3.1.3 函数的奇偶性（第一课时）课件-2024-2025学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

3.1.3 函数的奇偶性 第一课时 第三章 函数 1 复习 P(x,y) Py(-x,y) PO(-x,-y) x y O 尝试与发现 x -3 -2 -1 1 2 3          填写下表，并画出相应的函数图像. x -3 -2 -1 1 2 3           尝试与发现 x -3 -2 -1 1 2 3      1  1     填写下表，并画出相应的函数图像. x -3 -2 -1 1 2 3 9  4 1  1   4 9  偶函数 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-xD，且f(-x)=f(x),则称y=f(x)为偶函数。 例 注意 偶函数函数图像关于y轴对称； 定义域一定要关于原点对称. 尝试与发现 x -3 -2 -1 1 2 3          填写下表，并画出相应的函数图像. x -3 -2 -1 1 2 3 x           尝试与发现 x -3 -2 -1 1 2 3    -1  1   填写下表，并画出相应的函数图像. x -3 -2 -1 1 2 3 -3  -2  -1 1  2  3  奇函数 注意 奇函数函数图像关于原点对称； 定义域一定要关于原点对称. f(x)=x3 函数的奇偶性 说明 若一个函数是偶函数或奇函数，则称这个函数具有奇偶性； 若一个函数既不是偶函数也不是奇函数，则称非奇非偶函数. 偶函数 奇函数 条件 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-xD，且 f(-x)=f(x) 结论 则称y=f(x)为偶函数 定义域特征 定义域关于原点对称 图像特征 图像关于y轴对称 f(-x)=-f(x) 则称y=f(x)为奇函数 图像关于原点对称 f(x)=x2n (n f(x)=x2n-1 (n 小组讨论：常见函数的奇偶性 函数 图像 奇偶性 一次函数 y=kx+b(k) 反比例函数 y=(0) 二次函数 y=+bx+c(0) 奇函数 当b=0时是奇函数；当b时，既不是奇函数也不是偶函数 当b=0时是偶函数；当b时，既不是奇函数也不是偶函数 判断或证明函数奇偶性 是否关于原点对称 一看 二找 三判断 看定义域 找关系 下结论 f(x)与f(-x) 奇函数或偶函数 图像 若可以作出函数图像，直接观察图像是否关于y轴或者原点对称 基本步骤 例1 判断下列函数是否具有奇偶性： （1）f(x)=x+x3+x5 （2）f(x)=x2+1 （3）f(x)= x+1 （4）f(x)=x2 ,x （5）f(x)=0 解 （1）因为函数的定义域为R，所以xR时，-xR，又因为f(-x)=(-x)+（-x)3+(-x)5,所以f(x)=x+x3+x5 是奇函数. （2）因为函数的定义域为R，所以xR时，-xR,又因为f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x),所以f(x)=x2+1 是偶函数. 例1 判断下列函数是否具有奇偶性： （1）f(x)=x+x3+x5 （2）f(x)=x2+1 （3）f(x)= x+1 （4）f(x)=x2 ,x 解 （3）因为函数的定义域为R，所以xR时，-xR，又因为f(-1）=0，f(1)=2,所以f(-1)f(1)且f(-1)-f(1)，因此函数f(x)= x+1是非奇非偶函数. （4）因为函数的定义域为,而3，但-3，所以函数f(x)=x2 ,x是非奇非偶函数. （5）因为函数的定义域为R，所以xR时，-xR，又因为f（-x）=-f(x),且f（-x）=f(x),因此函数f（x）是既奇又偶函数. 练习 如果f(x)和g(x)的定义域相同且都是偶函数,求证： 是偶函数. 如果f(x)和g(x)的定义域相同，f(x)是奇函数， g(x)是偶函数，求证：H(x)=是奇函数. 例2 已知奇函数f(x)的定义域为D，且0,求证： 因为f(x)是奇函数，所以f(-0)=-f(0)，即f(0)=-f(0)，所以2f(0)=0，因此f(0)=0. 解 例3 已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整. x y O x y O f(x) g(x) 随堂检测 下列图象表示的函数中具有奇偶性的是 函数f(x)=-x的图象关于 A.y轴对称 B.直线y=-x对称 C.坐标原点对称 D.直线y=x对称 (多选)给定四个函数,其中是奇函数的有 A.f(x)=x3 B.f(x)=(x>0) C.f(x)=x3+1 D.f(x)= √ √ √ √ 随堂检测 4. 若函数f(x)=(m-1)x2+(m-2)x+(m2-7m+12)为偶函数,则m的值是　　.  5.若函数f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函数,定义域为[a-1,2a],则a=　　, b=　　.  0 2 课堂小结 课后作业 练基础：教材P114，练习A，1,2； 教材P115， 练习B 2，3，4； 练能力：教材P116,习题3-1A 9; 谢谢大家！ 3.1.3 21 学习目标 了解函数奇偶性的概念和几何意义； 能判断具体函数的奇偶性； 了解函数奇偶性在研究函数图像时的作用； 能利用函数奇偶性解决简单问题. $$