第二十四章 圆综合测试题2024-2025学年人教版数学九年级上册

第二十四章 圆综合测试题 考试范围：第24章圆；考试时间：100分钟；总分：120分 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列说法正确的是（　　） A．长度相等的弧是等弧 B．直径是圆中最长的弦 C．弧是半圆 D．三点确定一个圆 2．已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的半径为5，线段OP的长为3，则下列说法正确的是（　　） A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法判断点P与⊙O的位置关系 3．如图，在正方形网格中，点A，B，C，D，O都在格点上．下列说法正确的是（　　） A．点O是△ABC的内心 B．点O是△ABC的外心 C．点O是△ABD的内心 D．点O是△ABD的外心 4．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝41°，则∠ABC的度数是（　　） A．41° B．45° C．49° D．59° （3题图） （4题图） （5题图） （6题图） 5．如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC＝CD＝DA＝4cm，则⊙O的直径AB为（　　） A．5cm B．4cm C．6cm D．8cm 6．如图，AB是⊙O的直径，D，C是⊙O上的点，∠ADC＝115°，则∠BAC的度数是（　　） A．25° B．30° C．35° D．40° 7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，分别以A、B、C为圆心，2为半径画弧，3条弧与AB所围成的阴影部分的周长是（　　） A．8﹣2π B．4﹣π C． D． 8．如图，矩形ABCD内接于⊙O，分别以AB、BC、CD、AD为直径向外作半圆．若AB＝4，BC＝5，则阴影部分的面积是（　　） A．π﹣20 B．π﹣20 C．20π D．20 9．如图所示，已知三角形ABE为直角三角形，∠ABE＝90°，BC为⊙O切线，C为切点，DE为⊙O直径，CA＝CD，则△ABC和△CDE面积之比为（　　） A．1：3 B．1：2 C． D． 10．蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是部分巢房的横截面图，图中7个全等的正六边形不重叠且无缝隙，将其放在平面直角坐标系中，点P，Q，M均为正六边形的顶点．若点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），则点M的坐标为（　　） A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（2，﹣3） D．（﹣2，﹣3） （10题图） （13题图） （14题图） （15题图） 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若⊙O与直线l有公共点，则d的取值范围 　 　． 12．若圆锥的底面半径长2cm，母线长3cm，则该圆锥的侧面积为 　 　cm2．（结果保留π） 13．如图，含30°角的直角三角板ABC的斜边AB与量角器的直径重合，点C和点D在量角器的半圆上，若点D在量角器上对应的读数是50°，则∠CAD的度数是 　 　． 14．如图，正方形ABCD的边长为4，以AB为直径向正方形内作半圆，CE与DF是半圆的切线，M，N为切点，CE，DF交于点P．则AE＝　 　，△PMN的面积是　 　． 15．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝8，点O为边BC上一动点，以点O为圆心，1为半径作⊙O，过AD的中点E作⊙O的切线EP，P为切点，则EP的最小值为 　 　． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（9分）如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4．作DE⊥AC于点E． （1）求DE的长； （2）若以点A为圆心作圆，B、C、D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，求⊙A的半径r的取值范围． 17．（9分）“筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了“筒车”的工作原理．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方，且当圆被水面截得的弦AB为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦AB从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？ 18．（9分）（回味03第22题）在正五边形ABCD中，∠EAB＝∠B＝108°，EA＝AB＝BC，M、N分别是AB和BC的中点，连接AN、EM，相交于点O． （1）求证：AN＝EM； （2）求∠EON． 19．（9分）已知△ABC，请按以下要求完成本题： （1）请作出△ABC的外接圆⊙O（尺规作图，保留作图痕迹）； （2）若在△ABC中，∠ABC＝65°，∠ACB＝45°，⊙O的直径AD交CB于E，求∠DEC的度数． 20．（9分）如图，⊙O的直径BC为6cm，弦AC为3cm，∠CAB的平分线交⊙O于点D． （1）求∠CBD的度数； （2）求阴影部分的面积． 21．（9分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，BD是⊙O的直径，AB＝AC，AE∥BC，E为BD的延长线与AE的交点． （1）求证：AE是⊙O的切线； （2）若∠ABC＝75°，BC＝2，求的长． 22．（10分）在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交直线AC于点E，连结BE． 小明：根据题意，我画出了如图1的情况； 小丽：小明，你的思考不够全面，我认为还有其他的情况，若∠BAC为钝角，我发现圆与直线AC的交点在线段CA的延长线上； 小明：哦...我明白了! （1）在图1中求证：点D是边BC的中点； （2）记∠ABE的度数为α．求出∠C的度数（用α表示）． 23．（11分）综合与探究 问题情境： 如图，已知AB为⊙O的直径，点C为⊙O上异于A，B的一点，过点C作⊙O的切线CE，过点A作AD⊥CE于点D，连接OC． 探究发现： （1）证明：无论点C在何处，将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上； 探究引申： （2）如图2，勤奋小组继续探究发现，若△AOC是等腰三角形且对称轴经过点D，此时，CD与AB存在数量关系，请写出结论并证明； 探究规律： （3）如图3，智慧小组在勤奋小组的启发下发现当△AOC为正三角形时，CD与AB存在的数量关系是：CD＝　 　AB． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．解：A、长度相等的弧不一定是等弧，错误，不符合题意； B、直径是圆中最长的弦，正确，符合题意； C、半圆是弧，但弧不一定是半圆，错误，不符合题意； D、不在同一直线上的三点确定一个圆，错误，不符合题意． 选：B． 2．解：∵⊙O与点P在同一平面内，⊙O的半径为5，线段OP的长为3，5＞3， ∴点P在⊙O内． 选：B． 3．解：根据点A，B，C，D，O都在正方形网格的格点上． 可知：点O到点A，B，D三点的距离相等， 所以点O是△ABD的外心， 选：D． 4．解：∵CD是⊙O的直径， ∴∠DBC＝90°， ∵∠DBA＝∠DCA＝41°， ∴∠ABC＝90°﹣∠DBA＝49°， 选：C． 5．解：如图，连接OD、OC， ∵BC＝CD＝DA＝4cm， ∴∠AOD＝∠DOC＝∠BOC＝60°． 又OA＝OD， ∴△AOD是等边三角形， ∴OA＝AD＝4cm， ∴⊙O的直径AB为8cm． 选：D． 6．解：解法一：如图，连接OC， ∵∠ADC＝115°， ∴优弧所对的圆心角为2×115°＝230°， ∴∠BOC＝230°﹣180°＝50°， ∴∠BAC∠BOC＝25°， 选：A． 解法二：∵∠ADC＝115°， ∴∠ABC＝180°﹣115°＝65°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣∠ABC＝90°﹣65°＝25°， 选：A． 7．解：∵∠C＝90°，CA＝CB＝4， ∴∠A＝∠B＝45°，AB4， 三条弧长为l总2＝2π， ∴3条弧与AB所围成的阴影部分的周长＝2π+44． 选：D． 8．解：如图，连接BD，则BD过点O， 在Rt△ABD中，AB＝4，BC＝5， ∴BD2＝AB2+AD2＝41， S阴影部分＝S以AD为直径的圆+S以AB为直径的圆+S矩形ABCD﹣S以BD为直径的圆 ＝π×（）2+π×（）2+4×5﹣π×（）2 20 ＝20， 选：D． 9．解：连接OC，如图， ∵DE是圆O的直径， ∴∠DCE＝∠DCA＝90°， ∵BC为⊙O切线，C为切点， ∴OC⊥BC， ∴∠BCO＝90°， ∵∠DCA＝∠BCO＝90°． ∴∠ACB＝∠DCO， ∵∠ABD+∠ACD＝180°． ∴∠A+∠BDC＝180°． 又∵∠BDC+∠CDO＝180°． ∴∠A＝∠CDO． 在△ABC和△DOC中， ， ∴△ABC≌△DOC（ASA）． ∴S△ABC＝S△DOC． ∵点O是DE的中点． ∴S△DOCS△CDE， ∴S△ABCS△CDE． ∴S△ABC：S△CDE＝1：2． 选：B． 10．解：设中间正六边形的中心为D，连接DB． ∵点P，Q的坐标分别为，（0，﹣3），图中是7个全等的正六边形， ∴AB＝BC＝2，OQ＝3， ∴OA＝OB， ∴OC＝3， ∵DQ＝DB＝2OD， ∴OD＝1，QD＝DB＝CM＝2， ∴M（3，﹣2）， 选：A． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．解：∵⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为d，若⊙O与直线l有公共点， ∴0≤d≤5， 答案为：0≤d≤5． 12．解：圆锥的侧面积＝2π×2×3÷2＝6π （cm2） 答案为：6π． 13．解：如图，连接OD， 根据题意得，∠CAB＝60°， ∵点D在量角器上对应的读数是50°， ∴∠DOB＝50°， ∵∠DAB∠DOB， ∴∠DAB＝25°， ∴∠CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝35°， 答案为：35°． 14．解：（1）由切线长定理知：AE＝EM，CM＝CB； ∵CD＝CB， ∴CM＝CD＝4． 设AE＝EM＝x，则DE＝4﹣x，CE＝CM+EM＝4+x； 在Rt△CDE中，由勾股定理得： （4﹣x）2+42＝（4+x）2，解得x＝1； AE＝1． （2）同（1）可求得BF＝FN＝1，则DF＝CE＝5，DE＝CF＝3； 则可证得Rt△CDE≌Rt△DCF； ∴∠DCP＝∠CDP，即DP＝CP， ∴PM＝PN； △DPC∽△NPM，且MN∥CD； 设MN所在直线与AD、BC的交点为R、T，则MR⊥AD，NT⊥BC； 在Rt△MRE中，ME＝1，则ER＝ME•cos∠DEC，MR＝ME•sin∠DEC； 过P作PG⊥MN于G，则RG＝GT＝2，MG＝2﹣RM； 易知RE∥PG，则△REM∽△GPM， ∴（）2； ∵S△REMMR•RE， ∴S△PMG， S△PMN＝2S△PMG． 15．解：连接OP、OE，作EF⊥BC于点F， ∵四边形ABCD是矩形，AB＝4， ∴∠A＝∠B＝∠BFE＝90°， ∴四边形ABFE是矩形， ∴EF＝AB＝4， ∵OE≥EF， ∴OE≥4， ∴OE的最小值为4， ∵EP与⊙O相切于点P，OP＝1， ∴EP⊥OP， ∴∠OPE＝90°， ∴EP， ∴当OE最小时，EP的值最小， ∴当OE＝4时，EP， ∴EP的最小值为， 答案为：． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．解：（1）∵矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4， ∴AC＝BD5， ∵AC•DEDC•AD， ∴DE； （2）∵AB＜AE＜AD＜AC， ∴若以点A为圆心作圆，B、C、D、E四点中至少有1个点在圆内，且至少有1个点在圆外，即点B在圆内，点C在圆外， ∴⊙A的半径r的取值范围为3＜r＜5． 17．解：（1）如图，作OD⊥AB于点E，交圆于点D， 则AEAB＝3米，DE＝1米， 设圆的半径为r米， 在Rt△AOE中，AE2+OE2＝OA2， ∴32+（r﹣1）2＝r2， 解得r＝5， ∴该圆的半径为5米； （2）如图，当AB＝8米时，AEAB＝4， 在Rt△AOE中，AE2+OE2＝OA2， ∴42+OE2＝52， ∴OE＝3米， ∴DE＝5﹣3＝2（米）， 答：水面下盛水筒的最大深度为2米． 18．（1）证明：∵M、N分别是AB和BC的中点， ∴AMAB，BNBC， ∵AB＝BC， ∴AM＝BN， 在△AEM与△BAN中， ， ∴△AEM≌△BAN（SAS）， ∴AN＝EM； （2）解：∵△AEM≌△BAN， ∴∠AEM＝∠BAN， ∵∠EON＝∠OAE+∠AEO＝∠BAN+∠EAO＝∠BAE＝108°． 19．解：（1）作AB的垂直平分线KT，AC的垂直平分线MN，KT交MN于O，以O为圆心，OA的长为半径作⊙O，如图： ⊙O即为所求； （2）连接CD，如图， ∵， ∴∠ADC＝∠ABC＝65°， ∵AD为⊙O的直径， ∴∠ACD＝90°， ∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠ACD＝180°﹣65°﹣90°＝25°， ∴∠DEC＝∠DAC+∠ACB＝25°+45°＝70°． ∴∠DEC为70°． 20．解：（1）∵BC是⊙O的直径， ∴∠CAB＝90°， ∵AD平分∠CAB， ∴∠CAD∠CAB＝45°， ∴∠CBD＝∠CAD＝45°； （2）如图，连接OA， ∵BC＝6cm，AC＝3cm，∠CAB＝90°， ∴∠ABC＝30°，OA＝OB＝3cm，AB3（cm）， ∴∠ACB＝90°﹣30°＝60°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝120°， ∴S扇形AOB3π（cm2）， ∵OA＝OB， ∴S△AOBS△ACB3×3（cm2）， ∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB＝（3π）cm2， 即阴影部分的面积为（3π）cm2． 21．（1）证明：连接并延长AO交BC于点F，连接OC，则OA＝OB＝OC， ∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC， ∵∠AOB＝2∠ACB，∠AOC＝2∠ABC， ∴∠AOB＝∠AOC， ∴， ∴∠OAB＝∠OAC， ∴AF⊥BC， ∵AE∥BC， ∴∠OAE＝∠AFB＝90°， ∴OA是⊙O的半径，且AE⊥OA， ∴AE是⊙O的切线． （2）解：∵∠ACB＝∠ABC＝75°， ∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝30°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝2×30°＝60°， ∴△BOC是等边三角形，∠COD＝180°﹣∠BOC＝120°， ∴OC＝BC＝2， ∴， ∴的长是． 22．（1）证明：连接AD，如图1所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， 即AD⊥BC， ∵AB＝AC， ∴BD＝CD， 即点D是边BC的中点； （2）当△ABC是锐角三角形时，点E在边AC上，如图1所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAC＝90°﹣α， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC（180°﹣∠BAC）＝45°； 当△ABC是钝角三角形时，点E在CA的延长线上，如图2所示： ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∴∠BAC＝90°+α， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC（180°﹣∠BAC）＝45°； 当△ABC是直角三角形时，点E与点A重合， 此时α＝0°，∠C＝45°． 综上所述：∠C的度数是45°或45°或45°． 23．（1）证明：∵DE为⊙O的切线， ∴OC⊥DE， ∵AD⊥DE， ∴AD∥OC， ∴∠DAC＝∠OCA， ∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA， ∴∠DAC＝∠OAC， ∴无论点C在何处，将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上； （2）解：CDAB． 理由如下：∵△AOC是等腰三角形且对称轴经过点D， ∴DA＝DC， ∵AD⊥CE， ∴∠DCA＝45° ∵DE为⊙O的切线， ∴OC⊥DE， ∴∠OCD＝90°， ∴∠OCA＝45°， ∴∠COA＝90°， ∵∠ADC＝∠AOC＝∠OCD＝90°， ∴四边形AOCD为矩形， ∴CD＝AO， ∴CDAB； （3）解：∵△AOC为正三角形， ∴OA＝AC，∠OCA＝60°， ∵∠OCD＝90°， ∴∠ACD＝30°， ∴ADAC，ADCD， ∴CDAC， ∴CDAC， 而AC＝OAAB， ∴CDAB． 答案为：． 第17页（共17页） 学科网（北京）股份有限公司 $$