（2024春•明水县期末）古老的“鸡兔同笼问题”：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡、兔各几何？”这是我国古代数学著作《孙子算经》中记载的数学名题．它曾在好几个世纪里引起过人们的兴趣，这个问题也一定会使在座的各位同学感兴趣．怎样来解答这个问题呢？ 【分析】设鸡有x只，兔有y只，根据鸡、兔共有35个头、94只脚，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设鸡有x只，兔有y只， 依题意得：， 解得：． 答：鸡有23只，兔有12只． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 题型二 行程问题 1．（2024春•延庆区期末）学校和博物馆相距20千米，小明与小强分别从学校和博物馆出发，相向而行．如果小明比小强早出发30分钟，那么在小强出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米．求小明、小强每小时各走多少千米． 【分析】设小明每小时走x千米，小强每小时走y千米，根据如果小明比小强早出发30分钟，那么在小强出发后2小时，他们相遇；如果他们同时出发，那么1小时后两人还相距11千米．列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设小明每小时走x千米，小强每小时走y千米，30分钟＝0.5小时， 根据题意得：， 解得：， 答：小明每小时走4千米，小强每小时走5千米． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（2023春•长宁区期末）一列火车从A站开往B站，若火车以90千米/时的速度行驶，能准时到达B站，现火车以80千米/时的速度行驶了2小时后把速度提高到120千米/时，也能准时到达B站，求A、B两站之间的距离． 【分析】根据题目中的等量关系列方程组解答，方法一：题目中存在的等量关系为：①以90千米/时×时间＝A站到B站的路程；②速度为80千米/时行驶的路程+速度为120千米/时行驶的路程＝A站到B站的路程．方法二：以90千米/时的速度行驶A，B两站的路程用的时间＝以80千米/时速度行驶用的2小时+以120千米/时速度行驶剩余路程用的时间． 【解答】解：设从A站到B站的行驶时间为x，A、B两站之间的距离为y千米， 由题意得． 解得，． 答：A、B两站之间的距离为240千米． 【点评】本题考查了一次方程（组）的应用，弄清题意找出等量关系是解题的关键． 3．某铁路桥长1800m，现有一列高铁列车从桥上通过，测得此列高铁从开始上桥到完全过桥共用25s，整列高铁在桥上的时间是20s．试求此列高铁的车速和车长． 【分析】设此列高铁的车长为x m，车速为y m/s，利用路程＝速度×时间，结合此列高铁从开始上桥到完全过桥所用时间及整列高铁在桥上的时间，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设此列高铁的车长为x m，车速为y m/s， 依题意得：， 解得：． 答：此列高铁的车长为200m，车速为80m/s． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 4．（2024春•聊城期中）黄玉骑自行车去香山，她先以8千米/时的速度走平路，而后又以4千米/时的速度上坡到达香山，共用了1.5小时，返回时，先以12千米/时的速度下坡，而后以9千米/时的速度经过平路，回到原出发点，共用去55分钟，求从出发点到香山的路程是多少千米？ 【分析】设平路为x千米，坡路为y千米，根据往返的用时不同可得到两个关于x、y的方程，求方程组的解即可，然后求x、y的和即得从出发点到香山的路程． 【解答】解：设平路为x千米，坡路为y千米，根据题意得： ， 解得：． 则x+y＝6+3＝9（千米）． 答：从出发点到香山的路程是9千米． 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解． 题型三 工程问题 1．（2024春•嘉禾县校级月考）为防止城市雨水内涝，政府对一段1200米长的管道进行改造，如果乙工程队单独施工了18天，剩余的任务由甲工程队再单独施工8天可以完成；如果甲工程队单独施工了16天，剩余的任务由乙工程队再单独施工6天可以完成． （1）甲、乙工程队每天各施工多少米？ （2）若甲工程队施工一天的费用为3000元，乙工程队施工一天的费用为2000元，当两队施工天数相同时，求需支付的总费用为多少元？ 【分析】（1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，根据题意列出二元一次方程组求解，即可解题； （2）设甲工程队施工a天，需支付的总费用为w元，则乙工程队施工a天，根据题意列出方程求出a的值，再根据“总费用＝甲工程队费用+乙工程队费用求解”即可解题． 【解答】解：（1）设甲工程队每天施工x米，乙工程队每天施工y米，根据题意，得： ， 解得． 答：甲工程队每天施工60米，乙工程队每天施工40米； （2）设甲工程队施工a天，需支付的总费用为w元，则乙工程队施工a天， 则60a+40a＝1200， 解得a＝12， w＝3000×12+2000×12＝60000（元）． 答：需支付的总费用为60000元． 【点评】本题考查二元一次方程组的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 2．（2023春·湖南常德·七年级统考期末）玲玲家准备装修一套新住房，若甲、乙两个装饰公司合作，需要6周完成，共需装修费5.2万元；若甲公司单独做4周后，剩下的由乙公司来做，还需9周才能完成，共需装修费4.8万元，玲玲的爸爸妈妈商量后决定只选一个公司单独完成． (1)设工作总量为1，甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n，根据题意列出关于m、n的二元一次方程组． (2)如果从节约时间的角度考虑，应选哪家公司？请说明理由． (3)如果从节约开支的角度考虑，应选哪家公司？请说明理由． 【分析】（1）利用时间×工作效率=工作量，建立等式，构造方程组即可． （2）比较工作效率的大小，选择工作效率高的公司即可． （3）设设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元，计算两个公司完成工作任务后的总费用，比较大小决定即可． 【解答】（1）设工作总量为1，甲公司的每周工作效率为m，乙公司每周的工作效率为n， 根据题意，得 ． （2）由（1）解得方程组的解为： 因为，即甲公司的效率比乙公司的高， 所以从时间上考虑，应选择甲公司． （3）解：设甲公司每周费用为a万元，乙公司每周费用为b万元，根据题意得： 解得： 甲公司共需万元，乙公司共需万元， 因为4万元＜6万元， 所以从节约开支上考虑，应选择乙公司． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，正确找到等量关系，列出方程组是解题的关键． 3．（2023春·河北邯郸·七年级统考期中）有一块面积为180亩的荒地需要绿化，甲工程队绿化若干天后，因有急事，剩余工作由乙工程队完成，已知甲工程队每天绿化8亩，乙工程队每天绿化12亩，一共用20天完成． (1)设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，依题意可列方程组：______． (2)设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，请列方程组求甲、乙两工程队分别绿化荒地的亩数． 【分析】（1）设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，再由工作总量为亩，工作总时间为天列方程组即可； （2）设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，再由工作总量为亩，工作总时间为天列方程组，再解方程组即可； 【解答】（1）解：设甲工程队绿化m天，乙工程队绿化n天，则 ， （2）设甲工程队绿化荒地x亩，乙工程队绿化荒地y亩，则 ，整理得：， 解得：， 答：甲、乙两工程队分别绿化荒地亩，亩． 【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． 题型四 配套问题 1．一套工具由1个A部件和6个B部件构成．用1kg材料可以做5个A部件或20个B部件．现有10kg材料，若要生产出最大数量的该套工具，则应该如何分配材料制作A、B部件？ 【分析】设用x kg材料制作A部件，y kg材料制作B部件，根据一套工具由1个A部件和6个B部件构成．现有10kg材料，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设用x kg材料制作A部件，y kg材料制作B部件， 由题意得：， 解得：， 答：用4kg材料制作A部件，6kg材料制作B部件． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（2023秋•梁河县期末）某工厂生产茶具，每套茶具由1个茶壶和4只茶杯组成，生产这套茶具的主要材料是紫砂泥，用1千克紫砂泥可做2个茶壶或8只茶杯．现要用6千克紫砂泥制作这些茶具，应用多少千克紫砂泥做茶壶，多少个千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具多少套？ 【分析】设应用x千克紫砂泥做茶壶，则用（6﹣x）千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具．由题意：每套茶具有1个茶壶和4只茶杯组成，用1千克紫砂泥可做2个茶壶或8只茶杯．现要用6千克紫砂泥制作这些茶具，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设应用x千克紫砂泥做茶壶，则用（6﹣x）千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具． 由题意得：4×2x＝8（6﹣x）， 解得x＝3， ，则6﹣x＝3（千克）， 2×3＝6（套）． 答：应用3千克紫砂泥做茶壶，3千克紫砂泥做茶杯，恰好配成这种茶具6套． 【点评】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 3．一张方桌由1个桌面，4条桌腿组成，如果1m3木料可以做方桌的桌面50个或做桌腿300条，现有10m3木料，那么用多少立方米的木料做桌面，多少立方米的木料做桌腿，做出的桌面与桌腿，恰好能配成方桌？能配成多少张方桌？ 【分析】问题中有两个条件：①做桌面用的木料+做桌腿用的木料＝10；②4×桌面个数＝桌腿个数．据此可列方程组求解． 【解答】解：设用xm3木料做桌面，ym3木料做桌腿． 由题意得 解得． 6×50＝300（张）． 答：用6m3木料做桌面，4m3木料做桌腿恰好能配成方桌，能配成300张方桌． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 题型五 年龄问题 1．（2023秋•汉寿县期末）小明问数学老师的年龄，数学老师微笑着说：“我像你这么大的时候，你刚好3岁；你到我这么大时，我就42岁了，”那么数学老师今年的年龄是多少岁？ 【分析】设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁，根据题意可得等量关系：老师今年的年龄−学生今年的年龄＝学生今年的年龄﹣3；老师42岁−老师今年的年龄＝老师今年的年龄−学生今年的年龄，根据等量关系列出方程，即可解答． 【解答】解：设小明和老师今年的年龄分别为x岁、y岁， 由题意得：， 解得：， 答：数学老师今年的年龄是29岁， 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． 2．（2023•无锡模拟）一天，小民去问爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生呢，你若是我现在这么大，我已经是老寿星了，125岁了，哈哈！”请你写出小民爷爷到底是多少岁？ 【分析】设小民爷爷是x岁，小民是y岁，根据爷爷及小民年龄之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设小民爷爷是x岁，小民是y岁， 依题意得：， 解得：． 答：小民爷爷是70岁． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（2024•沭阳县校级开学）小红和爸爸现在年龄之和是49岁，16年后，爸爸的年龄是小红年龄的两倍，小红和爸爸今年年龄各是多少岁？ 【分析】设小红今年年龄是x岁，爸爸今年年龄是y岁，根据“小红和爸爸现在年龄之和是49岁，16年后，爸爸的年龄是小红年龄的两倍”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设小红今年年龄是x岁，爸爸今年年龄是y岁， 根据题意得：， 解得：． 答：小红今年年龄是11岁，爸爸今年年龄是38岁． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 题型六 商品销售问题 1．某超市有线下和线上两种销售方式，去年计划实现总销售利润200万元，经过努力，实际总销售利润为225万元，其中线下销售利润比原计划增长5%，线上销售利润比原计划增长15%，则该超市去年实际完成线下销售利润、线上销售利润各多少万元？ 【分析】设该超市去年计划完成线下销售利润x万元，线上销售利润y万元，根据去年计划实现总销售利润200万元，实际总销售利润为225万元，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设该超市去年计划完成线下销售利润x万元，线上销售利润y万元， 根据题意得：， 解得：， ∴（1+5%）x＝（1+5%）×50＝52.5，（1+15%）y＝（1+15%）×150＝172.5， 答：该超市去年实际完成线下销售利润52.5万元，线上销售利润172.5万元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（2024春•潍坊期末）体育无处不在，运动无限精彩．随着天气转暖，户外活动人数逐渐增多．某体育用品店为了吸引顾客，准备在五一假期搞促销活动，对部分品牌篮球进行打折销售，其中甲品牌篮球打九折，乙品牌篮球打八折．已知打折前，买1个甲品牌篮球和1个乙品牌篮球共需180元；打折后，买3个甲品牌篮球和2个乙品牌篮球共需398元．（1）打折前甲、乙两种品牌篮球每个分别为多少元？ （2）某校需购买甲品牌篮球10个，乙品牌篮球6个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？ 【分析】（1）设打折前甲种品牌篮球每个为x元，乙种品牌篮球每个为y元，根据打折前，买1个甲品牌篮球和1个乙品牌篮球共需180元；打折后，买3个甲品牌篮球和2个乙品牌篮球共需398元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据题意列式计算即可． 【解答】解：（1）设打折前甲种品牌篮球每个为x元，乙种品牌篮球每个为y元， 由题意得：， 解得：， 答：打折前甲种品牌篮球每个为100元，乙种品牌篮球每个为80元； （2）10×100×（1﹣90%）+6×80×（1﹣80%）＝196（元）． 答：打折后购买比不打折购买节省了196元钱． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（2023秋•城阳区期末）为保障师生健康安全，学校计划从商场购进一批免洗手消毒液和医用口罩．两商场的标价相同，如果按照商场标价购买，购买60瓶免洗手消毒液和20包医用口罩，共需花费2100元，如果购买45瓶免洗手消毒液和40包医用口罩，共需花费1950元． （1）求商场每瓶免洗手消毒液和每包医用口罩的标价分别是多少元？ （2）甲乙商场开展促销活动：甲商场，所有购买商品均打八折；乙商场，商品按照标价销售，每购买20瓶免洗手消毒液送10包医用口罩．某校计划购进免洗手消毒液80瓶，50包医用口罩，到哪家商场购买更合算？请说明理由． 【分析】（1）设商场每瓶免洗手消毒液的标价为x元，每包医用口罩的标价为y元，由题意：购买60瓶免洗手消毒液和20包医用口罩，共需花费2100元，如果购买45瓶免洗手消毒液和40包医用口罩，共需花费1950元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）分别求出到甲商场购买的花费和到乙商场购买的花费，再比较即可． 【解答】解：（1）设商场每瓶免洗手消毒液的标价为x元，每包医用口罩的标价为y元， 由题意得：， 解得：， 答：商场每瓶免洗手消毒液的标价为30元，每包医用口罩的标价为15元； （2）到甲商场购买更合算，理由如下： 到甲商场购买的花费为：（30×80+15×50）×0.8＝2520（元）， 到乙商场购买的花费为：30×80+15×（50﹣80÷20×10）＝2550（元）， ∵2520＜2550， ∴到甲商场购买更合算． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 4．（2024春•高密市期中）某超市购进A，B型两种大米进行销售，其中两种大米的进价、售价如表： 大米种类 进价（元/袋） 售价（元/袋） A型 25 35 B型 30 42 （1）已知购进A，B型两种大米共100袋，进货款恰好为2800元，求这两种大米各购进多少袋？ （2）若售出两种大米的销售总额为1400元，求售出的大米的进货款为多少元？ 【分析】（1）设A型大米购进x袋，B型大米购进y袋，利用总价＝单价×数量，结合购进两种大米共100袋且进货款恰好为2800元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设售出A型大米m袋，B型大米n袋，利用总价＝单价×数量，结合两种大米的销售总额为1400元，即可得出关于m，n的二元一次方程，化简后可得出5m+6n＝200，再将其代入25m+30n＝5（5m+6n）即可求出结论； 【解答】解：（1）设A型大米购进x袋，B型大米购进y袋， 依题意得：， 解得：． 答：A型大米购进40袋，B型大米购进60袋． （2）设售出A型大米m袋，B型大米n袋， 依题意得：35m+42n＝1400， 化简得：5m+6n＝200， ∴25m+30n＝5（5m+6n）＝5×200＝1000． 答：售出大米的进货款为1000元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． 题型七 分配问题 1．（2023春·北京海淀·七年级北京育英中学校考期末）为迎接年奥运会，某工艺厂准备生产奥运会标志“中国印”和奥运会吉祥物“福娃”该厂主要用甲、乙两种原料，已知生产一套奥运会标志需要甲原料和乙原料分别为盒和盒，生产一套奥运会吉祥物需要甲原料和乙原料分别为盒和盒．该厂购进甲、乙原料的量分别为盒和盒，如果所进原料全部用完，求该厂能生产奥运会标志和奥运会吉祥物各多少套？ 【分析】设生产奥运会标志套，生产奥运会吉祥物套．两个等量关系为：奥运会标志套数奥运会吉祥物套数；奥运会标志套数奥运会吉祥物套数．再列方程求解即可． 【解答】解：设生产奥运会标志套，生产奥运会吉祥物套． 根据题意得 得． ． 把代入得． ． 答：该厂能生产奥运会标志套，生产奥运会吉祥物套． 【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系：奥运会标志套数奥运会吉祥物套数；奥运会标志套数奥运会吉祥物套数，列出方程组，再求解．本题需注意应根据用的原料种类分类判断得到等量关系． 2．（2023春·广西桂林·七年级校考期中）某汽车制造厂生产一款电动汽车，计划一个月生产200辆．由于抽调不出足够的熟练工来完成电动汽车的安装，工厂决定招聘一些新工人，也能独立进行电动汽车的安装．生产开始后，调研部门发现：1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车，2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车 （1）每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ （2）若工厂现在有熟练工人30人，求还需要招聘多少新工人才能完成一个月的生产计划？ 【分析】（1）设每名熟练工每月可以按装x辆电动汽车，每名新工人每月可以按装y辆电动汽车，根据“1名熟练工和2名新工人每月可安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设还需要招聘m名新工人才能完成一个月的生产计划，根据工作总量＝工作效率×人数结合计划一个月生产200辆，即可得出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）设每名熟练工每月可以安装x辆电动汽车，每名新工人每月可以安装y辆电动汽车， 依题意，得：， 解得：． 答：每名熟练工每月可以安装4辆电动汽车，每名新工人每月可以安装2辆电动汽车． （2）设还需要招聘m名新工人才能完成一个月的生产计划， 依题意，得：4×30+2m＝200， 解得：m＝40． 答：还需要招聘40名新工人才能完成一个月的生产计划． 【点评】本题考查的是用二元一次方程组解决问题中的工程问题，理解题意，找准数量关系列出方程组是解答关键. 3．（2023春·浙江·七年级期末）杭州某公司准备安装完成6000辆如图所示款共享单车投入市场．由于抽调不出足够熟练工人，公司准备招聘一批新工人．生产开始后发现： 1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多． （1）求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车? （2）若公司原有熟练工a人，现招聘n名新工人，使得最后能刚好一个月（30天）完成安装任务，求a的值． 【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据“1名熟练工人和2名新工人每天共安装28辆共享单车；2名熟练工人每天安装的共享单车数与3名新工人每天安装的共享单车数一样多”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设抽调a名熟练工人，由工作总量＝工作效率×工作时间，即可得出关于n，a的二元一次方程，再根据n，a均为正整数且n＜a，即可求出n的值． 【解答】解：（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车， 根据题意得：， 解得：． 答：每名熟练工人每天可以安装12辆共享单车，每名新工人每天可以安装8辆共享单车． （2）根据题意得：30×（8n+12a）＝6000， 整理得：n＝25﹣a， ∵n，a均为正整数，且n＜a， ∴，，． ∴a的值为16或14或12． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 题型八 几何图形问题 1．（2024春•潍坊期末）体育无处不在，运动无限精彩．随着天气转暖，户外活动人数逐渐增多．某体育用品店为了吸引顾客，准备在五一假期搞促销活动，对部分品牌篮球进行打折销售，其中甲品牌篮球打九折，乙品牌篮球打八折．已知打折前，买1个甲品牌篮球和1个乙品牌篮球共需180元；打折后，买3个甲品牌篮球和2个乙品牌篮球共需398元．（1）打折前甲、乙两种品牌篮球每个分别为多少元？ （2）某校需购买甲品牌篮球10个，乙品牌篮球6个，问打折后购买比不打折购买节省了多少钱？ 【分析】（1）设打折前甲种品牌篮球每个为x元，乙种品牌篮球每个为y元，根据打折前，买1个甲品牌篮球和1个乙品牌篮球共需180元；打折后，买3个甲品牌篮球和2个乙品牌篮球共需398元．列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）根据题意列式计算即可． 【解答】解：（1）设打折前甲种品牌篮球每个为x元，乙种品牌篮球每个为y元， 由题意得：， 解得：， 答：打折前甲种品牌篮球每个为100元，乙种品牌篮球每个为80元； （2）10×100×（1﹣90%）+6×80×（1﹣80%）＝196（元）． 答：打折后购买比不打折购买节省了196元钱． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（2024春•桐乡市月考）如图，在大长方形ABCD中，放入六个相同的小长方形，已知BC＝11，DE＝7． （1）设每个小长方形的长为x，宽为y，求x，y的值． （2）求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）根据题目中的等量关系，可列方程组，求解即可； （2）根据大长方形的面积﹣六个相同的小长方形的面积＝阴影部分的面积，列式计算即可． 【解答】（1），解得； （2）阴影部分的面积＝11×（7+2）﹣6×1×8 ＝99﹣48 ＝51． 【点评】本题考查的是列代数式和二元一次方程组的应用，从题目中找出等量关系并列出代数式是解题的关键． 3．（2024•威海一模）某工厂承接了一批纸箱加工任务，用如图1所示的长方形和正方形纸板（长方形的宽与正方形的边长相等）加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方形纸箱（加工时接缝材料不计）． 若该厂购进正方形纸板1000张，长方形纸板2000张，问竖式纸盒、横式纸盆各加工多少个，恰好能将购进的纸板全部用完？ 【分析】设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1000张、长方形纸板2000张，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； 【解答】解：设加工竖式纸盒x个，加工横式纸盒y个， 根据题意得：， 解得：． 答：加工竖式纸盒200个，加工横式纸盒400个，恰好能将购进的纸板全部用完． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用；明确题意，列出二元一次方程组是解题的关键． 题型九 古代数学问题 1．（2023•宁江区二模）《九章算术》中记载这样一道问题． 原文：“今有五雀六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀各重几何？” 译文：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等．5只雀、6只燕的总重量为1斤，问雀、燕每只各重多少斤？” 请解答上述问题． 【分析】设每只雀重x斤，每只燕重y斤，根据“将1只雀、1只燕交换位置而放，重量相等；5只雀、6只燕的总重量为1斤”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出雀、燕每只的重量． 【解答】解：设每只雀重x斤，每只燕重y斤， 依题意得：， 解得：． 答：每只雀重斤，每只燕重斤． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 2．（2024•高新区校级模拟）列方程组解古算题：“今有甲、乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．甲、乙持钱各几何？” 题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50．甲、乙两人各带了多少钱？ 【分析】设甲带钱x，乙带钱y，利用等量关系“甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50．如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50”列方程组求解即可． 【解答】解：设甲带钱x，乙带钱y， 根据题意，得， ①×2得：2x+y＝100③， ③﹣②得：， 把代入③得y＝25， ∴． 答：甲带钱，乙带钱25． 【点评】本题考查列二元一次方程组解应用题，掌握列二元一次方程组解应用题步骤与解法，抓住等量关系是解题关键． 3．（2024秋•鼓楼区校级月考）我国古典数学文献《增删算法统宗•六均输》中有一个“隔沟计算”的问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙说得甲九只，两家之数相当．”翻译成现代文，其大意如下：甲乙两人隔一条沟放牧，二人心里暗中合计．甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊就一样多．”求甲、乙各有多少只羊？ 【分析】设甲有羊x只，乙有羊y只，根据甲对乙说：“我得到你的九只羊，我的羊就比你多一倍．”乙对甲说：“我得到你的九只羊，咱俩家的羊就一样多．”列出二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设甲有羊x只，乙有羊y只， 由题意得：， 解得：， 答：甲有羊63只，乙有羊45只． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 题型十 数字问题 1．一个两位数的十位数字与个位数字的和是7，把这个两位数加45后，结果恰好成为数字对调后新的两位数，求这个两位数． 【分析】根据关键语句“十位数字与个位数字的和是7”可得方程x+y＝7，十位数字为x，个位数字为y，则这个两位数是10x+y，对调后组成的两位数是10y+x，根据关键语句“这个两位数加上45，则恰好成为个位数字与十位数字对调后组成的两位数”可得方程10x+y+45＝10y+x，联立两个方程即可得到答案． 【解答】解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意得： ， 解得：． 故这个两位数是16． 【点评】此题主要考查了二元一次方程的应用，解答本题的关键是正确理解题意，抓住关键语句，列出方程． 2．小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数如下： 时刻 7：00 8：00 9：00 碑上的数 是一个两位数，数字之和为7 十位与个位数字与7：00时所看到的正好颠倒了 比7：00时看到的两位数中间多了个0 则小明在7：00时看到的两位数是多少？ 【分析】设小明7：00时看到的两位数十位数字为x，个位数字为y，根据小明连续三次看到的结果，可得出关于x，y的二元一次方程组，解方程组即可． 【解答】解：设小明7：00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y， 依题意得：， 解得：， ∴7：00时小明看到的两位数是16． 答：小明在7：00时看到的两位数是16． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（2023秋•姜堰区校级月考）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字的和为13，若把个位上的数字与十位上的数字对调，则所得的数比原数的2倍小4，求原来的两位数． 【分析】根据题意设个位数字为x，十位数字为y，利用已知条件列出二元一次方程组，由此得到答案． 【解答】解：设个位数字为x，十位数字为y， 根据题意，得， 解得：， ∴原来的两位数为：4×10+9＝49， 答：原来的两位数是49． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，读懂题意，找到合适的等量关系，列出方程组，是解答本题的关键． 4．（2023秋•渠县校级月考）有大、小两个两位数，在大数的右边写上一个0再写上小数，得到一个五位数；又在小数的右边写上大数，然后再写上一个0，亦得到一个五位数；第一个五位数除以第二个五位数得到的商为2，余数为590．此外，二倍的大数与三倍的小数的和是72，求这两个两位数． 【分析】设大数为x，小数为y，根据题意分别表示出两个五位数，二倍的大数与三倍的小数的和是72，列方程组求解． 【解答】解：设大数为x，小数为y， 由题意得，第一个五位数为：1000x+y， 第二个五位数为：1000y+10x， 列方程组得：， 解得：． 答：这两个两位数分别为21，10． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解． 题型十二 图表信息问题 1．（2023春•淅川县期中）请根据图中提供的信息，回答下列问题： （1）分别求每个水瓶和每个水杯的钱数． （2）王老师购买了6个水瓶和20个水杯，商家打八折，求王老师花的钱数． 【分析】（1）设一个水瓶x元，表示出一个水杯为（48﹣x）元，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果； （2）直接列式即可计算出费用． 【解答】解：（1）设一个水瓶x元，表示出一个水杯为（48﹣x）元， 根据题意得：3x+4（48﹣x）＝152， 解得：x＝40， 答：一个水瓶40元，一个水杯是8元； （2）由题意得：（6×40+8×20）×0.8＝320（元）． 答：王老师花的钱为320元． 【点评】此题考查了一元一次方程的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键． 2．（2024春•鼓楼区校级月考）邮购每册6元的某种杂志，邮寄费和优惠率如表： 邮购册数 1～99 100以上（含100） 邮寄费用 书价的10% 免费邮寄 书价优惠 不优惠 优惠10% 两次邮购这种杂志共200册，总计金额1140元，两次邮购杂志各多少册？ 【分析】设两次邮购杂志各x，y册（x≤y），根据两次邮购这种杂志共200册且总计金额1140元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【解答】解：设两次邮购杂志各x，y册（x≤y）． ∵6×200×（1﹣10%）＝1080（元），1080＜1140， ∴x＜100，y＞100． 依题意，得：， 解得：． 答：两次邮购杂志各50、150册． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 3．（2024•金昌三模）一批货物要运往某地，货主准备租用汽车运输公司的甲、乙两种货车．已知过去两次租用这两种货车的情况如下表： 第一次 第二次 甲种货车辆数（单位：辆） 2 5 乙种货车辆数（单位：辆） 3 6 累计送货吨数（单位：吨） 31 70 （1）问甲、乙两种货车的载质量分别为多少吨？ （2）现租用该公司3辆甲种货车及5辆乙种货车一次刚好运完这批货物，如果按每吨付运费30元计算，问货主这次应付运费多少元？ 【分析】（1）设甲货车的载质量为x吨，乙货车的载质量为y吨，根据过去两次租用这两种货车的辆数及累计运货吨数，列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）由（1）的结果列式计算即可． 【解答】解：（1）设甲货车的载质量为x吨，乙货车的载质量为y吨， 依题意得：， 解得：， 答：甲货车的载质量为8吨，乙货车的载质量为5吨； （2）货主应付运费为：30×（3×8+5×5）＝30×49＝1470（元）， 答：货主这次应付运费1470元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 4．（2023秋•周村区期末）某校初一（3）班组织生活小常识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了其中4个参赛者的得分情况． 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 18 2 88 C 64 D 10 10 40 （1）参赛者E说他错了10个题，得分为50分，请你判断可能吗？并说明理由； （2）参赛者C答对了几道题？请你通过计算说明． 【分析】（1）设答对1题得x分，答错1题扣y分，根据参赛者A，B的答题情况及得分，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，进而可得出答对1题得5分，答错1题扣1分，结合参赛者E答错10题，可得出参赛者E的得分，进而可得出参赛者E的得分不可能是50分； （2）设参赛者C答对了m道题，则答错了（20﹣m）道题，利用参赛者C的得分＝5×答对题目数﹣1×答错题目数，可列出关于m的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：（1）不可能，理由如下： 设答对1题得x分，答错1题扣y分， 根据题意得：， 解得：， ∴答对1题得5分，答错1题扣1分， ∴参赛者E的得分为5×10﹣1×10＝40（分）， ∴参赛者E的得分不可能是50分； （2）设参赛者C答对了m道题，则答错了（20﹣m）道题， 根据题意得：5m﹣（20﹣m）＝64， 解得：m＝14． 答：参赛者C答对了14道题． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程． 题型十二 方案选择问题 1．（2023秋•滕州市期末）张老师在某文体店购买商品A、B若干次（每次A、B两种商品都购买，且A、B都只能购买整数个），其中第一、二两次购买时，均按标价购买，两次购买商品A、B的数量和费用如表所示： 购买商品A的数量/个 购买商品B的数量/个 购买总费用/元 第一次购物 6 5 980 第二次购物 3 7 940 （1）求商品A、B的标价； （2）若张老师第三次购物时，商品A、B同时打6折出售，这次购买总费用为960元，则张老师有哪几种购买方案？ 【分析】（1）设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个，根据“表格信息”建立方程组，再解方程组即可； （2）设张老师购买m个商品A，n个商品B，根据“这次购买总费用为960元”建立二元一次方程，再利用方程的正整数解可得答案． 【解答】解：（1）设商品A的标价为x元/个，商品B的标价为y元/个， 根据题意得：， 解得：． 答：商品A的标价为80元/个，商品B的标价为100元/个； （2）设张老师购买m个商品A，n个商品B， 根据题意得：80×0.6m+100×0.6n＝960， ∴． 当n＝4时，m＝15；当n＝8时，m＝10；当n＝12时，m＝5． 答：张老师共有三种购买方案， 方案一：购买15个商品A，4个商品B； 方案二：购买10个商品A，8个商品B； 方案三：购买5个商品A，12个商品B． 【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的正整数解的含义，理解题意，确定相等关系建立方程组或方程是解本题的关键． 2．（2023秋•彰武县期末）2023上海国际车展于2023年4月18日正式开幕，新能源汽车成为本次车展的亮点．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计55万元；4辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计120万元． （1）求A、B两种型号的新能源汽车每辆的进价分别为多少万元； （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），请你通过计算帮该公司求出全部的购买方案． 【分析】（1）设A型新能源汽车每辆的进价为x万元，B型新能源汽车每辆的进价为y万元，根据“1辆A型新能源汽车、3辆B型新能源汽车的进价共计55万元；4辆A型新能源汽车、2辆B型新能源汽车的进价共计120万元”．列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进A型汽车m辆，购进B型汽车n辆，根据总价＝单价×数量，结合该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的新能源汽车均购买），列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【解答】解：（1）设A型新能源汽车每辆的进价为x万元，B型新能源汽车每辆的进价为y万元， 由题意得：， 解得：， 答：A型新能源汽车每辆的进价为25万元，B型新能源汽车每辆的进价为10万元； （2）设购买A型新能源汽车m辆，B型新能源汽车n辆， 由题意得：25m+10n＝200， 整理得：m＝8n， ∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴该公司共有三种购买方案： ①购买6辆A型新能源汽车，5辆B型新能源汽车； ②购买4辆A型新能源汽车，10辆B型新能源汽车； ③购买2辆A型新能源汽车，15辆B型新能源汽车． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 3．（2024•东兴区三模）甘肃临夏州积石山县在12月18日23时59分发生6.2级地震，震源深度10公里，当地群众生命和财产安全受到了极大的影响．“众志成城，共克时艰”，某市筹集了大量的生活物资，用甲、乙两种型号的货车，分两批运往积石山县，具体运输情况如表： 批次货车辆数 第一批 第二批 甲型货车的数量（单位：辆） 2 3 乙型货车的数量（单位：辆） 3 4 已知第一批、第二批每辆货车均满载，第一批累计运输物资42吨，第二批累计运输物资58吨． （1）求甲、乙两种型号货车每辆满载分别能运多少吨生活物资？ （2）该市后续又筹集了100吨生活物资，计划同时使用两种货车一次性运完（每辆货车都满载），请问共有几种运输方案？ （3）已知甲型货车每辆运输成本400元/次，乙型货车每辆运输成本500元/次，哪种运输方案的成本最少？最低成本为多少元？ 【分析】（1）设每辆甲型货车满载能运x吨生活物资，每辆乙型货车满载能运y吨生活物资，根据前两批运输所使用的货车的数量及累计运输物资的吨数，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设应安排m辆甲型货车，n辆乙型货车，列出关于m，n的二元一次方程组，结合m，n为自然数，即可得出各运输方案，然后求出各方案所需费用，比较后即可得出结论． 【解答】解：（1）设每辆甲型货车满载能运吨生活物资，每辆乙型货车满载能运吨生活物资， 依题意得， 解得， 答：每辆甲型货车满载能运6吨生活物资，每辆乙型货车满载能运10吨生活物资； （2）设应安排m辆甲型货车，n辆乙型货车， 依题意得6m+10n＝100， 又∵m，n均为自然数， ∴或或， ∴共有3种运输方案， 方案1：安排5辆甲型货车，7辆乙型货车； 方案2：安排10辆甲型货车，4辆乙型货车； 方案3：安排15辆甲型货车，1辆乙型货车； 选择方案1所需费用：400×5+500×7＝5500（元）； 选择方案2所需费用：400×10+500×4＝6000（元）； 选择方案3所需费用：400×15+500×1＝6500（元）； ∵5500＜6000＜6500， ∴安排5辆甲型货车，7辆乙型货车，运输成本最少，最低成本为5500元． 【点评】本题考查了二元一次方程和二元一次方程组的应用，解题的关键是找出等量关系， 4．（2024春•赣榆区月考）连云港市甲、乙两个有名的学校乐团，决定向某服装厂购买同样的演出服．如表是服装厂给出的演出服装的价格表： 购买服装的套数 1～39套（含39套） 40～69套（含69套） 70套及以上 每套服装的价格 80元 70元 60元 经调查：两个乐团共85人（甲乐团人数不少于46人），如果分别各自购买演出服，两个乐团共需花费6300元．请回答以下问题： （1）如果甲、乙两个乐团联合起来购买服装，那么比各自购买服装最多可以节省多少元？ （2）甲、乙两个乐团各有多少名学生？ （3）现从甲乐团抽调a人，从乙乐团抽调b人（要求从每个乐团抽调的人数不少于5人），去儿童福利院献爱心演出，并在演出后每位乐团成员向儿童们进行“心连心活动”；甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团每位成员负责3位小朋友．这样恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖．请写出所有的抽调方案，并说明理由． 【分析】（1）若甲、乙两个乐团合起来购买服装88套，则每套是60元，计算出总价，即可求得比各自购买服装共可以节省多少钱； （2）设甲、乙个乐团各有x名、y名学生准备参加演出．根据题意，显然各自购买时，甲乐团每套服装是70元，乙乐团每套服装是80元．根据等量关系：①共85人；②分别单独购买服装，一共应付6300元，列方程组即可求解； （3）利用甲乐团每位成员负责5位小朋友，乙乐团每位成员负责3位小朋友恰好使得福利院65位小朋友全部得到“心连心活动”的温暖列出方程探讨答案即可． 【解答】解：（1）买85套所花费为：85×60＝5100（元）， 最多可以节省：6300﹣5100＝1200（元）； （2）①甲乐团的人数≤≥46人， 解：设甲乐团有x人；乙乐团有y人．根据题意，得： ， 解得：； ②甲乐团的人数≥70人，设甲乐团有x人；乙乐团有y人．根据题意，得： ， 解得：（不合题意，舍去）． 答：甲、乙两个乐团各有50名和35名学生； （3）由题意，得5a+3b＝65， 变形，得a＝13b， 因为每位乐团的人数不少于5人且人数为正整数，得： 或， 所以共有两种方案：从甲乐团抽调10人，从乙乐团抽调5人；或者从甲乐团抽调7人，从乙乐团抽调10人． 【点评】此题考查二元一次方程组与二元一次方程的实际运用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！27 学科网（北京）股份有限公司 $$