精品解析：福建省2024届高三下学期重点中学联考数学试题

福建省2024届高三重点中学联考 数学 限时120分钟 满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数在复平面内的对应点为，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到，再利用复数的运算，得到，即可求解. 【详解】因为复数在复平面内的对应点为，所以， 则，所以的虚部为， 故选：C. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求解对数不等式得集合，求函数的值域得集合，最后求并集即得. 【详解】由可得，即， 由可得，则，即， 故. 故选：D. 3. 2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，当空间站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是（参考数据：，）（ ） A. 1.587 B. 1.442 C. 0.587 D. 0.442（ ） 【答案】C 【解析】 【分析】利用指数和对数的运算求解即可. 【详解】空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比， 设， 当空间站运行周期增加1倍时，设此时半径为， 则， 两式相比得：，即， 故， 故圆轨道半径增加的倍数大约是. 故选：C. 4. 孪生素数也称为孪生质数，是指一对素数，它们之间相差2，例如3和5，11和13.从不大于20的素数中任意选取2个，则这2个素数为孪生素数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用古典概型求解即可. 【详解】不大于20的素数有：2，3，5，7，11，13，17，19， 一共8个素数，从中任意选取2个有， 其中2个素数为孪生素数的4种； 故概率为：. 故选：C 5. 已知为坐标原点，点在轴正半轴上，点在第一象限，且，，点在第四象限，且，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由同角三角函数的基本关系求出，再根据，互余，用诱导公式求出，，最后用两角差的正弦公式求值. 【详解】因为，且，所以. 又，，且，所以，所以，. 所以. 故选：B 6. 已知数列通项公式为，若对任意，都有，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的单调性，即可根据对恒成立，以及求解. 【详解】当时，恒成立， 所以对恒成立，故， 又当时，为单调递增的数列， 故要使对任意，都有，则，即， 解得， 综上可得， 故选:C 7. 若函数在区间恰有2个零点，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用换元法结合三角函数图象的列出限制条件可得答案. 【详解】令, 则等价于有两个根， 由于时，有唯一个根, 而时，有两个根； ∴函数在区间恰有2个零点， 等价于与有一个公共点，如图， 则且，所以. 故选：B. 8. 已知O为坐标原点A，B，C为椭圆E：上三点，且，，直线BC与x轴交于点D，若，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助点差法计算可得，结合题意计算可得，即可得离心率. 【详解】取BC的中点M，设，，，，则． ∵A，C在椭圆E上，∴，两式相减，得， 即， ∴． ∵，∴，连接OM，则， ∴，∴，∴． ∵，∴，又，， ∴，得． ∴，∴，即， ∴E离心率. 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正六边形中，（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可求解AB，根据数量积的定义求解C，根据垂直关系，即可由投影向量的定义求解D. 【详解】,故A错误， 连接相交于，相交于，则，为，的中点, 由于, 所以,故B错误， ,故C正确， 由于故故， 所以在上的投影向量为，D正确， 故选：CD 10. 如图，在直三棱柱中，，，，点M为的中点，则（ ） A. 直线与直线为异面直线 B. 线段上存在点N，使得平面 C. 点C到平面的距离为 D. 线段上存在点E，使得平面 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用异面直线的定义、线面垂直判定定理及性质定理、线面平行判定定理及等体积法求点到平面的距离来一一判定选项即可. 【详解】选项A：显然直线与直线为异面直线，故A正确． 选项B：若平面，则由平面，可得． 在直三棱柱中，， 又，，平面， 故平面， ∴，故点与点重合，即． 在矩形中，，， ∴，∴不与垂直，故B错误． 选项C：易知两两垂直，且， ∴， ∴， ． 设到平面的距离为d，则由，可得， 解得，故C正确． 选项D：如图，连接，交于点，连接，交于点，连接， 若平面，则． ∵为的中点，∴为的中点． 记的中点为，连接，设与交于点， 由，易知 ≌，得到，故， 又，∴，则， 故线段上存在点，使得平面，故D正确． 故选：ACD 11. 已知定义在的函数满足：①对恒有；②对任意的正数，恒有．则下列结论中正确的有（ ） A. B. 过点的切线方程 C. 对，不等式恒成立 D. 若为函数的极值点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件①结合导数的运算法则可设，再由条件②，求得，选项A，B易判断；对C，构造函数，利用导数证明即可；对D，利用导数判断极值点的范围，即可得证. 【详解】恒有， ， 可设（其中C为常数）， 又对任意的正数恒有， 对任意的正数恒有， ， ， ，即， 对于A，由上式可得，故A正确； 对于B，，设切点为，则切线斜率为， ，化简得，解， 所以点 就是切点，所以切线方程为，故B错误； 对于C，令，，则， 令，可得，，可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，所以，对恒成立，故C正确； 对于D，设，， 在上单调递增，且，， 所以使在上单调递减，在上单调递增， 为函数的极小值点且满足，， ，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】思路点睛：本题属于导数的应用问题，难度较大.首先分析条件①，由导数的运算法则得，可设，再由条件②，代入运算求得，再根据导数知识可依次判断各个选项得解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若为偶函数，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据偶函数定义即可求解. 【详解】的定义域为，关于坐标原点对称， , 因为是偶函数， 所以，得，解得. 故答案为：. 13. 已知点，是抛物线C：上不同的两点，，若C的焦点F到直线AB的距离为3，则直线AB斜率的绝对值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】设直线AB的方程，联立直线和抛物线，利用韦达定理求解即可. 【详解】由题意知，直线AB的斜率一定不为0， 设直线AB的方程为，联立得: ， 故，解得：， 焦点到直线AB的距离为3，故 ，解得：, 故直线AB斜率的绝对值：. 故答案为： 14. 已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，平面，，，且与平面所成角的正弦值为，则该球的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出三角形外接圆圆心，过作平面，且，则为三棱锥的外接球球心，求出半径即可求得球的表面积. 【详解】 如图根据题意，平面， 所以即为与平面所成角，则， 又因为，， 所以，则, 又，即三角形为直角三角形， 取中点，则为三角形外接圆圆心， 取中点，则，且， 所以，即为三棱锥的外接球球心， 其半径， 所以三棱锥的外接球的表面积为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且. （1）求； （2）若的面积为，求的周长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）已知条件由正弦定理得，可求； （2）由的面积得，余弦定理求，可得的周长. 【小问1详解】 由正弦定理得，则. 【小问2详解】 ，得， 由余弦定理， 即，则，所以， 周长为. 16. 随着科技的发展，网购成了人们购物的重要选择，并对实体经济产生了一定影响．为了解实体经济的现状，某研究机构统计了一个大商场2018—2022年的线下销售额如下： 年份编号 1 2 3 4 5 年份 2018 2019 2020 2021 2022 销售额（单位：万元） 1513 1465 1202 1060 860 （1）由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合销售额与年份编号的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立关于的回归方程，并预测2023年该商场的线下销售额． 参考公式及数据：， ， 【答案】（1），因为非常接近1，所以可用线性回归模型拟合销售额与年份编号的关系； （2），预测2023年该商场的线下销售额为706.7万元． 【解析】 【分析】（1）利用公式算出相关系数，根据数据数据判断相关性的大小； （2）利用公式求出回归方程，并对数据进行预测. 【小问1详解】 由已知数据可得，， 所以， 所以 因为非常接近1，所以可用线性回归模型拟合销售额与年份编号的关系 【小问2详解】 由已知数据可得， 所以 ， 所以，关于的回归方程为 令，则（万元） 所以预测2023年该商场的线下销售额为706.7万元． 17. 如图，在四棱台中，已知底面为正方形，M为的中点，，且平面，. （1）求证：平面平面； （2）若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求的长. 【答案】（1）证明见解析； （2）2或. 【解析】 【分析】（1）利用线线平行、线面平行的性质及线面垂直、面面垂直的判定证明即可； （2）根据（1）的结论建立空间直角坐标系，设与底面夹角，利用线段长度得出长与夹角关系，再根据空间向量研究面面夹角计算即可. 【小问1详解】 在棱台中，易知，则四点共面， 又平面，平面平面，平面， 所以， 因为，底面为正方形， 所以， 因为平面， 所以平面， 因为，所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； 【小问2详解】 由（1）结论，可知侧面底面，故可建立如图所示的空间直角坐标系， 设与底面夹角为， 则，，， ，， 因为， 则， ， 设平面的一个法向量为， 则， 令，则，即， 设平面的一个法向量为， 则， 取，所以 则根据题意有， 所以或， 所以或. 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：，点，点P为圆A上任意一点，线段BP的垂直平分线和半径AP所在直线相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为C. （1）求C的方程. （2）斜率存在且不为0的直线l与C交于M，N两点，点D在C上.从下面①②③中任选两个作为已知条件，证明另外一个成立. ①轴；②直线l经过点；③D，B，N三点共线. 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分. 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的定义求解即可； （2）设直线方程，利用韦达定理结合直线斜率之间的关系求解即可. 【小问1详解】 由题意知，,, 且点圆外， 则, 故点Q的轨迹为是以为焦点，长轴的双曲线， 故，双曲线的方程为：. 【小问2详解】 设点，直线l的方程为：，联立得： ， 化简得：，且. 若选择①②证明③： 轴，且点D在C上，则， 直线l经过点，故，即， 此时, 故, 其中 ， ，故，即，， 所以D，B，N三点共线. 若选择①③证明②： 轴，且点D在C上，则， 由D，B，N三点共线，知， 故， 化简得：，即， 故直线l的方程为：，过定点. 若选择②③证明①： 直线l经过点，故，即， 由D，B，N三点共线，知， 故 化简得：， 故直线和直线关于对称，所以关于对称， 故轴， 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，注意的判断； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 19. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）设.如果对任意，，求的取值范围． 【答案】（1）当a≥0时，＞0，故f(x)在(0，+)单调增加；当a≤－1时，＜0， 故f(x)在(0，+)单调减少；当－1＜a＜0时，f(x)在（0，）单调增加，在（，+） （2）a≤－2 【解析】 【详解】（1） f(x)的定义域为(0，+)，. 当a≥0时，＞0，故f(x)在(0，+)单调增加； 当a≤－1时，＜0， 故f(x)在(0，+)单调减少； 当－1＜a＜0时，令＝0，解得x=.当x∈(0，)时，＞0； x∈(，+)时，＜0， 故f(x)在（0，）单调增加，在（，+）单调减少. （2）， 由得，所以在单调递减， 设从而对任意， 恒有， 即， 令，则等价于在单调递减， 即恒成立，从而恒成立， 故设， 则 ， 当时，减函数， 时，，为增函数. ∴， ∴a的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福建省2024届高三重点中学联考 数学 限时120分钟 满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数在复平面内的对应点为，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 2024年中国载人航天工程将统筹推进空间站应用与发展和载人月球探测两大任务，其中，中国空间站应用与发展阶段各项工作正按计划稳步推进.若空间站运行周期的平方与其圆轨道半径的立方成正比，当空间站运行周期增加1倍时，其圆轨道半径增加的倍数大约是（参考数据：，）（ ） A. 1.587 B. 1.442 C. 0.587 D. 0.442（ ） 4. 孪生素数也称为孪生质数，是指一对素数，它们之间相差2，例如3和5，11和13.从不大于20素数中任意选取2个，则这2个素数为孪生素数的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为坐标原点，点在轴正半轴上，点在第一象限，且，，点在第四象限，且，，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列通项公式为，若对任意，都有，则实数取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数在区间恰有2个零点，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知O为坐标原点A，B，C为椭圆E：上三点，且，，直线BC与x轴交于点D，若，则E的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在正六边形中，（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 10. 如图，在直三棱柱中，，，，点M为的中点，则（ ） A. 直线与直线异面直线 B. 线段上存在点N，使得平面 C. 点C到平面的距离为 D. 线段上存在点E，使得平面 11. 已知定义在的函数满足：①对恒有；②对任意的正数，恒有．则下列结论中正确的有（ ） A. B. 过点的切线方程 C. 对，不等式恒成立 D. 若为函数极值点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若为偶函数，则______． 13. 已知点，是抛物线C：上不同的两点，，若C的焦点F到直线AB的距离为3，则直线AB斜率的绝对值为______. 14. 已知三棱锥的四个顶点均在同一球面上，平面，，，且与平面所成角的正弦值为，则该球的表面积为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且. （1）求； （2）若的面积为，求的周长. 16. 随着科技的发展，网购成了人们购物的重要选择，并对实体经济产生了一定影响．为了解实体经济的现状，某研究机构统计了一个大商场2018—2022年的线下销售额如下： 年份编号 1 2 3 4 5 年份 2018 2019 2020 2021 2022 销售额（单位：万元） 1513 1465 1202 1060 860 （1）由表中数据可以看出，可用线性回归模型拟合销售额与年份编号的关系，请用相关系数加以说明； （2）建立关于的回归方程，并预测2023年该商场的线下销售额． 参考公式及数据：， ， 17. 如图，在四棱台中，已知底面为正方形，M为的中点，，且平面，. （1）求证：平面平面； （2）若平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，求的长. 18. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆A：，点，点P为圆A上任意一点，线段BP的垂直平分线和半径AP所在直线相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹为C. （1）求C的方程. （2）斜率存在且不为0的直线l与C交于M，N两点，点D在C上.从下面①②③中任选两个作为已知条件，证明另外一个成立. ①轴；②直线l经过点；③D，B，N三点共线. 注：若选择不同组合分别解答，则按第一个解答计分. 19. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）设.如果对任意，，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $