北京市第五十中学2024-2025学年高三上学期期中检测数学试卷

第1页/共15页 2024北京五十中高三（上）期中 数 学 一、单选题 1．在复平面内，复数 z 满足 i 3 4iz = − ，则 z 的虚部为（ ） A．3i B． 3i− C．3 D． 3− 2．已知集合    22 0 , 2 3 0A x x B x x x= −  = + − ∣ ∣ ，则集合 A B =（ ） A． ( 1, 2− B． ( )3,1− C． ( , 2− D． ( ,3− 3．函数 ( ) ( ) π 3sin 0 6 f x x    = −     ， ( )1 3f x = − ， ( )2 3f x = ，且 1 2x x− 的最小值为 2π，则的值为 （ ） A． 1 2 B．1 C．2 D．3 4．已知向量 ( ) ( )1,1 , , 1a b x= = − ，则“ 1x = − ”是“ ( )a b b+ ⊥ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 5．在 ABC 中， ( )(sin sin ) (sin sin )a c A C b A B+ − = − ，则 C =（ ） A． π 6 B． π 3 C． 2π 3 D． 5π 6 6．记 nS 为数列{ }na 的前 n项和．若 (8 ) ( 1,2, )na n n n= − = ，则（ ） A．{ }na 有最大项，{ }nS 有最大项 B．{ }na 有最大项，{ }nS 有最小项 C．{ }na 有最小项，{ }nS 有最大项 D．{ }na 有最小项，{ }nS 有最小项 7．在等腰梯形 ABCD中， 2AB CD= − .M 为BC 的中点，则 AM =（ ） A． 1 1 2 2 AB AD+ B． 1 3 2 4 AB AD+ C． 3 1 4 4 AB AD+ D． 3 1 4 2 AB AD+ 8．已知函数 ( ) exf x a x= − 在区间 ( )1,2 上单调递增，则实数 a的最小值为（ ） A． 2e B． e C． 1e− D． 2e− 9．点 ,M N 分别是棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 中棱 1,BC CC 的中点，动点 P 在正方形 1 1BCC B (包括 边界)内运动.若 1 / /PA 面 AMN ，则 1PA 的长度范围是（ ） A． 2, 5   B． 3 2 , 5 2       C． 3 2 ,3 2       D． 2,3 第2页/共15页 10．已知函数 ( ) 2 , 0, ln , 0, x x x f x x a x x  −  =  −  若 1 0x  ， 2 0x  ，使 ( ) ( )2 1f x f x= 成立，则实数a的取值范围为 （ ） A． ( )  ),0 ,e− + B． ),e + C． ( 0,e D． 0,e 二、填空题 11．二项式 62( )x x − 的展开式中常数项为 .(用数字作答) 12．函数 ( ) 1 1f x x x = + − 的定义域为 . 13．已知命题 p： x R  ， 2 2 1 0ax ax+ +  ，若命题 p 为假命题，则实数 a 的取值范围是 ． 14．已知等边 ABC 的边长为 4 ， E F， 分别是 ，AB AC 的中点，则 EF EA = ；若M N， 是线段BC 上的动 点，且 1MN = ，则 EM EN 的最小值为 ． 15．如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1的棱长为 2，点 O 为底面 ABCD 的中心，点 P 在侧面 BB1C1C 的边界 及其内部运动.给出下列四个结论： ①D1O⊥AC； ②存在一点 P，D1O∥B1P； ③若 D1O⊥OP，则△D1C1P 面积的最大值为 5 ； ④若 P 到直线 D1C1的距离与到点 B 的距离相等，则 P 的轨迹为抛物线的一部分. 其中所有正确结论的序号是 . 三、解答题 16．在 ABC 中 1, 2a b= = . (1)若 2 2c = ，求 ABC 的面积： (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使 ABC 存在，求 A . 条件①： 2B A =  ；条件②： π 3 B A = + ；条件③： 2C A =  . 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得 0 分：如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个 解答计分. 17．如图，在四棱锥 P ABCD− 中，平面 PAD ⊥平面 ABCD，PA PD⊥ ，PA PD= ， AB AD⊥ ， 1AB = ， 第3页/共15页 2AD = ， 5AC CD= = . （1）求证： AB ； （2）求直线PB 与平面 PCD所成角的正弦值； （3）在棱 上是否存在点 ，使得 平面 PCD？若存在，求 的值；若不存在，说明理由. 18．人工智能正在逐渐改变着我们的日常生活，不过，它所涉及的数学知识并非都是遥不可及的高深理论. 为了解“拼音输入法”的背后原理，随机选取甲类题材“新闻稿”中 1200 字作为样本语料库A ，其中“一”出现 了 30 次，统计“一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况，数据如下： “一”与其后面一个字（或标点）的搭配情况 频数 “一个” 6 “一些” 4 “一穷” 2 “一条” 2 其他 a 假设用频率估计概率. (1)求 a的值，并估计甲类题材中“一”出现的概率； (2)在甲类题材“新闻稿”中随机抽取 2 个“一”，其中搭配“一个”出现的次数为 X ，求 X 的分布列和期望； (3)另外随机选取甲类题材“新闻稿”中 800 字作为样本语料库 B 进行统计，“一”出现了 24 次，“一格”出现了 2 次，若在甲类题材“新闻稿”的撰写中，输入拼音“yige”时，“一个”和“一格”谁在前面更合适？（结论不要 求证明） 19．已知椭圆 2 2 2 2 : 1 x y E a b + = 过点 ( )2,1P − 和 ( )2 2,0Q . (1)求椭圆 E 的方程； (2)过点 ( )0, 2G 作直线 l 交椭圆 E 于不同的两点 ,A B ，直线PA 交 y 轴于点M ，直线 PB 交 y 轴于点 N .若 2GM GN = ，求直线 l 的方程. 20．已知函数 ( ) ( )e 0axf x x a=  ． 第4页/共15页 (1)求曲线 ( )y f x= 在点 ( )( )0, 0f 处的切线方程； (2)求 ( )f x 在区间 1,1− 上的最大值与最小值； (3)当 1a = 时，求证： ( ) ln 1f x x x + + ． 21．对于数列 :A 1a ， 2a ， 3a ，定义“T 变换”：T 将数列A 变换成数列 :B 1b ， 2b ， 3b ，其中 1 ( 1,2)ii ib a a i+= − = ，且 3 3 1b a a= − ，记作 ( )B T A= ．继续对数列 B 进行“T 变换”，得到数列 :C 1c ， 2c ， 3c ，依此类推．当且仅当得到的数列各项均为 0 时变换结束． (1)直接写出 :A 2，6，4 经过 1 次“T 变换”得到的数列 B ，及 B 再经过 3 次“T 变换”得到的数列 E ； (2)若A 经过n次“T 变换”后变换结束，求 n的最大值； (3)设 ( )1 2 3: , , , 1,2,3iA a a a a i =N ， ( )B T A= ．已知 :B 2，a，b ，且 B 的各项之和为 2022，若 B 再经过 k 次“T 变换”得到的数列各项之和最小，求 k 的最小值． 第5页/共15页 参考答案 一、单选题 1．【详解】解：因为复数 z 满足 i 3 4iz = − ， 所以 3 4i 4 3i i z − = = − − ， 所以 z 的虚部为-3， 故选：D 2．【详解】由 2 0x − ≤  2x  ，所以 ( , 2A = − . 由 2 2 3 0x x+ −   ( )( )3 1 0x x+ −   3 1x−   ，所以 ( )3,1B = − . 所以 ( , 2A B = − . 故选：C 3．【详解】依题意， ( )1 3f x = − ， ( )2 3f x = ，且 1 2x x− 的最小值为2π， 所以 2π 1 2π 2 4π, 2 T   = =  = = . 故选：A 4．【详解】当 1x = − 时， ( ) ( )1,1 , 1, 1a b= = − − ，则 ( )0,0a b+ = ， 所以 ( ) ( ) ( )0 1 0 1 0a b b+  =  − +  − = ，故有 ( )a b b+ ⊥ ， 当 ( )a b b+ ⊥ 时，因为 ( )1 ,0a b x+ = + ， 所以 ( ) ( ) ( )1 0 1 0a b b x x+  = +  +  − = ，即 2 0x x+ = ，解得 0x = 或 1x = − ， 故“ 1x = − ”是“ ( )a b b+ ⊥ ”的充分不必要条件. 故选：A 5．【详解】因为 ( )(sin sin ) (sin sin )a c A C b A B+ − = − ， 所以由正弦定理得 ( )( ) ( )a c a c b a b+ − = − ，即 2 2 2a c ab b− = − ， 则 2 2 2a b c ab+ − = ，故 2 2 2 1 cos 2 2 2 a b c ab C ab ab + − = = = ， 又0 πC  ，所以 π 3 C = . 故选：B. 6．【详解】解：根据题意，数列{ }na ， 2(8 ) 8na n n n n= − = − ， 对于二次函数， 2 8y x x= − + ，其开口向下，对称轴为 4x = ，即当 4x = 时， 2 8y x x= − + 取得最大值， 对于{ }na ， 4n = 时， na 最大； 且当1 8n  时， 0na  ，当 8n = 时， 0na = ，当 8n  时， 0na  ， 故当 7n = 或 8 时， nS 最大， 第6页/共15页 故{ }na 有最大项，{ }nS 有最大项； 故选：A ． 7．【详解】取 AD 中点 N ，连接MN ，∵ 2AB CD= − ，∴ / /AB CD ， 2AB CD= ， 又M 是 BC 中点，∴ //MN AB ，且 1 ( ) 2 MN AB CD= + 3 4 AB= ， ∴ 1 3 2 4 AM AN NM AD AB= + = + ， 故选：D． 8．【详解】因为函数 ( ) exf x a x= − 在区间 ( )1,2 上单调递增， 所以 ( ) e 1 0xf x a = −  ，即 e 1 x a  对任意 ( )1, 2x 恒成立， 令 1 ( ) ex g x = ，则 ( )g x 在 ( )1,2 上单调递减， 所以 11( ) (1) e e g x g − = = ，所以𝑎 ≥ e −1， 即实数 a的最小值为 1e− . 故选：C 9．【详解】取 1 1B C 的中点 E ， 1BB 的中点 F，连结 1A E ， 1A F ， EF ，取 EF 中点 O，连结 1AO，EM , ∵点 M，N 分别是棱长为 2 的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D− 中棱 BC， 1CC 的中点， 1 1 1 1/ / ,AA BB AA BB = ， 1 1/ / ,BB EM BB EM= , 1 1/ / ,AA EM AA EM = ，四边形 1A AME 为平行四边形， 1 / /A E AM ，而在平面 1 1B BCC 中，易证 / /MN EF ， ∵ 1A E 平面 AMN ， AM 平面 AMN ， 1 / /A E 平面 AMN ， EF 平面 AMN ，MN 平面 AMN ， / /EF 平面 AMN ， 第7页/共15页 又 1A E EF E = ， 1 ,A E EF 平面 1A EF ，∴平面 / /AMN 平面 1A EF ， ∵动点 P 在正方形 1 1BCC B （包括边界）内运动，且 1 / /PA 平面 AMN， ∴点 P 的轨迹是线段 EF， 2 1 1 2 1 5A E A F= = + = ， 21 1 2EF = + = ，∴ 1AO EF⊥ ， ∴当 P 与 O 重合时， 1PA 的长度取最小值 2 1 2 3 2 ( 5) 2 2 AO   = − =     ， 1A EF 为等腰三角形，∴ P 在点 E 或者点 F 处时，此时 1PA 最大，最大值为 5 . 即 1PA 的长度范围为 3 2 , 5 2       故选：B． 10．【详解】当 0x  时，函数 ( ) 2= −f x x x是减函数， ( )0 0f = ，所以 ( )  )1 0,f x  + ； 当 0x  时， ( ) lnf x x a x= − ， ( )' 1 a x a f x x x − = − = ， ①若 0a  ，当 ( )0,x a 时 ( )' 0f x  ，当 ( ),x a + 时 ( ) 0f x  ， 所以 ( )f x 在 ( )0,a 上单调递减，在 ( ),a + 上单调递增； 所以 ( )( ) ( ) min lnf x f a a a a= = − ， 所以 ln 0a a a−  ，即1 ln 0a−  ，解得 a e ； ②若 0a  ，则 ( )' 0 x a f x x − =  ， ( )f x 在(0,+∞)上单调递增， 此时 ( ) lnf x x a x= − ( )0x  值域为 R ，符合题意. ③当 0a = 时， ( )f x x= ( )0x  的值域为(0,+∞)，不合题意. 综上所述，实数 a的取值范围为 ( )  ),0 ,e− + . 故选：A. 二、填空题 11．【详解】二项式 62( )x x − 的展开式的通项公式 ( ) ( ) 3 6 3 2 1 6 6 2 C 2 C , 6, r r rrr r rT x x r r x − − +   = − = −      N ， 由 3 3 0 2 r− = ，得 2r = ，则 2 2 3 6( 2) C 4 15 60T = − =  = ， 所以二项式 62( )x x − 的展开式中常数项为 60. 故答案为：60 12．【详解】要使表达式有意义，需满足： 0 1 0 x x    − ，解得 ( 0) (0,1]−， ， ∴函数的定义域为： ( 0) (0,1]−， 第8页/共15页 故答案为： ( 0) (0,1]−， 13．【详解】 “ x R  ， 2ax 2ax 1 0+ +  ”为假命题， 其否定“ x R  ， 2ax 2ax 1 0+ +  ”为真命题， 当 a 0= 时，显然成立； 当 a 0 时， 2ax 2ax 1 0+ +  恒成立可化为： a 0 24a 4a 0  −   解得0 a 1  综上实数 a 的取值范围是 )0,1 . 故答案为 )0,1 . 14．【详解】 ( ) 2 22 2 2 cos120 2EF EA EA AF EA EA AF EA = +  = +  = +   = ; 若M N， 是线段 BC 上的动点，且 1MN = ，不妨设 N 点相对M 更靠近 B 点， 设 ,0 3BN t t=   ， ( ) ( ) ( ) 2 EM EN EB BM EB BN EB BM BN EB BM BN  = +  + = + +  +  ( ) ( )22 2 1 cos120 1t t t t= + + + + + 2 2 1 113 2 4 t t t   = − + = − +    ， 当 1 2 t = 时， EM EN 取最小值，且为 11 4 . 故答案为： 2 ； 11 4 . 15．【详解】对于①，连接 1 1,AD CD ，由正方体的性质知三角形 1ACD 为等边三角形，由于O 为底面 ABCD 的中心，故为 AC 中点，故 1AC D O⊥ ，①正确； 第9页/共15页 对于②，将 D1O 进行平移到过 B1 点，使之与 B1P 具有公共顶点，根据立体图像判断，无论如何也不可能 满足 1B H 平行或重合于 B1P，所以 D1O 不可能平行于 1B H ，②错误； 对于③，取 B1B 的中点 E，连 接 1, , ,OE EC BD D E ， 则 1 1 1 1 3, 6, 3 2 OE DB D O D E= = = = ，满足 2 2 2 1 1 1OE D O D E OE D O+ =  ⊥， ， 又 1, ,OC BD OC DD OC⊥ ⊥  ⊥面 1 1BDD B ， 1D O 面 1 1BDD B ，所以OC ⊥ 1D O ，OC OE O，所以 1D O ⊥ 平面OEC ， 所以 P 在线段 EC 上运动，当点 P 到点 E 位置时， 1C P最大， 此时 1 1D C P△ 面积最大为： max 1 2 5 5 2 S .所以③正确. 对于④，P 到直线 D1C1 的距离为线段 1PC 的长度，所以 1 =PC PB ，判定出 P 点位置为直线 1BC 的垂直平 分线，故④错误. 故正确的序号是: ①③. 故答案为: ①③. 三、解答题 16．【详解】（1）解：由题意可知 1, 2a b= = ， 2 2c = ， 所以 2 2 2 3 cos 0 2 4 b a c C ab + − = = −  ， 又因为 (0,π)C ， 所以 π ( ,π) 2 C ， 所以 2 7 sin 1 cos 4 C C= − = ， 所以 1 7 sin 2 4 ABCS ab C= =△ ； 第10页/共15页 （2）解：若选①，则有 2B A =  且 1, 2a b= = ， 由 sin sin a b A B = ，可得 1 2 1 sin sin 2 sin cosA A A A = = ， 所以 1 1 cos A = ，即 cos 1A = ，不满足题意； 若选②，则有 π 3 B A = + 且 1, 2a b= = ， 由 sin sin a b A B = ，可得 1 2 πsin sin( ) 3 A A = + ， 所以 π 3 1 2sin sin( ) cos sin 3 2 2 A A A A= + = + ， 即 3 3 sin cos 0 2 2 A A− = ， π 3 sin( ) 0 6 A− = ， 又因为 (0,π)A ，解得 π 6 A = ； 若选③，则有 2C A =  且 1, 2a b= = ， 由 sin sin a c A C = ，可得 1 sin sin 2 2sin cos c c A A A A = = ， 所以 2cosc A= ， 所以 2 2 2 23 4cos cos 2 8cos b c a A A bc A + − + = = ， 所以 2 3cos 4 A = ， 因为 a b ，所以A 不可能为钝角或直角，只能为锐角， 所以 3 cos 2 A = ， 所以 π 6 A = . 综上，选②或选③， π 6 A = . 17．【详解】（1）因为平面 PAD ⊥平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD AD= ， AB AD⊥ ， 所以 平面 ，又因为 PD 平面 PAD ，所以 ， （2）取 的中点 ，连结 PO，CO， 因为 PA PD= ，所以 . 又因为 平面 ，平面 PAD ⊥平面 ， 所以 平面 . 因为 平面 ，所以 CO . 因为 ，所以 . 第11页/共15页 如图建立空间直角坐标系 ，由题意得， . 设平面 的法向量为 ，则 即 令 ，则 . 所以 . 又 ，所以 . 所以直线 PB 与平面 所成角的正弦值为 . （3）设 是棱 上一点，则存在 使得 . 因此点 . 因为 平面 ，所以 BM∥平面 当且仅当 ， 即 ，解得 . 所以在棱 上存在点 使得 平面 ，此时 . 18．【详解】（1）由题意可得 30 6 4 2 2 16a = − − − − = ； 故甲类题材中“一”出现的概率为 30 1 1200 40 = ； （2）由题意在甲类题材“新闻稿”中随机抽取 2 个“一”，搭配“一个”出现的概率为 6 1 30 5 P = = ， 则 1 (2, ) 5 X B ，则 0 0 2 2 1 1 16 ( 0) C ( ) (1 ) 5 5 25 P X = = − = , 1 1 1 2 1 1 8 ( 1) C ( ) (1 ) 5 5 25 P X = = − = , 2 2 0 2 1 1 1 ( 2) C ( ) (1 ) 5 5 25 P X = = − = , 第12页/共15页 故 X 的分布列为： X 0 1 2 P 16 25 8 25 1 25 则 1 2 ( ) 2 5 5 E X =  = . （3）由题意知样本语料库 B 中“一格”出现的概率为 2 1 800 400 = ， 甲类题材中“一个”出现的概率为 6 1 1200 200 = ， 由于 1 1 200 400  ，故输入拼音“yige”时，“一个”在前面更合适. 19．【详解】（1）将点 ( ) ( )2,1 , 2 2,0P Q− 坐标代入椭圆 E 的方程，得 2 2 2 4 1 1, 8 1, a b a  + =   =  解得 2 28, 2a b= = ,所以椭 圆 E 的方程为： 2 2 1 8 2 x y + = （2）若直线 l 的斜率不存在，即直线 l 为 0x = 时，A 和M 重合， B 和 N 点重合，分别为椭圆的上下顶点 ( )( )0, 2 0, 2− ，此时 ( ) ( )2 2 2 2 2GM GN = −  + = ，符合题意. 若直线 l 斜率存在，设直线 AB 的方程为 2y kx= + ， ( ) ( )(1 1 2 2 1, , 2A x y B x y x  − 且 )2 2x  − ，联立方程 2 2 2 1 8 2 y kx x y = +   + =  得， ( )2 24 1 16 8 0k x kx+ + + = ， ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 116 32 4 1 32 4 1 0, , 4 k k k k = − + = −    即 1 2 k  或 1 2 k  − 1 1 2 1 22 2 1 216 8 4 1 4 1 1 PA yk x x x x k k k x −− + =  = = + + + ，所以直线PA 的方程为 ( )1 1 1 2 1 2 y y x x − = + + + ，取 0x = 得 ( )1 1 2 1 0, 1 2 y M x −  +  +  ，同理可得 ( )2 2 2 1 0, 1 2 y N x  − +  +  由 2GM GN = 得 ( ) ( )1 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 2 2 y y x x − − + −  + − = + + ，即 ( ) ( )1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 2 2 2 y y x x − − −  − = + + ，所以 ( ) 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 x x k x x −  = + + ，即 ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 4 x x k x x x x − = + + + ，即 ( ) 22 2 2 8 4 12 1 2 8 32 4 4 1 4 1 kk k k k +− = − + + + + 即 ( ) 2 2 2 1 1 4 8 3 k k k − = − + ，因为 1 2 k  ，所以得 2 1 1 2 3 k k − = − ，即 1k = ，经检验符合题意，此时直线 l 为 2y x= + 综上所述，直线 l 的方程为 2y x= + 或 0x = . 第13页/共15页 20．【详解】（1） ( ) ( )1 eaxf x ax = + ， ( )0 1f  = ， ( )0 0f = ， 所以曲线 ( )y f x= 在点 ( )( )0, 0f 处的切线方程为 y x= ； （2） ( ) ( )1 eaxf x ax = + ， 0a  当0 1a  时， ( ) 0f x  在区间 1,1− 上恒成立， ( )f x 在区间 1,1− 上单调递增， 所以函数 ( )f x 的最小值为 ( )1 e axf −− = − ，最大值为 ( )1 eaf = ， 当 1a  时， ( ) 0f x = ，得 ( ) 1 1,0x a = −  − ， ( )f x 在区间 1 1, a   − −    小于 0，函数 ( )f x 单调递减， ( )f x 在区间 1 ,1 a   −    大于 0，函数 ( )f x 单调递增， 所以函数 ( )f x 的最小值为 1 1 e f a a   − = −    ， ( )1 e axf −− = − ， ( )1 eaf = ，显然 ( ) ( )1 1f f − ，所以函数 ( )f x 的最大值为 ( )1 eaf = ， 综上可知，当0 1a  时，函数 ( )f x 的最小值为 ( )1 e axf −− = − ，最大值为 ( )1 eaf = ， 当 1a  时，函数 ( )f x 的最小值为 1 1 e f a a   − = −    ，最大值为 ( )1 eaf = ； （3）当 1a = 时， ( ) exf x x= ，即证明不等式 e ln 1xx x x + + ， 设 ( ) e ln 1xg x x x x= − − − ， 0x  ， ( ) ( ) 1 1 e    = + −    xg x x x ， 设 ( ) 1 exh x x = − ， 0x  ， ( ) 2 1 e 0xh x x  = +  ， 所以 ( )h x 在 ( )0, + 单调递增，并且 1 e 2 0 2 h   = −     ， ( )1 e 1 0h = −  ， 所以函数 ( )h x 在 1 ,1 2       上存在唯一零点 0x ，使 ( ) 0 0 0 1 e 0 x h x x = − = ， 即 ( )0 0g x = ，则在区间 ( )00, x ， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递减， 在区间 ( )0 ,x + ， ( ) 0g x  ， ( )g x 单调递增， 所以 ( )g x 的最小值为 ( ) 00 0 0 0e ln 1 x g x x x x= − − − ， 由 ( ) 00 0 1 e 0 x h x x = − = ，得 00 1 x x e = ，且 0 0lnx x= − ， 所以 ( )0 0g x = ， 所以 ( ) e ln 1 0xg x x x x= − − −  ，即 ( ) ln 1f x x x + + . 21．【详解】（1） ( )B T A= :A 2，6，4 经过 1 次“T 变换”得 B ：4，2，2， 第14页/共15页 B ：4，2，2，经过 1 次“T 变换”得 2，0，2； B 经过第 2 次“T 变换”得 2，2，0； B 经过第 3 次“T 变换”得 0，2，2.即 E ：0，2，2. （2）n 的最大值为 1 ①先证明 n 可以为 1 构造 A：1，1，1，则 ( )T A ：0，0，0，变换结束，此时 n=1. ②再证明 1n  反证法：假设 2n  设经过 1n − 次“T 变换”后得到的数列为 , ,x y z ，且 , ,x y z 不全为 0. 因为A 经过 n次“T 变换”后变换结束， 所以 0x y y z z x− = − = − = ，所以 = = =x y z t （t 为非 0 常数） 设 , ,x y z （即 , ,t t t ）由 1 1 1, ,x y z 进行“T 变换”得到， 则 1 1 1 1 1 1 0x y y z z x t− = − = − =  不妨设 1 1 1x y z  所以 1 1 1 1 1 1 0x y y z x z t− = − = − =  所以 ( ) ( )1 1 1 1 1 1 2x z x y y z t t t− = − + − = + = ，与 1 1x z t− = 矛盾. 综上，n 的最大值为 1 （3）因为 B 的各项之和为 2 2022a b+ + = ，不妨设 a b ，所以b 为 B 的最大项 即 1 3a a− 最大，即 1 2 3a a a  ，或 1 2 3a a a  当 1 2 3a a a  时，可得 1 2 2 3 1 3 2 a a a a a b a a = −  = −  = − 所以 2 =a b+ ，则 =1009 =1011a b， 当 1 2 3a a a  时，可得 2 1 3 2 3 1 2 a a a a a b a a = −  = −  = − 所以 2 =a b+ ，则 =1009 =1011a b， 定义：若一个数列有三项，且最小项为 2，较大两项相差 2，则称此数列与数列 B “结构相同”. 若数列 B 的三项为 2, , 2( 2)x x x+  ，则无论其顺序如何，经过“T 变换”得到的数列的三项为 2,2x x −， （不 考虑顺序） 所以与数列 B “结构相同”的数列经过“T 变换”得到的数列也与 B “结构相同”，除 2 以外其余各项减少 2，各 项之和减少 4. 因此，数列 :B 2，1009，1011 经过 504 次“T 变换”一定得到各项为 2，1，3，（不考虑顺序）的数列. 对 2，1，3，继续进行“T 变换”，依次得 1，2，1；1，1，0；0，1，1； 各项为 1，1，0 的数列，无论顺序如何，经过“T 变换”得到的数列会重复出现，各项之和不再减少. 第15页/共15页 所以，至少通过 506 次“T 变换”得到的数列各项之和最小. 故 k 的最小值为 506．