精品解析：浙江省金华市浙江强基联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题

浙江强基联盟2024年11月高二联考 数学试题 浙江强基联盟研究院 命制 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 如果椭圆的方程是，那么它的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，，若，则（ ） A. 1 B. -5 C. 1或-5 D. -1或5 4. 已知圆和圆，则与的位置关系是（ ） A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 外离 5. 在正方体中，以下说法正确的是（ ） A. 若E为的中点，则 平面 B. 若E为的中点，则 平面 C. 若E为的中点，则 D. 若E为的中点，则 6. 已知，则函数的最小值是（ ） A. B. C. 3 D. 2 7. 在平行六面体中，若直线与的交点为．设，，，则下列向量中与共线的向量是（ ） A. B. C. D. 8. 如果函数那么（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2023 D. 2025 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，以下说法正确的是（ ） A. z的实部是3 B. C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 10. 抛掷一颗质地均匀的骰子，记随机事件“点数为i”，其中，则以下说法正确的是（ ） A. 若随机事件“点数不大于3”，则与互斥 B. 若随机事件“点数为偶数”，则 C. 若随机事件“点数不大于2”，则与对立 D. 若随机事件“点数为奇数”，则与相互独立 11. 棱长为1的正四面体ABCD的内切球球心为O，点P是该内切球球面上的动点，则以下说法正确的是（ ） A. 记直线AO与直线AB的夹角是α，则 B. 记直线AO与平面ABC的夹角是β，则 C. 记的最小值为n，则 D. 记在上的投影向量为，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点A（2，1）到直线l：的距离是________． 13. 已知圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积是________． 14. 设O是坐标原点，是椭圆的左焦点，椭圆上的点P关于O的对称点是Q，若，，则该椭圆的离心率是______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知圆C：，点P（1，4），且直线l经过点P． （1）若l与C相切，求l的方程； （2）若l的倾斜角为，求l被圆C截得的弦长． 16. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，记的面积为S，已知． （1）若，求外接圆的半径； （2）求的值． 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是正三角形，四边形ABCD为等腰梯形，且有，E，F分别是AD，BC的中点，动点Q在PF上． （1）证明：平面平面； （2）当时，求平面QAB与平面QCD所成角的余弦值． 18. 在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是．记点的轨迹是曲线，点是曲线上的一点． （1）求曲线的方程； （2）若，直线l过点与曲线的另一个交点为，求面积的最大值； （3）过点作直线交曲线于，两点，且，证明：为定值． 19. 在平面直角坐标系中，我们可以采用公式（其中为常数），将点变换成点，我们称该变换为线性变换，上式为坐标变换公式．常见的线性变换有平移变换和旋转变换． （1）将点向左平移个单位，再向上平移个单位，得到点，求该变换的坐标变换公式，并求将椭圆向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得新椭圆的方程； （2）将点绕原点逆时针旋转后，得到点，求上述变换的坐标变换公式，并求将椭圆绕原点逆时针旋转后，所得新椭圆的方程； （3）若点满足，证明：点的轨迹是椭圆． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江强基联盟2024年11月高二联考 数学试题 浙江强基联盟研究院 命制 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的概念可直接得到结果. 【详解】因为. 故选：D 2. 如果椭圆的方程是，那么它的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程确定焦点坐标. 【详解】因为椭圆的标准方程为：， 所以椭圆的焦点在轴上，且，，所以. 所以椭圆的焦点为：. 故选：C 3. 已知点，，若，则（ ） A. 1 B. -5 C. 1或-5 D. -1或5 【答案】C 【解析】 【分析】应用距离公式即可求解. 【详解】解：因为点，，所以， 所以，则. 故选：C. 4. 已知圆和圆，则与的位置关系是（ ） A. 外切 B. 内切 C. 相交 D. 外离 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的方程可确定两圆的圆心和半径，由两圆圆心距与两圆半径的关系可判断出位置关系. 【详解】由圆方程知：圆心，半径； 由，得， 所以圆心，半径； 圆心距，所以圆与圆外切. 故选：A 5. 在正方体中，以下说法正确的是（ ） A. 若E为的中点，则 平面 B. 若E为的中点，则 平面 C. 若E为的中点，则 D. 若E为的中点，则 【答案】A 【解析】 【分析】A.利用线面平行的判定定理判断；B.根据 平面，平面与平面平面不平行判断；C.利用余弦定理判断；D.取 CD的中点F，由，判断. 【详解】A.如图所示： 连接AC，BD交于点O，则O为BD的中点，所以，又 平面， 平面，所以 平面，故正确； B. 易知 平面，平面与平面平面不平行，所以与平面不垂直，故错误； C.如图所示： 在矩形中，，设正方体的棱长为1，在中，，则，所以，则不垂直，故错误； D.如图所示： 取 CD的中点F，易知，又，所以不平行，故错误； 故选：A 6. 已知，则函数的最小值是（ ） A. B. C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】分析函数在上的单调性，根据函数的单调性分析函数的最小值. 【详解】设， 则. 因为，所以，. 所以即. 所以函数在上单调递增. 所以. 故选：B 7. 在平行六面体中，若直线与的交点为．设，，，则下列向量中与共线的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把表示出来，根据向量的数乘运算判断向量的平行. 【详解】如图： 因为. 所以与平行. 故选：D 8. 如果函数那么（ ） A. 2020 B. 2021 C. 2023 D. 2025 【答案】B 【解析】 【分析】记，，根据的定义可求的周期，根据周期性求解即可. 【详解】记，， 根据可得， ， 而， ，， ， ， ， 所以的周期为5，取值分别为2023，2024，2020，2021，2022， . 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，以下说法正确的是（ ） A. z的实部是3 B. C. D. 在复平面内对应的点在第一象限 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数实部的概念判断A的真假；计算复数的模判断B的真假；根据共轭复数的概念判断C的真假；根据复数的几何意义判断D的真假. 【详解】对A：复数的实部为3，故A正确； 对B：因为，故B正确； 对C：根据共轭复数的概念，，故C正确； 对D：因为在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故D错误. 故选：ABC 10. 抛掷一颗质地均匀的骰子，记随机事件“点数为i”，其中，则以下说法正确的是（ ） A. 若随机事件“点数不大于3”，则与互斥 B. 若随机事件“点数为偶数”，则 C. 若随机事件“点数不大于2”，则与对立 D. 若随机事件“点数为奇数”，则与相互独立 【答案】BD 【解析】 【分析】对于选项中的事件，分别写出对应的基本事件构成的集合，根据互斥事件、对立事件、独立事件的定义依次分析，即可 【详解】，故，所以与不互斥，故A错； ，故B对； 但，所以与不对立，故C错； ，故D对； 故选：BD 11. 棱长为1的正四面体ABCD的内切球球心为O，点P是该内切球球面上的动点，则以下说法正确的是（ ） A. 记直线AO与直线AB的夹角是α，则 B. 记直线AO与平面ABC的夹角是β，则 C. 记的最小值为n，则 D. 记在上的投影向量为，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正四面体内切球的性质结合正四面体结构特征求解判断A、C；根据点到平面的距离求解判断C；根据投影定义求解判断D； 【详解】如图，设内切球的半径为r，球O与平面BCD的切点为H， 则， 根据等体积法可得，正四面体ABCD的体积，所以， 可知，故A对； 由直线AO与平面ABC的夹角是β，设球O与平面ABC的切点为G，连接OG， 所以平面ABC，所以，， 所以在直角中，，故B错； 令，则Q是平面BCD内一动点， ， 即球面上的点到平面BCD上点之间的距离， 最小值n表示球面上的点到平面BCD的距离， 所以，即，故C对； 点A在线段BC上的投影为线段BC的中点E，点P在线段BC上的投影点位于点的左侧和右侧，且的最大值为，则， 故选：ACD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 点A（2，1）到直线l：的距离是________． 【答案】 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式即可求得答案． 【详解】点A（2，1）到直线l：的距离为， 故答案为： 13. 已知圆锥的侧面展开图是圆心角为，弧长为的扇形，则该圆锥的体积是________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据条件确定圆锥的底面半径和高，根据锥体的体积公式求圆锥的体积. 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，母线长为. 则由题意：， 所以. 所以圆锥的体积为：. 故答案为：. 14. 设O是坐标原点，是椭圆的左焦点，椭圆上的点P关于O的对称点是Q，若，，则该椭圆的离心率是______． 【答案】##0.5 【解析】 【分析】利用对角线相互平分判断四边形为平行四边形，利用，中的余弦定理，面积公式列方程，得关于，，的方程，构造出离心率，求解即可. 【详解】 由题意，点P关于O的对称点是Q，所以点是线段的中点， 根据椭圆的对称性知，点是线段（为椭圆的右焦点）的中点， 则四边形为平行四边形； 由，得，则， 在平行四边形中，由，得， 所以， 在中，由余弦定理得， 所以， 由题意，， 又， 所以，则，即， 得，所以离心率. 故答案为：. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15. 已知圆C：，点P（1，4），且直线l经过点P． （1）若l与C相切，求l的方程； （2）若l的倾斜角为，求l被圆C截得的弦长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，根据点到直线的距离等于半径即可求解.； （2）根据点到直线的距离公式及垂径定理即可求解. 【小问1详解】 由知，圆C的圆心坐标为，半径为5. 当直线l的斜率不存在时，即直线的方程为：， 圆心C到直线l的距离为，故与圆C不相切，不满足题意； 当直线l的斜率存在时，设直线为：，即， 则圆C的圆心到直线l的距离，解得， 故直线l的方程为， 综上：直线l的方程为 【小问2详解】 由l的倾斜角为， 所以直线l的方程为， 圆C的圆心到直线l的距离为， 由垂径定理得，l被圆C截得的弦长为， 16. 在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，记的面积为S，已知． （1）若，求外接圆的半径； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角形内角和求出，再根据正弦定理求半径； （2）根据面积公式和余弦定理求解即可 【小问1详解】 由，得， 由，可得， 所以外接圆的半径为 【小问2详解】 ， 17. 如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAD是正三角形，四边形ABCD为等腰梯形，且有，E，F分别是AD，BC的中点，动点Q在PF上． （1）证明：平面平面； （2）当时，求平面QAB与平面QCD所成角的余弦值． 【答案】（1） 因为四边形为等腰梯形，E，F分别是AD，BC的中点，所以， 又因为，所以， 又因为，平面，所以平面， 而平面，所以平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，由线面垂直的判定定理可证平面，即可证明平面平面； （2）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算以及二面角的夹角公式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 假设，所以， 得到，所以， 如图建立空间直角坐标系，得， ，则， 设， 则， 所以， 由可得，解得， 所以， 设平面的一个法向量， ， 则，取得， 设平面的一个法向量， ， 则，取得， 设平面QAB与平面QCD所成角为， 则， 所以平面QAB与平面QCD所成角的余弦值为. 18. 在平面直角坐标系中，已知O是坐标原点，点，，直线，相交于点，且它们的斜率之积是．记点的轨迹是曲线，点是曲线上的一点． （1）求曲线的方程； （2）若，直线l过点与曲线的另一个交点为，求面积的最大值； （3）过点作直线交曲线于，两点，且，证明：为定值． 【答案】（1）（） （2）. （3）如图： 因为曲线的方程为：（） 所以过的直线可写为：，代入中， 可得，整理得：. 设，， 则，， 所以. 所以. 此时，直线的方程为：，由且点纵坐标大于0，可得： ，所以 . 所以.为定值. 【解析】 【分析】（1）设，根据直线，的斜率之积是，可求的轨迹方程. （2）求出D点坐标，再在椭圆上找到一点到直线OD的距离最大即可. （3）设直线方程为，根据弦长公式表示出，根据直线垂直得到直线的方程，再根据在椭圆上，表示出，然后代入化简即可. 【小问1详解】 设，因为，所以. 整理得：（）. 所以曲线的方程为：（） 【小问2详解】 计算得，则直线， 当直线且与相切，切点为，此时的面积取最大值， 设直线，联立方程组得, ，解得， 直线与之间的距离， 所以. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：解析几何中，遇到求最值的问题，通常有以下思路： （1）转化成二次函数的值域问题求解. （2）通过换元，可以转化成基本（均值）不等式求最值的问题解决. （3）通过换元，转化成三角函数的值域问题求解. （4）通过分析函数的单调性，求最值. 19. 在平面直角坐标系中，我们可以采用公式（其中为常数），将点变换成点，我们称该变换为线性变换，上式为坐标变换公式．常见的线性变换有平移变换和旋转变换． （1）将点向左平移个单位，再向上平移个单位，得到点，求该变换的坐标变换公式，并求将椭圆向左平移个单位，再向上平移个单位后，所得新椭圆的方程； （2）将点绕原点逆时针旋转后，得到点，求上述变换的坐标变换公式，并求将椭圆绕原点逆时针旋转后，所得新椭圆的方程； （3）若点满足，证明：点的轨迹是椭圆． 【答案】（1）；. （2）；. （3）利用待定系数法或者猜测均可，得到． 先把点绕原点逆时针旋转，得到点， 此时 所以， 化简得． 利用配方法或者猜测均可，得到左右平移的单位． 把点向右平移，向上平移，得到点，则 所以． 化简得，是焦点在轴上的椭圆． 所以点的轨迹是椭圆． 【解析】 【分析】（1）根据坐标的平移可得坐标的变换公式，利用公式可得椭圆平移后的新方程. （2）借助复数三角形式运算的几何意义，求坐标变换公式，利用公式可得椭圆平移后的新方程. （3）利用（2）的结论，先把点的轨迹逆时针旋转，再配方，可证点的轨迹是椭圆. 【小问1详解】 由题意：，所以该变换的坐标变换公式为：. 由， 所以椭圆经过变换后，所得新椭圆的方程为：. 【小问2详解】 设对应复数，将点绕原点逆时针旋转后，得到点， 对应复数：，则. 所以. 由. 所以椭圆绕原点逆时针旋转后， 所得新椭圆的方程为： . 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：处理第三问时，思路不好找，可先利用第二问的结论处理一下，就可以发现点的轨迹了. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $