第4章 第4节 二次函数中的面积问题-中考数学压轴题得高分

6.解析：(1)表达式为y1=x2一2x十4.(2)由题意得c=b2,分5)=一61十9=3.解得1=1（含）：②当1>3时，x=1,m= 类时论：①若-合<6-3，即6>2，当-6一3时y取到最小 一12+61-5：x=1+3,n=-12+4,m-n=(-12+6t-5) 值，(b-3)2+6(6-3)+62=21.解得b1=4,b:=-1(会)：②若 （-42+)=61-9=3,解得1=2（合）：③当0<≤号时=3， 6-3≤-名<6：即0<6≤2，当=-名时y取到最小值， m=4:x=1,n=-2+61一5，m-n=4-(-12+61-5)=2 ()+6 61+9=31=3-54=3+5(合)，①当<1<3时=3 2+62=21.解得6，-27（会），b2■-27 m=4:x=1十3，n=一12十4，m一n=4一（一十4》=1=3， ):③若-？>6，即6<0，当r=b时y取到最小值，6+=5，=一3（舍）.综上1的值为3-3或 b十b2=21,解得b=一7，b:=√7（舍）.综上所述.b的值为d 第4节二次函数中的面积问题 或一√7，(3)当x=0时，m≥4：当x=1时，m十3≥3，即m≥ L解桥：)将B1,0.C(03)代人得+6+=0… 解得 0.综上，n的最小值是4. c=3, 7.解析：(1)点B坐标为(2，一3)，直线AC表达式为y=一x b=一4， .二次函数的表达式为y=x2一4x十3.(2)存在，由 3.(2)抛物线对称轴为直线x=1,当m≥1或m+2≤1时，得 (c=3, 1m2-2m-3-[(m+2)2-2(m+2)-3]1=2,整理得4m= 题意得点A坐标为(3,0)，直线AC的表达式为y=一x+3.过 点B作AC的平行线，与抛物线的交点即为满足条件的点P 2m=或-号都不符合据意，合去：当m<1<m十1.即 :B(1,0),直线PB表达式为y=一x十1，联立方程：-x+十 0<m<1时，当x=1时，函数取到最小值，即g=-4,p■1=x2-4x+3,解得x1=2,x:=1(合)，.点P坐标为(2， (m十2)2-2(m十2)一3=一2，解得m=√2-1或m=-②-1一1)：在x轴上取点D(5,0),连接CD,则S△m=S△m,过点 (舍)：当m十1≤1<m十2，即一1<m≤0时，则p=m'一2m一D作AC的平行线，与抛物线的交点即为满足条件的点P,∴直 3=一2解得1=1一，x2=1十2（舍），m的值为2-1 线PD的表达式为y=一x+5,联立方程：-x十5=x2-4r+ 或1一反。（3顶点横坐标为n则纵坐标为-m一3，可得平3，解得，-3+亚，1-3二正“点P坐标为+正 2 2 2一 移后的抛物线表达式为y=(x一n)2一n一3，当抛物线与射线 BA相切时，如图1所示，由题意得BA表达式为y=x一5，令 ）综上，点P的坐标为(2， (x一n)2一n一3=x一5，则(2n+1)2一4(n2一n十2)=0，解得 7 n=8:当抛物线过点B时，如图2所示，将(2，一3)代人得(2- 2.解析：(1)由题意得抛物线表达式为y=一(x十1)(x一3)，化 m)一川-3=一3，解得n1=4,m:=1,满足条件的n的取值范国简得y=一x2+2+3,∴抛物线表达式为y=一士+2红十3. 应是1K<L综上m的取值范開是=了或1Kn< (2)由题意得抛物线对称轴为直线x=1,设点P坐标为(1,1)， 则PB=2+t,PC=1+(t一3)，若△PCB是以BC为底 边的等稷三角形，则PB=PC,.12十2=(1一3)十1，解得 1=1,.点P坐标为(1,1).(3)记抛物线对称轴与BC交于点 Q,则点Q坐标为(1,2)，PQ=1,取点V(1,3),连接BN, CN,PQ-NQ,∴S△P=SamN,过点N作BC的平行线， 与抛物线的交点即为满足条件的点M,由题意得直线BC表达 图1 图2 式为y=一x+3,∴直线MN表达式为y=一x+4,联立方 8.解析：(1)顶点坐标为(3.4).(2)当x=3时，函数取到最大 程++2十3相得=3825点 值4，当x=1时，函数取到最小值0.(3)分类讨论：①当t十 3<3,即，<0时.1，m=一十1=5=1十3，m十M横坐标为2名或2 2 3)2十6(t十3)一5=一12十4，m一n=一12十4一（一t2十61一3.解析：(1）AB=4,A(1,0),.点B坐标为（一3,0），.抛物线 中考数学压轴题得高分 ·31· 表达式为y=(x+3)(x-1),化简得y=x2+2x一3.(2)连接4×8=16.∴.SaP=Sa十S%Pm-S△=6.即△PBC的 BQ.:PQ∥BC,Sam=S△四，过点Q作QH⊥x轴交x轴面积是6.②由题意得点P坐标为(m,一m2十2m十8)，又 于点H,过点C作CM⊥x轴交x轴于点M,设点P坐标为A(一2,0)，直线AP表达式为y=一(m-4)(x+2),∴点D .0.则PB=m+3,AP=1-m,AH=号AP-12.由题 坐标为(0，一2m+8),CD=2m,设直线1与BC交于点Q.则点 2 意得C(-1,-4).CM=4,AM-BM=2.:CM⊥x轴， Q坐标为(m,-2m+8),PQ=-m+4m,56=2· CM AM QH⊥r轴，∴CM∥QH,∴△ACM△AQH,六QH-AH 1 （-m+4m)·4=-2m2+8m,Sam=交·2m·m=m2, 代入得品己 2得QH=1-m∴SAw子BP·QHF S-5=5ae-5am=-3m+8m当m=言时.S,-5 2 m+3》1-m)-(-m-2m+3.当m-1时，△BP网 1 取到最大值空∴5，一5：存在最大值，最大值为 6.解析：(1)设抛物线的表达式为y=a(x一2)+9，将(0,5)代 面积取到最大值2，此时点P坐标为(-1,0).△CPQ面积的人得4a十9-5，解得a=一1“抛物线的表达式为y=一r+ 最大值是2，点P坐标为（一1,0. 4r十5.(2)令-x2+4x+5=0,解得x1=-1,x:=5,∴.点B 4.解析：(1)设二次函数表达式为y=a(x十2)(x一6，由题意的坐标为(50).直线BF的表达式为y=一T十5，记PH交 得-12=6a=一令二次两数的表达式为y=一合+Br于点Q.:P0/0F△P00O△0GF,瓷-器由题 2x+6.(2)作点O关于直线BC的对称点O',则点O'的坐标 为(6,6)，连接DO,则DO=DO.当A、D、O三点共线时， 意利二一瓷一二一品-由想在释点P的坐标 5 △AOD的周长取到最小值.：AO=2,AO'=√+8=10， 为(x1·一xi十4x1+5),∴点Q的坐标为(x1,-x1十5)， △A0D周长的最小值为12.（3)连接PC.:AC∥PD,PQ=-+5当，=号时，PQ取到最大值草，代人得 .S△mp=S么rAD,∴.S=S△PAn十S△m=S△p十S△PnD= Sa.设点P坐标为(m,一之m+2m+6过点P作 S二一号小二的最大值为子 SAe。5, 7.解析：(1)将(4,0)，(1,4)代入抛物线的表达式得： PQ⊥x轴交BC于点Q.,直线BC表达式为y=-r十6，∴点 a=- 16a+4h=0, 3 Q坐标为(m·一m+6),六PQ=一2m+2m十6-(（-m+6)= 解得 ∴抛物线的表达式为y= a+b=4, 16 m2+3m,则Sam=Sa+Sam=号·（号m2十 1 b=3· 4 16 1 3加小·6=-号r+9m背m=8时，56m取到最大值号 3r+3x.(2)由题意得Se=20A·yn=立×4× 1 5的最大值为号点P坐标为(3，》)】 4=8.S△n=2Sa=4.B1,4),A(4.0).直线AB 4 .16 的表达式为y=一 31+3在r轴上取点Q(6,0),过点Q作 5.解析：(1)当a=2时，y=3r+ 之，与坐标轴有2个公共点，符 AB的平行线，与抛物线的交点即为所求点P,由题意得直线 合题意：当a≠2时，若抛物线经过原点，则4=b=0,y= 4 -2x2+x,符合题意：若(a十1)2-4(a-2)·b=4a+1=0, PQ的表达式为y一-3x+8,联立方程：一3r+8 4 0=-综上0的值为0或2或-}(2)0将(-2,0， 36 ，解得=2=3六点P的坐标为2，）或 4,0)代抛物线表达式，解得=1， 抛物线表达式为y= a.（3存在，由意0-8品受-瓷：PD/B0 b=8, 一+2.x+8,∴地物线顶点坐标为(1,9)，即P(1,9),由题意 △Dn△0c常瓷受+-长AB交 得Sm一名X8X1=4,Sna=专×4X9=18.Sar=号×y轴于点M,则点M的坐标为(o写)0M=过点P作 1 1 1 16 中考数学压轴题得高分 ·32· PN⊥x轴交AB于点N,则PN∥(M,.△PCNn△(CM,.a=2,BC=a+3=5.∴.△ABC的边长为5. 瓷-器：r言w+Na言m+9} 5.C解析：连接CP,则CP=MN,当CP⊥AB时，CP取到最 PN-一言+智。总当m-号时，PN取到是大值3 1=AP=32 小值，即MN最小，此时y=CP=24, 一点E的坐 瓷器品受+受-股-骨爱+#在限大 标受) 值，最大值为 9 6,A解折：当0<≤2后时，可得说-1：即点P在线段C 的垂直平分线上，如图，当x=23时，点P运动到点O位置，随 8解桥：(1)：5m=号C·h,Sam=号BC·A小， 后沿着OB运动到点B.由题意得OB=OA=2√3·.AB= 小=-京②DF△DFN荒a号 3A0=6. 9.解析：(1)由题意得对称轴为直线x=2,:抛物线过(0,0)，由 对称性得抛物线过(4,0)，可得抛物线的函数表达式为y= 1 rx-),化简得y=-.(2)BM:MQ-=3:5, w=音×一2》=一号代人抛物线两数表达式得，-西 解析，由题意得AB=8,BC=7,过点A作AP⊥BC交 3 I=-子，解得=1.，=3（会.心点M的坐标为(L,BC于点P,可得BP=4,∠ABC=60,CG=B 2 一品）义B2,0),得直线BM的隔数表达式为y=子 3 1 1 SAAr=2ABCG=2BC·AP,AB·CG=BC·AP, 331 联立方程：x一2=有r-r,解得x1=6r:=1心点N的 即8G=7X43CG=7-3. 2 坐标为(6,3).(3)过点P作PH⊥直线1交直线11于点H, 则PH/00△PEH△00.小是-是-沿南题意符 8.A解析：当0<1≤4时，S= 3 2·1, I- :排除B.D 选项：当4<1≤8时，S=6- 直线的函数表达式为y=x一2，设点P的坐标为m, 子m-m小则点H的坐标为(m,m一2.PH=m一2 61-4),排除C选项故选A 9.解析：(1)①3②12+2(2)设函数表达式为S=(1 (行m-m）=-m+2m-2,当m=4时，PH取到最大值0+2，当点P在点B处时，S=6,原D=BC+CD-6, 12+2=6,解得1=2，BC=2,抛物线过点(2,6)，代人得 2,此时设号=1小受的最大值为1 4a十2=6，解得a=1,.S=(1一4)十2，当S=18时，(t 第5节动点与函数 4)2+2=18,解得t1=8,t:=0(舍)，∴.AB=8-BC=6.∴.线段 1.C2.C AB的长为6，(3)①由题意得=2.，十4=4.②由 2 3A解折：当01时y=:-得：当1<<2 0得1，+=4.老=4：+=8又，=+ 时w… ·2(4-2x)= 2（-x+2x):当2<x≤3时. -8,解得-专红一号此时S-+2-9+2-器 4 8 一号一2)，棕上可知，能大致反映y与x之间函数关系的图“正方形PEF的面积是码 像是A 10.解析：(1)过点Q作QD⊥CP交CP于点D,则CD=PD.由 5解桥：由题意得S心=AB=3,A'B=2,题意得Cp=2xcm,CD=PD号Cp=cm,QD 中考数学压轴题得高分 ·33·☑壹学知道中考数学压轴题得高分◆ 第4节 二次函数中的面积问题 前言：求几何图形的面积是一类常见几何问题，在二次函数中也涉及与面积相关的问题，本节 主要分为两类问题，一类是求面积，另一类是关于面积比例的分析，通过知识点和例题去总结题型 与方法. 》知识导航 谚1.铅垂法 ®引例1①在平面直角坐标系中，已知A(1, D 1)、B(7,3)、C(4,7),求△ABC的面积. E 思路概括 (1)A、B两点之间的水平距离称为“水 平宽”： (2)过点C作x轴的垂线与AB交于点 D,线段CD即为AB边的“铅垂高” 水平宽×铅垂高 公式：S△A= C解析如图，过点C作CD⊥x轴交AB于点 2 D,分别过点A、B作CD的垂线，垂足分别记为 xA-xB·ye一yD P E、F. 解题的关键在于求得点D的坐标 SAAW-SA+CD.AB+ CD·BF=CD(AE+BF). 由题意得AE十BF=6. 根据A、B两点坐标求得直线AB表达式 D 水平究 为y-+号 ，2 由C(4,7)可得点D横坐标为4， 所谓“铅垂法”实则就是割补，对于此类 将x=4代人直线AB表达式得y=2, 求坐标系中的三角形面积的问题形成了一套 .点D坐标为(4,2)，CD=5, 完整的解法，即已知三角形三个顶点坐标即 ∴.S△ABe=15. 可求此三角形面积。 注意：用时需先证明. 136M 第4章 二次函数 求点P的横坐标 2.最值、定值、等值 C解析思路1：铅垂法列方程解 令引例2如图，抛物线y=一x2+2x十3与 根据B,C两点坐标得直线BC表达式为 x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴 y=-x十3， 交于点C,连接BC. 设点P坐标为(m,一m2十2m十3)， (1)最值问题： 过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q, 在线段BC上方的抛物线上取一点P,连 则点Q坐标为(m,一m十3)： 接PB、PC.当△PBC面积最大时，求面积最大 PQ=|(-m2+2m+3)-(-m+3)= 值及点P坐标. |-m2+3m1, Sam=2×3X-m2+3m=3, 解得m1=1,mg=2,m= 3+√/17 2 3-/17 2 B 点P的横坐标为1或2或3+或 C解析过点P作PQ⊥x轴交BC于点Q,设 3-√17 点P坐标为(m,一m2十2m十3)，由题意得直 线BC表达式为y=一x十3，.点Q坐标为 41 (m,-m十3)，.PQ=-m2+2m+3-(-m十 3)=-m2+3m,,S△PBc=S△PQ+S△P8Q= (m-3m)当m=2时.△PBC面积取 3 0 到最大值，最大值为智此时点P的坐标为 B x 思路2：构造等积变形 同底等高的两个三角形面积相等，取BC作 水平宽可知水平宽为3，根据△PBC面积为3， 可知铅垂高为2. 在y轴上取点Q使得CQ=2,过点Q作 BC的平行线，与抛物线的交点即为满足条件的 B 点P 当点Q坐标为(0,5)时，PQ表达式为 (2)定值问题： y=-x十5， 若点P在抛物线上且△PBC的面积为3， 联立方程：一x十2x+3=一x十5，解得 137 ☑壹学知道中考数学压轴题得高分◆ x1=1,x2=2 BC的平行线，若与抛物线有交点，则交点即为 当点Q坐标为(0,1)时，PQ表达式为 所求的点P y=-x+1, 联立方程：一x2+2x十3=一x十1，解得 x,=3+17 x-3-7 2 2 综上，点P的横坐标为1或2或 或317 2 ≥3.面积比分析 (1)化比例为计算 探究两个三角形之间比例关系时，若已知 其中一个面积，则可通过比值求出另一三角形 面积，即可将比例问题转化为定值问题. B 见引例3(2023·黑龙江)如图，抛物线y= .x2+bx+3与x轴交于A(-3,0)、B(1,0)两 (3)等值问题： 若点P在抛物线上且△PBC的面积等于 点，交y轴于点C. (1)求抛物线的表达式； △BOC的面积，求点P的横坐标. (2)抛物线上是否存在一点P,使得 S△Pe=2S△C？若存在，请直接写出点P的 坐标；若不存在，请说明理由。 C解析思路1：化等值问题为定值问题 由题意可得S△0=2X3×3 1 2,即求点 解析(1)抛物线表达式为y=一x2一2x十3. 9 P使得S△PBc= 2· (2)S△Am= 2AB·OC=6,SAPe= 思路2：等积变形 过点O作BC的平行线，与抛物线交点即 2S△A0=3.设点P坐标为(m,一m2-2m+ 为所求的点P: 3),由题意得直线BC表达式为y=-3.x十3， 作点O关于点C的对称点O',过点O作 过点P作PQ⊥x轴交直线BC于点Q,则点Q 1384 第4章 二次函数 坐标为(m,-3m十3)，.PQ=|一m-2m+ 3-(-3m+3)|=|m2-ml,S△P=S△P0 SARo-2PQ (Ixn-xl-lze-r). B ∴Sapm=xn-xc·PQ=2m2-m= D B 对于有公共边的两个三角形，如△ABC 3,即m3-m=6或m2-m=-6,解得m1=一2， 和△DBC,连接AD交直线BC于点P,则 m2=3,∴.点P坐标为(-2,3)或(3，-12). S△ABC AP 当转化成定值问题时，还可以考虑等积变 SADBC DP' 形解决问题，在x轴上取点M(一1,0)，N(3, 证明如下：分别过点A、D作边BC的垂 0),分别过M、N作BC的平行线，与抛物线的 线，垂足分别记为M、N,则 S△ABC 交点即为满足条件的点P,有S△PBc=SABC= S△pBC S△Nc=3. 1 2 BC·AM AM AP 2BC·DN DN DP' 注意：共边定理在解答题中不可直接应用. 引例4(2022·内江)如图，抛物线y a.x2十bx十c与x轴交于A(-4,0)、B(2,0)两 点，与y轴交于点C(0,2) (1)求抛物线所对应的函数表达式： (2)若D为该抛物线上的一个动点，且在 B 直线AC上方，求点D到直线AC的距离的最 大值及此时点D的坐标： (2)化面积比为线段比 (3)P为抛物线上一点，连接CP,直线CP 化面积比为底边比：S△AD:S△AcD= 把四边形CBPA的面积分为1：5两部分，求点 BD CD. P的坐标. B 74-3-2-10 E 推广：共边定理 -2 34 A B 4-3-2-101 -2 PN M 备用图 139 ☑壹学知道中考数学压轴题得高分◆ C解析(1)y=- 2x+2. 令AMe十SAMP.SaAc=AE S△AEP S△BRC+S△BEP S△BC BE S△BFP (2)设点D坐标为m,一m- 2m+2 SAPCA AE 1 心SBE5,由题意得直线CE的表达 由题意得直线AC表达式为)=2x+2.如图 式为y= 3x+2,联立方程：- 42、 2x+2 1,过点D作DQ⊥x轴交AC于点M,则点M +2，解得x=4=0(合点P坐 2 坐标为(m,2m+2)过点D作DN⊥AC交 标为（兰。-9）：连接C℉并延长，与抛物线 AC于点N..DM∥CO,∴.∠DMN=∠ACO, 的交点即为满足条件的点P,同理可证： 又∠DNM=90°=∠AOC,.△DNM∽ S△mB_BF1 △0c…%-0·x-2-有 SA一AF5由题意得直线CF的表达式 DN三25DM,由题意得DM-- 为y-2x十2，联立方程：--名十 4m2 2=-2x十2，解得x1=6,x2=0(舍)，.点P 2m+2-(2m+2=-4m-m,当m=-2 坐标为(6，-10).综上，点P坐标为(-兰， 1 点D 时，DM取到最大值1，此时DN=25 9)或(6，-10). (3)构造相似转化比例 到直线AC距离的最大值为2，点D坐标为 在坐标系中，若三角形的底或高与坐标 (-2,2). 轴不平行，可构造相似，将底或高之比转化为 与坐标轴平行的线段的比， D “A”字型线段比：S△ABD:S△AD=BD: CD=BA AM. “8”字型线段比：S△AD:S△ACD=BD: CD=AB CM. 图2 (3)如图2，取点E(-3,0),F(1,0)则 AE 1 BF 1 BE一5'AF=5,连接CE并延长，与抛物线 D 的交点即为满足条件的点P,则S△ 140M 第4章 二次函数 ®引例5](2022·锦州改编)如图，抛物线 DP表达式为y=一x+t,联立方程：一x2+ y=a.x2+b.x+3交x轴于点A(3,0)和点 2x十3=一x十1，由题意得（一3）2一4(t一3)= B(-1,0),交y轴于点C. 0,解得1-头1--号点D的坐标为 3 (1)求抛物线的表达式： (2)D是直线AC上方抛物线上一动点，连 DN 接OD交AC于点N,当ON的值最大时，求点 D D的坐标. 法3：（共边定理）连接AD、CD,可得 DN S△ACD ON ,当△ACD面积最大时，即可得 S△ACO C解析(1)y=-x2+2x+3. O八的值最大.（注意：共边定理不可直接使用） D (2)法1：过点D作DM∥y轴交AC于点 M.周△DMNn△0cN.…8N-B-nY 3 设点D坐标为(m,一m2+2m十3)，由题意得 直线AC表达式为y=一x十3，则点M坐标为 (m,-m十3)，，.DM=一m2+2m十3 》真题演练 (一m+3)=-m+3m,当m=2时，DM取到 1.(2023·湘潭改编)如图，二次函数y=x2十 b.x十c的图像与x轴交于A、B两点，与y轴 最大值？此时兴取到最大值，即八的值最 DM 交于点C,其中B(1,0)、C(0,3). 大，此时点D坐标为(2，》， (1)求这个二次函数的表达式： (2)在二次函图像上是否存在点P,使得 S△PAc=S△ABC?若存在，请求出点P的 坐标：若不存在，请说明理由. M 法2：过点D作DP∥AC交x轴于点P, OB /A 则DN=APAP ON-OA=3,当直线DP与抛物线相切 备用图 时，AP取到最大值，即、取到最大值，设直线 141 ☑壹学知道中考数学压轴题得高分m 2.(2022·贺州)如图，抛物线y=一x2+b.x十c 3.(2022·广东)如图，抛物线y=x2+b.x+c 过点A(一1,0)、B(3,0),与y轴交于点C. (b、c是常数)的顶点为C,与x轴交于A、B (1)求抛物线的表达式： 两点，A(1,0),AB=4,P为线段AB上的动 (2)P为抛物线对称轴上一动点，当△PCB 点，过P作PQ∥BC交AC于点Q. 是以BC为底边的等腰三角形时，求点P (1)求该抛物线的表达式： 的坐标： (2)求△CPQ面积的最大值，并求出此时P (3)在(2)的条件下，是否存在点M为抛物线 点坐标 第一象限上的点，使得S△BCM=S△P? 2 若存在，求出点M的横坐标：若不存在， p 请说明理由， 142 第4章 二次函数 4.(2023·张家界)如图，在平面直角坐标系中，5.(2023·荆州)已知：y关于x的函数y= 已知二次函数y=a.x2+b.x十c的图像与 (a-2)x2+(a+1)x+b. x轴交于点A(一2,0)和点B(6,0),与y轴 (1)若函数的图像与坐标轴有两个公共点，且 交于点C(0,6).D为线段BC上的一动点. a=4b,则a的值是 (1)求二次函数的表达式： (2)如图，若函数的图像为抛物线，与x轴有 (2)如图1，求△AOD周长的最小值： 两个公共点A(一2,0)、B(4,0),与y轴 (3)如图2，过动点D作DP∥AC交抛物线 交于点C,并与动直线：x=m(0<m< 第一象限部分于点P,连接PA、PB,记 4)交于点P,连接PA、PB、PC、BC,其 △PAD与△PBD的面积和为S,当S取 中PA交y轴于点D,交BC于点E.设 得最大值时，求点P的坐标，并求出此时 △PBE的面积为S:,△CDE的面积 S的最大值 为S2. ①当P为抛物线顶点时，求△PBC的 面积： ②探究直线！在运动过程中，S1一S2是 否存在最大值？若存在，请求出这个 B 最大值：若不存在，请说明理由. 图1 图2 ⊙ B x 143 ☑壹学知道中考数学压轴题得高分m 6.(2023·永州改编)如图，抛物线y=a,x2十 7.(2022·福建)在平面直角坐标系xOy中，已 bx十c(a、b、c为常数)经过点F(0,5),顶点 知抛物线y=a.x2+bx经过A(4,0)、B(1,4) 坐标为(2,9)，点P(x1,y1)为抛物线上的动 两点.P是抛物线上一点，且在直线AB的 点，PHLr轴于H,且≥ 上方. (1)求抛物线的表达式： (1)求抛物线的表达式： (2)若△OAB面积是△PAB面积的2倍，求 (2)如图，直线OP:y=x交BF于点G, 点P的坐标； (3)如图，OP交AB于点C,PD∥BO交AB 求△严的最大值 S△G 于点D.记△CDP、△CPB、△CBO的面 积分别为SSS判断+是否存 在最大值.若存在，求出最大值；若不存 在，请说明理由. A(0 H B x B 14 ●)第4章 二次函数 8.(2022·吉林)下面是王倩同学的作业及自主 探究笔记，请认真阅读并补充完整。 【作业】如图1，直线11∥l2,△ABC与 △DBC的面积相等吗？为什么？ 解：相等理由如下： B E 设l1与12之间的距离为h, 图3 图4 则SaA=2BC,h,Sae 2BC·. 9.(2023·遂宁)在平面直角坐标系中，O为坐 ∴.S△ABc=S△De. 标原点，抛物线y=青2十bx十c经过点 【探究】(1)如图2，当点D在11、1：之间时，设 O(0,0),对称轴过点B(2,0),直线1过点 点A、D到直线l2的距离分别为h、五'，则 C(2,一2)且垂直于y轴.过点B的直线11交 S△A= h 抛物线于点M、N,交直线I于点Q,其中点 S△Dic M、Q在抛物线对称轴的左侧. 证明：：S△A (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图1，当BM：MQ=3：5时，求点N (2)如图3，当点D在11，l:之间时，连接AD 的坐标： 并延长交：于点M,则合 (3)如图2，当点Q恰好在y轴上时，P为直 证明：过点A作AE⊥BM,垂足为E,过 线：下方的抛物线上一动点，连接PQ、 点D作DF⊥BM,垂足为F,则 PO,其中PO交l1于点E,设△OQE的 ∠AEM=∠DFM=90°. 面积为S1,△PQE的面积为S,求的 ∴.AE∥ '.△AEM∽ 最大值 部州 【探究】I)可知SA S△DBC S△ABC_AM DM' (3)如图4，当点D在12下方时，连接AD交 图1 图2 l2于点E.若点A、E、D所对应的刻度值 分别为5,1.5,0.则5 S△A肥的值为 图】 图2 145