2025年中考数学高频压轴题训练——二次函数压轴题（面积问题）

2025年中考数学高频压轴题训练—— 二次函数压轴题（面积问题） 1．如图，二次函数的图象与轴交于点，，顶点为．点在抛物线上（不与，重合），连接，．    (1)求二次函数解析式； (2)若的面积为，求点的坐标； (3)设直线交轴于点，过点作轴，垂足为，连接，，求证：． 2．如图 1，二次函数y=-x2+bx+c的图像过点 A （3，0）， B （0， 4）两点，动点 P 从 A 出发，在线段 AB 上沿 A → B 的方向以每秒 2 个单位长度的速度运动，过点P作 PD⊥ y 于点 D ，交抛物线于点 C . 设运动时间为 t （秒）. （1）求二次函数y=-x2+bx+c的表达式； （2）连接 BC ，当t=5/6时，求△BDP 的面积； （3）如图 2，动点 P 从 A 出发时，动点 Q 同时从 O 出发，在线段 OA 上沿 O→A 的方向以 1个单位长度的速度运动，当点 P 与 B 重合时， P 、 Q 两点同时停止运动，连接 DQ 、 PQ ，将△DPQ沿直线 PC 折叠到 △DPE ．在运动过程中，当PE与AB重合时求t 的值．    3．如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B． （1）点A的坐标为 　 　，点C的坐标为 　 　； （2）求抛物线的解析式； （3）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标． 4．在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2＋2mx的顶点为A，直线l：y＝x－1与x轴交于点B． (1)如图，已知点A的坐标为（2，4），抛物线与直线l在第一象限交于点C． ①求抛物线的解析式及点C的坐标； ②点M为线段BC上不与B，C重合的一动点，过点M作x轴的垂线交x轴于点D，交抛物线于点E，设点M的横坐标t．当EM＞BD时，求t的取值范围； (2)过点A作AP⊥l于点P，作AQ∥l交抛物线于点Q，连接PQ，设△APQ的面积为S．直接写出： ①S关于m的函数关系式； ②S的最小值及S取最小值时m的值． 5．如图，已知二次函数y＝2x2﹣8x+6的图象与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，顶点为D．求四边形ADBC的面积． 6．如图，抛物线与x轴分别相交于A，B两点（点A在点B的左侧），C是的中点，平行四边形的顶点D，E均在抛物线上． (1)直接写出点C的坐标； (2)如图（1），若点D的横坐标是，点E在第三象限，平行四边形的面积是13，求点F的坐标； (3)如图（2），若点F在抛物线上，连接，求证：直线过一定点． 7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2（a≠0）与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），且A点坐标为（﹣，0），直线BC的解析式为y＝﹣x+2． （1）求抛物线的解析式； （2）过点A作AD∥BC，交抛物线于点D，点E为直线BC上方抛物线上一动点，连接CE，EB，BD，DC．求四边形BECD面积的最大值及相应点E的坐标． 8．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C．抛物线y＝x2+bx+c经过点B和点C，与x轴交于另一点A，连接AC． （1）求抛物线的解析式； （2）若点Q在直线BC上方的抛物线上，连接QC，QB，当△ABC与△QBC的面积比等于2：3时，直接写出点Q的坐标： （3）在（2）的条件下，点H在x轴的负半轴，连接AQ，QH，当∠AQH＝∠ACB时，直接写出点H的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接，点为第二象限抛物线上的动点． （1）求、、的值； （2）连接、、，求面积的最大值； （3）过作，垂足为，是否存在这样的点、，使得与相似，若存在，请写出所有符合条件的点坐标，并选其中一个写出证明过程；若不存在，请说明理由． 10．如图，直线的图像与x轴，y轴分别交于点B，A，点B与点C关于原点对称，反比例函数的图像经过平行四边形的顶点D． (1)求证：． (2)求反比例函数的解析式． (3)动点M从点A到点D，动点N从点C到点A，都以每秒1个单位的速度运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，四边形的面积最小？此时四边形的面积是多少？ 11．如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．    （1）求抛物线的表达式； （2）过点作交抛物线于点，求点的坐标； （3）若点为第三象限内抛物线上一动点，四边形的面积为，是否存在最大值？若存在，求出最大值和此时点的坐标，若不存在，请说明理由． 12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线（）与轴交于点，与轴交于，两点（点在点的右侧），且点的坐标为，连接，过点作交轴于点，． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点为射线上一点，点为第二象限内抛物线上一点，求四边形面积的最大值及此时点的坐标； （3）如图2，将原抛物线沿轴正方向平移得到新抛物线，经过点，平移后点的对应点为点，点为线段的中点，点为新抛物线的对称轴上一点，在新抛物线上存在一点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点的坐标，并选择一个你喜欢的点写出求解过程． 13．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）． （1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标； （2）判断△ABC的形状，证明你的结论； （3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当CM+AM的值最小时，求M的坐标； （4）在线段BC下方的抛物线上有一动点P，求△PBC面积的最大值． 14．如图，抛物线y=x2﹣（m+2）x+3（m﹣1）与x轴的两个交点为A、B，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点，直线y=﹣2x+m+6经过点B，交y轴于点E（0，6）． （1）求直线和抛物线的解析式； （2）如果抛物线的对称轴与线段BC交于点H，且直线y=x与直线y=﹣2x+m+6交于点G，求证：四边形OHBG是平行四边形； （3）在抛物线上是否存在点P，使△APB的面积等于平行四边形OHBG的面积，若存在，直接写出P点的坐标，若不存在请说明理由． 15．已知，抛物线y＝x2﹣x+与x轴分别交于A、B两点（A点在B点的左侧），交y轴于点F． （1）A点坐标为　 　；B点坐标为　 　；F点坐标为　 　； （2）如图1，C为第一象限抛物线上一点，连接AC，BF交于点M，若BM＝FM，在直线AC下方的抛物线上是否存在点P，使S△ACP＝4，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）如图2，D、E是对称轴右侧第一象限抛物线上的两点，直线AD、AE分别交y轴于M、N两点，若OM•ON＝，求证：直线DE必经过一定点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1) (2)或 2．（1）；（2）；（3） 3．（1）A（0，2），C（4，0）；（2）；（3）面积最大值为8，此时M的坐标为（2，2） 4．(1)①；C(，)；②1＜t＜ (2)①S＝；②当m＝时，取最小值，最小值为 5．四边形ADBC的面积为8． 6．(1) (2) 7．（1）y＝﹣x2+x+2；（2）当x＝时，S的最大值为，此时点E（，）． 8．（1）y＝x2﹣6x+5；（2）点Q（﹣1，12）或（6，5）；（3）点H的坐标为：（﹣19，0）或（﹣，0）． 9．（1）a=－1，b=－2，c=3；（2）；（3）存在，或 10．(2) (3)当时，四边形的面积的最小值为 11．（1）；（2）点的坐标为或；（3）存在，的最大值为12，此时点的坐标为． 12．（1）；（2）四边形面积的最大值为，此时点P（，）；（3）M（，﹣）或M（，）或M（，） 13．（1）抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣2，顶点D的坐标是（，﹣）； （2）△ABC是直角三角形 （3）点M的坐标为(，−)； （4）△PBC面积的最大值是4. 14．（1）y=x2-2x-3；（3）存在满足条件的点p，点p的坐标是（0，-3）或（2，-3）或（1+，3） 15．（1）（1，0），（3，0），（0，）；（2）在直线AC下方的抛物线上不存在点P，使S△ACP＝4 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$