专题02 一次函数重难知识与题型汇总（暑假复习讲义）新九年级数学新教材湘教版

专题02 一次函数重难专题 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 一次函数的图像与性质 题型2 待定系数法求解析式 题型3 一次函数与方程、不等式结合 题型4 一次函数实际应用 题型5 一次函数与旋转问题 题型6 一次函数的平移与对称问题 题型7 一次函数动点问题 题型8 一次函数与几何综合 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.一次函数的图像与性质 2. 待定系数法求解析式 3. 一次函数与方程、不等式结合 4. 一次函数实际应用 5. 一次函数与几何综合 6. 一次函数动点问题 1. 待定系数法求解析式：结合单点、两点、图象、几何条件设式求解，是高频基础考法。 2. 一次函数与方程（组）、不等式：借助函数图象交点、图象上下位置，考查解与解集的判定。 3. 一次函数实际应用：以行程、利润、方案选择等为背景，考查列式、取值范围与最值分析。 4. 一次函数与几何综合：结合三角形、四边形等图形，利用坐标求线段长、面积、角度等。 5. 一次函数动点问题：搭配几何动点，探究线段、面积、存在性问题，综合性强、难度较高。 考情解码： 一次函数是初中函数体系的入门核心，承接小学变量关系、七年级代数式与方程知识，也是后续学习反比例函数、二次函数的基础，同时搭建起代数与几何的联系，在整个初中数学中起到承上启下的关键作用。本章知识点覆盖面广，题型梯度分明，概念辨析、图象性质、解析式求解是期中、期末统考必考基础题；函数与方程、不等式结合题型为中档高频考点；实际应用、函数与几何综合、动点问题是试卷重难点及压轴题主要考查方向，分值占比高，侧重考查数形结合、建模、分类讨论等核心数学思想。 知识点一 一次函数的图像与性质 系数k：系数k决定直线的倾斜方向和函数增减性：当k＞0时，直线从左至右呈上升趋势，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线从左至右呈下降趋势，y随x的增大而减小 系数b:系数b为直线与y轴的交点纵坐标，直线恒过定点(0, b) 象限判断：k正b正，过一、二、三象限；k正b负，过一、三、四象限；k负b正，过一、二、四象限；k负b负，过二、三、四象限 两条直线的位置关系：当k₁=k₂且b₁≠b₂时，两直线互相平行、无交点；当k₁≠k₂时，两直线必然相交 【易错提醒】 （1） 忽略一次函数核心前提k≠0，误将常数函数当作一次函数 （2） 判断直线平行时，只关注k值相等，遗漏b值不相等的限定条件 （3） 混淆k、b的作用，错判函数增减性和直线经过的象限 即时即练 1．已知正比例函数（、为常数，，）中，随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 2．已知，，则直线的图象是下列选项中的（     ） A． B． C． D． 3．已知函数的图象不过第一象限，若点在该图象上，则点不可能是（     ） A． B． C． D． 4．如图，在点，，，中，一次函数的图象不可能经过的点是________． 5．已知关于的一次函数，那么这个函数的图象一定经过第________象限． 知识点二 一次函数的图像与坐标轴围成图形的面积计算 与两坐标轴围成的直角三角形面积：对于一次函数y=kx+b（k≠0），与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为(0, b)，两个交点到原点的距离分别是||和|b|，因此围成的直角三角形面积为： S = × | - | × |b| 多条一次函数直线围成图形的面积计算: ①求出每条直线与坐标轴的交点坐标，以及直线之间的交点坐标 ②选择合适的方法计算面积：若边在坐标轴上，直接以坐标轴上的边为底，另一顶点的横（纵）坐标绝对值为高；若没有边在坐标轴上，使用割补法，将图形分割为几个边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形/矩形，分别计算面积后求和；或用矩形框住图形，减去周围多余三角形的面积得到目标面积。 【易错提醒】 （1）计算交点到原点的距离时，必须加绝对值，坐标可能为负但距离一定是非负的 （2）割补法不要漏算或者多算部分区域，坐标计算错误会直接导致面积结果错误 即时即练 1．一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形面积是（   ） A． B． C．2 D．4 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与矩形的边、分别交于点E、F，已知，，则的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 3．已知一次函数和的图像都经过点，且与y轴交于B点，O为坐标系原点，那么的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．如图，点在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（   ） A． B． C．3 D．6 知识点三 一次函数图像的平移、对称变换规律 平移变换规律：平移变换不改变直线的倾斜程度，因此变换前后k值保持不变，只改变b的值。上加下减常数项，左加右减自变量。 对称变换规律：关于x轴对称：将原解析式中y替换为-y，关于y轴对称：将原解析式中x替换为-x。 【易错提醒】 （1）左右平移是对x本身进行加减，不是对kx，不要错写成y=kx -m +b，必须加上括号 （2）对称变换时不要记错替换规则，关于x轴对称换y，关于y轴对称换x，不要弄混 即时即练 1．在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位得到直线，则值为（） A．1 B． C． D．11 2．将一次函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，所得到的图象一定经过点（     ） A． B． C． D． 3．直线向上平移个单位长度后的直线经过第一、二、三象限，则的值可以是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．在平面直角坐标系中，已知直线与直线（a、b为常数，）关于x轴对称，则的值为（     ） A． B．6 C． D．8 5．一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 知识点四 一次函数与方程、不等式的结合 一次函数与一元一次方程：解一元一次方程就是求当一次函数y=ax+b的函数值为0时对应的自变量x的值 一次函数与一元一次不等式：解一元一次不等式就是求当一次函数y=ax+b的函数值大于（或小于）0时，自变量x的取值范围 一次函数与二元一次方程组：解方程组就是求两个一次函数函数值相等时的自变量x和函数值y，对应图像就是求两条直线交点的坐标 【易错提醒】 （1）解不等式时，如果k是负数，不等式两边同时除以k要改变不等号方向，不要忽略符号变化 （2）根据图像判断不等式解集时，要看清是y>0还是y<0，是y₁>y₂还是y₁<y₂，不要搞反方向 即时即练 1．在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 2．如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式 的解集为（     ） A． B． C． D． 3．已知不等式的解集是，下列有可能是函数的图象的是（     ） A． B． C． D． 4．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（     ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x，y的方程组的解是 D．不等式的解集是 5．如图，直线与直线（k，b为常数，）相交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 知识点五 一次函数中的实际应用题 分段函数的实际应用：在分段计费、行程问题、运费问题中，经常出现分段一次函数。 方案选择问题：利用函数的单调性比较不同方案的成本或收益 图像的信息提取：行程问题中的s-t图像，是实际应用中的重难点 【易错提醒】 （1） 不要把s-t图像当成运动轨迹，斜率代表速度，不是运动方向的高低；看清楚横纵坐标代表的物理量，是时间-路程，还是时间-速度，不要混淆 （2） 实际应用中自变量的取值范围要符合实际意义，人数、件数都是非负整数，不要忘记求自变量取值范围；最优方案判断时，要结合k的单调性，如果k>0，自变量取最小值时总费用最小，不要搞反。 即时即练 1．某工厂同时启动两台节能设备甲和乙，设备运行过程中，剩余电量（单位：千瓦时）会随着运行时间（分钟）持续减少．如图，线段表示甲设备，线段表示乙设备，在设备运行时间内，两台设备的剩余电量与运行时间都满足一次函数关系，其函数图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（     ） A．甲、乙两台设备的初始剩余电量不相同 B．设备运行时间内，甲设备的电量消耗速度更快 C．乙设备剩余电量与的函数关系式为 D．当甲设备剩余电量是108千瓦时时，乙设备剩余电量是72千瓦时 2．成人按规定剂量服用某种药后，每毫升血液中含药量（毫克）随时间（小时）的变化情况如图所示，下列说法错误的是（     ） A．服药后第2小时，血液中含药量最高，每毫升血液中含药量达到6毫克 B．服药后第5小时，每毫升血液中含药量为3毫克 C．服药后第8小时，血液中不含药 D．如果每毫升血液中含药量达3毫克或3毫克以上时，治疗疾病有效，那么这个有效时间长是3小时 3．2025年3月22日是第三十三届“世界水日”．滴水在指尖，节水在心田，保护水资源、维护水环境是全社会共同的责任．水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源．在“水日”这天，数学实践小组对漏水量和漏水时间的关系进行了试验与研究．他们发现漏水量y是时间t的一次函数．小组统计的相关数据如下： 时间 … 5 10 15 … 漏水量 … 20 35 50 … (1)根据以上信息，求y关于t的函数关系式； (2)如果一个人一天大约饮用1500毫升水，在这种滴水状态下，请你估算这个水龙头一天的漏水量可供一人饮用大约多少天？（结果保留整数） 4．我市某商场计划购进甲、乙两种商品共80件，其进价、售价如表所示： 进价（元/件） 售价（元/件） 甲种商品 25 30 乙种商品 35 45 设甲种商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)若该商场计划最多投入2300元，则最大利润是多少元？ 5．分段函数实际应用某游泳馆推出收费方案：单次游泳不超过3小时，收费12元；超过3小时，超出部分每小时加收2元（不足1小时按1小时计算）．设游泳时长为小时，为不小于的最小整数，收费总金额为元． (1)分别写出和时，与的函数关系式； (2)若某人游泳缴费元，求他的游泳时长范围； (3)若游泳时长控制在小时，求收费金额的取值范围． 知识点六 一次函数中动点问题 坐标变化：动点沿坐标轴、直线运动，结合运动速度、时间t写出动点含参坐标 线段与面积计算：借助横纵坐标差求线段长，割补法列图形面积关于t的函数 特殊图形存在性：满足等腰、直角三角形、平行四边形等条件，列方程求t的值 【易错提醒】 （1） 路程换算坐标符号，正负易写错 （2） 忽略自变量t实际取值范围 （3） 分段动点不会分类讨论，面积表达式漏分段 （4） 多解题型漏情况，分类不全丢解 即时即练 1．如图，点A、B的坐标分别为，点P是函数在第一象限图象上一个动点，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（   ） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．先减小后增大 D．不变 2．如图，函数图象与轴、轴分别交于两点，，点为直线上动点，连接，则的周长最小值为（    ） A．3 B．4 C． D． 3．如图，在长方形中，，点P是边上的动点（不与点C重合），点Q是边上任意一点．点P从点D出发以的速度向点C运动，则的面积与点P的运动时间间的函数关系式为（   ） A． B． C． D．因点Q的位置不确定，故无法求出表达式 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点M是直线上的动点，过点M作轴，交直线于点N，当时，设点M的横坐标为m，则m的取值范围为________． 5．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线与轴、轴分别交于点，，点是直线上的一个动点，则线段的最小值为____． 题型1 一次函数的图像与性质 例1．若一次函数（是常数，）的函数值随自变量的增大而增大，且其图象不经过第二象限，则的值可以是（     ） A． B． C．2 D．1 例2．若正比例函数的图象经过点和点，则点所在的象限为（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【技巧总结】 核心抓参数k、b的几何意义，k决定函数增减性与直线倾斜方向，k＞0时y随x增大而增大，k＜0时y随x增大而减小；b决定直线与y轴交点(0,b)。可通过k、b的正负组合，快速判定直线经过的象限、增减趋势，无需画图即可快速排除错误选项，做题优先定k、b符号 【变式训练1】对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．图象与y轴交于点 B．图象与x轴交于点 C．y随x的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 【变式训练2】已知一次函数的图象经过点，其中，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 题型2 待定系数法求解析式 例1．随着环保意识的增强，新能源汽车越来越受到大家的喜爱．某款新能源汽车充满电后在保持同一车速行驶的情况下，可行驶里程y（单位：）与行驶时间t（单位：h）之间的部分对应数据如下表所示： 行驶时间 2 3 4 5 6 7 可行驶里程 315 270 225 180 135 90 则y与t之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 例2．在直角坐标系中，点，，在同一条直线上，则的值为______． 【技巧总结】 遵循“设、代、解、写”四步固定流程，先设出一次函数通用解析式y=kx+b（k≠0），再将图像上两个已知点的坐标代入解析式，构建二元一次方程组。精准求解k、b的值，代入还原解析式，注意务必标注k≠0的隐含条件，避免解题疏漏。 【变式训练1】已知一次函数的图象如图所示，写出这个函数的表达式． 【变式训练2】已知直线（为常数，且）经过点，求的值及直线与坐标轴的交点坐标． 题型3 一次函数与方程、不等式结合 例1．如图，直线（，为常数）经过点，则关于的不等式的解集为______． 例2．如图，一次函数与图像的交点是，观察图像，直接写出方程组的解为______ 【技巧总结】 巧用数形结合思想，一次函数与一元一次方程的解，对应函数图像与x轴交点的横坐标；一次函数与不等式的解集，对应直线在x轴上方或下方对应的x取值范围。两直线交点是不等式解集的分界点，解题先找交点坐标，再根据直线上下位置直接判断取值范围，简化计算。 【变式训练1】如图，正比例函数与一次函数的图象交于点A，下面结论正确的是（   ） A． B．， C．方程的解是 D．当时， 【变式训练2】如图，若关于的一次函数与图象的交点坐标为，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 题型4 一次函数实际应用 例1．，两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地甲、乙两人离开地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则当时，甲、乙两人相距______． 例2.某种纪念品的日购买人数与其售价呈一次函数关系，当售价为元时，日购买人数为人．设该纪念品的售价为每个元，日购买人数为人，则与可能满足的函数关系式为（    ）． A． B． C． D． 【技巧总结】 第一步精准区分自变量与因变量，从题干图像、文字、表格中提取两组有效数据。列出函数解析式后，必须结合实际场景确定自变量取值范围，如时间、长度、数量不能为负数。求解最值、方案问题时，利用一次函数增减性，结合取值范围取对应极值即可。 【变式训练1】共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间x（）之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： (1)直接写出，关于x的函数解析式； (2)如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择__品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”） (3)当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元？ 【变式训练2】某物理兴趣小组在探究“声音在空气中的传播速度与温度的关系”时，记录了不同温度下声音传播的速度，部分数据如下表所示． 温度 0 10 30 声音传播速度 324 330 336 348 经过分析，小组成员发现声音传播的速度与温度之间近似满足一次函数关系．（、是常数，）．请根据以上信息，解答下列问题： (1)求出与之间的函数表达式（不要求写定义域）； (2)物理小组在实验室进行验证，当实验室温度控制在某一数值时，测得声音传播10.2米刚好用了0.03秒、求此时实验室的温度； (3)物理小组在研究中发现，声音在甲、乙两个实验室传播时，由于温度不同，甲实验室的声速比乙实验室快，求甲、乙两个实验室的温度差． 题型5 一次函数与旋转问题 例1．已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（ ） A． B． C．1 D．2 例2．如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【技巧总结】 旋转问题核心是旋转不变性，旋转前后线段长度、对应角度、图形形状大小不变。优先找出直线上关键点的旋转后对应点坐标，常用直角、45°、90°旋转坐标变换规律，求出新点坐标后，用待定系数法即可求出旋转后直线的解析式。 【变式训练1】已知一次函数，将其图像绕轴上的点旋转，所得的图像经过，则的值为__________． 【变式训练2】将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 题型6 一次函数的平移与对称问题 例1．一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 例2．将直线向上平移3个单位，若平移后的直线经过点，则__________． 【技巧总结】 牢记平移核心口诀“左加右减自变量，上加下减常数项”，平移只改变直线位置，不改变k值，直线始终平行。对称问题先求直线与坐标轴交点的对称点坐标，两点确定一条直线，再代入求解析式，关于x、y轴对称可直接套用参数变化规律，快速解题。 【变式训练1】一次函数（为常数，且）的图象关于轴对称后的图象经过点，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【变式训练2】将直线沿y轴向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第三象限，则m的值可以是__________（写出一个即可）． 题型7 一次函数动点问题 例1．如图，点A、B的坐标分别为，点P是函数在第一象限图象上一个动点，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（   ） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．先减小后增大 D．不变 例2．平面直角坐标系中有一动点． ①动点在直线上，__________； ②不论为何值，动点始终在一条直线上，则该直线解析式为：____________________． 【技巧总结】 核心是“以静制动”，用运动时间t表示出动点的坐标和对应线段长度。根据动点运动轨迹分段讨论，明确不同区间的运动状态，避免漏解。结合距离、面积、最值等条件列方程或函数关系式，最后结合t的取值范围筛选有效答案。 【变式训练1】综合与探究 如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，有一动点M从A点出发匀速沿x轴向右移动． (1)直接写出点的坐标：点A______；点B______； 将直线向上平移两个单位长度，得到直线，直接写出直线的表达式______． (2)若动点M从A点以每秒2个单位的速度匀速沿x轴向右移动．请你探究求出当时，此时M点的运动时间t（秒）； (3)请你探究动点M在移动过程中，是否存在使得的面积等于面积的？若存在，请直接写出满足条件的所有点M的坐标，不存在则说明理由． 【变式训练2】如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，点是直线上的一个动点，轴于点． (1)求点、点的坐标； (2)点是线段上的一个动点，当点在第一象限，且时，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，求的长． 题型8 一次函数与几何综合 例1．如图，把放在直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为，．将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 例2．如图，在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为，过点向上作轴，且，连接，若直线与有公共点，则的取值范围为__________． 【技巧总结】 解题关键是函数转几何、几何转方程，通过函数解析式求出关键点坐标，将坐标转化为横纵线段长度。结合三角形面积、勾股定理、平行垂直、特殊图形性质等几何知识，搭建方程求解，遇到复杂图形 【变式训练1】如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上． (1)求直线的解析式 (2)求m的值． 【变式训练2】如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线与x轴正半轴交于点C．点D在线段上，连接． (1)求点A、B、C的坐标； (2)已知，求点D的坐标； (3)点P为x轴上一点，满足，求点P的坐标． 1．如图的曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的飞行高度h（）随飞行时间t（）的变化情况，则下列说法错误的是（     ） A．风筝最初的高度为 B．时高度和时高度相同 C．时风筝达到最高高度为 D．到之间，风筝飞行高度持续上升 2．已知一次函数（k为常数），y随x的增大而减小，若点N在该函数的图象上，则点N的坐标不可能是（     ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，一次函数（b为常数）的图象与y轴交于点A，将该一次函数的图象向下平移2个单位长度后图象与y轴的交点为点B．若点A与点B关于原点对称，则b的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 4．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（     ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x，y的方程组的解是 D．不等式的解集是 5．已知直线与直线相交于点，点在直线上，点是平面直角坐标系内一动点，将线段绕着点顺时针旋转到线段，当线段与直线相交时，的取值范围是______． 6．在平面直角坐标系中，四个点坐标依次为，，，，点为线段上一动点，点为线段上一动点，点为轴上一动点．当三点运动到最短时，点的坐标是_______． 7．如图，已知直线，分别与轴，轴交于点． (1)求点的坐标． (2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作． ①求面积． ②根据图象，直接写出点坐标． 8．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，与过点的直线交于点D，且，且点D的纵坐标为． (1)求点D的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使最大？若存在，请直接写出坐标，并求出的最大值；若不存在，请说明理由． 9．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如表： 型号 甲 乙 每台每小时分拣快递件数（件） 每台价格（万元） 该公司计划购买这两种型号的机器人共台，并且使这台机器人每小时分拣快递件数总和不少于件． (1)设购买甲种型号的机器人台，购买这台机器人所花的费用为万元，求与之间的关系式； (2)购买几台甲种型号的机器人，能使购买这台机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ (3)若甲型机器人价格每台下调万元（），且购买甲型机器人的数量不高于乙型机器人数量的倍，购买最少费用为万元，请直接写出的值． 10．如图①．直线分别与轴、轴交于两点，与直线交于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)如图②，在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以四个点为顶点的四边形能构成一个平行四边形，直接写出符合条件的点坐标． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 一次函数重难专题 内容导航 01 复习目标→ 明考向、知权重、晓关联、以目标导学，以考向定标 02 知识重构 → 系统讲解重难核心知识，重构整合形成体系 03 题型突破 → 汇总常考题型，举一反三，方法提炼 题型1 一次函数的图像与性质 题型2 待定系数法求解析式 题型3 一次函数与方程、不等式结合 题型4 一次函数实际应用 题型5 一次函数与旋转问题 题型6 一次函数的平移与对称问题 题型7 一次函数动点问题 题型8 一次函数与几何综合 04综合通关 → 综合演练，梯度设题；查漏补缺，闭环收官 05错题留痕 → 预留固定区域，记录错题题号、错因与正解 常考考点 命题风向 1.一次函数的图像与性质 2. 待定系数法求解析式 3. 一次函数与方程、不等式结合 4. 一次函数实际应用 5. 一次函数与几何综合 6. 一次函数动点问题 1. 待定系数法求解析式：结合单点、两点、图象、几何条件设式求解，是高频基础考法。 2. 一次函数与方程（组）、不等式：借助函数图象交点、图象上下位置，考查解与解集的判定。 3. 一次函数实际应用：以行程、利润、方案选择等为背景，考查列式、取值范围与最值分析。 4. 一次函数与几何综合：结合三角形、四边形等图形，利用坐标求线段长、面积、角度等。 5. 一次函数动点问题：搭配几何动点，探究线段、面积、存在性问题，综合性强、难度较高。 考情解码： 一次函数是初中函数体系的入门核心，承接小学变量关系、七年级代数式与方程知识，也是后续学习反比例函数、二次函数的基础，同时搭建起代数与几何的联系，在整个初中数学中起到承上启下的关键作用。本章知识点覆盖面广，题型梯度分明，概念辨析、图象性质、解析式求解是期中、期末统考必考基础题；函数与方程、不等式结合题型为中档高频考点；实际应用、函数与几何综合、动点问题是试卷重难点及压轴题主要考查方向，分值占比高，侧重考查数形结合、建模、分类讨论等核心数学思想。 知识点一 一次函数的图像与性质 系数k：系数k决定直线的倾斜方向和函数增减性：当k＞0时，直线从左至右呈上升趋势，y随x的增大而增大；当k＜0时，直线从左至右呈下降趋势，y随x的增大而减小 系数b:系数b为直线与y轴的交点纵坐标，直线恒过定点(0, b) 象限判断：k正b正，过一、二、三象限；k正b负，过一、三、四象限；k负b正，过一、二、四象限；k负b负，过二、三、四象限 两条直线的位置关系：当k₁=k₂且b₁≠b₂时，两直线互相平行、无交点；当k₁≠k₂时，两直线必然相交 【易错提醒】 （1） 忽略一次函数核心前提k≠0，误将常数函数当作一次函数 （2） 判断直线平行时，只关注k值相等，遗漏b值不相等的限定条件 （3） 混淆k、b的作用，错判函数增减性和直线经过的象限 即时即练 1．已知正比例函数（、为常数，，）中，随的增大而减小，则一次函数的图象大致是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正比例函数，随的增大而减小，判断出，即可得到的取值范围，即可根据一次函数的图象性质确定图象的象限． 【详解】解：∵正比例函数中，随的增大而减小， ∴， ∵， ∴， ∴在函数中，，函数图象经过二四象限；，函数图象经过一二象限； ∴一次函数的图象大致为： 2．已知，，则直线的图象是下列选项中的（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根据一次函数的解析式判断其经过的象限，根据本题中，，图象经过一、三象限， ，则，图象与轴的交点大于，即可解答． 【详解】， 图象经过一、三象限， ，， ， 图象与轴的交点大于， 综上，图象经过一、二、三象限， 故选． 3．已知函数的图象不过第一象限，若点在该图象上，则点不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一次函数图象不过第一象限确定的取值范围，再将各选项点坐标代入解析式求出，判断是否符合取值范围即可得到结果. 【详解】解：∵函数是一次函数，图象不过第一象限，且常数项， ∴可得. 将各选项点坐标代入解析式计算： A 代入，得 ，解得 ，符合条件，不符合题意； B 代入，得 ，解得 ，符合条件，不符合题意； C 代入，得，解得 ，不符合的要求，符合题意； D 代入，得 ，解得，符合条件，不符合题意. 因此不可能在函数图象上. 4．如图，在点，，，中，一次函数的图象不可能经过的点是________． 【答案】点 【分析】根据k与b的符号确定一次函数图象经过的象限，结合各点所在的象限进行判断． 【详解】解：在函数中，、， 则该一次函数图象经过第二、三、四象限， 由图可知，点M在第二象限，点N在第一象限，点P在第四象限，点Q在第三象限， 因此，其图象不可能经过点N． 5．已知关于的一次函数，那么这个函数的图象一定经过第________象限． 【答案】 二 【分析】将已知一次函数解析式变形，可求出函数恒过的定点，根据定点所在象限即可得到结论. 【详解】解：对一次函数解析式变形可得 ， ∴当时，， ∴一次函数的图象恒过定点， ∵点在第二象限， ∴这个函数的图象一定经过第二象限． 知识点二 一次函数的图像与坐标轴围成图形的面积计算 与两坐标轴围成的直角三角形面积：对于一次函数y=kx+b（k≠0），与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为(0, b)，两个交点到原点的距离分别是||和|b|，因此围成的直角三角形面积为： S = × | - | × |b| 多条一次函数直线围成图形的面积计算: ①求出每条直线与坐标轴的交点坐标，以及直线之间的交点坐标 ②选择合适的方法计算面积：若边在坐标轴上，直接以坐标轴上的边为底，另一顶点的横（纵）坐标绝对值为高；若没有边在坐标轴上，使用割补法，将图形分割为几个边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形/矩形，分别计算面积后求和；或用矩形框住图形，减去周围多余三角形的面积得到目标面积。 【易错提醒】 （1）计算交点到原点的距离时，必须加绝对值，坐标可能为负但距离一定是非负的 （2）割补法不要漏算或者多算部分区域，坐标计算错误会直接导致面积结果错误 即时即练 1．一次函数的图象与坐标轴所围成的三角形面积是（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．结合一次函数的图象可以求出图象与轴的交点以及轴的交点，可求得图象与坐标轴所围成的三角形面积． 【详解】解：∵在中，令，则， 解得：， 令，则， ∴一次函数的图象与轴的交点，与轴的交点为， ， 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线与矩形的边、分别交于点E、F，已知，，则的面积是（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据直线的解析式求出点E、F的坐标是解题的关键；根据直线的解析式求出点E、F的坐标，即可求出，，进而求出三角形的面积． 【详解】解：当时，， 解得， ∴点E的坐标是， ， ， ，点F的横坐标是4， ， ， 的面积， 故选：． 3．已知一次函数和的图像都经过点，且与y轴交于B点，O为坐标系原点，那么的面积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】将点代入可求出点A的坐标，进而可求出一次函数的解析式，据此即可求解． 【详解】解：将点代入得： ∴ 将代入得： 解得： ∴ 令，则 ∴ ∴ 故选：B 【点睛】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题．正确求出函数解析式是解题关键． 4．如图，点在一次函数的图象上，它们的横坐标依次为，，，分别过这些点作轴与轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是（   ） A． B． C．3 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及函数图象，根据一次函数上点的坐标特征，得出三个三角形均是底为，高为的直角三角形是解题的关键． 轴于点，轴于点，轴于点，交轴于点，并求得各点坐标，计算出长度，利用三角形面积公式即可计算出答案． 【详解】解：如图，轴于点，轴于点，轴于点，交轴于点， 可知，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为，点坐标为， 故，， 因此阴影部分的面积和为． 故选：C． 知识点三 一次函数图像的平移、对称变换规律 平移变换规律：平移变换不改变直线的倾斜程度，因此变换前后k值保持不变，只改变b的值。上加下减常数项，左加右减自变量。 对称变换规律：关于x轴对称：将原解析式中y替换为-y，关于y轴对称：将原解析式中x替换为-x。 【易错提醒】 （1）左右平移是对x本身进行加减，不是对kx，不要错写成y=kx -m +b，必须加上括号 （2）对称变换时不要记错替换规则，关于x轴对称换y，关于y轴对称换x，不要弄混 即时即练 1．在平面直角坐标系中，将直线向上平移3个单位得到直线，则值为（） A．1 B． C． D．11 【答案】C 【分析】利用平移规则得到平移后解析式，对比系数求出k和b的值，代入计算即可得到结果． 【详解】解∶将直线向上平移3个单位，得到直线， ∵平移后的直线为， ∴，， ∴． 2．将一次函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，所得到的图象一定经过点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“左加右减”的规律求出平移后的函数解析式，把代入计算值即可判断． 【详解】解：∵一次函数图象沿轴向右平移3个单位长度，符合“左加右减”的平移规律，原函数为， ∴平移后的函数解析式为， 化简得， 将代入解析式，得， ∴平移后的图象经过点． 3．直线向上平移个单位长度后的直线经过第一、二、三象限，则的值可以是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】先根据平移规则求出平移后直线的解析式，再根据一次函数图象经过第一、二、三象限的条件得到的取值范围，结合选项即可得到答案． 【详解】解：根据一次函数平移规则，直线向上平移个单位长度后， 解析式为 ∵平移后的直线经过第一、二、三象限，且一次项系数， ∴直线与轴的交点需在正半轴，即， 解得， 只有D选项的5满足条件． 4．在平面直角坐标系中，已知直线与直线（a、b为常数，）关于x轴对称，则的值为（     ） A． B．6 C． D．8 【答案】B 【分析】利用点关于x轴对称的坐标特征，求出系数、的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵点关于x轴对称的点坐标为，直线与关于x轴对称， ∴将原直线的替换为即可得到对称直线的方程，即，整理得， ∴，， ∴． 5．一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据对称关系求出和的值，再用待定系数法求解正比例函数解析式即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数， 可得，， 即， ∴点的坐标为， 设正比例函数表达式为， 将代入得， 解得， ∴这个正比例函数的表达式为． 知识点四 一次函数与方程、不等式的结合 一次函数与一元一次方程：解一元一次方程就是求当一次函数y=ax+b的函数值为0时对应的自变量x的值 一次函数与一元一次不等式：解一元一次不等式就是求当一次函数y=ax+b的函数值大于（或小于）0时，自变量x的取值范围 一次函数与二元一次方程组：解方程组就是求两个一次函数函数值相等时的自变量x和函数值y，对应图像就是求两条直线交点的坐标 【易错提醒】 （1）解不等式时，如果k是负数，不等式两边同时除以k要改变不等号方向，不要忽略符号变化 （2）根据图像判断不等式解集时，要看清是y>0还是y<0，是y₁>y₂还是y₁<y₂，不要搞反方向 即时即练 1．在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与正比例函数（为常数，且）的图象如图所示，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系．两个一次函数图象的交点的横坐标是相应方程的解是解题的关键． 根据函数图象交点的横坐标是关于x的方程的解可得答案． 【详解】解：由图象可知，当时，， 即， 关于的方程的解为． 故选：A． 2．如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式 的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由一次函数图象的平移规律可知一次函数 的图象与轴的交点坐标为，进而根据图象解答即可求解． 【详解】解：一次函数的图象向左平移个单位长度得到一次函数 的图象， ∵一次函数的图象经过点， ∴一次函数 的图象与轴的交点坐标为， 由函数图象可知，当时，一次函数 的图象位于轴的下方， ∴关于的不等式的解集为． 3．已知不等式的解集是，下列有可能是函数的图象的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义进行判断即可． 【详解】解：不等式的解集是， 直线与轴交点为且随增大而减小，即C选项符合题意． 4．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（     ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x，y的方程组的解是 D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】先根据一次函数图象与x轴的交点解答A，再根据两直线的交点解答B，C，然后根据直线在直线下方的部分的自变量取值解答D． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， 所以方程的解是，则A正确； ∵一次函数的图象和一次函数的图象交于点， ∴当时，两个函数值相等， 即方程的解是，则B正确； 方程组的解是，则C正确； 不等式的解集是，则D错误． 5．如图，直线与直线（k，b为常数，）相交于点，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：观察图像可知，交点右侧，即时，直线在直线上方，符合不等式的条件，所以不等式的解集就是． 知识点五 一次函数中的实际应用题 分段函数的实际应用：在分段计费、行程问题、运费问题中，经常出现分段一次函数。 方案选择问题：利用函数的单调性比较不同方案的成本或收益 图像的信息提取：行程问题中的s-t图像，是实际应用中的重难点 【易错提醒】 （1） 不要把s-t图像当成运动轨迹，斜率代表速度，不是运动方向的高低；看清楚横纵坐标代表的物理量，是时间-路程，还是时间-速度，不要混淆 （2） 实际应用中自变量的取值范围要符合实际意义，人数、件数都是非负整数，不要忘记求自变量取值范围；最优方案判断时，要结合k的单调性，如果k>0，自变量取最小值时总费用最小，不要搞反。 即时即练 1．某工厂同时启动两台节能设备甲和乙，设备运行过程中，剩余电量（单位：千瓦时）会随着运行时间（分钟）持续减少．如图，线段表示甲设备，线段表示乙设备，在设备运行时间内，两台设备的剩余电量与运行时间都满足一次函数关系，其函数图象如图所示．根据图象，下列说法正确的是（     ） A．甲、乙两台设备的初始剩余电量不相同 B．设备运行时间内，甲设备的电量消耗速度更快 C．乙设备剩余电量与的函数关系式为 D．当甲设备剩余电量是108千瓦时时，乙设备剩余电量是72千瓦时 【答案】D 【分析】根据图象获取甲、乙两设备图象经过的点的坐标，利用待定系数法求出函数解析式，结合图象性质逐一判断选项即可． 【详解】解：由图象可知，甲、乙两线段均过点， 甲、乙两台设备的初始剩余电量相同，均为144千瓦时， 故A错误； 在分钟内，甲设备电量减少千瓦时，乙设备电量减少千瓦时， 乙设备的电量消耗速度更快， 故B错误； 设乙设备函数关系式为， 将和代入得： ， 解得：， 乙设备函数关系式为， 故C错误； 设甲设备函数关系式为， 将和代入得： ， 解得：， 甲设备函数关系式为， 当甲设备剩余电量时，， 解得：， 此时乙设备剩余电量为：， 故D正确． 2．成人按规定剂量服用某种药后，每毫升血液中含药量（毫克）随时间（小时）的变化情况如图所示，下列说法错误的是（     ） A．服药后第2小时，血液中含药量最高，每毫升血液中含药量达到6毫克 B．服药后第5小时，每毫升血液中含药量为3毫克 C．服药后第8小时，血液中不含药 D．如果每毫升血液中含药量达3毫克或3毫克以上时，治疗疾病有效，那么这个有效时间长是3小时 【答案】D 【分析】A、直接在函数图象中找出能够取到的最大值时，的值，即可得出结论； B、直接在函数图象中找出当时，的值，即可得出结论； C、先求出当时的函数解析式，再求出当时，的值，即可得出结论； D、先求出当时的函数解析式，再将分别代入正比例函数解析式和一次函数解析式中求出相应的的值，再作差计算即可． 【详解】解：A、如图所示，2小时血液中含药量最高，达每毫升6毫克 ，A选项说法正确，故此选项不符合题意； B、如图所示，当时，，所以服药后第5小时，每毫升血液中含药量为3毫克，B选项说法正确，故此选项不符合题意； C、当时，设， 将点，代入，得 ，解得， ∴． 当时，， ∴服药后第8小时，血液中不含药． C选项说法正确，故此选项不符合题意； D、当时，设， 将点代入，得 ，解得， ∴． 当时，， ∵， ∴如果每毫升血液中含药量达3毫克或3毫克以上时，治疗疾病有效，那么这个有效时间长是4小时． D选项说法错误，故此选项符合题意． 3．2025年3月22日是第三十三届“世界水日”．滴水在指尖，节水在心田，保护水资源、维护水环境是全社会共同的责任．水龙头关闭不严会造成漏水，浪费水资源．在“水日”这天，数学实践小组对漏水量和漏水时间的关系进行了试验与研究．他们发现漏水量y是时间t的一次函数．小组统计的相关数据如下： 时间 … 5 10 15 … 漏水量 … 20 35 50 … (1)根据以上信息，求y关于t的函数关系式； (2)如果一个人一天大约饮用1500毫升水，在这种滴水状态下，请你估算这个水龙头一天的漏水量可供一人饮用大约多少天？（结果保留整数） 【答案】(1) (2) 大约3天 【分析】（1）已知y是t的一次函数，利用待定系数法，代入表格中两组数据即可求出函数关系式，需结合实际确定自变量t的取值范围； （2）先将一天时间换算为分钟单位，代入函数关系式求出一天漏水量，再除以一人一天的饮水量，结果保留整数即可得到答案. 【详解】（1）解：设， 把和代入解析式，得， 解得， ∴； （2）解：1天的时间为， 将代入，得； （天）； 答：这个水龙头一天的漏水量可供一人饮用大约3天. 4．我市某商场计划购进甲、乙两种商品共80件，其进价、售价如表所示： 进价（元/件） 售价（元/件） 甲种商品 25 30 乙种商品 35 45 设甲种商品购进x件，售完此两种商品总利润为y元． (1)求y与x的函数关系式； (2)若该商场计划最多投入2300元，则最大利润是多少元？ 【答案】(1) ( 且 为整数 ) (2)550元 【分析】（1）根据总利润甲种商品利润乙种商品利润即可解决问题； （2）列出不等式求出x的取值范围，然后根据一次函数的增减性解决最大值问题． 【详解】（1）解：与的函数关系式为且为整数； （2）解：∵该商场计划最多投入2300元， ∴， 解得， ∴且为整数， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，最大为（元）， ∴售完这些商品，商场可获得的最大利润是元． 5．分段函数实际应用某游泳馆推出收费方案：单次游泳不超过3小时，收费12元；超过3小时，超出部分每小时加收2元（不足1小时按1小时计算）．设游泳时长为小时，为不小于的最小整数，收费总金额为元． (1)分别写出和时，与的函数关系式； (2)若某人游泳缴费元，求他的游泳时长范围； (3)若游泳时长控制在小时，求收费金额的取值范围． 【答案】(1)当时，；当时， (2) (3)且为偶数 【分析】（1）根据题意，写出两个时段的关系式； （2）先确定，则，令计算出对应的的值，再根据收费规则确定游泳时间； （3）根据一次函数的增减性，求出的取值范围． 【详解】（1）解：当时，根据题意，收费恒定为12元， ∴； 当时，根据题意，超出部分每小时加收2元， ∴； （2）解：∵， ∴，此时， 将代入，得， ∴； （3）解： ∵， ∴随的增大而增大， ∵当时，；当时，； ∴且为偶数． 知识点六 一次函数中动点问题 坐标变化：动点沿坐标轴、直线运动，结合运动速度、时间t写出动点含参坐标 线段与面积计算：借助横纵坐标差求线段长，割补法列图形面积关于t的函数 特殊图形存在性：满足等腰、直角三角形、平行四边形等条件，列方程求t的值 【易错提醒】 （1） 路程换算坐标符号，正负易写错 （2） 忽略自变量t实际取值范围 （3） 分段动点不会分类讨论，面积表达式漏分段 （4） 多解题型漏情况，分类不全丢解 即时即练 1．如图，点A、B的坐标分别为，点P是函数在第一象限图象上一个动点，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（   ） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．先减小后增大 D．不变 【答案】A 【分析】过点P作于点T，设的解析式为，把分别代入解析式，解方程组计算即可得解析式，与的图象比较，不难发现二直线不平行，故两直线间的距离不相等，根据题意，四边形的面积为，是定值，，是定值，故四边形的面积的变化决定于高的变化，由于两直线相交，故当P的横坐标增大时，逐渐变小，解答即可． 【详解】解：过点P作于点T， ∵直线经过点， ∴， 解得， 故直线的解析式为． ∵， ∴直线与二直线不平行，故两直线间的距离不相等， 根据题意，四边形的面积为，是定值，，是定值，故四边形的面积的变化决定于高的变化， 由于两直线相交，故当P的横坐标增大时，逐渐变小， 故选：A． 2．如图，函数图象与轴、轴分别交于两点，，点为直线上动点，连接，则的周长最小值为（    ） A．3 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的几何应用，最短距离问题，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质．根据题意可得是等腰直角三角形，取的中点E，连接，并延长至点D，使，连接，则，，可得，从而得到的周长，再证明，可得，从而得到轴，再由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：当时，，当时，， ∴点， ∴， ∴是等腰直角三角形， 如图，取的中点E，连接，并延长至点D，使，连接，则，， ∴， ∴的周长， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴轴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长的最小值为． 故选：C 3．如图，在长方形中，，点P是边上的动点（不与点C重合），点Q是边上任意一点．点P从点D出发以的速度向点C运动，则的面积与点P的运动时间间的函数关系式为（   ） A． B． C． D．因点Q的位置不确定，故无法求出表达式 【答案】C 【分析】本题考查动点问题、求自变量与因变量的关系式，根据，用含t的代数式表示出的底边的长即可得到答案． 【详解】解：由题意，， ∴， ∴， 故选：C． 4．如图，在平面直角坐标系xOy中，点M是直线上的动点，过点M作轴，交直线于点N，当时，设点M的横坐标为m，则m的取值范围为________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的相关知识，具体包括：一次函数上点的坐标特征，垂直于坐标轴的两点距离计算．求解出点M与点N的坐标是解决本题的关键． 首先根据点在直线上，点N在直线上且轴，用含m的式子表示出M、N两点的坐标，然后根据，求解m的取值范围． 【详解】解：因为点M是直线上的动点，且点M的横坐标为m， 将代入，可得， 所以点M的坐标为． 因为轴，且点N在直线上， 所以点N的横坐标也为m， 将代入，可得， 所以点N的坐标为． 因为，，两点横坐标相同， 所以． 当时，解得， 即点M的横坐标位于与2中间时，， 故m的取值范围是． 故答案为：． 5．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，直线与轴、轴分别交于点，，点是直线上的一个动点，则线段的最小值为____． 【答案】 【分析】连接，过点P作于点M，根据垂线段最短，当点Q 与点M重合时，取得最小值，利用三角形面积不变性，列式解答即可． 本题考查了垂线段最短，一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握垂线段最短，是解题的关键． 【详解】解：连接，过点P作于点M，根据垂线段最短， 当点Q 与点M重合时，取得最小值， ∵直线与轴、轴分别交于点，， ∴,, ∴, ∴, ∵点的坐标为， ∴, ∵, ∴, 故答案为：． 题型1 一次函数的图像与性质 例1．若一次函数（是常数，）的函数值随自变量的增大而增大，且其图象不经过第二象限，则的值可以是（     ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据一次函数的增减性确定的符号，再由一次函数图象位置确定常数项的范围，综合即可得到的取值范围，验证各个选项即可． 【详解】解：∵一次函数（）的函数值随增大而增大， ∴，排除为负数的A、B选项； ∵一次函数图象不经过第二象限， ∴函数与轴的交点在原点或轴负半轴，即，解得； 综上所述，，选项中只有D选项的符合条件． 例2．若正比例函数的图象经过点和点，则点所在的象限为（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】将已知点代入函数解析式，推导得到的值，再根据横纵坐标符号判断点所在象限． 【详解】∵ 正比例函数的图象经过点和点 ∴ 将两点代入解析式可得， 由得，代入得， 两边同乘得， ∴ 点即为， ∵ 横坐标小于，纵坐标大于，符合第二象限点的特征， ∴该点在第二象限． 【技巧总结】 核心抓参数k、b的几何意义，k决定函数增减性与直线倾斜方向，k＞0时y随x增大而增大，k＜0时y随x增大而减小；b决定直线与y轴交点(0,b)。可通过k、b的正负组合，快速判定直线经过的象限、增减趋势，无需画图即可快速排除错误选项，做题优先定k、b符号 【变式训练1】对于一次函数，下列结论正确的是（     ） A．图象与y轴交于点 B．图象与x轴交于点 C．y随x的增大而增大 D．图象经过第一、二、四象限 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象与性质，逐项分析求解即可． 【详解】解：A．令，得，∴一次函数的图象与y轴交于点，A选项正确； B．令，得，∴一次函数的图象与x轴交于点，B选项错误； C．∵，∴y随x的增大而减小，C选项错误； D．一次函数中，，，∴一次函数的图象经过第二、三、四象限，D选项错误． 【变式训练2】已知一次函数的图象经过点，其中，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点代入，则，，，然后对①和②式子进行变形，结合不等式的性质验证个选项即可． 【详解】解：将点代入，则， ∴ ， ∴A错误； 得，， 得， 错误； 由①得，， ∴C正确； 得， ， 得，， 错误． 题型2 待定系数法求解析式 例1．随着环保意识的增强，新能源汽车越来越受到大家的喜爱．某款新能源汽车充满电后在保持同一车速行驶的情况下，可行驶里程y（单位：）与行驶时间t（单位：h）之间的部分对应数据如下表所示： 行驶时间 2 3 4 5 6 7 可行驶里程 315 270 225 180 135 90 则y与t之间的函数关系式为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由表格数据可知，随均匀变化，因此与是一次函数关系，使用待定系数法即可求出函数关系式． 【详解】解：∵每增加 ，减少 ， ∴与为一次函数关系， 设函数解析式为， 选取表格中 和 代入得：， 两式相减得 ， 将 代入 ，得， ∴函数关系式为 ，代入其余点验证均符合． 例2．在直角坐标系中，点，，在同一条直线上，则的值为______． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出直线的一次函数解析式，再将点的坐标代入解析式，即可求出的值． 【详解】解：设直线的解析式为， 把，代入得，， 解得， 直线的解析式为， 点，，在同一条直线上，即点在直线上， 把代入得：． 【技巧总结】 遵循“设、代、解、写”四步固定流程，先设出一次函数通用解析式y=kx+b（k≠0），再将图像上两个已知点的坐标代入解析式，构建二元一次方程组。精准求解k、b的值，代入还原解析式，注意务必标注k≠0的隐含条件，避免解题疏漏。 【变式训练1】已知一次函数的图象如图所示，写出这个函数的表达式． 【答案】 【详解】解：设这个一次函数的表达式为（）， 由图象可得，一次函数的图象经过点和点， 将两个点的坐标代入函数表达式，得， 解得：， 因此这个一次函数的表达式为． 【变式训练2】已知直线（为常数，且）经过点，求的值及直线与坐标轴的交点坐标． 【答案】；直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为． 【分析】先将已知点的坐标代入直线解析式求出的值，再分别令、，求出直线与坐标轴的交点坐标． 【详解】解：把点代入中， 得，解得， 所以直线的函数解析式为， 当时，， 当时，， 则直线与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为． 题型3 一次函数与方程、不等式结合 例1．如图，直线（，为常数）经过点，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【详解】对于函数，经过点，当，， 观察图象可知，当时，． 例2．如图，一次函数与图像的交点是，观察图像，直接写出方程组的解为______ 【答案】 【分析】根据图象交点坐标直接写出方程组的解即可． 【详解】解：一次函数与图象的交点是， 方程组的解为． 【技巧总结】 巧用数形结合思想，一次函数与一元一次方程的解，对应函数图像与x轴交点的横坐标；一次函数与不等式的解集，对应直线在x轴上方或下方对应的x取值范围。两直线交点是不等式解集的分界点，解题先找交点坐标，再根据直线上下位置直接判断取值范围，简化计算。 【变式训练1】如图，正比例函数与一次函数的图象交于点A，下面结论正确的是（   ） A． B．， C．方程的解是 D．当时， 【答案】C 【分析】根据图象进行分析判断即可． 【详解】解：由图象可知，，故A错误； ，，故B错误； 方程的解是，故C正确； 当时，，故D错误. 【变式训练2】如图，若关于的一次函数与图象的交点坐标为，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两一次函数图像的交点得到在该点时，两一次函数的函数值相等，再根据题目所求是在该点的左侧还是右侧，在左侧小于该点的横坐标，在右侧大于该点的横坐标． 【详解】解：∵点是一次函数与的交点， ∴当时，， 由图像可知，当时，一次函数在下方， ∴ 即时，． 题型4 一次函数实际应用 例1．，两地相距，甲、乙两人沿同一条路从地到地甲、乙两人离开地的距离（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，则当时，甲、乙两人相距______． 【答案】40 【分析】利用待定系数法分别求出甲、乙两人离开地的距离与时间的函数解析式，再将分别代入两个解析式求出对应的距离，最后计算两人的距离差即可． 【详解】解：设甲的解析式为，代入、， 得， 例2.某种纪念品的日购买人数与其售价呈一次函数关系，当售价为元时，日购买人数为人．设该纪念品的售价为每个元，日购买人数为人，则与可能满足的函数关系式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知与为一次函数关系，且时，只需将代入各选项验证，即可得到正确的函数关系式． 【详解】解：选项A：，不符合条件； 选项B：，不符合条件； 选项C：，不符合条件； 选项D：，符合条件． 【技巧总结】 第一步精准区分自变量与因变量，从题干图像、文字、表格中提取两组有效数据。列出函数解析式后，必须结合实际场景确定自变量取值范围，如时间、长度、数量不能为负数。求解最值、方案问题时，利用一次函数增减性，结合取值范围取对应极值即可。 【变式训练1】共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间x（）之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： (1)直接写出，关于x的函数解析式； (2)如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为，那么小明选择__品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”） (3)当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元？ 【答案】(1)， (2)B (3)的值为7.5或35 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）先求出时间，再带函数解析式求解即可； （3）分两种情况讨论：当时，；当时，或，再求解即可． 【详解】（1）解：由题意可设， 将代入得， 解得 ∴； 对于，当时，； 当时，设 代入，，则 解得 ∴ ∴ （2）解：，则时间 A品牌收费：（元）； B品牌收费：，则（元）， 因为， 所以小明选择B品牌更省钱； （3）解：当时，， ， 解得：， 当时，或， 或， 解得：（舍去）或， 综上，当的值为7.5或35时，两种品牌共享电动车收费相差3元． 【变式训练2】某物理兴趣小组在探究“声音在空气中的传播速度与温度的关系”时，记录了不同温度下声音传播的速度，部分数据如下表所示． 温度 0 10 30 声音传播速度 324 330 336 348 经过分析，小组成员发现声音传播的速度与温度之间近似满足一次函数关系．（、是常数，）．请根据以上信息，解答下列问题： (1)求出与之间的函数表达式（不要求写定义域）； (2)物理小组在实验室进行验证，当实验室温度控制在某一数值时，测得声音传播10.2米刚好用了0.03秒、求此时实验室的温度； (3)物理小组在研究中发现，声音在甲、乙两个实验室传播时，由于温度不同，甲实验室的声速比乙实验室快，求甲、乙两个实验室的温度差． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法，选取表格中两组对应坐标，求解得到一次函数的解析式； （2）先求出此时声音传播的速度，再代入函数表达式中即可求得此时实验室的温度； （3）设甲实验室的温度为，乙实验室的温度为，分别代入函数表达式中，根据“甲实验室的声速比乙实验室快”，求解即可． 【详解】（1）解：因为与之间近似满足一次函数关系（、是常数，），得， 解得． 所以与之间的函数关系是：． （2）解：由题意，， 当时，， 解得， 所以此时实验室的温度． （3）解：设甲实验室的温度为，乙实验室的温度为， 由题意得， 解得， 所以甲、乙两个实验室的温度差为． 题型5 一次函数与旋转问题 例1．已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】先求出直线与坐标轴的交点，再求出绕x轴上一点 旋转后的新坐标，即可由待定系数法求解函数表达式，最后代入求解即可． 【详解】解：对于一次函数，当时，；当时，，解得 ∴一次函数的图象与坐标轴的交点坐标为，， 故图象绕x轴上一点旋转后的新坐标，， 设新解析式为， 根据题意，得， 解得， 故函数的解析式为 ， 又图象经过， ∴ 解得． 例2．如图，直线经过点，将绕点顺时针旋转，得到直线．点在上，若，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，根据点在直线上求出，根据点的坐标是，所以当时，，即可知的值可以是． 【详解】解：如下图所示，过点作轴， 当时，， 点的坐标是， 由直线的图像可知随的增大而增大， 当时，， 的值可以是． 故选：D． 【技巧总结】 旋转问题核心是旋转不变性，旋转前后线段长度、对应角度、图形形状大小不变。优先找出直线上关键点的旋转后对应点坐标，常用直角、45°、90°旋转坐标变换规律，求出新点坐标后，用待定系数法即可求出旋转后直线的解析式。 【变式训练1】已知一次函数，将其图像绕轴上的点旋转，所得的图像经过，则的值为__________． 【答案】1 【分析】根据题意先求出原一次函数与轴的交点坐标，再结合旋转的性质，得到两个交点关于旋转中心对称，利用对称性质计算的值即可． 【详解】解：在一次函数中， 令，则， 即一次函数与轴交点为， ∵旋转后所得的图像经过点 ， ∴旋转后的函数与轴交点为， ∵一次函数的图像绕轴上一点旋转， ∴和关于点对称， ∴． 【变式训练2】将一次函数（为常数）的图象绕原点顺时针旋转，所得图象与轴交于点，当时，的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象的旋转以及一次函数与坐标的交点问题，掌握一次函数图象的旋转是解题的关键．一次函数中，令，则，当一次函数绕原点顺时针旋转后，则的对应点为，得到，分别当和时讨论，即可解得． 【详解】解：在一次函数中，令，则， ∴直线经过点， 将一次函数的图象绕原点顺时针旋转， 则的对应点为， 旋转后图象与轴交于点， ， ， ， 当时，，解得，即； 当时，，解得，与矛盾，无解； 的取值范围是， 故答案为：． 题型6 一次函数的平移与对称问题 例1．一个正比例函数的图象经过点和点，若点与点关于原点对称，则这个正比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据对称关系求出和的值，再用待定系数法求解正比例函数解析式即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数， 可得，， 即， ∴点的坐标为， 设正比例函数表达式为， 将代入得， 解得， ∴这个正比例函数的表达式为． 例2．将直线向上平移3个单位，若平移后的直线经过点，则__________． 【答案】 【分析】根据直线平移的规律得到平移后的函数解析式，将点代入即可解答． 【详解】解：将直线向上平移3个单位后得到的直线解析式为， ∵点在平移后的直线上， ∴， ∴． 【技巧总结】 牢记平移核心口诀“左加右减自变量，上加下减常数项”，平移只改变直线位置，不改变k值，直线始终平行。对称问题先求直线与坐标轴交点的对称点坐标，两点确定一条直线，再代入求解析式，关于x、y轴对称可直接套用参数变化规律，快速解题。 【变式训练1】一次函数（为常数，且）的图象关于轴对称后的图象经过点，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】利用关于y轴对称的点的坐标变化规律，找到原函数图象上对应的点，代入解析式即可求解k的值． 【详解】解：∵点关于轴对称的点为，对称后的图象经过点， ∴原函数图象上对应点的坐标为， 将代入，得， 解得． 【变式训练2】将直线沿y轴向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第三象限，则m的值可以是__________（写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一，即可） 【分析】根据一次函数图象平移的“上加下减”法则，得到平移后直线的解析式，再根据直线经过第一、二、三象限的条件，得到的取值范围，写出一个符合条件的值即可． 【详解】解：将直线沿轴向上平移个单位长度，根据平移法则得平移后解析式为： ∵直线，， ∴直线恒过第一、第三象限，若要经过第二象限，需直线与y轴交点的纵坐标大于， 即： 解得 则的值可以是． 题型7 一次函数动点问题 例1．如图，点A、B的坐标分别为，点P是函数在第一象限图象上一个动点，当点P的横坐标逐渐增大时，四边形的面积（   ） A．逐渐减小 B．逐渐增大 C．先减小后增大 D．不变 【答案】A 【分析】过点P作于点T，设的解析式为，把分别代入解析式，解方程组计算即可得解析式，与的图象比较，不难发现二直线不平行，故两直线间的距离不相等，根据题意，四边形的面积为，是定值，，是定值，故四边形的面积的变化决定于高的变化，由于两直线相交，故当P的横坐标增大时，逐渐变小，解答即可． 【详解】解：过点P作于点T， ∵直线经过点， ∴， 解得， 故直线的解析式为． ∵， ∴直线与二直线不平行，故两直线间的距离不相等， 根据题意，四边形的面积为，是定值，，是定值，故四边形的面积的变化决定于高的变化， 由于两直线相交，故当P的横坐标增大时，逐渐变小， 故选：A． 例2．平面直角坐标系中有一动点． ①动点在直线上，__________； ②不论为何值，动点始终在一条直线上，则该直线解析式为：____________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式及一次函数图象上点的坐标特征． ①将代入，解方程即可求解； ②令，，通过找出与之间的关系式即可解决问题． 【详解】解：①将代入，得， 解得， 故答案为：； ②令，， 即， ∴， 整理得，， 故答案为：． 【技巧总结】 核心是“以静制动”，用运动时间t表示出动点的坐标和对应线段长度。根据动点运动轨迹分段讨论，明确不同区间的运动状态，避免漏解。结合距离、面积、最值等条件列方程或函数关系式，最后结合t的取值范围筛选有效答案。 【变式训练1】综合与探究 如图，直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点，有一动点M从A点出发匀速沿x轴向右移动． (1)直接写出点的坐标：点A______；点B______； 将直线向上平移两个单位长度，得到直线，直接写出直线的表达式______． (2)若动点M从A点以每秒2个单位的速度匀速沿x轴向右移动．请你探究求出当时，此时M点的运动时间t（秒）； (3)请你探究动点M在移动过程中，是否存在使得的面积等于面积的？若存在，请直接写出满足条件的所有点M的坐标，不存在则说明理由． 【答案】(1)，； (2)M点的运动时间为秒 (3)存在，或 【分析】本题考查的是求解一次函数与坐标轴的交点坐标，勾股定理的应用，坐标与图形； （1）分别令，，，，从而可得的坐标，再根据一次函数图象的平移规则可得直线的解析式； （2）如图，设，当时，可得，再建立方程求解即可； （3）设，结合，的面积等于面积的，可得，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵直线l：与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴当时，， 当时，， ∴，； 将直线直线l：向上平移两个单位长度，得到直线， ∴为； （2）解：如图，设，当时， 则有， ∴， 解得：， ∴， ∴M点的运动时间为秒； （3）解：设， ∵，的面积等于面积的， ∴， 解得：， ∴或. 【变式训练2】如图，一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，点是直线上的一个动点，轴于点． (1)求点、点的坐标； (2)点是线段上的一个动点，当点在第一象限，且时，将沿着翻折，当点的对应点落在直线上时，求的长． 【答案】(1)点，点 (2) 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，图形旋转的性质以及勾股定理解三角形，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的性质以及图形翻折前后边长不变． （1）分别令与，求解坐标即可； （2）先求解出点、点的坐标，并表示出点的坐标，再根据图形翻折可得，再结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点， ∴令，可得，解得， ∴点的坐标为， 令，可得，解得， ∴点的坐标为； （2）解：如图， ∵点的坐标为，且， ∴点的坐标为， ∴点与点的横坐标为4， ∵点在直线上， ∴，即点的坐标为， 设点的坐标为， ∵将沿着翻折，当点的对应点落在直线上， ∴， 又∵，， ∴，，， 在中，， ∴， 在中，， ∴，即， 解得， ∴的长为． 题型8 一次函数与几何综合 例1．如图，把放在直角坐标系内，其中，，点、的坐标分别为，．将沿轴向右平移，当点落在直线上时，线段扫过的面积为（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据勾股定理可得的长，利用平移的性质结合一次函数图象上点的坐标特征，可得的长，进而可得的长，再利用平行四边形的面积公式，即可求出线段扫过的面积． 【详解】解：如图所示，线段扫过的面积为平行四边形的面积， 点、的坐标分别为，． ， ，， ， ， 点的纵坐标为， 点在直线上， ，解得， 即， ， ， 即线段扫过的面积为． 例2．如图，在平面直角坐标系中，点B，C的坐标分别为，过点向上作轴，且，连接，若直线与有公共点，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】求出直线经过点和点时，的值，即可得出结果． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，轴，且， ∴，； 当直线经过点时，，解得； 当直线经过点时，，解得； ∴当直线与有公共点时，． 【技巧总结】 解题关键是函数转几何、几何转方程，通过函数解析式求出关键点坐标，将坐标转化为横纵线段长度。结合三角形面积、勾股定理、平行垂直、特殊图形性质等几何知识，搭建方程求解，遇到复杂图形 【变式训练1】如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上． (1)求直线的解析式 (2)求m的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）过点作于点，过点作于点，求出平移后点，代入一次函数解析式即可求出m的值． 【详解】（1）解：由条件可知， ， 直线解析式为， （2）解：如图，过点作于点，过点作于点， 则，， ， 在正方形中，，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 同理可得， ，， ， ， 则平移后点， ， 解得． 【变式训练2】如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B，直线与x轴正半轴交于点C．点D在线段上，连接． (1)求点A、B、C的坐标； (2)已知，求点D的坐标； (3)点P为x轴上一点，满足，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】（1）对于，分别令，，可求出点A，B的坐标，对于，令，可求出点C的坐标，即可； （2）根据题意可得，，设点，则，可得，再由，即可求解； （3）分两种情况，结合等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质解答即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，，当时，， ∴点， 对于， 当时，， ∴点； （2）解：由（1）得：，， ∴，，， ∴，， 设点，则， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴点D的坐标为； （3）解：由（1）得：， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当点P在点C的左侧时，如图，过点A作交的延长线于点G，过点A作轴，分别过点B，G作，垂足分别为点M，N，则，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴点G的坐标为， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴此时点P的坐标为； 当点P在点C的右侧时，如图，在线段上取点H，使，过点C作交y轴于点K，则点，    ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∴可设直线的解析式为， 把点代入得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴此时点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或． 1．如图的曲线表示一只风筝在五分钟内离地面的飞行高度h（）随飞行时间t（）的变化情况，则下列说法错误的是（     ） A．风筝最初的高度为 B．时高度和时高度相同 C．时风筝达到最高高度为 D．到之间，风筝飞行高度持续上升 【答案】D 【分析】由图象获取信息，逐项进行判断． 【详解】解：A. 由图可得，风筝最初的高度为，该选项正确； B. 由图可得，时高度和时高度相同，都为，该选项正确； C. 由图可得，时风筝达到最高高度为，该选项正确； D. 由图可知，到之间，风筝飞行高度先上升，再下降，该选项错误． 2．已知一次函数（k为常数），y随x的增大而减小，若点N在该函数的图象上，则点N的坐标不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据一次函数增减性得到，再将各选项坐标代入函数解析式，计算的值，判断是否满足，即可得到不可能的坐标． 【详解】解：∵一次函数中，随增大而减小， ∴． A．将代入解析式得：，解得，符合条件，故A可能； B．将代入解析式得：，解得，符合条件，故B可能； C．将代入解析式得：，解得，符合条件，故C可能； D．将代入解析式得：，解得，不符合，故D不可能． 3．在平面直角坐标系中，一次函数（b为常数）的图象与y轴交于点A，将该一次函数的图象向下平移2个单位长度后图象与y轴的交点为点B．若点A与点B关于原点对称，则b的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】先求出平移前后一次函数与y轴的交点坐标，再根据对称关系列方程求解即可． 【详解】解：对于一次函数，令，得， ∴点的坐标为，将函数图象向下平移2个单位长度， 根据平移规律“上加下减”，得平移后解析式为，令，得， ∴点的坐标为， ∵点与点关于原点对称，关于原点对称的点横纵坐标均互为相反数， ∴， 解得． 4．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与的图象交于点，则下列说法错误的是（     ） A．方程的解是 B．方程的解是 C．关于x，y的方程组的解是 D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】先根据一次函数图象与x轴的交点解答A，再根据两直线的交点解答B，C，然后根据直线在直线下方的部分的自变量取值解答D． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， 所以方程的解是，则A正确； ∵一次函数的图象和一次函数的图象交于点， ∴当时，两个函数值相等， 即方程的解是，则B正确； 方程组的解是，则C正确； 不等式的解集是，则D错误． 5．已知直线与直线相交于点，点在直线上，点是平面直角坐标系内一动点，将线段绕着点顺时针旋转到线段，当线段与直线相交时，的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数交点问题、旋转的性质以及一元一次不等式，先求坐标，再根据旋转，利用坐标变换得点和点的坐标，最后代入直线方程求临界值确定的取值范围即可． 【详解】解：直线与直线相交于点， ， 解得：， 将代入中， 得， 即， 点在直线上， ， 即， 绕点顺时针旋转到， 点旋转后对应的横坐标为，对应的纵坐标为， 则， 点旋转后对应的横坐标为，对应的纵坐标为， 则， 当点在直线上， 即 解得， 当点在直线上， 即 解得， 线段与直线相交， 的取值范围为． 6．在平面直角坐标系中，四个点坐标依次为，，，，点为线段上一动点，点为线段上一动点，点为轴上一动点．当三点运动到最短时，点的坐标是_______． 【答案】 【分析】作线段关于轴的对称线段，且点关于的对称点为点，结合轴对称的性质以及垂线段最短的性质可得当点与点重合，点在同一直线上，且时，取最小值，即取最小值，设直线交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点，首先求得直线的解析式，进而确定点，易得为等腰直角三角形，再证明为等腰直角三角形，进而解得的值，即可获得答案． 【详解】解：如下图，作线段关于轴的对称线段，且点关于的对称点为点， 则，，， ∴， 过点作的平行线，由图可知线段在直线上方， 故当点与点重合，点在同一直线上，且时，取最小值，即取最小值， 设直线交轴于点，延长交轴于点，过点作轴于点，过点作轴于点， 设直线的解析式为， 将点，代入， 可得，解得， ∴直线的解析式为， 令，可得，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴，， ∴，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了轴对称的性质、垂线段最短、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数的应用等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键． 7．如图，已知直线，分别与轴，轴交于点． (1)求点的坐标． (2)将直线向右平移个单位得到直线，与轴交于点，以，为边作． ①求面积． ②根据图象，直接写出点坐标． 【答案】(1)、 (2)①；② 【分析】（1）分别将，代入中，分别求出，即可求得点的坐标． （2）①根据平移的性质可得，结合，可得面积为． ②由题意可得，轴，，结合，即可求得点坐标． 【详解】（1）解：将代入中，可得， 将代入中，可得， 解得：， ∴点的坐标为、， （2）解：①∵直线向右平移个单位得到直线， ∴ ∵ ∴ ∴面积为． ②由题意可得，轴，， ∴， ∴点坐标为． 8．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，与过点的直线交于点D，且，且点D的纵坐标为． (1)求点D的坐标及直线的解析式； (2)求的面积； (3)在y轴上是否存在一点P，使最大？若存在，请直接写出坐标，并求出的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，， 【分析】（1） 利用证明，得到，，再根据直线的解析式求出、坐标，进而得到坐标；然后利用待定系数法求直线的解析式．   （2）以为底、为高计算的面积．   （3）利用三角形三边关系，当点在直线与轴的交点处时，取最大值，由勾股定理求的长． 【详解】（1）解：作轴于点，   ，，，   ∴（），   ，．   由，令得 ， ，；   令得， 解得， ，．   ，，，   点的坐标为．   设直线的解析式为，   代入和得：      解得，，   直线的解析式为． （2）解：由，得 ，   由得，且，   ． （3）解：存在．   延长交轴于点， 则的最大值为线段的长．   令代入得 ， ．   在中，，，   由勾股定理得 ．   点的坐标为时，的最大值为． 9．快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣，两种型号的机器人的工作效率和价格如表： 型号 甲 乙 每台每小时分拣快递件数（件） 每台价格（万元） 该公司计划购买这两种型号的机器人共台，并且使这台机器人每小时分拣快递件数总和不少于件． (1)设购买甲种型号的机器人台，购买这台机器人所花的费用为万元，求与之间的关系式； (2)购买几台甲种型号的机器人，能使购买这台机器人所花总费用最少？最少费用是多少？ (3)若甲型机器人价格每台下调万元（），且购买甲型机器人的数量不高于乙型机器人数量的倍，购买最少费用为万元，请直接写出的值． 【答案】(1)（且为整数） (2)购买3台甲种型号的机器人，最少费用是36万元 (3) 【分析】（1）总费用甲机器人总费用乙机器人总费用，先列出费用代数式，再结合分拣量约束求出取值范围； （2）一次函数中，斜率，随增大而增大；因此取最小值时，总费用最小； （3）甲型单价下调万元，新总费用函数为一次函数；先根据“甲数量不高于乙的1.5倍”求出新的取值范围，再分一次函数增减性讨论最小值，结合最小费用27.6万元列方程求解． 【详解】（1）解：设购买甲型号机器人台，则乙型号台， ， 由， ， ， 故， 又为机器人台数，为整数，且， 故取值范围：，为整数， 与的关系式：（，为整数）． （2）解：由（1）得随增大而增大． 最小可取整数3，将代入解析式： ， 购买3台甲型号机器人时总费用最少，最少费用为36万元． （3）解：新费用函数：甲单价万元，乙3万元， ， 又甲数量不高于乙的1.5倍 ， ， ， ， 结合（1）原有约束，为整数，得，为整数， 已知,则范围，分三种情况： 当即时：随增大而增大，最小值在处， 即， ， ， ， ， 不满足，舍去； 即时：随增大而减小，最小值在处， 即， ， ， ， ， 满足，符合条件； ③即时：恒等于万元，不等于，舍去， 综上，． 10．如图①．直线分别与轴、轴交于两点，与直线交于点． (1)求的值； (2)求点的坐标； (3)如图②，在平面直角坐标系中是否存在一点，使得以四个点为顶点的四边形能构成一个平行四边形，直接写出符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或或 【分析】（1）待定系数法求函数解析式；将代入，解方程即可； （2）在中，分别令，，解方程即可得点坐标； （3）以四个点为顶点构成一个平行四边形，分两种情况：①当以为边，由或，即可求得相应的点坐标，②当以为对角线，根据平行四边形对角线互相平分即可求解． 【详解】（1）解：将代入， 得：， 解得：． （2）解：根据（1）可得直线，直线， 在中，令，得， ， 令，得，解得：， ． （3）解：存在． 如图，①当以为边时， ， ，， ∵以为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∴； 或， ∴； ②当以为对角线时， 设对角线的交点为，则， ∴，即； 综上所述，符合条件的的坐标为：或或． / 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $