上海市浦东新区南汇第一中学2024-2025学年九年级上学期月考数学试卷（9月份）

2024-2025学年上海市浦东新区南汇一中九年级（上）月考数学试卷（9月份） 一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A．、、、 B．、、、 C．、、、 D．、、、 2．在中，点、分别在边、的延长线上（如图），下列四个选项中，能判定的是（ ） A． B． C． D． 3．已知，下列说法中不正确的是（ ） A．与方向相反 B． C． D． 4．已知与相似，又，，那么不可能是（ ） A． B． C． D． 5．图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面（ ） A． B． C． D． 6．如图，．要使，给出下列需要添加的条件：①；②；③，其中正确的是（ ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分． 7．如果，那么的值是________． 8．在比例尺为的地图上，相距4厘米的两地、的实际距离为________米． 9．点是线段的黄金分割点，，若，则________． 10．计算：________． 11．两个相似三角形对应高的比，且已知这两个三角形的周长差为4，则较小的三角形的周长为________． 12．中，，，点是的重心，则点到的中点的距离是________． 13．如图，在平行四边形中，为上一点，联结、，且、交于点，若，则________． 14．如图，已知中，已知点、分别在边、上，，，若的面积为3，则的面积为________． 15．如图，从点发出一束光，经轴反射，过点，则这束光从点到点所经过的路径的长为________． 16．如图：在的内接矩形，长边在边上，于，交于，已知，，，那么________． 17．定义：如果将一个三角形绕着它一个角的顶点旋转后．使这个角的一边与另一边重叠，再将旋转后的三角形进行相似缩放，使重叠的两条边互相重合，我们称这样的图形变换为三角形转似，这个角的顶点称为转似中心，所得的三角形称为原三角形的转似三角形． 如图，在中，，，，是以点为转似中心的其中一个转似三角形，那么以点为转似中心的另一个转似三角形（点、分别与、对应）的边的长为________． 18．已知，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴相交于、两点，且点的坐标为，连接，与轴相交于点，点在轴上，如果和相似，则点的坐标为________． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 19．已知：，，求：代数式的值． 四、解答题：本题共6小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 20．（本小题10分） 如图，已知点在平行四边形的边上，且，设，． （1）用、表示（直接写出答案）； （2）设，在答题卷中所给的图上画出的结果． 21．（本小题10分） 已知如图，，它们依次交直线，于点、、和点、、． （1）如果，，，求的长． （2）如果，，，求的长． 22．（本小题12分） 如图，中，平分，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 23．（本小题12分） 已知：如图，，求证： （1）； （2）． 24．（本小题12分） 如图：在中，点、、分别在、、边上，四边形是菱形，与交于点，已知，． （1）求证：； （2）求的长． 25．（本小题12分） 已知在梯形中，，，且，． （1）如图：为上的一点，满足，求的长； （2）如果点在上移动（点与点、不重合），且满足，交直线于点，同时交直线于点，那么 ①当点在线段的延长线上时，设，，求关于的函数解析式，并写出函数的定义域； ②当时，写出的长（不必写出解题过程）． 答案和解析 1．【答案】D 【解析】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意；故选：D． 根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例． 本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可． 2．【答案】A 【解析】解：当时，，A选项正确； 时，，B、C选项错误； 时，，D选项错误； 故选：A． 根据平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理判断即可． 本题考查的是平行线分线段成比例定理、平行线的判定定理，掌握相关的判定定理是解题的关键． 3．【答案】B 【解析】解：A．，与方向相反，故正确； B．，或与共线，故不正确； C．，，故正确； D．，，故正确； 故选：B． 根据既有大小，又有方向的量叫做向量逐项分析即可． 本题考查了向量的定义，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 4．【答案】D 【解析】解：，，， 或或， 故选：D． 根据相似三角形的性质进行解答即可． 本题考查的是相似三角形的性质，关键是相似三角形的对应角相等解答． 5．【答案】C 【解析】【分析】 本题考查相似三角形的应用，解本题的关键熟练掌握相似三角形的判定与性质．高脚杯前后的两个三角形相似．根据相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【解答】 解：如图：过作，垂足为，过作，垂足为， ， ， 即相似比为， ， ，， ， ， ， 故选：C． 6．【答案】B 【解析】解：①若， ，且， ，故①符合题意； ②若， ，且， 无法判定，故②不符合题意； ③若，且， ，故③符合题意； 故选：B． 利用相似三角形的判定依次判断即可求解． 本题考查了相似三角形的判定，灵活掌握相似三角形的判定方法是本题的关键． 7．【答案】 【解析】解：由，那么， 故答案为：． 根据合比性质，可得答案． 本题考查了比例的性质，利用合比性质：． 8．【答案】800 【解析】解：设的实际距离为， 比例尺为， ， ． 故答案为800． 设的实际距离为，根据比例尺的定义得到，利用比例的性质易求得的值，注意单位统一． 本题考查了比例线段：若线段、、、满足，则、、、叫比例线段．也考查了比例尺． 9．【答案】 【解析】解：点是线段的黄金分割点，，， 故答案为：． 由黄金分割点可知，较大部分比较小部分，等于整体比较大部分，等于，代入求值即可． 本题考查黄金比例，掌握黄金比例的比值是解决本题的关键． 10．【答案】 【解析】解：原式． 故答案为：． 根据向量的线性运算，先去括号，再运用向量的加减运算进行计算，即可作答． 本题考查了平面向量，向量的运算，正确地进行计算是解题的关键． 11．【答案】8 【解析】解：两个相似三角形对应高的比为，即相似比为， 它们周长的比是， 设较小的三角形的周长为，则较大的三角形的周长为， 由题意得，， 解得，， 则， 较小的三角形的周长为8． 故答案为：8． 相似三角形对应高的比等于相似比，根据相似三角形周长的比等于相似比列出方程，解方程即可． 本题考查的是相似三角形的性质，解题时注意：相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比． 12．【答案】1 【解析】解：如图所示， 点是的重心，，， ， 点是的重心， ． 故答案为：1． 根据题意画出图形，首先根据重心的性质得到是边上的中线，然后利用直角三角形斜边中线的性质得到，然后根据重心的性质求解即可． 此题考查了重心的性质，直角三角形斜边中线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 13．【答案】 【解析】【分析】 此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．由四边形是平行四边形，可得，，即可证得，然后由相似三角形面积比等于相似比的平方，即可求得答案． 【解答】 解：四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 14．【答案】12 【解析】解：， ， ， ， ， ， ， ， 的面积为12； 故答案为：12． 根据同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积，平行线分线段成比例得到，再根据同高三角形的面积比等于底边比，求出的面积即可． 本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 15．【答案】 【解析】解：如图，过点作轴于， ，， ，，， 根据题意得：， ， ，， ， ， ，， ， 故答案为：． 过点作轴于，由题意得出，，，， 证明，得出，求出，得出，由勾股定理得出，，即可得出答案． 本题考查了轨迹、坐标与图形性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． 16．【答案】6 【解析】解：四边形是矩形， ，，，， 于， ，， 四边形是矩形， ， ，， ， 设，，则， ， ，， ， ， 即， 解得：， 故答案为：6． 由四边形是矩形，得到，，，，因为，所以证明四边形是矩形，然后，，因为，所以证明，列式代入数值，进行计算，即可作答． 本题主要考查了相似三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，利用相似三角形的对应边上的高度比等于相似比的性质列出比例式是解题的关键． 17．【答案】 【解析】解：根据题意作图如下， ， ， ， ， 故答案为：． 根据题意将绕点顺时针旋转，使与重叠，再将三角形放大使重叠的两边与重合得，先根据条件，由相似三角形的性质可得出答案． 本题考查了旋转的性质的运用，相似三角形的判定与性质的运用，解答时理解题意和运用相似三角形的对应边成比例求解是关键． 18．【答案】或 【解析】解：当时，则； 当时，则，解得； 点的坐标为，点的坐标为； ， 点的坐标为， ， 设直线的解析式为， 点，在直线上， ，， 直线的解析式为； 连接，与轴相交于点， 当时，则， ， ，， 点在轴上， 设 ，，和相似， 或， ①当时，， 则， 解得， ， ②当时，， 则， 此时无解； ③当时，， 则， 此时； ④当时，， 则， 此时无解； 综上：点的坐标是或， 故答案为：或． 先由一次函数的性质得，；勾股定理得，，再设直线的解析式为，运用待定系数法解出直线的解析式为，易得，，运用相似三角形的性质，得或，所以进行分类讨论，依据三边成比例列式计算，即可作答． 本题考查了坐标与图形，相似三角形的判定与性质，一次函数的解析式与图象性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 19．【答案】解：设， 可得：，，， 把，，，代入， 可得：， 解得：， 所以，，， 把，，代入． 【解析】根据比例的性质，可用设，进而解答即可． 本题考查了比例的性质，关键是利用了比例的性质解答． 20．【答案】解：（1）； （2）如图所示：延长、交于点，则即为的结果． 四边形是平行四边形， ， ， ， 又， ， ． 【解析】解：（1），即，， 又，，， 即； （2）见答案． 本题考查了平行四边形的性质、平面向量，解决本题的关键是准确画图． （1），即，，再根据平面向量的线性运算即可表示； （2）根据向量定理即可画出． 21．【答案】解：（1），， ， ， ， ． （2）过作，分别交于点，于点，如图， ， 四边形和四边形是平行四边形， ， ． ， ， ． ． ． 【解析】（1）由果，，可得，然后根据平行线等分线段定理得到，然后将已知条件代入即可求解； （2）过作，分别交，于，说明四边形和四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质得；进一步说明，然后再按照平行线等分线段定理得到，最后代入已知条件求解即可． 本题主要考查平行线分线段成比例的知识，关键是掌握三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 22．【答案】解：（1）， ； 平分， ，， ， ． （2）， ， ，，， ． ， 这与三角形的任意两边之和大于第三边相矛盾， 该题无解． 【解析】（1）证明，结合，即可解决问题． （2）由，得到，利用，，，即可解决问题． 该题主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题；牢固掌握相似三角形的判定及其性质是灵活运用、解题的基础和关键． 23．【答案】证明：（1）在和中， ， ， ， 即， ； （2）在和中， 且， ， ． 【解析】（1）由已知可证，再利用相似三角形的对应角相等，角的和差关系证明结论； （2）观察所证结论，考虑证明和相似，利用已知比，公共角证明相似，得出结论． 本题考查了相似三角形的判定与性质．关键是利用已知比证明相似三角形，利用相似三角形的性质得比例． 24．【答案】（1）证明：四边形是菱形， ，， ， ， ， ， ， ； （2）设菱形的边长为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【解析】（1）平行线分线段成比例，得到，证明，得到，即可得证； （2）设菱形的边长为，证明，列出比例式，求出的值，再根据，得到，根据，进而得到，求解即可． 本题考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明三角形相似． 25．【答案】（1）解：四边形是梯形，，， ， ，，， ， ， ，即：， 解得：或； （2）①由（1）可知：， ，即：， ． ②当时， ， ，即或， ， 解得：或， 或． 【解析】（1）①当时，，而，因此，此时三角形与三角形相似．利用相似三角形的性质可得出关于，，，的比例关系式，，的值题中已经告诉，可以先用表示出，然后代入上面得出的比例关系式中求出的长． （2）①与（1）的方法类似，只不过把换成了，那么只要用就能表示出了．然后按得出的关于，，，的比例关系式，得出，的函数关系式． ②和①的方法类似，但是要多一步，要先通过平行得出三角形和相似，根据的长，用表示出，然后根据，，，的比例关系用表示出，然后按①的步骤进行求解即可． 本题考查了相似三角形的性质，二次函数的应用，等腰梯形，利用相似三角形的性质列出等式是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$