第4章 第3节 区间最值-中考数学压轴题得高分

1,此时抛物线表达式为y=x一2x十5，与直线y=2x+1的交 第3节区间最值 点坐标为(2.5)，在线段EF上，此时顶点的做坐标为1，综上所 1.D解析：若a>0,当x=1时，y取到最小值一a=一4， 述，飘点的横坐标取值范偶是a>号或a<一号或-4：若4<0，当4时y取到最小值6-。-4 xm点=1. 0-一专经上a的值为4或-号 12.解折：)表达式为y一号+一4（②）想折部分的表达2.-1一店解析：由超查科抛物线开日向下，对称销为直线 1 7 式为y=一2r-1十4（一4≤x≤2）直线y=k红十6过定点x=一1，当x=2时y-有当x=公时，函数取到最小值1， (0,6),如图①当直线y=kx+6与抛物线翻折部分相切时，有令一x一2x十3=1，解得x1=一1一3，x:=一1十5（会），∴. 3个交点（第一象限内直钱与新图像有1个交点图中未显示），的值为一1一3 令-名-+4=女+6：整理得宁女++1r+2-0则3名或-治 解析：若对称轴在y轴及y轴左侧.即b≥0，则 (k十1)2一4=0，解得k,=1,k2=一3（当k=一3时，切点为B, 此时直线与抛物线只有2个交点，不特合题意，舍)：②当直线 当=0时y=0,当x=3时y=4,解得6=当对称轴在 y=x+6过点A时，有3个交点，将(-4,0)代人直线y= y轴和AB之间时，即-是<6<0，则当x=一2弘时y=0,当 r十6：得表-综上，的值为1或 x=0时y=4或当x=3时y=4,无解：当对称轴在AB及AB 右侧时，即6<-2则当x=0时y=4,当x=3时y=0 6=综上，6=或得 25 4.解析：(1)①将b=4.c=3代人得二次函数表达式为y= 一x2十4x十3，即y=-(x-2)+7,.顶点坐标为(2,7). ②抛物线对称轴为直线x■2，.当x=一1时，函数收到最小 13.解析：(1)表达式为y=x一2x-3.(2)线段AB平移后记」值一2，当x=2时，函数取到最大值7，.y的取值范围是一2≤ 为A'B,则A'(0,3),B(4,3),无论t为何值，二次函数y=y≤7.(2)由题意得对称轴在y轴右侧，且函数最大值为3， +位+r)与r轴的交点始终为(-1,0)和(3,0 :抛物线开口向下，当x=0时y=2,代入得c=2:令x= 为直线x=1.当t>0时，如图1所示，由题意得，当x=4时， 名代人得今+2-3，解得么=26：-一2（合小二次雨数表 y-×06-8-8=≥81≤号又>00<1<号，达式为y-子+2+名 当1<0，抛物线与直线A'B相安且与线段A'B只有一个交点5解析：)将2,1D代人得4一+3=-1，解得1=名：的值 时：如2所示，当x=0时y-}×(-)=一是>36>为受。(2)对称输为直线=1.当0<1<3时，当=，时y -1,又1<0，.一1<1<0：当抛物线与直线A'B相切且切点-24+3=-2，解得1=5或-5（舍）：当t>3时，当x=3 在线段AB上时，也清足题意，即y--2z-3)的顶点在时=9-61+3=一2，解得1=号（含）.综上，的值为5。 线段Ag'上，此时子X(一0=3，解得1=一专综上4的取值(3由Am一-2a.C(ma)可得0十02=1,1=m-1,若 范是0<1≤5或-1<1<0或1= 点B在点A左侧，则m-2>4,得m>6:若点B在点C右侧， 则m<4<2,即m<4, 解得3<m<4,综上，m的收值 2(m-1)>4, 范围是3<m<4或m>6. 图1 图2 中考数学压轴题得高分 ·30· 6.解析：(1)表达式为y1=x2一2x十4.(2)由题意得c=b2,分5)=一61十9=3.解得1=1（含）：②当1>3时，x=1,m= 类时论：①若-合<6-3，即6>2，当-6一3时y取到最小 一12+61-5：x=1+3,n=-12+4,m-n=(-12+6t-5) 值，(b-3)2+6(6-3)+62=21.解得b1=4,b:=-1(会)：②若 （-42+)=61-9=3,解得1=2（合）：③当0<≤号时=3， 6-3≤-名<6：即0<6≤2，当=-名时y取到最小值， m=4:x=1,n=-2+61一5，m-n=4-(-12+61-5)=2 ()+6 61+9=31=3-54=3+5(合)，①当<1<3时=3 2+62=21.解得6，-27（会），b2■-27 m=4:x=1十3，n=一12十4，m一n=4一（一十4》=1=3， ):③若-？>6，即6<0，当r=b时y取到最小值，6+=5，=一3（舍）.综上1的值为3-3或 b十b2=21,解得b=一7，b:=√7（舍）.综上所述.b的值为d 第4节二次函数中的面积问题 或一√7，(3)当x=0时，m≥4：当x=1时，m十3≥3，即m≥ L解桥：)将B1,0.C(03)代人得+6+=0… 解得 0.综上，n的最小值是4. c=3, 7.解析：(1)点B坐标为(2，一3)，直线AC表达式为y=一x b=一4， .二次函数的表达式为y=x2一4x十3.(2)存在，由 3.(2)抛物线对称轴为直线x=1,当m≥1或m+2≤1时，得 (c=3, 1m2-2m-3-[(m+2)2-2(m+2)-3]1=2,整理得4m= 题意得点A坐标为(3,0)，直线AC的表达式为y=一x+3.过 点B作AC的平行线，与抛物线的交点即为满足条件的点P 2m=或-号都不符合据意，合去：当m<1<m十1.即 :B(1,0),直线PB表达式为y=一x十1，联立方程：-x+十 0<m<1时，当x=1时，函数取到最小值，即g=-4,p■1=x2-4x+3,解得x1=2,x:=1(合)，.点P坐标为(2， (m十2)2-2(m十2)一3=一2，解得m=√2-1或m=-②-1一1)：在x轴上取点D(5,0),连接CD,则S△m=S△m,过点 (舍)：当m十1≤1<m十2，即一1<m≤0时，则p=m'一2m一D作AC的平行线，与抛物线的交点即为满足条件的点P,∴直 3=一2解得1=1一，x2=1十2（舍），m的值为2-1 线PD的表达式为y=一x+5,联立方程：-x十5=x2-4r+ 或1一反。（3顶点横坐标为n则纵坐标为-m一3，可得平3，解得，-3+亚，1-3二正“点P坐标为+正 2 2 2一 移后的抛物线表达式为y=(x一n)2一n一3，当抛物线与射线 BA相切时，如图1所示，由题意得BA表达式为y=x一5，令 ）综上，点P的坐标为(2， (x一n)2一n一3=x一5，则(2n+1)2一4(n2一n十2)=0，解得 7 n=8:当抛物线过点B时，如图2所示，将(2，一3)代人得(2- 2.解析：(1)由题意得抛物线表达式为y=一(x十1)(x一3)，化 m)一川-3=一3，解得n1=4,m:=1,满足条件的n的取值范国简得y=一x2+2+3,∴抛物线表达式为y=一士+2红十3. 应是1K<L综上m的取值范開是=了或1Kn< (2)由题意得抛物线对称轴为直线x=1,设点P坐标为(1,1)， 则PB=2+t,PC=1+(t一3)，若△PCB是以BC为底 边的等稷三角形，则PB=PC,.12十2=(1一3)十1，解得 1=1,.点P坐标为(1,1).(3)记抛物线对称轴与BC交于点 Q,则点Q坐标为(1,2)，PQ=1,取点V(1,3),连接BN, CN,PQ-NQ,∴S△P=SamN,过点N作BC的平行线， 与抛物线的交点即为满足条件的点M,由题意得直线BC表达 图1 图2 式为y=一x+3,∴直线MN表达式为y=一x+4,联立方 8.解析：(1)顶点坐标为(3.4).(2)当x=3时，函数取到最大 程++2十3相得=3825点 值4，当x=1时，函数取到最小值0.(3)分类讨论：①当t十 3<3,即，<0时.1，m=一十1=5=1十3，m十M横坐标为2名或2 2 3)2十6(t十3)一5=一12十4，m一n=一12十4一（一t2十61一3.解析：(1）AB=4,A(1,0),.点B坐标为（一3,0），.抛物线 中考数学压轴题得高分 ·31·第4章 二次函数 第3节 区间最值 前言：求函数最值是函数常见问题之一，而区间最值，则是增加了更多的变化，从一般性分析到 “定轴动区间”与“动轴定区间”的讨论，使问题变得更丰富多彩. 沙知识导航 直线品 彦1.区间最值 (1)关于最值 观察： 对于抛物线y=x2一2x-1,当x=1时， ymm=一2； ②区间在对称轴左侧：当x=x2时，函数 对于抛物线y=一x2+2.x+1,当x=1 取到最小值：当x=x1时，函数取到最大值. 时，ymx=2. 一般地： i线2a 对于开口向上(a>0)的抛物线， 当x=- 时，函数有最小值4ac一 2a 4a 对于开口向下(a<0)的抛物线， 当x= 时，质效有最大值“。 2a ③区间在对称轴右侧：当x一x1时，函数 (2)关于区间 取到最小值：当x=x2时，函数取到最大值. 区间通常指一类集合，如符合0≤x≤1 的实数所构成的集合，它包含0、1以及0和1 直线2a 之间的全体实数，这便是一个区间.二次函数 的区间最值问题就是指赋予自变量x一个取 值范围，讨论在这个范围里因变量y的最大 值或最小值 (3)区间最值 对于抛物线y=ax2十bx十c,考虑x取 恰当的值使对应的函数值最大或最小.下面以 ④区间在对称轴两侧：当x=一品时，取 a>0为例： 到最小值；考虑x1、x2谁离对称轴远，离对称 轴远则函数值大. ①区间是全体实数：当x=一 时函数 取到最小值：无最大值. 131 以壹学知道 中考数学压轴题得高分● 阅引例3l抛物线y=-x2+2a.x+1一a在 直线名 直线 2a 0≤x≤1有最大值2，求a的值， 解析考虑到抛物线开口向下，且对称轴为 x=a,分析a与区间0≤x≤1的关系即可. ①当a<0时，对称轴在区间左侧，当x=0 时，取到最大值，代入得1一a=2,∴.a=一1： 小结：考虑区间最值问题只要分析对称 H线x=a 轴与区间的位置关系即可，通过画草图分析！ 免引例1T(2023·大连)已知抛物线y=x2 2x一1，则当0≤x≤3时，函数的最大值为 ) A.-2 B.-1 C.0 D.2 ②当0≤a≤1时，对称轴在区间内，当x >解析由题意得抛物线对称轴为直线x=1, a时，取到最大值，代入得a2一a十1=2，∴.a :4=1>0,.当x=3时，函数取到最大值2. 引例2已知x十y=1,求y2+4x+1的最 5(合)或2： 小值. 解：由题意得y=1一x,代入得： 直线x-a 原式=(1一x)2十4x+1=x2-2x+1+ 4x+1=(x+1)2+1, 当x=一1，y=2时，y2+4x+1的最小值 为1. 谚2.动轴定区间 ③当a>1时，对称轴在区间右侧，当x=1 时，取到最大值，代入得一1+2a十1-a=2, 区间最值问题通常有一不定量，或函数 .a=2. 不定，或区间不定，可分为“动轴定区间”与 “定轴动区间”两类题型.对于“动轴定区间”， 直线x-a 通常分如下情况讨论： (1)轴在区间左边： (2)轴在区间里： (3)轴在区间右边 随之确定当x取何值时，函数取到最小 值或最大值. 综上，a的值为一1或2. 132 第4章 二次函数 3.定轴动区间 X- 当抛物线对称轴已知，但自变量区间未 知时，即“定轴动区间”，同样可分为： (1)区间在对称轴左边： m一21 (2)区间包含对称轴： 综上，m的值为0或1. (3)区间在对称轴右边， 引例4抛物线y=x-2x十m十2在m 2≤x≤m时有最小值2，求m的值. 解析考虑到抛物线开口向上，且对称轴为直 》真题演练 线x=1,.分析1与区间m一2≤x≤m的关系 即可. 1.(2022·衢州)已知二次函数y=a(.x一1)2 ①当m<1时，区间在对称轴左侧，当x a(a≠0)，当一1≤x≤4时，y的最小值为 -4,则a的值为 ( m时，取到最小值，代入得m-2m+m十2 2,解得m=0或1（舍）： 入教小 y x-l D浅4 2.(2022·长春)已知二次函数y=一x2一2x十 3,当a≤x≤2时，函数值y的最小值为1， 则a的值为 m-2 m 3.(2023·绍兴)在平面直角坐标系xOy中，一 ②当1≤m≤3时，区间包含对称轴，当x= 个图形上的点都在一边平行于x轴的矩形 1时，取到最小值，代入得1一2+m+2=2,解 内部（包括边界），这些矩形中面积最小的矩 得m=1: 形称为该图形的关联矩形.例如：如图，函数 y=(x一2)2(0≤x≤3)的图像（抛物线中的 实线部分)，它的关联矩形为矩形OABC.若 二次函数y=产+6：+c(0≤：≤)图像 的关联矩形恰好也是矩形OABC,则b= m-2m ③当m>3时，区间在对称轴右侧，当x m一2时，取到最小值，代入得(m一2)2一 2(m一2)十m十2=2，方程无实根. 133 公壹学知道中考数学压轴题得高分m 4.(2023·绍兴)已知二次函数y=一x8+ 6.(2021·永州)已知关于x的二次函数y1= bx+c. x2+bx十c(实数b、c为常数). (1)当b=4,c=3时， (1)若二次函数的图像经过点(0,4)，对称轴 ①求该函数图像的顶点坐标： 为x=1,求此二次函数的表达式： ②当一1≤x≤3时，求y的取值范围： (2)若b2一c=0,当b一3≤x≤b时，二次函 (2)当x≤0时，y的最大值为2：当x>0时， 数的最小值为21，求b的值： y的最大值为3，求二次函数的表达式 (3)记关于x的二次函数y2=2x2十x十m, 若在(1)的条件下，当0≤x≤1时，总有 y≥y1,求实数m的最小值. 5.(2023·嘉兴)在二次函数y=x8-2tx+ 3(t>0)中. (1)若它的图像过点(2,1)，则t的值为多少？ (2)当0≤x≤3时，y的最小值为一2，求出1 的值： (3)如果A(m一2，a)、B(4,b)、C(m,a)都在 这个二次函数的图像上，且a<b<3.求 m的取值范围. 134 第4章 二次函数 7.(2022·湖北)如图，在平面直角坐标系中，已 8.(2021·嘉兴)已知二次函数y=一x8+ 知抛物线y=x一2.x一3的顶点为A,与 6.x-5. y轴交于点C,线段CB∥x轴，交该抛物线 (1)求二次函数图像的顶点坐标： 于另一点B (2)当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值 (1)求点B的坐标及直线AC的表达式； 分别为多少？ (2)当二次函数y=x2一2x一3的自变量x (3)当t≤x≤1十3时，函数的最大值为m,最 满足m≤x≤m十2时，此函数的最大值 小值为n,若m-n=3,求t的值. 为p,最小值为g,且p一g=2,求m 的值： (3)平移抛物线y=x2一2x一3，使其顶点始 终在直线AC上移动，当平移后的抛物线 与射线BA只有一个公共点时，设此时抛 物线的顶点的横坐标为n,请直接写出n 的取值范围 备用图 135