精品解析：重庆市南开中学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题

重庆南开中学高2026级高二（上）期中考试 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线定义求. 【详解】由题设，抛物线准线为，结合题设及抛物线定义，则有. 故选：C 2. 已知数列满足：，，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设有，累加可得，即可求结果. 【详解】由题设，则， 即，则. 故选：B 3. 若椭圆的离心率为，上顶点到焦点的距离为4，则椭圆短轴长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据离心率及椭圆参数关系求短轴长即可. 【详解】由题设，则，故，所以短轴长为. 故选：D 4. 已知圆，直线与圆C交于A，B两点，若为直角三角形，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】根据题设为等腰直角三角形，进而有圆心到直线距离为2，结合点线距离公式列方程求参数. 【详解】由题设，若为直角三角形，即，显然为等腰直角三角形， 由圆的圆心，半径为， 所以到直线的距离，可得. 故选：B 5. 已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知可得，再根据向量数量积公式化简，结合点在双曲线上，可得最值. 【详解】设，且，即， 又直线过原点，且双曲线关于坐标原点对称， 可得与关于坐标原点对称， 则， 所以，， 即， 又， 即的最小值为， 故选：B. 6. 已知正方体中，为平面上一动点，若到的距离与到的距离相等，则的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】D 【解析】 【分析】若，根据正方体结构特征，化为到点距离与的距离相等，结合抛物线定义确定轨迹. 【详解】因为平面，平面， ，又，，平面， 所以平面， 若，显然面， 由为平面上一动点，平面， 所以， 因为到的距离与到的距离相等， 所以到点距离与的距离相等， 结合抛物线定义，轨迹是在平面内，以为焦点，为准线的抛物线. 故选：D 7. 已知双曲线的左顶点和右焦点分别为A，F，O为坐标原点，经过点A的直线l与双曲线的两条渐近线交于点M，N，设M，N的中点为P，满足，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题设在上，令且、，得，再求交点坐标，结合题设列方程求参数k. 【详解】由，则在线段的中垂线上，而，即在上， 设且、，则，又双曲线准线为， 联立，则，，不妨令， 同理可得，则， 所以，所以直l的斜率为. 故选：A 8. 已知F为椭圆的右焦点，A，B为圆上两个关于原点对称的点，若恒成立，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题设，数形结合判断最大时的位置，再应用余弦定理求得，结合离心率范围确定答案. 【详解】由题设，当且仅当为椭圆上下顶点时最大，只需此时即可， 显然，此时为等腰三角形，且， 所以，则， 故，又，则椭圆的离心率范围是. 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足：，则以下说法正确的是（ ） A. 数列为单调递减数列 B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据数列通项公式判断单调性，写出相关项依次判断其它各项正误. 【详解】因为， 所以， 所以为递减数列，A对； 易知，则，B错； 由，故，C错； 由，故，D对. 故选：AD 10. 如图，，为双曲线的左右焦点，，为该双曲线的两条渐近线，到一条渐近线的距离为2，过的直线与双曲线左右两支分别交于点M，N，.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的内切圆半径是 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据点到直线的距离求解判断A；根据双曲线的定义结合勾股定理求解判断B；根据曲线的弦长公式和双曲线定义以及直角三角形内切圆半径公式求解判断C；在直角三角形中，利用角的正切定义即可判断D. 【详解】由，可知， 不妨设到渐近线的距离为2，即，故A对； 所以， 设，又， 所以，即，故B对； 因为，所以点M在以线段为直径的圆上，且圆的方程额， 因为点M在双曲线的右支上，不妨设M在第二象限，设， 由， 所以, 直线的方程为，设, 由，消元得， 所以， 所以， 又，所以的内切圆半径为，故C错； 由，所以在直角中，，故D对； 故选：ABD 11. 如图所示，椭圆，双曲线，双曲线.三条曲线有相同的焦点，且，P，Q分别为椭圆E与双曲线，的交点.，三条曲线的离心率分别为e，，，则（ ） A. B. 曲线E和在点Q处的切线互相垂直 C. D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据离心率的定义判断A；根据曲线的切线性质判断B；根据椭圆和双曲线的定义判定C；根据焦点三角形的面积求解即可判断D 【详解】因为三条曲线有相同的焦点，且，所以，故A错； 曲线E在点Q处的切线为的顶角的外角平分线，曲线在点Q处的切线为的顶角的内角角平分线，所以两条切线垂直，故B对； 设，由椭圆和双曲线定义可得， 又， 所以，故C对； 设与交于点H， 则，故D对， 故选：BCD 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线过点，并且与双曲线有且只有一个公共点，写出满足条件的的一个方程________________. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据平行于双曲线渐近线的直线与双曲线的交点情况写出一条符合题设的直线即可. 【详解】由平行于双曲线渐近线的直线与双曲线有且仅有一个交点，又双曲线渐近线为， 所以，其中一条符合要求的直线为，即. 故答案为：（答案不唯一） 13. 已知椭圆，是椭圆C的右顶点，过椭圆的左焦点垂直于长轴的直线交椭圆于M，N两点，则的面积为________________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题设有，，进而有，即可求三角形面积. 【详解】由题设，，将代入椭圆，得，则， 所以的面积为. 故答案为： 14. 已知抛物线，准线为l，过的直线交抛物线于A，B两点，AP垂直l于点P，点C满足，则的最小值为________________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，联立抛物线并应用韦达定理得，再结合抛物线定义及已知得，应用基本不等式求最小值. 【详解】由题设，可设，联立抛物线得，， 若且，则，，故， 由抛物线定义知，，， 由，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 等差数列的前n项和为，若，，公差. （1）求的通项公式； （2）若，求n的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由等差数列及其求和公式的基本量的计算即可得解； （2）直接由等差数列求和公式列方程即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，则， 解得， 所以； 【小问2详解】 若，即， 解得或（舍去）. 16. 已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为A，，点在椭圆C上. （1）求椭圆C的方程； （2）直线l过点，与C交于D，E两点，若，求直线l的方程. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题设可得、，结合椭圆参数关系求椭圆方程； （2）由题设，可设，，联立椭圆并应用韦达定理、弦长公式列方程求参数m，即可得直线方程. 【小问1详解】 由，得，易知， 又且，可得， 所以椭圆方程为. 【小问2详解】 当直线斜率为0时，与椭圆没有交点，不合题意， 可设，，联立抛物线， 则，整理得， 所以，即， 则，， 所以 ， 整理得，可得（负值舍），即， 所以，直线的方程为. 17. 如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，其中∠ABC＝45°，，E为棱PC上一动点. （1）若E为PC中点，求证：AE⊥平面PBC； （2）若E是棱PC上靠近P的三等分点，求平面ABE和平面PBE夹角的余弦值. 【答案】（1） 由题设， 所以， 由PA⊥平面ABCD，面，则， 又均在面内，所以面， 由面，则， 因为，且E为PC中点，则， 由均在面内，所以AE⊥平面PBC； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题设可得，由线面垂直的性质有，再根据线面垂直的判定、性质定理得，等腰三角形性质得，最后根据线面垂直的判定证结论； （2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1），且四边形ABCD为平行四边形，则， 又PA⊥平面ABCD，故可构建如图所示的空间直角坐标系， 所以， 由，则， 所以，，，， 设平面的法向量为，则， 令，可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得， 若平面ABE和平面PBE夹角为，则. 18. 已知，动点P到点F的距离比到直线的距离小1.记动点P的轨迹为E. （1）求E的方程； （2）设，过点P作E的切线，与直线l交于点K，直线PT与l交于点M，与抛物线交于另一点Q. （i）证明：点K与点M的纵坐标的乘积为定值； （ii）设，，求的最大值. 【答案】（1）； （2）（i）由题意，可设直线，则， 设直线，联立，得， 因为与抛物线相切，所以，则， 所以，令，得， 而，所以，故点K与点M的纵坐标的乘积为定值； （ii）. 【解析】 【分析】（1）根据题设并利用两点距离公式列方程求轨迹方程； （2）（i）由题意有，设直线，联立抛物线并结合相切关系求得，进而有，即可求K坐标，即可证； （ii）由题意得，联立与抛物线，应用韦达定理最值即可. 【小问1详解】 设，显然，由题设， 所以，即为动点P的轨迹方程； 【小问2详解】 （i）略 （ii）由题意， 又，当且仅当时等号成立， 联立，得，显然， 所以，，则，， 所以， 综上，，即目标式最大值为，当且仅当时成立. 19. 已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于A，B两点.当直线的斜率为时，线段AB的中点为. （1）求双曲线的方程； （2）直线上有两点P，Q满足：，，其中，.已知，点P在双曲线上. （i）证明：点Q也在双曲线上； （ii）若，是否存在以PQ为直径的圆，与y轴相切.若存在，求出圆的方程；若不存在，说明理由. 【答案】（1）； （2） （i）由题意，， 由在双曲线上，则， 整理得， 所以， 将代入双曲线左侧得 ， 所以点Q也在双曲线上； （ii）存在，，理由如下： 设，而在上， 则中，满足： ， 所以在直线上，同理也在直线上，即直线的方程为， 联立双曲线，，整理得， 所以， ， 所以，，则圆心横坐标为， 由题意，即， 所以， 当时，，，显然不存在； 所以，仅有，则，可得（负值舍）， 所以圆心横坐标为，即圆的半径， 直线，可得圆心纵坐标为， 当直线时，此时直线与直线重合，不合题意， 当直线时，圆的方程为，符合题意， 所以，存在这样的圆满足要求. 【解析】 【分析】（1）先根据题设求得，再应用点差法得到，结合双曲线参数关系求出参数，即可得方程； （2）（i）由题意，，先将代入双曲线得到，再把代入双曲线左侧表达式化简判断是否等于1，即可证； （ii）设、，结合在上，得到、中横纵坐标关系，并化简得直线的方程为，联立双曲线应用韦达定理，结合等于2倍的圆心横坐标绝对值列方程求得、，进而写出圆的方程，即可判断存在性. 【小问1详解】 令直线，若，有， 设，则，作差并整理得， 代入斜率和中点得，又，可得，故双曲线方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】关键点点睛：第三问，小问一：用参数表示出坐标，根据的双曲线上得到参数关系，再验证坐标是否满足双曲线方程即可；小问二：根据坐标得到直线的方程为为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆南开中学高2026级高二（上）期中考试 数学试题 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知数列满足：，，则（ ） A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 3. 若椭圆的离心率为，上顶点到焦点的距离为4，则椭圆短轴长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 4. 已知圆，直线与圆C交于A，B两点，若为直角三角形，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 9 5. 已知为双曲线上一动点，过原点的直线交双曲线于，两点，其中，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知正方体中，为平面上一动点，若到的距离与到的距离相等，则的轨迹为（ ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 7. 已知双曲线的左顶点和右焦点分别为A，F，O为坐标原点，经过点A的直线l与双曲线的两条渐近线交于点M，N，设M，N的中点为P，满足，则直线l的斜率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知F为椭圆的右焦点，A，B为圆上两个关于原点对称的点，若恒成立，则该椭圆的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数列满足：，则以下说法正确的是（ ） A. 数列为单调递减数列 B. C. D. 10. 如图，，为双曲线的左右焦点，，为该双曲线的两条渐近线，到一条渐近线的距离为2，过的直线与双曲线左右两支分别交于点M，N，.则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 的内切圆半径是 D. 11. 如图所示，椭圆，双曲线，双曲线.三条曲线有相同的焦点，且，P，Q分别为椭圆E与双曲线，的交点.，三条曲线的离心率分别为e，，，则（ ） A. B. 曲线E和在点Q处的切线互相垂直 C. D. 若，则 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知直线过点，并且与双曲线有且只有一个公共点，写出满足条件的的一个方程________________. 13. 已知椭圆，是椭圆C的右顶点，过椭圆的左焦点垂直于长轴的直线交椭圆于M，N两点，则的面积为________________. 14. 已知抛物线，准线为l，过的直线交抛物线于A，B两点，AP垂直l于点P，点C满足，则的最小值为________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 等差数列的前n项和为，若，，公差. （1）求的通项公式； （2）若，求n的值. 16. 已知椭圆的左右焦点分别为，，上顶点为A，，点在椭圆C上. （1）求椭圆C的方程； （2）直线l过点，与C交于D，E两点，若，求直线l的方程. 17. 如图，在四棱锥中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为平行四边形，其中∠ABC＝45°，，E为棱PC上一动点. （1）若E为PC中点，求证：AE⊥平面PBC； （2）若E是棱PC上靠近P的三等分点，求平面ABE和平面PBE夹角的余弦值. 18. 已知，动点P到点F的距离比到直线的距离小1.记动点P的轨迹为E. （1）求E的方程； （2）设，过点P作E的切线，与直线l交于点K，直线PT与l交于点M，与抛物线交于另一点Q. （i）证明：点K与点M的纵坐标的乘积为定值； （ii）设，，求的最大值. 19. 已知双曲线，过右焦点的直线与双曲线交于A，B两点.当直线的斜率为时，线段AB的中点为. （1）求双曲线的方程； （2）直线上有两点P，Q满足：，，其中，.已知，点P在双曲线上. （i）证明：点Q也在双曲线上； （ii）若，是否存在以PQ为直径的圆，与y轴相切.若存在，求出圆的方程；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $