第4章 第5节 动点与函数-中考数学压轴题得高分

☑壹学知道中考数学压轴题得高分◆ 第5节 动点与函数 前言：动态问题伴随初中始终，从数轴上的动点，到坐标系中动点，从探究线段之间的关系，到 探究特殊图形.本节介绍关于中考题中常见的动态问题题型.了解题型，掌握方法，解决问题. 意义 》知识导航 如图2，t表示动点P的运动时间，S表示 △PAD的面积. 谚1.动点运动过程分析 ②将动点的运动过程与图像对应 此类问题中，一般有两张图，一张是动点所 点P从A到B→第1段函数图像： 在的几何图形，另一张是与动点有关的函数图 点P从B到C→第2段函数图像： 像.解题思路参考引例1. 点P从C到D→第3段函数图像. 见引例1如图1，四边形ABCD中，AB∥ ③利用特殊点的坐标计算求值。 由横坐标6、10可得CD=4,t=6时，点P CD,∠ADC=90°，点P从A点出发，以1个单 到点C时，S=8,即△ADC的面积为8，可得 位长度s的速度，按A→B→C→D的顺序在 AD=4,点P到点B时，S=2,即△ADB的面 边上匀速运动，设点P的运动时间为ts, 积为2，可得AB=1,.BC=6-1=5.如图，当 △PAD的面积为S,S关于t的函数图像如图 点P运动到BC的中点位置时，过点P作 2所示，当点P运动到BC的中点位置时， △PAD的面积为 PH∥AB,则PH⊥AD,S△PaD= PH=X4X1生-=5△PAD的面积为5 2 图1 ≥2.面积的计算 在动点背景下，一类常见问题是求与动点 相关的儿何图形面积，另一类是求两个图形的 重叠部分面积. 6 10s 分析图形存在哪些可能的位置，分类讨论 图2 不同位置下的图形面积或重叠部分面积. ○解析一般分三步分析. ®引例21(2023·缕化)如图，在菱形ABCD ①确定函数关系中自变量、因变量的实际 中，∠A=60°，AB=4,动点M、N同时从A点 146 第4章 二次函数 出发，点M以2个单位长度/s的速度沿折线 ®引例31(2023·辽宁)如图，∠MAN=60°， A一B一C向终点C运动：点N以1个单位长度/s 在射线AM、AN上分别截取AC=AB=6,连 的速度沿线段AD向终点D运动，当其中一点运 接BC,∠MAN的平分线交BC于点D,E为 动至终点时，另一点随之停止运动.设运动时间为 线段AB上的动点，作EF⊥AM交AM于点 xs,△AMN的面积为y个平方单位，则下列可以 F,作EG∥AM交射线AD于点G,过点G作 正确表示y与x函数关系的图像是 () GH⊥AM于点H,点E沿AB方向运动，当点 B E与点B重合时停止运动.设点E运动的路程 为x,四边形EFHG与△ABC重叠部分的面积 为S,则能大致反映S与x之间函数关系的图 y y 像是 ( 43 4v3 M 2⑤ 2v3 C H D 0 4 x 0 2 4 x y 4v3 4v3 2W3 23 0 2 24 C D ○解析如图1，当0<x≤2时，y= 2. 0346x0346 A B 3x= 2x,排除C、D选项： 如图2，当2<x≤4时，y= 2x·23= 3x,排除B选项. 综上可知，可以正确表示y与x函数关系 的图像是A. B B 346元0346元 M C D C解析当0<x≤3时，S=x· 3 2 2x2 图1 图2 排除C选项： 147 ☑壹学知道中考数学压轴题得高分 如图1，当3<x≤4时，S= 2x2、1 式表示)： 2 (2)当点D落在边BC上时，求x的值： 26-38）·2(5x-35) (3)求y关于x的函数表达式，并写出自变 量x的取值范围。 x+125x-183,排除B选项： 3w3 A 6-)+(0-2引 如图2，当4<x≤6时，S= Q 2 3 3 8x+3,3x,排除D选项. C B 备用图 综上可知，能大致反映S与x之间函数关 系的图像是A. C解析(1)2.x (2)如图1，当点D落在边BC上时，易证 M △PDB≌△QPA, ∴.BP=AQ=2AP, 3AB= .AP= 4 D G cm, 即2=4」 3 E B 图1 4r=2 M A D D B N 图1 图2 引例4(2020·吉林)如图，△ABC是等边 (3)如图2，当0<r 3时. 三角形，AB=4cm,动点P从点A出发，以 2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P PQ-2/3x cm.y3 4 ×(23x)2= 作PQ⊥AB,交折线AC一CB于点Q,以PQ 35x2: 为边作等边三角形PQD,使点A,D在PQ异 侧.设点P的运动时间为xs(0<x<2), 如图3，当<≤1时， △PQD与△ABC重叠部分图形的面积为ycm). (1)AP的长为 cm(用含x的代数 y=33x2- 2·3(35x-23)= 148 ●)第4章 二次函数 21 2x2+183x-63: y关于x的函数图像如图2，图像过点(0,2)，则 图像最低点的横坐标是 如图4，当1<x<2时， y=}×5(25-8x=3 2 x 63x+63. 综上可知，y关于x的函数表达式为 12x bro<≤)， 图1 图2 ,+183x-68(管<x≤1， 213 C解析过点B作BF⊥BC且BF=AC=1,连 接EF,又由题意得AD=BE,则△DAC≌ 3√ AEBF (SAS),..EF DC,..y=AE+CD= 2x2-63.x+651<x<2). AE+EF≥AF,当A、E、F共线时，y取到最 小值，过点A作AH⊥FB交FB的延长线于点 BE BE H,则AF阳，代人得 1 一，解得 p 2 Q D BE=√2一1，∴.图像最低点的横坐标是√2一1. B 图2 l 04 D 图3 图4 ≥3.函数图像与最值 口真题演练 ®引例5(2021·武汉)如图1，在△ABC中， 1.(2020·南通)如图1，E为矩形ABCD的边AD AB=AC,∠BAC=90°，边AB上的点D从顶 上一点，点P从点B出发沿折线B一E一D运 点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点 动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动 E从顶点B出发，向顶点C运动，D,E两点运 到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s.现 动速度的大小相等，设x=AD,y=AE+CD, P、Q两点同时出发，设运动时间为xs, 149 ☑壹学知道中考数学压轴题得高分◆ △BPQ的面积为ycm,若y与x的对应关系 A.12m B.123m 如图2所示，则矩形ABCD的面积是() C.24m D.24√3m E 3.(2021·威海)如图，在菱形ABCD中，AB 2cm,∠D=60°，点P、Q同时从点A出发， 点P以1cm/s的速度沿A-C-D的方向 运动，点Q以2cm/s的速度沿A-B-C-D 图1 的方向运动，当其中一点到达D点时，两点 ↑Jw/cn2 停止运动.设运动时间为x(s),△APQ的面 30 积为y(cm),则下列图像中能大致反映y与 x之间函数关系的是 ( 1014xs 图2 A.96 cm2 B.84 cm2 C.72 cm2 D.56 cm2 2.(2023·大庆)如图1，在平行四边形ABCD 中，∠ABC=120°，已知点P在边AB上，以 1m/s的速度从点A向点B运动，点Q在边 2 BC上，以3m/s的速度从点B向点C运动. 若点PQ同时出发，当点P到达点B时，点 Q恰好到达点C处，此时两点都停止运动.图 2是△BPQ的面积y(单位：m2)与点P的运 2 动时间1（单位：s)之间的函数关系图像（点 M为图像的最高点)，则平行四边形ABCD B 的面积为 () A 2 22.5 B 图1 m2↑ 2 3 D 4.(2021·淮安)如图1，△ABC和△A'B'C'是 两个边长不相等的等边三角形，点B'、C、 图2 B、C都在直线1上，△ABC固定不动，将 1501 第4章 二次函数 △A'B'C'在直线1上自左向右平移.开始时， 6.(2023·河南)如图1，点P从等边三角形 点C与点B重合，当点B'移动到与点C重 ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内 合时停止，设△A'B'C移动的距离为x,两个 部一点，再从该点沿直线运动到顶点B.设点 三角形重叠部分的面积为y,y与x之间的 PB 函数关系如图2所示，则△ABC的边长是 P运动的路程为x,PC=y,图2是点P运 动时y随x变化的关系图像，则等边三角形 ABC的边长为 () A(P) B(C ( a-3 图1 图2 5.(2023·遂宁)如图1，在△ABC中，AB=10, 图1 BC=6,AC=8,点P为线段AB上的动点. 以每秒1个单位长度的速度从点A向点B 移动，到达点B时停止.过点P作PM⊥AC 于点M,作PN⊥BC于点N,连接MN,线 2W3 43x 段MN的长度y与点P的运动时间1（单位： 图2 s)的函数关系如图2所示，则函数图像最低 点E的坐标为 () A.6 B.3 C.43 D.23 7.(2023·烟台)如图1，在△ABC中，动点P 从点A出发沿折线AB→BC→CA匀速运动 至点A后停止，设点P的运动路程为x,线段 AP的长度为y,图2是y与x的函数关系的 大致图像，其中F为曲线DE的最低点，则 B △ABC的高CG的长为 图1 8 图1 10x 图2 A.(5,5) 1215 c ( 图2 151 公壹学知道中考数学压轴题得高分m 8.(2023·锦州)如图，在Rt△ABC中， ②S关于t的函数表达式为 ∠ACB=90°，AC=3,BC=4,在△DEF (2)当点P由点B运动到点A时，经探究发 中，DE=DF=5,EF=8,BC与EF在同一 现S是关于t的二次函数，并绘制成如 条直线上，点C与点E重合.△ABC以每秒 图2所示的图像.请根据图像信息，求S 1个单位长度的速度沿线段EF所在直线向 关于t的函数表达式及线段AB的长： 右匀速运动，当点B运动到点F时，△ABC 【延伸探究】 停止运动.设运动时间为ts,△ABC与 (3)若存在3个时刻t1,t2、t(11<12<t)对 △DEF重叠部分的面积为S,则下列图像能 应的正方形DPEF的面积均相等. 大致反映S与（之间函数关系的是(） ①t1十t:= D ②当t多=411时，求正方形DPEF的 面积. 18 E 8121 B P 4 图1 图2 8127 12 9.(2023·江西)综合与实践 【问题提出】 某兴趣小组开展综合实践活动：在 Rt△ABC中，∠C=90°，D为AC上一点， CD=√2，动点P以每秒1个单位长度的速 度从点C出发，在三角形边上沿C→B→A 匀速运动，到达点A时停止，以DP为边作 正方形DPEF,设点P的运动时间为ts,正 方形DPEF的面积为S,探究S与t的关系， 【初步感知】 (1)如图1，当点P由点C运动到点B时， ①当t=1时，S= 152 ●)第4章 二次函数 10.(2021·铜仁)如图，在△ABC中，∠ACB= (3)当点Q落在△ABC外部时，求此时 90°，BC=6,3cm,AC=12cm.P是边AC上 △ABC与△CPQ重叠部分的面积S 的一动点，点P从点C出发以每秒2cm的 (用含x的代数式表示) 速度沿CA方向匀速运动，以CP为边作等 边三角形CPQ(点B、点Q在AC同侧)，设 点P运动的时间为xs,△ABC与△CPQ 重叠部分的面积为S. (1)当点Q落在△ABC内部时，求此时 △ABC与△CPQ重叠部分的面积S (用含x的代数式表示，不要求写x的 取值范围)： (2)当点Q落在AB上时，求此时△ABC与 △CPQ重叠部分的面积S的值： 153PN⊥x轴交AB于点N,则PN∥(M,.△PCNn△(CM,.a=2,BC=a+3=5.∴.△ABC的边长为5. 瓷-器：r言w+Na言m+9} 5.C解析：连接CP,则CP=MN,当CP⊥AB时，CP取到最 PN-一言+智。总当m-号时，PN取到是大值3 1=AP=32 小值，即MN最小，此时y=CP=24, 一点E的坐 瓷器品受+受-股-骨爱+#在限大 标受) 值，最大值为 9 6,A解折：当0<≤2后时，可得说-1：即点P在线段C 的垂直平分线上，如图，当x=23时，点P运动到点O位置，随 8解桥：(1)：5m=号C·h,Sam=号BC·A小， 后沿着OB运动到点B.由题意得OB=OA=2√3·.AB= 小=-京②DF△DFN荒a号 3A0=6. 9.解析：(1)由题意得对称轴为直线x=2,:抛物线过(0,0)，由 对称性得抛物线过(4,0)，可得抛物线的函数表达式为y= 1 rx-),化简得y=-.(2)BM:MQ-=3:5, w=音×一2》=一号代人抛物线两数表达式得，-西 解析，由题意得AB=8,BC=7,过点A作AP⊥BC交 3 I=-子，解得=1.，=3（会.心点M的坐标为(L,BC于点P,可得BP=4,∠ABC=60,CG=B 2 一品）义B2,0),得直线BM的隔数表达式为y=子 3 1 1 SAAr=2ABCG=2BC·AP,AB·CG=BC·AP, 331 联立方程：x一2=有r-r,解得x1=6r:=1心点N的 即8G=7X43CG=7-3. 2 坐标为(6,3).(3)过点P作PH⊥直线1交直线11于点H, 则PH/00△PEH△00.小是-是-沿南题意符 8.A解析：当0<1≤4时，S= 3 2·1, I- :排除B.D 选项：当4<1≤8时，S=6- 直线的函数表达式为y=x一2，设点P的坐标为m, 子m-m小则点H的坐标为(m,m一2.PH=m一2 61-4),排除C选项故选A 9.解析：(1)①3②12+2(2)设函数表达式为S=(1 (行m-m）=-m+2m-2,当m=4时，PH取到最大值0+2，当点P在点B处时，S=6,原D=BC+CD-6, 12+2=6,解得1=2，BC=2,抛物线过点(2,6)，代人得 2,此时设号=1小受的最大值为1 4a十2=6，解得a=1,.S=(1一4)十2，当S=18时，(t 第5节动点与函数 4)2+2=18,解得t1=8,t:=0(舍)，∴.AB=8-BC=6.∴.线段 1.C2.C AB的长为6，(3)①由题意得=2.，十4=4.②由 2 3A解折：当01时y=:-得：当1<<2 0得1，+=4.老=4：+=8又，=+ 时w… ·2(4-2x)= 2（-x+2x):当2<x≤3时. -8,解得-专红一号此时S-+2-9+2-器 4 8 一号一2)，棕上可知，能大致反映y与x之间函数关系的图“正方形PEF的面积是码 像是A 10.解析：(1)过点Q作QD⊥CP交CP于点D,则CD=PD.由 5解桥：由题意得S心=AB=3,A'B=2,题意得Cp=2xcm,CD=PD号Cp=cm,QD 中考数学压轴题得高分 ·33· VQ一CD=5xcm,S=号Cp·QD=后r,∴S=2解析：1抛物线L,的表达式为y=-+2z+3,顶点D 的坐标是(1,4).(2)若△BFE和△DEC的面积之和最小，即 W3x.(2)如图1，过点Q作QH⊥BC交BC于点H,设 四边形OCEF的面积最大，由D1,4)、B(3,O)可得直线BD的 QH=acm,则CH=5acm,BH=(65-5a)cm.:QH∥ Ac△BH0n△cA小-肥.6-第 表达式为y=一2x十6，将y=m代人，得：x=一2m十3心点 63 Q=3 得a=4.CQ=2a=2×4=8(cm.s=3 E坐标为（仁名m+3.m小5-EF0C.Or=m3. ×8 2 2 16w3(cm2). OCEF的面积取到最大值∴当m=含时，△BFE和△DEC的 面积之和最小，(3)，C(0,3),B(3,0),.点C绕着点B旋转 180后得到的点M的坐标为(6，一3)，，抛物线11的对称轴为 直线x=1,可得抛物线L:的对称轴为直线x=5,设点P坐标 图1 图2 为(5，n),则BP=√(5-3)+(n-0)下=√m+4,MP (3)如图2，记AB与PQ,CQ的交点分别为M,N,过点M作 √(5-6)+(m+3)=√n+6m+10,BM=3,√2.①若BP- MH⊥AC交AC于点H,过点M作MG⊥CQ交CQ于点G.由 (2)CN=8 cm.:NQ=CQ-CN=(2x-8)cm.CP BM,即√m+4=3√2，解得：1=√14，N:=-14,∴点P 2.xcm,AC=12cm,.AP=(12-2x)cm.:MH=5HP,的坐标为(5,4)或(5，一4)：②若MP=MB,即 H.HPAH.HP-AP-(12-2z)cm. /n+6n十10=3√2，解得：n1=一3十√17，n1=一3一17， ,.点P的坐标为(5，一3十17)或(5，一3一/17)：③若PB= .MP=2HP=(24-4x)cm,∴MQ=2x-(24-4.x)=(6.x 24)cm∴MG= PM,即√m十A=√m十6m十10，解得：n■一1，∴点P的坐标 2MQ-3(3x-12)cm.SAAn9-7NQ. 为(5，-1).综上所述，点P的坐标为(5，√14)或(5，一√14)或 MG=2(2x-8)·5(3x-12)=33x2-245x+483, (5,-3+√17)或(5，一3一√17)或(5，一1). S=Sa0-Sa-2r)2-(38r-243r+48 3.解析：(1)将(4，一3)和(0,1)代人抛物线的函数表达式得： 16a+c=-3, ∴S=-23.x2+243x-483(4<x≤6). 解得： 4':抛物线的函数表达式为 c=1, 第5章特殊图形存在性问题 第1节等腰三角形存在性问题 y=- x+1,(2)①若AB=AP,如图1，：抛物线的对称 1.5区或45解析：①若AE=AP,以点A为圆心，AE长为轴为y轴当点B与点P关于y轴对称时，可得AB=AP, 半径作圆弧，与AD的交点即为点P,EP=√2AE=5√2，②若 ∴点B的坐标为（一4，一3）：②若BA=BP,如图2，则点B在 EA=EP,以点E为圆心，EA长为半径作圆孤，与BC的交点 线段AP的垂直平分线上，取AP的中点M,则点M的坐标为 即为点P,EP=EA=5,BE=3,∴BP=√EP-BE=4, (2,-1).过点M作MN⊥AP交y轴于点N.易得∠MAN= ∴AP=√BP十AB=45.综上所述，等腰三角形AEP的底 45,∴△AMN是等腰直角三角形，.AN=√2AM=4,∴点V 边长为5√2或45. 的坐标为(0，一3)，直线MN的表达式为y=x一3，联立方 程，得：-十1=3：解得=-2+26，=-2- 25,∴点B的坐标为(-2+25，-5+25)或(-2-25， -5一25).综上所述，点B的坐标为（一4，一3）或（一2十 中考数学压轴题得高分 ·34·