浙江省杭州市保俶塔实验教育集团2024-2025学年九年级上学期期中数学试卷

2024-2025学年浙江省杭州市保俶塔实验教育集团九年级（上）期中数学试卷 一.选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意） 1．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A． B．y＝2x﹣3 C．y＝x2﹣3 D． 2．（3分）盒子里有10个球，它们只有颜色不同，其中红球有6个，黄球有3个，黑球有1个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（　　） A．一定是红球 B．摸出红球的可能性最大 C．不可能是黑球 D．摸出黄球的可能性最小 3．（3分）已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的半径为5，线段OP的长为3，则下列说法正确的是（　　） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法判断点P与⊙O的位置关系 4．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，若∠DAE＝50°，则∠CAD＝（　　） A．30° B．40° C．50° D．90° 5．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E在BC的延长线上，若∠A：∠B：∠D＝4：3：3，则∠DCE的度数是（　　） A．100° B．105° C．110° D．120° 6．（3分）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7．（3分）在下列函数图象上任取不同的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），一定能使＞0的是（　　） A．y＝（x＞0） B．y＝x2﹣4x+5（x≥0） C．y＝﹣x2+6x﹣7（x＜0） D．y＝﹣3x+7 8．（3分）已知，如图，点C，D在⊙O上，直径AB＝6cm，弦AC，BD相交于点E，若CE＝BC，则阴影部分面积为（　　） A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣ 9．（3分）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E，设∠AED＝α，∠AOD＝β，则以下关系式成立的是（　　） A．2α+β＝180° B．2α﹣β＝90° C．3α+β＝180° D．3α﹣β＝90° 10．（3分）已知二次函数y＝4（x﹣a）（x﹣b）+1（a，b是实数），设该函数最小值为k，下列说法正确的是（　　） A．若2＜a＜3，2＜b＜3，则k＜0 B．若2＜a＜3，2＜b＜3，则0＜k＜1 C．若2＜a＜3，3＜b＜4，则k＜﹣3 D．若2＜a＜3，3＜b＜4，则k＞﹣3 二.填空题（每题3分，共18分） 11．（3分）从，0，3这三个数中随机选择一个数，则这个数为无理数的概率是　 　． 12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足如表： x ⋯ ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 0 3 4 3 m … 根据表格内容，则m的值为 　 　． 13．（3分）如图所示，AD为⊙O的直径，点B、C在圆上，∠B＝60°，则∠CAD＝　 　． 14．（3分）一个袋子中装有3个红球和2个黄球，它们除颜色外，其他都相同．现将n个绿球（与红、黄球除颜色外，其他都相同）放入袋中摇均匀，从袋中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述的过程，共摸了500次，其中60次摸到红球．则估计n的值为　 　． 15．（3分）已知二次函数y＝ax2+4ax+a+1（a为常数，且a＜0）的图象经过P（x1，y1）、Q（3，y2），当y1＞y2时，则x1的取值范围为　 　． 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点I在DE上，以EF为直径的圆交直线AB于点M，N．若I为DE的中点，AB＝5，则MN＝　 　． 三.解答题（本大题共8题，共72分） 17．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）． （1）试确定此二次函数的解析式； （2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？ 18．（8分）在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字3，﹣5，7的小球，它们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字． （1）用列表法或树状图法中的一种方法，写出所有可能出现的结果； （2）求两次取出的小球上数字的和是正数的概率． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）． （1）△ABC的外接圆的半径为 　 　； （2）将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到△A1BC1，请在图中画出△A1BC1； （3）在（2）的条件下，求出点C经过的路径长． 20．（8分）如图，AC为⊙O的直径，BD是弦，且AC⊥BD于点E．连接AB、OB、BC． （1）求证：∠CBO＝∠ABD； （2）若AE＝2，CE＝8，求弦BD的长． 21．（8分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为x m（如图），养殖场的总面积为ym2． （1）求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 22．（10分）如图1，CD是△ABC的外角∠ECB的角平分线，与△ABC的外接圆⊙O交于点D． （1）若∠ECB＝120°， ①求所对圆心角的度数； ②连结DB，DA，求证：△ABD是等边三角形． （2）如图2，若∠ADB＝45°，AB＝2，求△ABD的面积． 23．（10分）设二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点． （1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（3，0），求函数y的表达式及其图象的对称轴． （2）在（1）的条件下，若函数y的图象上有P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，且．求证：y1﹣y2＞0． （3）若函数y的表达式可以写成y＝（x﹣m）（x﹣m﹣1）的形式，若0＜m＜2，求b+c的取值范围． 24．（12分）如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F，作AH⊥DG于点H． （1）求证：∠FGC＝∠AGD； （2）若∠GDC＝30°，GC平分∠DGF，请在图2中补全图形并求出的值； （3）猜想线段DH，HG，CG之间的数量关系，并证明你的结论． 2024-2025学年浙江省杭州市保俶塔实验教育集团九年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一.选择题（每小题3分，共30分，每小题只有一个选项符合题意） 1．（3分）下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A． B．y＝2x﹣3 C．y＝x2﹣3 D． 【分析】形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数叫做二次函数，由此判断即可． 【解答】解：A、不是二次函数，故此选项不符合题意； B、是一次函数，故此选项不符合题意； C、是二次函数，故此选项符合题意； D、不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．（3分）盒子里有10个球，它们只有颜色不同，其中红球有6个，黄球有3个，黑球有1个．小军从中任意摸一个球，下面说法正确的是（　　） A．一定是红球 B．摸出红球的可能性最大 C．不可能是黑球 D．摸出黄球的可能性最小 【分析】根据题意列出树状图求出各种颜色求得概率，逐个判断即可得到答案． 【解答】解：由题意可得， 摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为：，摸出黑球的概率为：， 故选：B． 3．（3分）已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的半径为5，线段OP的长为3，则下列说法正确的是（　　） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法判断点P与⊙O的位置关系 【分析】直接根据点与圆的位置关系解答即可． 【解答】解：∵⊙O与点P在同一平面内，⊙O的半径为5，线段OP的长为3，5＞3， ∴点P在⊙O内． 故选：B． 4．（3分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE，若∠DAE＝50°，则∠CAD＝（　　） A．30° B．40° C．50° D．90° 【分析】由旋转的性质可得∠CAE＝90°，结合∠DAE＝50°，求得∠CAD． 【解答】解：将△ABC绕点A顺时针旋转90°得到△ADE， ∴∠CAE＝90°， ∵∠DAE＝50°， ∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝90°﹣50°＝40°， 故选：B． 5．（3分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E在BC的延长线上，若∠A：∠B：∠D＝4：3：3，则∠DCE的度数是（　　） A．100° B．105° C．110° D．120° 【分析】设∠A＝4x，则∠B＝∠D＝3x，再由圆内接四边形的性质得出x的值，进而可得出结论． 【解答】解：∵∠A：∠B：∠D＝4：3：3， ∴设∠A＝4x，则∠B＝∠D＝3x． ∵∠B+∠D＝180°，即6x＝180°，解得x＝30°， ∴∠A＝120°， ∵∠A+∠BCD＝180°，∠BCD+∠DCE＝180°， ∴∠DCE＝∠A＝120°． 故选：D． 6．（3分）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象如图所示，则一次函数y＝bx+c的图象不经过的象限是（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】根据图像可以知道，进而得出b、c的正负，求出一次函数经过的象限，进而得出答案． 【解答】解：根据图像可得： ， ∴b＞0，c＞0， 故y＝bx+c经过一、二、三象限，不经过第四象限， 故选：D． 7．（3分）在下列函数图象上任取不同的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），一定能使＞0的是（　　） A．y＝（x＞0） B．y＝x2﹣4x+5（x≥0） C．y＝﹣x2+6x﹣7（x＜0） D．y＝﹣3x+7 【分析】根据各函数的增减性依次进行判断即可． 【解答】解：A、y＝（x＞0）中，k＝2＞0，则当x＞0时，y随x的增大而减小， 即当x1＞x2时，必有y1＜y2， 此时＜0， 故A选项不成立； B、∵y＝x2﹣4x﹣1的对称轴为直线x＝2， ∴当0＜x＜2时，y随x的增大而减小，当x＞2时y随x的增大而增大， ∴当0＜x＜2时，当x1＞x2时，必有y1＜y2， 此时＜0， 故B选项不成立； C、∵y＝﹣x2+6x﹣7（x＜0）的对称轴为直线x＝3， ∴当x＜3时，y随x的增大而增大， ∴当x＜0时，当x1＞x2时，必有y1＞y2， 此时＞0， 故C选项成立； D、∵y＝﹣3x+7中，k＝﹣3＜0， ∴y随x的增大而减小，即当x1＞x2时，必有y1＜y2， 此时＜0， 故D选项不成立； 故选：C． 8．（3分）已知，如图，点C，D在⊙O上，直径AB＝6cm，弦AC，BD相交于点E，若CE＝BC，则阴影部分面积为（　　） A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣ 【分析】连接OD、OC，根据CE＝BC，得出∠DBC＝∠CEB＝45°，进而得出∠DOC＝90°，根据S阴影＝S扇形﹣S△ODC即可求得． 【解答】解：连接OD、OC， ∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∵CE＝BC， ∴∠DBC＝∠CEB＝45°， ∴∠DOC＝2∠DBC＝90°， ∴S阴影＝S扇形﹣S△ODC＝﹣×3×3＝﹣． 故选：A． 9．（3分）如图，已知BC是⊙O的直径，半径OA⊥BC，点D在劣弧AC上（不与点A，点C重合），BD与OA交于点E，设∠AED＝α，∠AOD＝β，则以下关系式成立的是（　　） A．2α+β＝180° B．2α﹣β＝90° C．3α+β＝180° D．3α﹣β＝90° 【分析】根据垂直定义可得∠COA＝∠AOB＝90°，从而可得∠COD＝90°﹣β，再利用对顶角相等可得∠OEB＝∠AED＝α，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠B＝90°﹣α，最后利用圆周角定理可得∠COD＝2∠B，从而可得90°﹣β＝2（90°﹣α），进行计算即可解答． 【解答】解：∵OA⊥BC， ∴∠COA＝∠AOB＝90°， ∵∠AOD＝β， ∴∠COD＝∠COA﹣∠AOD＝90°﹣β， ∵∠AED＝α， ∴∠OEB＝∠AED＝α， ∴∠B＝90°﹣∠OEB＝90°﹣α， ∵∠COD＝2∠B， ∴90°﹣β＝2（90°﹣α）， ∴90°﹣β＝180°﹣2α， ∴2α﹣β＝90°， 故选：B． 10．（3分）已知二次函数y＝4（x﹣a）（x﹣b）+1（a，b是实数），设该函数最小值为k，下列说法正确的是（　　） A．若2＜a＜3，2＜b＜3，则k＜0 B．若2＜a＜3，2＜b＜3，则0＜k＜1 C．若2＜a＜3，3＜b＜4，则k＜﹣3 D．若2＜a＜3，3＜b＜4，则k＞﹣3 【分析】利用抛物线解析式求得对称轴，即可求得函数的最小值k＝4（﹣a）（﹣b）+1＝﹣（a﹣b）2+1，然后根据a、b的取值，判断|a﹣b|的值，从而判断k的大小． 【解答】解：∵二次函数y＝4（x﹣a）（x﹣b）的图象向上平移1个单位得到y＝4（x﹣a）（x﹣b）+1（a，b是实数）， 由二次函数y＝4（x﹣a）（x﹣b）（a，b是实数，且a≠b）可知对称轴为直线x＝， ∴二次函数y＝4（x﹣a）（x﹣b）+1（a，b是实数）的对称轴为直线x＝， ∴函数的最小值k＝4（﹣a）（﹣b）+1＝﹣（a﹣b）2+1， 若2＜a＜3，2＜b＜3，则|a﹣b|＜1， 所以0＜k＜1， 若2＜a＜3，3＜b＜4，则|a﹣b|＜2， 所以﹣3＜k＜1， 故选项B正确，选项A、C、D错误． 故选：B． 二.填空题（每题3分，共18分） 11．（3分）从，0，3这三个数中随机选择一个数，则这个数为无理数的概率是　　． 【分析】先确定无理数的个数，再由概率公式求解即可． 【解答】解：∵，0，3这三个数中，是无理数， ∴这三个数中随机选择一个数，这个数为无理数的概率是， 故答案为：． 12．（3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）中的x和y满足如表： x ⋯ ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 … y … 0 3 4 3 m … 根据表格内容，则m的值为 　0　． 【分析】由当x＝﹣2和x＝0时，y值均为3，可得出抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，结合＝﹣1，可得出当x＝1时y的值与当x＝﹣3时y的值，此题得解． 【解答】解：∵当x＝﹣2和x＝0时，y值均为3， ∴抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1， 又∵＝﹣1，且当x＝﹣3时，y＝0， ∴当x＝1时，y＝m＝0． 故答案为：0． 13．（3分）如图所示，AD为⊙O的直径，点B、C在圆上，∠B＝60°，则∠CAD＝　30°　． 【分析】连接BD，根据直径所对的圆周角是直角得出∠ABD＝90°，继而求出∠CBD的度数，再根据同弧所对的圆周角相等即可求出∠CAD的度数． 【解答】解：如图，连接BD， ∵AD为⊙O的直径， ∴∠ABD＝90°， ∵∠ABC＝60°， ∴∠CBD＝90°﹣60°＝30°， ∴∠CAD＝∠CBD＝30°， 故答案为：30°． 14．（3分）一个袋子中装有3个红球和2个黄球，它们除颜色外，其他都相同．现将n个绿球（与红、黄球除颜色外，其他都相同）放入袋中摇均匀，从袋中随机摸出一个球，记下颜色，再把它放回袋中，不断重复上述的过程，共摸了500次，其中60次摸到红球．则估计n的值为　20　． 【分析】根据已知可估计出模到红球的概率，再利用概率公式计算即可． 【解答】解：根据已知可估计出模到红球的概率为＝， 所以＝，解得n＝20， 故估计n的值为20． 故答案为：20． 15．（3分）已知二次函数y＝ax2+4ax+a+1（a为常数，且a＜0）的图象经过P（x1，y1）、Q（3，y2），当y1＞y2时，则x1的取值范围为　﹣7＜x1＜3　． 【分析】根据y1＞y2及y＝ax2+4ax+a+1（a为常数，且a＜0）得到关于x1的不等式，进一步得到关于x1的不等式组，解不等式组可得答案． 【解答】解：∵y1＞y2， ∴+4ax1+a+1＞9a+12a+a+1， ∴+4ax1﹣21a＞0， ∴a（x1+7）（x1﹣3）＞0， ∵a＜0， ∴（x1+7）（x1﹣3）＜0， ∴或， ∴﹣7＜x1＜3． 故答案为：﹣7＜x1＜3． 16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边在AB的同侧作三个正方形，点I在DE上，以EF为直径的圆交直线AB于点M，N．若I为DE的中点，AB＝5，则MN＝　　． 【分析】连接EC，FC，证明点E，C，F在同一条直线上，过点E，F作直线MN的垂线，垂足为R，T，设EF的中点为O，过点O作OK⊥MN于K，连接OM，证明△ABC和△AIE全等得BC＝IE，再根据点I为DE的中点得AC＝2BC，由此可得BC＝，AC＝2BC＝，进而得EC＝，FC＝，则EF＝EC+FC＝，由此得OM＝，证明△ABC∽△EAR得AR＝4，同理可证△ABC∽△BFT得FT＝1，证明OK为梯形EFTR的中位线，则OK＝（ER+FT）＝，然后在Rt△OMK中由勾股定理求出MK＝，进而可得MN的长． 【解答】解：连接EC，FC， ∵四边形ACDE和四边形BCGF均为正方形， ∴AC＝AE＝ED，∠ACE＝45°，∠CAE＝∠AED＝90°，BC＝BF，∠BCF＝45°， ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠ACE+∠ACB+∠BCF＝180°， ∴点E，C，F在同一条直线上， 过点E，F作直线MN的垂线，垂足为R，T，设EF的中点为O，过点O作OK⊥MN于K，连接OM，如图所示： ∵四边形ABHI和四边形BCGF均是正方形， ∴∠IAC＝90°，AB＝AI，∠CBF＝90°，BC＝BF， ∴∠BAC+∠CAI＝90°， 又∵∠IAE+∠CAI＝90°， ∴∠BAC＝∠IAE， 在△ABC和△AIE中， ， ∴△ABC≌△AIE（SAS）， ∴BC＝IE， ∵点I为DE的中点， ∴ID＝IE， ∴AE＝ED＝2IE， ∴AC＝2BC， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， 即（2BC）2+BC2＝52， ∴BC＝，AC＝2BC＝， 在Rt△ACE中，AC＝AE＝， 由勾股定理得：EC＝＝， 在Rt△BFC中，BC＝BF＝， 由勾股定理得：FC＝＝， ∴EF＝EC+FC＝＝， ∵EF为⊙O的直径， ∴OE＝OF＝OM＝， ∵∠CAE＝90°，ER⊥MN， ∴∠BAC+∠EAR＝90°，∠AER+∠EAR＝90°， ∴∠BAC＝∠AER， 又∵∠ACB＝∠R＝90°， ∴△ABC∽△EAR， ∴AC：ER＝AB：AE， 即：ER＝5：， ∴AR＝4， 同理可证：△ABC∽△BFT， ∴BC：FT＝AB：BF， 即：FT＝5：， ∴FT＝1， ∵ER⊥MN，FT⊥MN，OK⊥MN，点O为EF的中点， ∴OK为梯形EFTR的中位线， ∴OK＝（ER+FT）＝×（4+1）＝， 在Rt△OMK中，OM＝，OK＝， 由勾股定理得：MK＝＝， ∵点O为⊙O的圆心，OK⊥MN， ∴MN＝2MK＝． 故答案为：． 三.解答题（本大题共8题，共72分） 17．（8分）已知二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点（﹣3，0），（2，﹣5）． （1）试确定此二次函数的解析式； （2）请你判断点P（﹣2，3）是否在这个二次函数的图象上？ 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组求出a，b，得到此二次函数的解析式； （2）把x＝﹣2代入函数解析式计算，判断即可． 【解答】解：（1）由题意得，， 解得，， 则二次函数的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3； （2）当x＝﹣2时，y＝﹣（﹣2）2﹣2×（﹣2）+3＝3， ∴点P（﹣2，3）在这个二次函数的图象上． 18．（8分）在一个不透明的盒子中，装有3个分别写有数字3，﹣5，7的小球，它们的形状、大小、质地完全相同，搅拌均匀后，先从盒子里随机抽取1个小球，记下小球上的数字后放回盒子，搅拌均匀后再随机取出1个小球，再记下小球上的数字． （1）用列表法或树状图法中的一种方法，写出所有可能出现的结果； （2）求两次取出的小球上数字的和是正数的概率． 【分析】（1）根据题意先画出树状图，得出所有可能出现的结果数； （2）根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）根据题意画图如下： 所有可能出现的结果有（3，3），（3，﹣5），（3，7），（﹣5，3）（﹣5，﹣5），（﹣5，7），（7，3），（7，﹣5），（7，7）共有9种； （2）∵共有9种情况，两次取出的小球上数字的和是正数有4种情况， ∴两次取出小球上的数字相同的概率为． 19．（8分）如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣1，1），B（﹣3，1），C（﹣1，4）． （1）△ABC的外接圆的半径为 　　； （2）将△ABC绕点B顺时针旋转90°后得到△A1BC1，请在图中画出△A1BC1； （3）在（2）的条件下，求出点C经过的路径长． 【分析】（1）先利用勾股定理计算出BC，然后直角三角形的外切圆的半径为BC的一半求解； （2）利用旋转变换的性质作出A，C的对应点A1，C1即可； （3）利用弧长公式计算弧长即可． 【解答】解：（1）AB＝2，AC＝3，BC＝＝， 所以△ABC的外接圆的半径＝； 故答案为：； （2）旋转之后，如图所示： （3）CC1弧长L＝ ＝π． 20．（8分）如图，AC为⊙O的直径，BD是弦，且AC⊥BD于点E．连接AB、OB、BC． （1）求证：∠CBO＝∠ABD； （2）若AE＝2，CE＝8，求弦BD的长． 【分析】（1）先根据圆周角定理得到∠ABC＝90°，再利用等角的余角相等得到∠C＝∠ABD，然后利用∠C＝∠CBO得到∠CBO＝∠ABE； （2）先根据垂径定理得到BE＝DE，再计算出OB＝5，OE＝3，则利用勾股定理可计算出BE，从而得到BD的长． 【解答】（1）证明：∵AC为⊙O的直径， ∴∠ABC＝90°， 即∠ABD+∠CBD＝90°， ∵AC⊥BD， ∴∠BEC＝90°， ∴∠C+∠CBD＝90°， ∴∠C＝∠ABD， ∵OB＝OC， ∴∠C＝∠CBO， ∴∠CBO＝∠ABE； （2）解：∵AC⊥BD， ∴BE＝DE， ∵AE＝2，CE＝8， ∴AC＝10， ∴OB＝5，OE＝3， 在Rt△OBE中，BE＝＝4， ∴BD＝2BE＝8． 21．（8分）某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为x m（如图），养殖场的总面积为ym2． （1）求y关于x的函数关系式和自变量x的取值范围； （2）当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？ 【分析】（1）根据题意可得，矩形养殖场的长为3x m，矩形养殖场的宽为（24﹣3x） m＝（8﹣x） m，从而养殖场的总面积为y＝3x（8﹣x）＝﹣3x2+24x，再结合墙的长度为10，可得0＜3x≤10，进而可得自变量x的取值范围； （2）依据题意，由y＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48，从而当x＜4时，y随x的增大而增大，又0＜x≤，进而由二次函数的性质可以判断得解． 【解答】解：（1）由题意，∵较小矩形的宽为x m，中间再用栅栏把它分成两个面积为1：2的矩形， ∴较大矩形的宽为2x m． ∴矩形养殖场的长为3x m，矩形养殖场的宽为（24﹣3x） m＝（8﹣x） m． ∴养殖场的总面积为y＝3x（8﹣x）＝﹣3x2+24x． ∵墙的长度为10， ∴0＜3x≤10， ∴0＜x≤． ∴y关于x的函数关系式为y＝﹣3x2+24x（0＜x≤）． （2）由题意，∵y＝﹣3x2+24x＝﹣3（x﹣4）2+48， ∴当x＜4时，y随x的增大而增大． 又∵0＜x≤， ∴当x＝时，y取最大值，最大值为：﹣3（﹣4）2+48＝． 答：当x为时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为． 22．（10分）如图1，CD是△ABC的外角∠ECB的角平分线，与△ABC的外接圆⊙O交于点D． （1）若∠ECB＝120°， ①求所对圆心角的度数； ②连结DB，DA，求证：△ABD是等边三角形． （2）如图2，若∠ADB＝45°，AB＝2，求△ABD的面积． 【分析】（1）①利用邻补角的意义和角平分线的定义解答即可； ②利用圆周角定理，圆的内接四边形的性质和等边三角形的判定定理解答即可； （2）连接DO并延长交AB于点H，连接OA，OB，利用圆周角定理，同圆的半径相等的性质得到△OAB为等腰直角三角形，可求OA＝OB＝；利用等腰三角形的判定定理和垂径定理得到DH⊥AB，利用等腰直角三角形的性质求得OH，再利用三角形的面积公式解答即可． 【解答】（1）①解：∵∠ECB＝120°， ∴∠ACB＝180°﹣∠ECB＝60°． ∴所对圆心角的度数＝2∠ACB＝120°； ②证明：∵CD是△ABC的外角∠ECB的角平分线， ∴∠ECD＝∠BCD＝∠ECB＝120°＝60°． ∵∠DAB＝∠DCB， ∴∠DAB＝60°， ∵∠ECD为圆内接四边形CABD的外角， ∴∠ABD＝∠ECD＝60°， ∵∠ADB＝ACB＝60°， ∴∠ADB＝∠DAB＝∠ABD＝60°， ∴△ABD是等边三角形； （2）解：连接DO并延长交AB于点H，连接OA，OB，如图， 则∠AOB＝2∠ADB＝2×45°＝90°， ∵OA＝OB， ∴△OAB为等腰直角三角形， ∴OA＝OB＝AB＝， ∴OD＝OA＝． ∵CD是△ABC的外角∠ECB的角平分线， ∴∠ECD＝∠BCD＝∠ECB， ∵∠ECD为圆内接四边形CABD的外角， ∴∠ABD＝∠ECD． ∵∠DAB＝∠DCB， ∴∠ABD＝∠DAB， ∴DA＝DB， ∴． ∴DH⊥AB． ∴AH＝DH＝1， ∴OH＝AB＝1， ∴DH＝OD+OH＝1． ∴△ABD的面积＝AB•DH＝2×（）＝． 23．（10分）设二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点． （1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（3，0），求函数y的表达式及其图象的对称轴． （2）在（1）的条件下，若函数y的图象上有P（x1，y1），Q（x2，y2）两点，且．求证：y1﹣y2＞0． （3）若函数y的表达式可以写成y＝（x﹣m）（x﹣m﹣1）的形式，若0＜m＜2，求b+c的取值范围． 【分析】（1）根据题意列方程组，即可得到结论； （2）在（1）的条件下，二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3，于是得到y1﹣y2＝x﹣4x1+3﹣（x﹣4x2+3）＝x﹣4（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）（x1+x2﹣4），由，得到﹣＜x1+x2﹣4＜0，﹣2＜x1﹣x2＜﹣＜0，于是得到结论； （3）化简y＝（x﹣m）（x﹣m﹣1）＝x2﹣（2m+1）x+（m2+m），求得b+c＝﹣（2m+1）+（m2+m）＝m2+m﹣2m﹣1＝m2﹣m﹣1，当m＝0时，b+c＝m2﹣m﹣1＝﹣1，当m＝2时，b+c＝m2﹣m﹣1＝1，于是得到结论． 【解答】（1）解：由题意，二次函数y＝x2+bx+c（b，c是常数）经过（1，0），（3，0）， ∴， 解得， ∴抛物线的解析y＝x2﹣4x+3， ∴抛物线对称轴是直线x＝＝2； （2）解：由题意，得y＝（x﹣h）2﹣3＝x2﹣2h+h2﹣3， 又∵y＝x2+bx+c， ∴b＝﹣2h，c＝h2﹣3 ∴b+c＝h2﹣2h﹣3＝（h﹣1）2﹣4， ∴当h＝1时，b+c的最小值是﹣4； （2）证明：在（1）的条件下，二次函数解析式为y＝x2﹣4x+3， ∴y1﹣y2＝x﹣4x1+3﹣（x﹣4x2+3）＝x﹣4（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）， ∵， ∴﹣＜x1+x2﹣4＜0，﹣2＜x1﹣x2＜﹣＜0， ∴（x1﹣x2）（x1+x2﹣4）＞0， 即y1﹣y2＞0； （3）解：y＝（x﹣m）（x﹣m﹣1）＝x2﹣（2m+1）x+（m2+m）， ∵b+c＝﹣（2m+1）+（m2+m）＝m2+m﹣2m﹣1＝m2﹣m﹣1， ∴当m＝0时，b+c＝m2﹣m﹣1＝﹣1， 当m＝2时，b+c＝m2﹣m﹣1＝1， ∴b+c的取值范围为﹣＜a+b＜1． 24．（12分）如图1，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一点，AG，DC的延长线交于点F，作AH⊥DG于点H． （1）求证：∠FGC＝∠AGD； （2）若∠GDC＝30°，GC平分∠DGF，请在图2中补全图形并求出的值； （3）猜想线段DH，HG，CG之间的数量关系，并证明你的结论． 【分析】（1）连接AD，AC，利用圆的内接四边形的性质，圆周角定理，垂径定理和等腰三角形的判定与性质解答即可； （2）利用角平分线的定义，平角的定义得到∠AGD＝∠DGC＝∠FGC＝60°，则∠GDC+∠DGC＝30°+60°＝90°，DG为圆的直径，GC⊥DF；利用全等三角形的判定与性质得到DG＝FG，∠GDC＝∠F＝30°，设⊙O的半径为r，则DG＝FG＝2r，OA＝r，利用等边三角形的 判定与性质，含30°角的直角三角形的性质分别求得△CGF和△AGH的底和高，再利用三角形的面积公式解答即可． 【解答】（1）证明：连接AD，AC，如图， ∵四边形ADCG为圆的内接四边形， ∴∠FGC＝∠ADC． ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， ∴， ∴AD＝AC， ∴∠ADC＝∠ACD， ∵∠ACD＝∠AGD， ∴∠FGC＝∠AGD； （2）解：由题意补全图形如下： ∵GC平分∠DGF， ∴∠DGC＝∠FGC， 由（1）知：∠FGC＝∠AGD， ∴∠AGD＝∠DGC＝∠FGC＝60°， ∵∠GDC＝30°， ∴∠GDC+∠DGC＝30°+60°＝90°， ∴∠DCG＝90°， ∴DG为圆的直径，GC⊥DF， ∴∠DCG＝∠FCG＝90°． 在△DCG和△FCG中， ， ∴△DCG≌△FCG（ASA）， ∴DG＝FG，∠GDC＝∠F＝30°． 设⊙O的半径为r，则DG＝FG＝2r，OA＝r， ∴GC＝FG＝r， ∴FC＝＝r． ∵CD⊥AB，∠GDC＝30°， ∴∠DOB＝60°， ∴∠AOG＝DOB＝60°， ∵OA＝OG， ∴△OAG为等边三角形， ∵AH⊥OG， ∴OH＝GH＝OG＝r， ∴AH＝r， ∴＝＝＝4； （3）解：线段DH，HG，CG之间的数量关系为DH＝HG+CG．理由： 在DG的延长线上截取GM＝GC，连接AD，AG，AM，如图， ∵∠AGM＝∠DGF，∠FGC＝∠AGD， ∴∠AGM＝∠DGC+∠FGC＝∠DGC+∠AGD＝∠AGC． 在△AGC和△AGM中， ， ∴△AGC≌△AGM（SAS）， ∴AC＝AM． ∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB， ∴， ∴AD＝AC， ∴AD＝AM， ∵AH⊥DG， ∴DH＝HM， ∴DH＝HG+GM＝HG+GC． 学科网（北京）股份有限公司 $$