精品解析：福建省三明市尤溪县2024-2025学年八年级上学期11月期中考试数学试题

**基本信息** 以现实情境与探究活动为载体，覆盖勾股定理、一次函数等核心知识，通过风筝测距、量筒小球等问题培养几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|直角三角形判定、无理数识别、坐标对称|基础概念辨析，考察抽象能力| |填空题|6/24|位置确定、二次根式性质、一次函数图像|结合符号意识，强化基础应用| |解答题|9/86|勾股定理应用（风筝测距）、一次函数建模（量筒小球）、几何代数综合（动点问题）|现实情境问题（20题）与探究性证明（24题）结合，发展推理能力与创新意识|

2024－2025学年第一学期八年级期中教学质量监测 数 学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 友情提示： 1．本试卷8页． 2．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写（涂）在答题卡上． 3．答题要求见答题卡上的“注意事项”． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（ ） A. 3、4、5 B. 6、8、10 C. 4、5、6 D. 7、24、25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．确定最大边，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断． 【详解】解：A、，3、4、5能构成直角三角形，本选项不符合题意； B、，6、8、10能构成直角三角形，本选项不符合题意； C、，4、5、6不能构成直角三角形，本选项符合题意； D、，7、24、25能构成直角三角形，本选项不符合题意； 故选：C． 2. 在，，π，，这些数中，无理数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数是无限不循环小数，常见的有和开不尽方的算术平方根．根据无理数的定义判断即可． 【详解】解：，，都是有限小数，不是无理数； ，π是无理数，共有2个， 故选：B． 3. 点P（－2，1）关于y轴的对称点的坐标为（ ） A. （2，1） B. （－2，－1） C. （2，－1） D. （1，－2） 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵点P（m，n）关于y轴的对称点P′（-m，n） ∴点P（﹣2，1）关于y轴的对称点的坐标为（2，1）． 故选A． 【点睛】本题主要考查了关于y轴对称的点的坐标，熟知关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 4. 下列各点在函数 y= x 的图象上的是( ) A. （2，1） B. （-2，0） C. （2，0） D. （-2，1） 【答案】A 【解析】 【分析】将各个选项代入函数解析式，使得解析式成立的即为答案 【详解】A代入得：y=，成立； B代入的得：y=，不成立； C代入的得：y=，不成立； D代入的得：y=，不成立； 故选：A 【点睛】本题考查判定点是否在函数图像上，解题关键是将点代入函数来判定. 5. 下列数据不能确定物体位置的是（ ） A. 3楼5号 B. 北偏西40° C. 解放路30号 D. 东经120°，北纬30° 【答案】B 【解析】 【分析】根据坐标确定位置需要两个数据对各项进行判断即可； 【详解】3楼5号，物体的位置明确，故A不符合题意； 北偏西40°，无法确定具体位置，故B符合题意； 解放路30号，物体的位置明确，故C不符合题意； 东经120°，北纬30°，物体的位置明确，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，准确分析判断是解题的关键． 6. 如图，小手盖住的点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了点在第四象限时点的坐标特征，比较简单．注意四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据点在第四象限点的坐标特点，即可解答． 【详解】解：根据题意得：小手盖住的点位于第四象限， 观察四个选项，只有点在第四象限， 故选项D符合题意； 故选：D． 7. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了立方根与算术平方根的性质，二次根式的性质，根据立方根与算术平方根，以及二次根式的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意；   故选： A． 8. 下列一次函数中，y的值随着x的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质．根据当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小，据此即可判断求解． 【详解】解：观察四个选项，只有选项D中，， ∴随的增大而减小，该选项符合题意； 其他三个都不符合题意． 故选：D． 9. 如图，数轴上点，对应的数分别是，，以为边在数轴上方作正方形，连接，以为圆心，的长为半径画圆弧交数轴于点点在点的左侧)，则点在数轴上对应的数为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理；首先利用勾股定理计算出的长，进而可得的长，然后再确定点所对应的数． 【详解】解：点，对应在数分别是，， ， 以为边在数轴上方作正方形， ， ， ， 点对应的数是， 在数轴上对应在数为， 故选：B． 10. 如图，在长方形中，，，为边上的点，且．为边上的动点，以为边在其右侧作等腰直角三角形，．设中点为，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形两锐角互余，等腰直角三角形的性质．过点作于，过点作，证明，可得，可得点在平行且到距离为的直线上运动，则当点、、共线时，有最小值，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，过点作， ∴， ∵四边形是长方形也就是矩形，，， ∴，， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在平行且到距离为的直线上运动， 当点、、共线时，，则，此时有最小值， 此时， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如果电影票上“3排5号”记为，则表示的含义是______． 【答案】5排3号 【解析】 【分析】本题主要考查用有序数对确定点的位置．根据有序数对确定点的位置，可得答案． 【详解】解：在电影院中，若将电影票上“3排5号”记作，那么表示的含义是“5排3号”， 故答案为：5排3号． 12. 比较大小：______ 【答案】< 【解析】 【分析】根据无理数的大小比较方法解答 【详解】，， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了无理数的大小比较，掌握无理数的大小比较方法是解题的关键． 13. 若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据同类二次根式的概念，它们的被开方数相同，列出方程求解即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：． 故答案为：3． 14. 已知点、，且直线平行于x轴，则a的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形性质．根据两点之间的连线平行于轴，那么它们的纵坐标相等，列式计算即可求解． 【详解】解：∵点、，直线轴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 的立方根是_______________ 【答案】2 【解析】 【详解】解：，， ∴的立方根是． 16. 一次函数与的图像如图所示，下列结论中正确的有______（填序号） ①对于函数来说，y的值随x值的增大而减小 ②函数的图像不经过第一象限 ③ ④ 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数的图象与性质，利用数形结合是解题的关键．①根据函数图象直接得到结论；②根据a、d的符号即可判断；③当时，；④当时，根据图象得不等式． 【详解】解：由图象可得：对于函数来说，y随x的增大而减小，故①正确； 由图象可得：， ∴函数的图象经过第二，三，四象限，不经过第一象限，故②正确； ∵一次函数与的图象的交点的横坐标为3， ∴， ∴，即，故③正确； 当时，，由图象可知， ∴，故④错误； 综上①②③都正确， 故答案为：①②③． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）5 （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式的除法，再计算加法即可得； （2）利用完全平方公式求解即可； （3）先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的减法即可得； （4）先化简二次根式，再计算二次根式的加减法即可得． 本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解： ． 18. 数学课上，陈老师在黑板上画出一个正方形被等分成4行4列，如图所示，她问大家几个问题，你能解答出来吗？ （1）若A点用表示，B点用表示，C点用表示，则C点在哪里？请在图（1）中标出，D点如何表示呢？ （2）若A点用表示，B点用表示，C点用表示，则C点在哪里？请在图（2）中标出，D点如何表示呢？ 【答案】（1）图见解析； （2）图见解析； 【解析】 【分析】本题考查了用坐标确定位置； （1）根据已知A的坐标，可得原点在它的左下方，据此解答； （2）根据（1）中的方法先找出点C的位置，再表示出点D即可. 【小问1详解】 根据题意得点C的位置如图，则 【小问2详解】 根据题意得点C的位置如图，则 19. （1）画函数图像的一般步骤是：______、______、______． （2）已知函数的图象为，函数的图象为，按照函数画图的一般步骤在给定的直角坐标系中分别画出和． （3）直观判断和的位置关系为______． 【答案】（1）列表，描点，连线；（2）见解析；（3）平行 【解析】 【分析】本题考查的知识点是画一次函数图象，解题的关键是熟练的掌握画函数图像的一般步骤． （1）根据画函数图像的一般步骤求解即可； （2）根据题意列出表格，然后描点、连线即可； （3）根据图象求解即可． 【详解】解：（1）画函数图像的一般步骤是：列表、描点、连线； （2）列表如下： x 0 2 0 4 0 0 画图如下： （3）由图象可得， ∴直观判断和的位置关系为平行． 20. 如图1，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后将风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面．示意图如图2． （1）请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB． （2）在AC上求作点D，使得（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）风筝距离地面的高度AB为12米 （2） 如图，点D为所求作的点． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、角平分线、尺规作图、一元一次方程等基础知识， （1）设，则，依据勾股定理即可得到方程，进而得出风筝距离地面的高度． （2）根据尺规作图即可； 【小问1详解】 解：依题意：在中，，米，． 设米，则米． 在中，根据勾股定理，， 即． 化为，解得． 所以风筝距离地面的高度AB为12米． 【小问2详解】 略 21. 小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作： 请根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球量筒中水面升高　 　cm； （2）求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？ 【答案】（1）2；（2）y＝2x+30；（3）10 【解析】 【分析】（1）比较第一、二两个量桶可知，放入三个球，水面上升6cm，由此可求放入一个小球量桶中水面升高的高度； （2）根据（1）的结论可知，放入小球x（个）后，量桶中水面的高度，即可得到y与x的一次函数关系式； （3）根据（2）可以得出y＞49，再进行求解即可得出答案． 【详解】解：（1）36-30=6（cm）, 6÷3=2（cm） 故答案为：2； （2）设y＝kx+b，把（0，30），（3，36）， 代入得：， 解得， 即y＝2x+30； （3）由2x+30＞49， 得x＞9.5， 即至少放入10个小球时有水溢出． 【点睛】本题主要考查一次函数实际应用问题，综合考查同学们识图能力、处理信息能力、待定系数法以及函数所反映的对应与变化思想的应用． 22. 先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． （1）______的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______； （3）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）小亮 （2） （3）2030 【解析】 【分析】本题考查了利用二次根式性质进行化简求值． （1）将代入式子，由结合二次根式的性质化简即可； （2）根据错误的原因可得； （3）将代入式子，由结合二次根式的性质化简即可； 【小问1详解】 解：当时， 原式 原式 ， 小亮错误， 故答案：小亮． 【小问2详解】 解：由题意得 ； 故答案：． 【小问3详解】 解：当时， 原式 原式 ． 23. 如图，正比例函数与经过点的一次函数相交于点B，点B的坐标为． （1）观察图象，当时，自变量x的取值范围是______； （2）求一次函数的表达式； （3）点C为正比例函数上一动点，作轴交一次函数于点D，若，求点C的坐标． 【答案】（1） （2）； （3）点C的坐标为或． 【解析】 【分析】本题是一次函数综合题，考查一次函数的性质，待定系数法求函数的解析式． （1）找到函数的图象在函数的图象的上方，自变量x的取值范围即可； （2）先求得，再利用待定系数法即可求解； （3）设点C的坐标为，得到点D的坐标为，根据题意列得，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：观察图象得当时，函数的图象在函数的图象的上方， ∴当时，自变量x的取值范围是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵正比例函数经过点， ∴， ∴， ∵一次函数的图象经过点和， ∴， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问3详解】 解：设点C的坐标为， ∵轴， ∴点D的坐标为， ∵， ∴， 解得或， ∴点C的坐标为或． 24. （1）结论探究： 如图，图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，图2是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形，画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理； （2）结论推广： 在中，，，；若为锐角，则与的大小有何关系，并给以证明； （3）结论应用： 在中，，，；若是钝角三角形，请直接写出第三边c的取值范围． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）若是钝角三角形，第三边的取值范围为或． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，掌握勾股定理的证明方法是解题的关键． （1）用图中给出的三个三角形组成一个梯形，而且上底和下底分别为a，b，高为；利用梯形的面积等于三个三角形的面积的和进行计算，由此列出等式即可求出勾股定理； （2）过作于，则，由勾股定理得出，，得出，即可得出结论； （3）分两种情况讨论，当为钝角时，过点作，交的延长线于点，同（2）推出，当为钝角时，，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，图形是梯形； 根据梯形的面积公式可知，梯形的面积=． 从上图我们还发现梯形的面积=三个三角形的面积，即． ∵梯形的面积和三个三角形的面积相等， ∴， 化简，得：； （2），理由如下， 如图，过作于，则， 在中：， 在中：， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）当为钝角时，过点作，交的延长线于点，如图： ∵，，， ∴， 在中，， 在中，， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴； ∴， ∵，，， ∴； 当为钝角时，， 即， ∴， ∴， 综上所述，若是钝角三角形，第三边的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年第一学期八年级期中教学质量监测 数 学 （满分：150分 考试时间：120分钟） 友情提示： 1．本试卷8页． 2．考生将自己的姓名、准考证号及所有答案均填写（涂）在答题卡上． 3．答题要求见答题卡上的“注意事项”． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 1. 以下列各组数为三边的三角形中不是直角三角形的是（ ） A. 3、4、5 B. 6、8、10 C. 4、5、6 D. 7、24、25 2. 在，，π，，这些数中，无理数的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3. 点P（－2，1）关于y轴的对称点的坐标为（ ） A. （2，1） B. （－2，－1） C. （2，－1） D. （1，－2） 4. 下列各点在函数 y= x 的图象上的是( ) A. （2，1） B. （-2，0） C. （2，0） D. （-2，1） 5. 下列数据不能确定物体位置的是（ ） A. 3楼5号 B. 北偏西40° C. 解放路30号 D. 东经120°，北纬30° 6. 如图，小手盖住的点的坐标可能是（ ） A. B. C. D. 7. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 下列一次函数中，y的值随着x的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，数轴上点，对应的数分别是，，以为边在数轴上方作正方形，连接，以为圆心，的长为半径画圆弧交数轴于点点在点的左侧)，则点在数轴上对应的数为( ) A. B. C. D. 10. 如图，在长方形中，，，为边上的点，且．为边上的动点，以为边在其右侧作等腰直角三角形，．设中点为，则的最小值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 如果电影票上“3排5号”记为，则表示的含义是______． 12. 比较大小：______ 13. 若最简二次根式与是同类二次根式，则______． 14. 已知点、，且直线平行于x轴，则a的值为______． 15. 的立方根是_______________ 16. 一次函数与的图像如图所示，下列结论中正确的有______（填序号） ①对于函数来说，y的值随x值的增大而减小 ②函数的图像不经过第一象限 ③ ④ 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算： （1） （2） （3） （4） 18. 数学课上，陈老师在黑板上画出一个正方形被等分成4行4列，如图所示，她问大家几个问题，你能解答出来吗？ （1）若A点用表示，B点用表示，C点用表示，则C点在哪里？请在图（1）中标出，D点如何表示呢？ （2）若A点用表示，B点用表示，C点用表示，则C点在哪里？请在图（2）中标出，D点如何表示呢？ 19. （1）画函数图像的一般步骤是：______、______、______． （2）已知函数的图象为，函数的图象为，按照函数画图的一般步骤在给定的直角坐标系中分别画出和． （3）直观判断和的位置关系为______． 20. 如图1，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上．他想知道风筝距地面的高度，于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后将风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线末端刚好接触地面．示意图如图2． （1）请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB． （2）在AC上求作点D，使得（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 21. 小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作： 请根据图中给出的信息，解答下列问题： （1）放入一个小球量筒中水面升高　 　cm； （2）求放入小球后量筒中水面的高度y（cm）与小球个数x（个）之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； （3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？ 22. 先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． （1）______的解法是错误的； （2）错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______； （3）先化简，再求值：，其中． 23. 如图，正比例函数与经过点的一次函数相交于点B，点B的坐标为． （1）观察图象，当时，自变量x的取值范围是______； （2）求一次函数的表达式； （3）点C为正比例函数上一动点，作轴交一次函数于点D，若，求点C的坐标． 24. （1）结论探究： 如图，图1是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c，图2是以c为直角边的等腰直角三角形．请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形，画出拼成的这个图形的示意图，并用这个图形证明勾股定理； （2）结论推广： 在中，，，；若为锐角，则与的大小有何关系，并给以证明； （3）结论应用： 在中，，，；若是钝角三角形，请直接写出第三边c的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $