精品解析：安徽省蚌埠市A层高中2024-2025学年高二上学期第二次联考数学试卷

2024-2025学年蚌埠市A层高中第二次联考 高二数学试卷 命题单位：蚌埠二中 全卷满分：150分 考试时间：120分钟． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 在以为原点，以为单位正交基底的空间直角坐标系中，已知点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量坐标的线性运算求解. 【详解】， 所以点的坐标为． 故选：A. 2. 将直线绕点逆时针旋转90°得到直线，则的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可知，由两直线的斜率之积为（两直线的斜率均存在时）可求的斜率，且过，由直线的点斜式可得的方程． 【详解】直线的方程为，其斜率为， 设直线的斜率为，， ． 由题意可知，，， 的方程为：，即． 故选：B 3. 已知点，则以为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中点坐标公式算出的中点坐标为，且，从而得到所求圆的圆心和半径，可得圆的标准方程. 【详解】因为， 线段的中点为，， 所以以线段为直径的圆的圆心坐标为，半径， 所以线段为直径的圆的方程为. 故选：D. 4. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的基底，结合空间向量线性运算求出. 【详解】依题意有. 故选：B. 5. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用直线方程的应用求出直线的斜率，进一步求出倾斜角的范围； 【详解】直线的方程为，设直线的倾斜角为， 当时，， ②当时，直线的斜率， 由于或， 所以,,， 所以， 综上所述：； 故选：C． 6. 在中，点，点，点满足，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据，得到点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（除去与轴的两个交点），然后数形结合得到点到直线的距离最大值为，求出面积的最大值即可. 【详解】由题意，设，则， 由得， 化简得， 故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（除去与轴的两个交点）, 故点到直线的最大距离为， 所以的面积最大值为. 故选：B. 7. 点，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设椭圆上顶点为B，由题满足即，可得，结合选项可得出答案. 【详解】设椭圆方程为， 设椭圆上顶点为，椭圆上存在点，使得， 则需，由余弦定理可得， ， 即，，， 则， 同理可得椭圆焦点在轴上时，也应有， 所以选项A满足. 故选：A. 8. 已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】过分别作的垂线，垂足分别为，作出图形，结合双曲线的定义推到出，再由三角形相似可得，最后得到，再由离心率的定义解出即可； 【详解】 过分别作的垂线，垂足分别为， 则， ，则， 又，则， ，即在直线上， ， 则， 又，则，即， ，故离心率为， 故选：B. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 B. 已知点，，在平面内，向量是平面的法向量，则 C. 对空间任意一点和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 D. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 【答案】BD 【解析】 【分析】由向量垂直的坐标表示可得A错误，B正确；由空间向量共面的基本定理可得C错误，D正确； 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，且向量是平面的法向量， 所以，即，即，故B正确； 对于C，因为，所以则P，A，B，C四点不共面，故C错误； 对于D，因为为空间的一个基底，所以不共面， 假设共面，则存在唯一实数，使， 所以，无解，故不共面，故D正确； 故选：BD. 10. 在平面直角坐标系中，如果点P的坐标满足，其中为参数．已知直线与点P的轨迹交于A，B两点，直线与点P的轨迹交于C，D两点，则四边形的面积的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先求出点P的轨迹，分析得到直线过定点，定点在直线上，求出四边形的面积为，再数形结合求出最大值即得解. 【详解】 由题得，平方相加得点P的轨迹方程为， 点P的轨迹是以点为圆心半径为3的圆. , 所以直线过定点， 由于所以定点在直线上， 由题得四边形的面积为， 当最大时，面积最大，此时, 所以，所以直线的方程为，经过圆心， 所以此时, 由题得圆心到直线的距离为. 所以面积的最大值为， 所以面积的取值范围为. 故选：BC 11. 已知椭圆的左，右两个焦点分别是，，其中，直线经过左焦点与椭圆交于，两点，则下列说法中正确的（ ） A. 的周长为 B. 当直线的斜率存在时，记，若的中点为，为坐标原点，则 C. 若，则椭圆的离心率的取值范围是 D. 若的最小值为，则椭圆的离心率 【答案】ACD 【解析】 【分析】由椭圆的定义判断B，由中点弦，“作差法”判断B，由向量的数量积的坐标表示求离心率的范围，判断D，由椭圆的通径求离心率，判断D． 【详解】 直线过左焦点，的周长为，A正确； 设，，则，点， ， 由，两式相减得：， ， ，故B错误； ，， ， 即， 又，， ，即， 则椭圆的离心率的取值范围是，C正确； 为椭圆的通径时最小，即轴， 令，，解得， 通径为， 整理得，即， 解得，舍去，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．（14题第一空2分，第二空3分） 12. 已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知，应用空间向量数量积的运算律求模长. 【详解】 . 故答案为： 13. 如图，已知直线与轴和轴分别交于点，，从点射出的光线经直线反射后再射到轴上，最后经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程是______. 【答案】 【解析】 【分析】作出点关于直线的对称点，点关于轴的对称点C，从而将题目问题转化为求解. 【详解】如图， 点关于直线的对称点为，则，即， 解得，即点关于直线的对称点为，又点关于轴的对称点为， 则光线所经过的路程为. 故答案为： 14. 椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则______；“黄金椭圆”两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据离心率可得关于的方程，从而可求其值，根据角平分线的形状结合椭圆的定义可得的值. 【详解】因为是“黄金椭圆”，故，故， 连接，因为为内心，故为角平分线， 由角平分线性质，有，故， 故答案为：，. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明，证明过程和验算步骤． 15. 已知的三个顶点分别为. （1）求边所在直线的方程； （2）若的中点为，求边的垂直平分线的方程； （3）求的外接圆的方程. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两直线垂直的斜率关系可求边所在直线的方程； （2）求得的中点坐标与直线的斜率，可求边的垂直平分线的方程； （3）设的外接圆的方程为，代入点的坐标，解方程组可求的外接圆的方程. 【小问1详解】 由，由两点式可得边所在直线的方程为， 即边所在直线的方程； 【小问2详解】 由，可得的中点为， 又，所以边的垂直平分线的斜率为， 所以由点斜式可得边的垂直平分线的方程为，即. 【小问3详解】 设的外接圆的方程为， 则，解得， 所以的外接圆的方程为. 16. 如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面面ABCD，M是PD的中点. （1）求证：平面平面PCD （2）求BM与平面所成角的正弦值 【答案】（1）证明：由平面平面，平面平面， 底面ABCD是边长为2的正方形，则，平面， 可知面，平面，， 为正三角形，为中点， 可得，平面，平面， 平面，平面平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，再根据面面垂直的判定定理即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，根据空间角的向量求法，即可求得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 取AD的中点为O，连接，侧面PAD是正三角形， 则，平面平面，平面平面， 平面，可知面， 设BC中点为N，连接ON， 以O为坐标原点，以所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系： 则，，， ，，， 设平面的法向量为，则， 取，则， 设BM与平面所成角为，则. 17. 已知斜率为1的直线交抛物线：（）于，两点，且弦中点的纵坐标为2. （1）求抛物线的标准方程； （2）记点，过点作两条直线，分别交抛物线于，（，不同于点）两点，且的平分线与轴垂直，求证：直线的斜率为定值. 【答案】(1) ; (2)由的平分线与轴垂直,可知直线，的斜率存在,且斜率互为相反数,且不等于零,设直线由得由点在抛物线上,可知上述方程的一个根为.即,同理 . 直线的斜率为定值. 【解析】 【分析】(1)涉及中点弦,用点差法处理即可求得,进而求得抛物线方程; (2)由的平分线与轴垂直,可知直线，的斜率存在,且斜率互为相反数,且不等于零,设,直线,则直线分别和抛物线方程联立, 解得利用,结合直线方程,即可证得直线的斜率为定值. 【详解】(1)设,则,两式相减,得: 由弦中点的纵坐标为2,得,故.所以抛物线的标准方程. (2)略 【点睛】本题考查应用点差法处理中点弦问题,直线与抛物线中,斜率为定值问题,考查分析问题的能力,考查学生的计算能力,难度较难. 18. 如图，四边形是边长为1的正方形，平面平面，且. （1）求证：平面 （2）在线段上是否存在点（不含端点），使得平面与平面的夹角为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 以点为原点，以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则， ， ，故EC⊥DF，EC⊥DA， ∵，平面ADF， 平面； （2） 设，则的坐标为， 设平面的法向量为， 则由，令，则， 则法向量， 平面与平面的夹角为，且平面的法向量为， ， ， ∴解得， 为线段上靠近的三等分点. 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，得到 故EC⊥DF，EC⊥DA，从而证明出线面垂直； （2）设，得到的坐标为，求出平面的法向量，列出方程，求出，得到为线段上靠近的三等分点. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 已知点是平面内不同的两点，若点满足，且，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，. （1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求的值； （2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围； （3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，求证：不存在实数，使得以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称. 【答案】（1） （2） （3）证明：若，则以为“稳点”的一阿波罗尼斯圆的方程为，整理得， 该圆关于点对称. 由点关于点对称及， 可得—卡西尼卵形线关于点对称， 令，解得，与矛盾， 所以不存在实数，使得以为稳点的—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称 【解析】 【分析】（1）由新定义得到，结合为常数，即可求解； （2）设，由定义得到，从而有，求得，再由，即可求解； （3）由及定义得到以为“稳点”的一阿波罗尼斯圆的方程：，再结合对称性及得到—卡西尼卵形线关于点对称，从而得到推出矛盾，即可解决问题. 【小问1详解】 因为以为“稳点”的一阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则， 所以， 因为为常数， 所以，且， 所以. 【小问2详解】 解：由（1）知，设， 由，得， 所以， ， 整理得，即， 所以， ， 由，得， 即的取值范围是. 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查轨迹问题，新定义的综合应用，关键是读懂题意，根据新定义得到相应的轨迹方程，是本题的关键也是难点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年蚌埠市A层高中第二次联考 高二数学试卷 命题单位：蚌埠二中 全卷满分：150分 考试时间：120分钟． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 在以为原点，以为单位正交基底的空间直角坐标系中，已知点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 将直线绕点逆时针旋转90°得到直线，则的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 已知点，则以为直径的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四面体OABC中，，，．点M在OA上，且，N为BC中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 设直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A. B. C. D. 6. 在中，点，点，点满足，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 点，为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点，使得，则椭圆方程可以是（ ） A. B. C. D. 8. 已知分别为双曲线的左､右焦点，过点的直线与双曲线的右支交于两点，记的内切圆的半径为的内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分．在每小题给的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若直线的方向向量为，直线的方向向量为，则与垂直 B. 已知点，，在平面内，向量是平面的法向量，则 C. 对空间任意一点和不共线的三点A，B，C，若，则P，A，B，C四点共面 D. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底 10. 在平面直角坐标系中，如果点P的坐标满足，其中为参数．已知直线与点P的轨迹交于A，B两点，直线与点P的轨迹交于C，D两点，则四边形的面积的值可以是（ ） A. B. C. D. 11. 已知椭圆的左，右两个焦点分别是，，其中，直线经过左焦点与椭圆交于，两点，则下列说法中正确的（ ） A. 的周长为 B. 当直线的斜率存在时，记，若的中点为，为坐标原点，则 C. 若，则椭圆的离心率的取值范围是 D. 若的最小值为，则椭圆的离心率 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分．（14题第一空2分，第二空3分） 12. 已知空间向量，，两两夹角均为，其模均为1，则_________. 13. 如图，已知直线与轴和轴分别交于点，，从点射出的光线经直线反射后再射到轴上，最后经轴反射后又回到点，则光线所经过的路程是______. 14. 椭圆的离心率e满足，则称该椭圆为“黄金椭圆”．若是“黄金椭圆”，则______；“黄金椭圆”两个焦点分别为、（），P为椭圆C上的异于顶点的任意一点，点M是的内心，连接PM并延长交于N，则______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答题应写出文字说明，证明过程和验算步骤． 15. 已知的三个顶点分别为. （1）求边所在直线的方程； （2）若的中点为，求边的垂直平分线的方程； （3）求的外接圆的方程. 16. 如图，四棱锥中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面面ABCD，M是PD的中点. （1）求证：平面平面PCD （2）求BM与平面所成角的正弦值 17. 已知斜率为1的直线交抛物线：（）于，两点，且弦中点的纵坐标为2. （1）求抛物线的标准方程； （2）记点，过点作两条直线，分别交抛物线于，（，不同于点）两点，且的平分线与轴垂直，求证：直线的斜率为定值. 18. 如图，四边形是边长为1的正方形，平面平面，且. （1）求证：平面 （2）在线段上是否存在点（不含端点），使得平面与平面的夹角为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由. 19. 已知点是平面内不同的两点，若点满足，且，则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，. （1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求的值； （2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围； （3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，求证：不存在实数，使得以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $