精品解析：云南省大理白族自治州祥华中学等学校2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题

祥云祥华中学2024-2025学年上学期期中考试 高二数学测试卷 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为30°，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方程和倾斜角分别求出直线的斜率，进而得到的值. 【详解】由已知得直线的斜率=,∴, 故选:A. 2. 在等比数列中，，，则（ ） A. 64 B. 128 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合等比数列的性质求解． 【详解】由题意得，得，则. 由，得. 所以. 故选：B． 3. 过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 联立求出交点，再由垂直关系得出所求直线方程. 【详解】联立，解得，. 设与直线垂直的直线方程是 将，代入方程，解得 故所求方程为 故选：D. 4. 过点的直线被圆所截弦长最短时的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 分析可得当弦长最短时，该弦所在直线与过点的直径垂直，先求出过点的直径的斜率，然后再求出所求直线的斜率，最后由点斜式写出直线的方程即可. 【详解】当弦长最短时，该弦所在直线与过点的直径垂直， 圆的圆心为，所以过点的直径的斜率为， 故所求直线为，所求直线方程为，即. 故选：A. 【点睛】方法点睛：本题考查直线与圆位置关系的应用，解题关键是明确当弦与圆的直径垂直时，弦长最短，考查逻辑思维能力，属于常考题. 5. 已知圆：与圆：，则两圆的位置关系是 A. 相交 B. 相离 C. 内切 D. 外切 【答案】C 【解析】 【详解】分析：求出圆心的距离，与半径的和差的绝对值比较得出结论． 详解：圆，圆,，所以内切．故选C 点睛：两圆的位置关系判断如下：设圆心距为，半径分别为，则： ，内含；，内切；，相交；，外切；，外离． 6. 已知两个等差数列的前项和分别为和，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列前项和公式及等差数列性质得，再由已知，令，代入求值即可. 【详解】由都是等差数列，设公差分别为， 则， ， 则， 故不妨令， 所以， . 故选：B. 7. 北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层地面的中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中下三层共有扇面形石板（不含天心石）3402块，则中层共有扇面形石板（ ） A. 1125块 B. 1134块 C. 1143块 D. 112块 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意将实际问题转化为等差数列，再根据等差数列及其前n项和的性质进行求解即可. 【详解】记从中间向外每环扇面形石板数为，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设每层有环， 则，， 由等差数列的性质可得，，也成等差数列， 所以， 所以， 所以， 所以中层共有扇面形石板1134块． 故选：B． 8. 已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】过分别作垂线，垂足分别为，作出图形，结合双曲线的定义推到出，再由三角形相似可得，最后得到，再由离心率的定义解出即可； 【详解】 过分别作的垂线，垂足分别为， 则， ，则， 又，则， ，即在直线上， ， 则， 又，则，即， ，故离心率为， 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是等差数列，其前n项和为，，则下列结论一定正确的有（ ） A. B. 最小 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用等差数列的性质，对通项与前n项和的基本量进行计算. 【详解】根据题意，数列等差数列，设公差为， 若，得，， ，所以选项A正确； ， 如果，则，则最小；如果，则，由于，则最小； 如果，则，由，时，则没有最小值，所以选项B错误； ，得，所以选项C正确； ，所以选项D错误. 故选：AC. 10. 已知数列满足（为正整数），，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则所有可能取值的集合为 C. 若，则 D. 若为正整数，则的前项和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由递推关系直接验算即可；对于B，结合是正整数分类讨论反推即可；对于C，写出前面几项，发现周期规律，由此即可验算；对于D，由等比数列求和公式即可求解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B， 若，则只能（否则，于是奇数矛盾），从而（否则，于是奇数矛盾）， 进而由递推关系，故B正确； 对于C，， 所以从开始数列呈现周期为3，均能被3整除，所以，故C正确； 对于D，，则的前项和为，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：B选项的关键是结合是正整数进行反推，由此即可顺利得解. 11. 已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于，两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（ ） A. 若为的中线，则 B. C. 存在直线使得 D. 对于任意直线，都有 【答案】ABD 【解析】 【分析】取，两点都在第一象限, 设，，联立抛物线，利用韦达定理以及抛物线定义来判断各项正误. 【详解】不妨取，两点都在第一象限，过分别作抛物线准线的垂线，垂足为， 设，，， 联立，得且，即， 所以， 则， 对于A：若为的中线，则，结合得，所以， 所以，， 此时，所以，A正确； 对于B：由求根公式， 则，所以，B正确； 对于C：若，即，明显等腰直角三角形， 此时，即，所以，解得，此时， 此时为同一点，不合题意，C错误； 对于D：， 又，结合，都恒成立，D正确； 故选：ABD. 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 二、填空题（本大题共3题，每小题5分，共计15分） 12. 若正项数列满足（，），且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，从而可得数列是首项为，公差的等差数列，从而可求得，进而可求解. 【详解】因为（，），所以， 所以数列是首项为，公差的等差数列， 所以，又因为，所以. 故答案： 13. 过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_____． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：设A ，B ，则①，②， ∵M是线段AB的中点，∴，∵直线AB的方程是， ∴，∵过点M（1，1）作斜率为的直线与椭圆C：（a＞b＞0）相交于A，B两点，M是线段AB的中点，∴①②两式相减可得，即． 考点：椭圆简单性质 14. 已知圆：，圆：，过轴上一点分别作两圆的切线，切点分别是，，当取到最小值时，点坐标为______. 【答案】 【解析】 【分析】，则，可看成点P到两定点，的距离和，而A,B两点在x轴的两侧，所以A,B连线与x轴的交点就是所求点P. 【详解】的圆心为，半径， 的圆心为，半径， 设，则， 所以， 取， 则， 当三点共线时取等号， 此时AB直线：， 令，则，所以， 故答案为： 【点睛】此题考查直线与圆的位置关系，考查距离公式的应用，解题的关键是将问题转化为点P到两定点，的距离和的最小值. 四、解答题（本大题共5题，共计77分，请写出必要的文字说明和演算步骤） 15. 已知等差数列的前 项和为，正项等比数列的前 项和为. （1）若，求数列的通项公式; （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意建立方程组求解等差与等比数列的基本量，再求通项； （2）由题意建立方程组求解等差与等比数列的基本量，再求. 【小问1详解】 设 的公差为的公比为， 由，得①， 又，得②， 联立①②解得 (舍去)，或， 因此数列的通项公式为； 【小问2详解】 由，得， 解得(舍)或， 当时，由， 得解得， 则. 16. 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点． （Ⅰ）求直线与平面的距离； （Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 【解析】 【分析】（Ⅰ）证明直线平面，建立空间直角坐标系，求直线与平面的距离，转化为点到平面的距离； （Ⅱ）若，求出平面、平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角的平面角的余弦值． 【详解】（Ⅰ）证明：在矩形中，， 又平面，平面， 所以平面 如图，以为坐标原点，射线、、分别为轴、轴、轴正半轴，建立空间直角坐标系． 设，，，则 ，0，，，，，，0，，，0，． 因此，0，，，，，，0，． 则，， 因为， 所以平面． 又由，知平面， 故直线与平面的距离为点到平面的距离，即为． （Ⅲ）解：因为，所以，，，，，． 设平面的法向量，，，则，． 又，，，，0，，故 所以，． 可取，则，2，． 设平面的法向量，，，则，， 又，0，，，，，故 所以，，可取，则，1，． 故，． 【点睛】本题考查线面平行的判定，考查线面角，考查面面角，考查向量法的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题． 17. 已知数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的最大项是该数列的第几项． 【答案】（1） （2）第项 【解析】 【分析】（1）根据求通项即可； （2）根据得到，然后列不等式求最大项即可. 【小问1详解】 当时，，不满足上式， 当时，， 故数列的通项公式为. 【小问2详解】 由已知得， 当时，， 则，即， 得， 即， 所以当，的最大项为第7项， 又， 所以数列的最大项是该数列的第项. 18. 已知抛物线，过点的直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在点A处的切线为，在点B处的切线为，直线与交于点M. （1）设直线，的斜率分别为，，证明：； （2）设线段AB的中点为N，求的取值范围. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设切线方程，分别用点的横坐标表示，联立直线l与抛物线的方程，结合韦达定理，可得结果； （2）联立直线方程求点M坐标，由中点坐标公式可得点坐标，从而得到，再由弦长公式可得，由的表达式求取值范围即可. 【小问1详解】 由题意知，直线l的斜率存在， 设点，，直线l的方程为， 由得， ，，. 由，得切点，， 则切线的方程为，代入，得， 所以，解得， 同理，得切线的斜率， 所以. 【小问2详解】 由（1）可得， 故，. 由（1）得， 可化为，① 同理得，② 由①②，得，，即， 则. ， 所以. 由，，得，故， 即的取值范围为. 【点睛】方法点睛： 解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系，涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形，强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 19. 已知椭圆.双曲线的实轴顶点就是椭圆的焦点，双曲线的焦距等于椭圆的长轴长. （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线经过点与椭圆交于两点，求的面积的最大值； （3）设直线（其中为整数）与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由. 【答案】（1）（2）（3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程可以得到双曲线的焦距和顶点坐标，从而直接写出双曲线方程即可； （2）设出直线方程，将三角形面积拆分为2个三角形的面积，从而利用韦达定理进行处理； （3）根据直线与两个曲线相交，通过夹逼出的取值范围，再结合向量相加为零转化出的条件，得到之间的关系，从而利用是整数，对结果进行取舍即可. 【详解】（1）对椭圆，因为， 故其焦点为，椭圆的长轴长为. 设双曲线方程为， 由题可知：，解得. 故双曲线的方程为：. （2）因为直线AB的斜率显然不为零， 故设直线方程为，联立椭圆方程 可得 设交点， 则 则 又 故 令，解得 故 当且仅当时，即时，取得最大值. 故的面积的最大值为. （3）联立直线与椭圆方程 可得 整理得① 设直线与椭圆的交点为 故可得② 同理：联立直线与双曲线方程 可得 整理得③ 设直线与双曲线的交点为 故可得④ 要使得 即可得 故可得 将②④代入可得 解得. 综上所述，要满足题意，只需使得： 故当时，可以取得满足题意； 即直线方程可以为 当时，可以取满足题意. 即直线方程可以为 故存在这样的直线有9条，能够使得. 【点睛】本题考查椭圆方程和双曲线方程，涉及椭圆中三角形面积的最大值，以及圆锥曲线中的直线的存在性问题，属综合性困难题；其中解决第三问的关键是要把握住“整数”这一个关键词，同时也要对向量进行合理的转化. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 祥云祥华中学2024-2025学年上学期期中考试 高二数学测试卷 一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为30°，则（ ） A. B. C. D. 2. 在等比数列中，，，则（ ） A 64 B. 128 C. D. 3. 过直线和交点，且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 过点的直线被圆所截弦长最短时的直线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆：与圆：，则两圆位置关系是 A. 相交 B. 相离 C. 内切 D. 外切 6. 已知两个等差数列的前项和分别为和，且，则的值为（ ） A B. C. D. 7. 北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层地面的中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中下三层共有扇面形石板（不含天心石）3402块，则中层共有扇面形石板（ ） A. 1125块 B. 1134块 C. 1143块 D. 112块 8. 已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知是等差数列，其前n项和为，，则下列结论一定正确的有（ ） A. B. 最小 C. D. 10. 已知数列满足（为正整数），，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则所有可能取值的集合为 C. 若，则 D. 若为正整数，则的前项和为 11. 已知抛物线的焦点为，点与点关于原点对称，过点的直线与抛物线交于，两点（点和点在点的两侧），则下列命题正确的是（ ） A. 若为的中线，则 B. C. 存在直线使得 D. 对于任意直线，都有 二、填空题（本大题共3题，每小题5分，共计15分） 12. 若正项数列满足（，），且，则________． 13. 过点作斜率为的直线与椭圆：相交于，若是线段的中点，则椭圆的离心率为_____． 14. 已知圆：，圆：，过轴上一点分别作两圆切线，切点分别是，，当取到最小值时，点坐标为______. 四、解答题（本大题共5题，共计77分，请写出必要的文字说明和演算步骤） 15. 已知等差数列的前 项和为，正项等比数列的前 项和为. （1）若，求数列的通项公式; （2）若，求. 16. 如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，，点是棱的中点． （Ⅰ）求直线与平面的距离； （Ⅱ）若，求二面角的平面角的余弦值． 17. 已知数列的前n项和． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的最大项是该数列的第几项． 18. 已知抛物线，过点的直线l交抛物线于A，B两点，抛物线在点A处的切线为，在点B处的切线为，直线与交于点M. （1）设直线，的斜率分别为，，证明：； （2）设线段AB的中点为N，求的取值范围. 19. 已知椭圆.双曲线的实轴顶点就是椭圆的焦点，双曲线的焦距等于椭圆的长轴长. （1）求双曲线的标准方程； （2）设直线经过点与椭圆交于两点，求的面积的最大值； （3）设直线（其中为整数）与椭圆交于不同两点，与双曲线交于不同两点，问是否存在直线，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$