2025年九年级数学中考复习 二次函数与平行四边形 专题提升训练

2025年九年级数学中考复习 二次函数与平行四边形专题提升训练 1．如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于两点，与y轴交于点，设抛物线的顶点为D． (1)求抛物线的表达式； (2)连接，试判断的形状，并说明理由； (3)若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使以A，B，Q，P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，与y轴交于点C，点P是抛物线上一动点，它的横坐标为m． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，当点P在第一象限时，点Q与点P关于抛物线的对称轴对称，若四边形是平行四边形，求m的值； (3)过点P作轴于点 M，当点P与点M都不与点C重合时，以为边作矩形，设矩形的周长为l． ①求l与m的函数解析式； ②若对于l的每一个取值，都有四个m的值与它对应，写出l的取值范围． 3．如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． (3)点P是抛物线对称轴上的一点，点Q是对称轴左侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出点Q的坐标______． 4．如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C． (1)直接写抛物线的解析式和对称轴； (2)将直线向上平移，得到过原点O的直线是直线上任意一点．在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，抛物线与轴交于，两点，过点的直线交抛物线于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点是线段上一个动点，过点作轴的垂线交抛物线于点，求线段最大时点的坐标，并连接，，求的面积的最大值； (3)点是抛物线上的动点，在抛物线的对称轴上否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由． 6．如图，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线上的动点，且满足，求出P点的坐标； (3)连接，点E是x轴一动点，点F是抛物线上一动点，若以B、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出点F的坐标． 7．如图，抛物线：与轴交于点，顶点为，过点作的垂线，交轴于点．延长到点，使，作轴，交抛物线的对称轴于点． (1)当时，直接写出点、的坐标； (2)当在变化时，点在另一抛物线上运动，①求抛物线的函数解析式；②线段的长是否为定值？若是，求出的长；若不是，请说明理由； (3)在（2）的条件下，过点作的平行线，与抛物线交于另一点，当为何值时，以、、、为顶点的四边形是平行四边形？ 8．抛物线与x轴交于A，B，与y轴交于C，且 (1)求A，B 的坐标； (2)若D到A，B，C距离相等，求点P，使P，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形． 9．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点、点，M是抛物线上第一象限内的点，过点M作直线轴于点N. (1)求抛物线的表达式； (2)当直线是抛物线的对称轴时，求四边形的面积 (3)求的最大值，并求此时点M的坐标； (4)在（3）的条件下，若P是抛物线的对称轴上的一动点，Q是抛物线上的一动点，是否存点点P、Q，使以点A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请求点Q的坐标，若不存在，请说明理由. 10．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线解析式及，两点坐标； (2)以，，，为顶点的四边形是平行四边形，求点坐标． 11．如图，抛物线的顶点为，与轴的交点为和（其中点与原点重合），将抛物线绕点逆时针方向旋转，点，为点，旋转后的对应点． (1)求抛物线的解析式； (2)求证：点，，在同一条直线上； (3)若点是原抛物线上的一动点，点是旋转后的图形的对称轴上一点，为线段的中点，在第一象限内存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点坐标． 12．如图1，抛物线的顶点为抛物线与y轴交于点与x轴交于两点（A在B左侧）． (1)求抛物线解析式； (2)P为抛物线上一点，且满足求点P的坐标； (3)如图2，点D在抛物线对称轴上，且位于x轴上方，点为第四象限抛物线上的点．若四边形为平行四边形且其面积为求点E的坐标． 13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，点、的坐标分别是、，与轴交于点，连结，过点作轴交抛物线于点，点是抛物线上一个动点，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)过点作交抛物线的对称轴于点，当时，求的值； (3)设以为顶点的四边形的面积为，当点在轴右侧的抛物线上时，求与之间的函数关系式； (4)是轴上的一点，若以为顶点的四边形是平行四边形时，求点的坐标． 14．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，，与轴交于点． (1)求该抛物线的函数表达式及对称轴； (2)如图，若点为对称轴上一动点，是否存在点使的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图，点是直线下方抛物线上的任意一点，连结，，以，为邻边作平行四边形，求四边形面积的最大值． 15．若直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象经过点A，点B，且与x轴交于点． (1)求二次函数的解析式； (2)若点P为直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为E，作轴交直线于点F，求线段最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿x轴的正方向平移2个单位长度得到新抛物线，Q是新抛物线与x轴的交点（靠近y轴），N是原抛物线对称轴上一动点，在新抛物线上存在一点M，使得以M、N、B、Q为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件的点M的坐标． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)是直角三角形， (3)存在， 2．(1) (2)m的值为 (3)；② 3．(1) (2)点的坐标为或或 (3)点的坐标为或或 4．(1)，直线 (2)存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．当点时，点；当点时，点或 5．(1)； (2)，面积最大为； (3)存在，，或． 6．(1) (2)点或或或 (3)点F坐标为或或 7．(1)， (2)①的函数关系式为：；②是定值， (3)的值或 8．(1)， (2)或或 9．(1) (2)5 (3)最大值为，. (4)存在，或或 10．(1)，点的坐标为，点的坐标为 (2)点的坐标为或或 11．(1) (2) 12．(1) (2)或 (3) 13．(1)抛物线的解析式为 (2)或 (3) (4)点的坐标为或或或 14．(1)；抛物线的对称轴为直线 (2)点为对称轴上一动点，存在点使的周长最小， (3)四边形面积的最大值是 15．(1) (2)线段最大值为，点P的坐标为 (3)满足条件的点M的坐标有或或 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$