广西南宁市武鸣区2024-2025学年上学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年广西南宁市武鸣区八年级（上）期中数学试卷 一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.） 1．（3分）第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会的项目图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 2．（3分）工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（　　） A．两点之间的线段最短 B．三角形具有稳定性 C．长方形是轴对称图形 D．长方形的四个角都是直角 3．（3分）点（3，﹣2）关于y轴的对称点是（　　） A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣3，2） D．（3，﹣2） 4．（3分）如果一个三角形的两边长分别为3，7，则第三边的长可以是（　　） A．3 B．4 C．7 D．10 5．（3分）若等腰三角形的顶角是70°，则它的一个底角的度数是（　　） A．55° B．40° C．55°或40° D．20°或40° 6．（3分）如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．BA＝2BF B．∠ACE＝∠ACB C．AE＝BE D．CD⊥AB 7．（3分）如图，∠1＝∠2，不能确定△ABC≌△CDA，这个条件是（　　） A．AB＝CD B．AD＝CB C．∠ACB＝∠DAC D．∠B＝∠D 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），若△AOB≌△CDA，则点D的坐标是（　　） A．（﹣9，0） B．（﹣6，0） C．（0，﹣9） D．（﹣12，0） 9．（3分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接CD． 若AC＝4，AB＝10，则△ACD的周长为（　　） A．4 B．6 C．10 D．14 10．（3分）将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于（　　） A．50° B．60° C．75° D．85° 11．（3分）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD＝100°，则∠A+∠B+∠D+∠E＝（　　） A．220° B．240° C．260° D．280° 12．（3分）M是直线l上一点，N是直线l外一点，在直线l上求作一点P，使得|PM﹣PN|的值最大，则这点P（　　） A．与M重合 B．在M的左边 C．在M的右边 D．是直线l上任一点 二、填空题（本大题共6题，每小题2分，共12分） 13．（2分）四边形的内角和是　 　． 14．（2分）如图，△ABC的一个外角∠ACD＝100°，∠B＝30°，则∠A＝　 　度． 15．（2分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为 　 　． 16．（2分）某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝　 　海里． 17．（2分）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“友好三角形”，其中α称为“友好角”．如果一个“友好三角形”的一个内角为36°，那么这个三角形的“友好角”α的度数为 　 　． 18．（2分）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是 　 　． 三、解答题（本大题共8题，共72分，解答应写出文字说明、证明或演算过程.） 19．（6分）如图，求图形中x的值． 20．（6分）如图，已知点C、F、E、B在同一条直线上，DF⊥BC，AE⊥BC，DF＝AE，AB∥CD，求证：△CDF≌△BAE． 21．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝∠C＝45°，AC＝2． （1）尺规作图：求作∠ABC的角平分线BD，交AC于点D（保留作图痕迹）； （2）求△ABC的面积． 22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中点若AD＝3cm，求AB的长． 23．（10分）如图是雨伞开闭过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，支撑杆OE＝OF，AB＝2AE，AC＝2AF．当O沿AD滑动时，雨伞开闭．雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？请说明理由． 24．（10分）如图，△ABC为等边三角形，DE∥AC，点O为线段BC上一点，DO的延长线与AC的延长线交于点F，DO＝FO． （1）求证：△BDE是等边三角形； （2）若AC＝7，FC＝3，求OC的长． 25．（10分）【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容． 如图1，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【性质探究】 （1）如图1，连接筝形ABCD的对角线AC、BD交于点O，试探究筝形ABCD的性质，并填空：对角线AC、BD的关系是：　 　；图中∠ADB、∠CDB的大小关系是：　 　； 【概念理解】 （2）如图2，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，△EAB与△DAB关于AB所在的直线对称，△FAC与△DAC关于AC所在的直线对称，延长EB，FC相交于点G．请写出图中所有的“筝形”，并选择其中一个进行证明； 【应用拓展】 （3）如图3，在（2）的条件下，连接EF，分别交AB、AC于点M、H．求证：∠BAC＝∠FEG． 26．（10分）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，点Q的运动速度为x cm/s，其他条件不变，当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x、t的值． 2024-2025学年广西南宁市武鸣区八年级（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12题，每小题3分，共36分.在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.） 1．（3分）第33届夏季奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，下列巴黎奥运会的项目图标中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依据轴对称图形的定义逐项分析，即可作答． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故该选项是错误的； B、不是轴对称图形，故该选项是错误的； C、是轴对称图形，故该选项是正确的； D、不是轴对称图形，故该选项是错误的； 故选：C． 2．（3分）工人师傅砌门时，常用一根木条固定长方形门框，使其不变形，这样做的根据是（　　） A．两点之间的线段最短 B．三角形具有稳定性 C．长方形是轴对称图形 D．长方形的四个角都是直角 【答案】B 【分析】在窗框上斜钉一根木条，构成三角形，故可用三角形的稳定性解释． 【解答】解：盖房子时，在窗框未安装好之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，这样就构成了三角形，故这样做的数学道理是三角形的稳定性． 故选：B． 3．（3分）点（3，﹣2）关于y轴的对称点是（　　） A．（﹣3，﹣2） B．（3，2） C．（﹣3，2） D．（3，﹣2） 【答案】A 【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答． 【解答】解：点（3，﹣2）关于y轴的对称点是（﹣3，﹣2）． 故选：A． 4．（3分）如果一个三角形的两边长分别为3，7，则第三边的长可以是（　　） A．3 B．4 C．7 D．10 【答案】C 【分析】根据三角形三边关系，两边之和第三边，两边之差小于第三边即可判断． 【解答】解：设第三边为x，则4＜x＜10， 所以符合条件的整数为7， 故选：C． 5．（3分）若等腰三角形的顶角是70°，则它的一个底角的度数是（　　） A．55° B．40° C．55°或40° D．20°或40° 【答案】A 【分析】根据三角形的内角和计算即可． 【解答】解：70°是底角，则底角为：（180°﹣70°）÷2＝55°； 故选：A． 6．（3分）如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（　　） A．BA＝2BF B．∠ACE＝∠ACB C．AE＝BE D．CD⊥AB 【答案】C 【分析】从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高． 三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点，则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线． 三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．依此即可求解． 【解答】解：∵CD，CE，CF分别是△ABC的高、角平分线、中线， ∴CD⊥AB，∠ACE＝∠ACB，AB＝2BF，无法确定AE＝BE． 故选：C． 7．（3分）如图，∠1＝∠2，不能确定△ABC≌△CDA，这个条件是（　　） A．AB＝CD B．AD＝CB C．∠ACB＝∠DAC D．∠B＝∠D 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∵AC＝CA，∠1＝∠2，AB＝CD， ∴△ABC≌△CDA（SAS）， 故A不符合题意； B、∵AC＝CA，∠1＝∠2，AD＝BC， ∴△ABC和△CDA不一定全等， 故B符合题意； C、∵AC＝CA，∠1＝∠2，∠ACB＝∠DAC， ∴△ABC≌△CDA（ASA）， 故C不符合题意； D、∵AC＝CA，∠1＝∠2，∠B＝∠D， ∴△ABC≌△CDA（AAS）， 故D不符合题意； 故选：B． 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6），若△AOB≌△CDA，则点D的坐标是（　　） A．（﹣9，0） B．（﹣6，0） C．（0，﹣9） D．（﹣12，0） 【答案】A 【分析】根据全等三角形的性质可得AD＝OB＝6，求出OD的长，即可确定点D坐标． 【解答】解：∵点A，B的坐标分别是（﹣3，0），（0，6）， ∴OA＝3，OB＝6， ∵△AOB≌△CDA， ∴AD＝OB＝6， ∴OD＝6+3＝9， ∴点D坐标为（﹣9，0）， 故选：A． 9．（3分）如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图： ①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N； ②作直线MN交AB于点D，连接CD． 若AC＝4，AB＝10，则△ACD的周长为（　　） A．4 B．6 C．10 D．14 【答案】D 【分析】根据作图可得MN是BC的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质可得CD＝DB，然后可得AD+CD＝10，进而可得△ACD的周长． 【解答】解：根据作图可得MN是BC的垂直平分线， ∵MN是BC的垂直平分线， ∴CD＝DB， ∵AB＝10， ∴CD+AD＝10， ∴△ACD的周长＝CD+AD+AC＝4+10＝14， 故选：D． 10．（3分）将一副三角板按如图所示的方式放置，图中∠CAF的大小等于（　　） A．50° B．60° C．75° D．85° 【答案】C 【分析】利用三角形内角和定理和三角形的外角的性质计算即可． 【解答】解：∵∠DAC＝∠DFE+∠C＝60°+45°＝105°， ∴∠CAF＝180°﹣∠DAC＝75°， 故选：C． 11．（3分）如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接AB、BC、CD、DE、EA，若∠BCD＝100°，则∠A+∠B+∠D+∠E＝（　　） A．220° B．240° C．260° D．280° 【答案】D 【分析】连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果． 【解答】解：连接BD， ∵∠BCD＝100°， ∴∠CBD+∠CDB＝180°﹣100°＝80°， ∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE＝360°﹣∠CBD﹣∠CDB＝360°﹣80°＝280°， 故选：D． 12．（3分）M是直线l上一点，N是直线l外一点，在直线l上求作一点P，使得|PM﹣PN|的值最大，则这点P（　　） A．与M重合 B．在M的左边 C．在M的右边 D．是直线l上任一点 【答案】A 【分析】点P、点M、点N，可构成△PMN，根据三角形三边关系分析即可． 【解答】解：点P、点M、点N可构成△PMN，根据三角形三边关系可得， |PM﹣PN|＜MN，要使得|PM﹣PN|的值最大，则点P、点M、点N共线时，出现最大值， 此时点P与点M重合． 故选：A． 二、填空题（本大题共6题，每小题2分，共12分） 13．（2分）四边形的内角和是　360°　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据n边形的内角和是（n﹣2）•180°，代入公式就可以求出内角和． 【解答】解：（4﹣2）×180°＝360°． 故四边形的内角和为360°． 故答案为：360°． 14．（2分）如图，△ABC的一个外角∠ACD＝100°，∠B＝30°，则∠A＝　70　度． 【答案】70． 【分析】利用三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和可求得． 【解答】解：∵∠ACD＝100°，∠B＝30°， ∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝100°﹣30°＝70°． 故答案为：70． 15．（2分）在平面直角坐标系中，点（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为 　（2，1）　． 【答案】见试题解答内容 【分析】直接利用关于x轴对称点的性质得出答案． 【解答】解：点（2，﹣1）关于x轴对称的点的坐标为（2，1）． 故答案为：（2，1）． 16．（2分）某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP＝　7　海里． 【答案】见试题解答内容 【分析】过P作AB的垂线PD，在直角△BPD中可以求的∠PBD的度数是30度，即可证明△APB是等腰三角形，即可求解． 【解答】解：过P作PD⊥AB于点D． ∵∠PBD＝90°﹣60°＝30° 且∠PBD＝∠PAB+∠APB，∠PAB＝90﹣75＝15° ∴∠PAB＝∠APB ∴BP＝AB＝7（海里） 故答案为：7． 17．（2分）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角的两倍时，我们称此三角形为“友好三角形”，其中α称为“友好角”．如果一个“友好三角形”的一个内角为36°，那么这个三角形的“友好角”α的度数为 　36°或72°或96°　． 【答案】36°或72°或96°． 【分析】利用“友好三角形”的定义讨论：当三角形的另一个内角为72°时，可确定“友好角”的度数为72°；当三角形的另一个内角为18°时，可确定“友好角”的度数为36°；当三角形的另两个内角为x，2x时，可确定“友好角”的度数为96°． 【解答】解：∵一个“友好三角形”中有一个内角为36°， ∴当三角形的另一个内角为72°时，这个“友好三角形”的“友好角”的度数为72°； 当三角形的另一个内角为18°时，这个“友好三角形”的“友好角”的度数为36°； 当三角形的另两个内角为x，2x时，则x+2x+36°＝180°， 解得：x＝48°，2x＝96； 综上所述：这个“友好三角形”的“友好角”的度数为36°或72°或96°． 故答案为：36°或72°或96°． 18．（2分）如图钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架，若AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A，则∠A的度数是 　12°　． 【答案】见试题解答内容 【分析】设∠A＝x，根据等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠AP7P8，∠AP8P7，再根据三角形的内角和定理列式进行计算即可得解． 【解答】解：设∠A＝x， ∵AP1＝P1P2＝P2P3＝…＝P13P14＝P14A， ∴∠A＝∠AP2P1＝∠AP13P14＝x， ∴∠P2P1P3＝∠P13P14P12＝2x， ∴∠P3P2P4＝∠P12P13P11＝3x， …， ∠P7P6P8＝∠P8P9P7＝7x， ∴∠AP7P8＝7x，∠AP8P7＝7x， 在△AP7P8中，∠A+∠AP7P8+∠AP8P7＝180°， 即x+7x+7x＝180°， 解得x＝12°， 即∠A＝12°． 故答案为：12°． 三、解答题（本大题共8题，共72分，解答应写出文字说明、证明或演算过程.） 19．（6分）如图，求图形中x的值． 【答案】图形中x的值为65． 【分析】根据四边形的内角和为360°，进而得出答案． 【解答】解：140+90+2x＝360， 解得：x＝65． 答：图形中x的值为65． 20．（6分）如图，已知点C、F、E、B在同一条直线上，DF⊥BC，AE⊥BC，DF＝AE，AB∥CD，求证：△CDF≌△BAE． 【答案】证明过程见解答． 【分析】根据垂直定义可得：∠DFC＝∠AEB＝90°，再利用平行线的性质可得∠C＝∠B，然后利用AAS证明△CDF≌△BAE，即可解答． 【解答】证明：∵DF⊥BC，AE⊥BC， ∴∠DFC＝∠AEB＝90°， ∵AB∥CD， ∴∠C＝∠B， ∵DF＝AE， ∴△CDF≌△BAE（AAS）． 21．（10分）如图，在△ABC中，∠A＝∠C＝45°，AC＝2． （1）尺规作图：求作∠ABC的角平分线BD，交AC于点D（保留作图痕迹）； （2）求△ABC的面积． 【答案】（1）见解答． （2）1． 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）由题意得，∠ABC＝90°，AB＝BC．设AB＝BC＝x，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，代入求出x的值，再利用三角形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）如图，射线BD即为所求． （2）∵∠A＝∠C＝45°， ∴∠ABC＝90°，AB＝BC． 设AB＝BC＝x， 在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2， 即x2+x2＝22， 解得x＝或（舍去）， ∴AB＝BC＝． ∴△ABC的面积为＝＝1． 22．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，D是BC的中点若AD＝3cm，求AB的长． 【答案】AB的长为6cm． 【分析】利用等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得∠B＝∠C＝30°，再利用等腰三角形的三线合一性质可得∠ADB＝90°，然后在Rt△ADB中，利用含30度角的直角三角形的性质进行计算即可解答． 【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）＝30°， ∵AB＝AC，D是BC的中点， ∴∠ADB＝90°， ∵AD＝3cm， ∴AB＝2AD＝6（cm）， ∴AB的长为6cm． 23．（10分）如图是雨伞开闭过程中某时刻的截面图，伞骨AB＝AC，支撑杆OE＝OF，AB＝2AE，AC＝2AF．当O沿AD滑动时，雨伞开闭．雨伞开闭过程中，∠BAD与∠CAD有何关系？请说明理由． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意结合三角形全等的证明方法得出△AEO≌△AFO即可得出答案． 【解答】解：∠BAD＝∠CAD，理由： ∵AB＝AC，AB＝2AE，AC＝2AF， ∴AE＝AF， 在△AEO和△AFO中， ． ∴△AEO≌△AFO（SSS）， ∴∠BAD＝∠CAD． 24．（10分）如图，△ABC为等边三角形，DE∥AC，点O为线段BC上一点，DO的延长线与AC的延长线交于点F，DO＝FO． （1）求证：△BDE是等边三角形； （2）若AC＝7，FC＝3，求OC的长． 【答案】（1）见解答；（2）2． 【分析】（1）根据等边三角形的性质和判定解答即可； （2）根据等边三角形的性质解答即可． 【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠ACB， ∵DE∥AC， ∴∠A＝∠BDE，∠ACB＝∠DEB， ∴∠B＝∠BDE＝∠DEB， ∴△BDE是等边三角形； （2）∵DE∥AC， ∴∠EDO＝∠CFO， 在△DOE和△FOC中， ， ∴△DOE≌△FOC（ASA）； ∵△ABC为等边三角形， ∴BC＝AC＝7， 得：BE＝DE＝CF＝3，EO＝CO， ∴EC＝BC﹣BE＝4， ∴OC＝EC＝2． 25．（10分）【教材呈现】以下是人教版八年级上册数学教材第53页的部分内容． 如图1，四边形ABCD中，AD＝CD，AB＝CB．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”． 【性质探究】 （1）如图1，连接筝形ABCD的对角线AC、BD交于点O，试探究筝形ABCD的性质，并填空：对角线AC、BD的关系是：　BD垂直平分AC　；图中∠ADB、∠CDB的大小关系是：　∠ADB＝∠CDB　； 【概念理解】 （2）如图2，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，△EAB与△DAB关于AB所在的直线对称，△FAC与△DAC关于AC所在的直线对称，延长EB，FC相交于点G．请写出图中所有的“筝形”，并选择其中一个进行证明； 【应用拓展】 （3）如图3，在（2）的条件下，连接EF，分别交AB、AC于点M、H．求证：∠BAC＝∠FEG． 【答案】（1）BD垂直平分AC，∠ADB＝∠CDB； （2）四边形AEBD、四边形ADCF、四边形AEGF；证明见解析； （3）证明见解析． 【分析】（1）根据垂直平分线的判定和性质得到AC⊥BD，再根据三线合一得到∠ADB＝∠CDB； （2）根据“筝形”的定义判断，利用轴对称的性质证明即可； （3）利用轴对称的性质得到相等的线段和角，证明∠BAC+∠AEF＝90°，利用∠FEG+∠AEF＝90°等量代换得到∠BAC＝∠FEG． 【解答】（1）解：∵DA＝DC，BA＝BC， ∴BD垂直平分AC， ∵AC⊥BD，AD＝CD， ∴∠ADB＝∠CDB， 故答案为：BD垂直平分AC；∠ADB＝∠CDB； （2）解：图中的“筝形”有：四边形AEBD、四边形ADCF、四边形AEGF； 证明四边形AEBD是筝形： 由轴对称的性质可知AE＝AD，BE＝BD； ∴四边形AEBD是筝形． 同理：AF＝AD，CD＝CF； ∴四边形ADCF是筝形． 连接EF，如图2， ∵AE＝AD，AF＝AD， ∴AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE， ∵AD⊥BC， ∴∠AEG＝∠AFG＝∠ADB＝∠ADC＝90°， ∴∠GEF＝∠GFE， ∴EG＝FG， ∴四边形AEGF是筝形； （3）证明：由轴对称的性质可知： ∠CAD＝∠CAF，∠BAD＝∠BAE，∠ADB＝∠AEB＝90°，AD＝AF＝AE， ∴∠EAF＝∠EAD+∠DAF＝2（∠BAD+∠DAC）＝2∠BAC，∠AEF＝∠AFE， ∴∠EAF+2∠AEF＝180°， ∴2∠BAC+2∠AEF＝180°， ∴∠BAC+∠AEF＝90°， ∵∠FEG+∠AEF＝90°， ∴∠BAC＝∠FEG． 26．（10分）如图（1），AB＝7cm，AC⊥AB，BD⊥AB垂足分别为A、B，AC＝5cm．点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图（2），若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA＝60°”，点Q的运动速度为x cm/s，其他条件不变，当点P、Q运动到某处时，有△ACP与△BPQ全等，求出相应的x、t的值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）利用SAS证得△ACP≌△BPQ，得出∠ACP＝∠BPQ，进一步得出∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°得出结论即可； （2）由△ACP≌△BPQ，分两种情况：①AC＝BP，AP＝BQ，②AC＝BQ，AP＝BP，建立方程组求得答案即可． 【解答】解：（1）△ACP≌△BPQ；PC⊥PQ，理由如下： ∵AC⊥AB，BD⊥AB ∴∠A＝∠B＝90° ∵AP＝BQ＝2， ∴BP＝5， ∴BP＝AC， 在△ACP和△BPQ中，， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）； ∴∠C＝∠BPQ， ∵∠C+∠APC＝90°， ∴∠APC+∠BPQ＝90°， ∴∠CPQ＝90°， ∴PC⊥PQ； （2）存在x的值，使得△ACP与△BPQ全等， ①若△ACP≌△BPQ， 则AC＝BP，AP＝BQ，可得：5＝7﹣2t，2t＝xt 解得：x＝2，t＝1； ②若△ACP≌△BQP， 则AC＝BQ，AP＝BP，可得：5＝xt，2t＝7﹣2t 解得：x＝，t＝． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/23 0:39:13；用户：18328501451；邮箱：18328501451；学号：43314264 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$