第4章 第1节 二次函数的图像分析-中考数学压轴题得高分

●)第4章 二次函数 第4章 二次函数 》》》》 第1节 二次函数的图像分析 前言：函数图像是函数的表达形式之一，也是函数内容的重要组成部分，本节从函数图像的基 本性质出发，探究函数图像与系数的关系，这也是中考题小题压轴的一类常见题型 》知识导航 若点离对称轴更近，则其函数值更接近 最值. 1.对称性 ①当a>0时.若-（品） 抛物线是轴对称图形，对于y=a.x”十 :-(名)小则y< bx+c(a≠0)，对称轴为直线x= 20·顶点 ②当a<0时，若-（名） b Aac-b 坐标为(-a4a上 ,则y1>y2 (1)若抛物线上存在不同的两点A(x1, b y1)、B(xy:),有y1=y2,则A、B两点关于 X-- 24 对称轴对称，可得十2= b 2 2a ,即对称轴 B 的另一种表达形式为直线x=1十2 B 2 x-- 21 x= 引例1(2023·福建)已知抛物线y= a.x2-2a.x+b(a>0)经过A(2n+3,y1)、 B(n一1，y2)两点，若A、B分别位于抛物线对 称轴的两侧，且y,<y2,则n的取值范围是 应用：抛物线与x轴交于A、B两点，对称 轴为直线x=m,若点A的坐标为(a,0),由 C解析由题意得抛物线对称轴为直线x=1, xA十xB =m可得点B的坐标为(2一a,0). 且开口向上，若点B在对称轴右侧，则n一1> 2 1,得n>2,则点A也在对称轴右侧，与题意矛 (2)若抛物线上存在不同的两点A(x1, 盾，点B在对称轴左侧，点A在对称轴右侧， y1)、B(x2,y),有y1≠y2,如何比较y1与 m-1<1, y?的大小关系？ 即 解得一1<n<2.:y1<y2, 2n+3>1. 117 ☑壹学知道中考数学压轴题得高分◆ ∴.2n+3-1<1一(n-1),解得n<0.综上，n的 阅引例31(2021·张家界)若二次函数y 取值范围是一1<n<0. a.x2+b.x+c(a≠0)的图像如图，则一次函数 引例2(2022·徐州)若二次函数y=x2 y=a.x十b与反比例函数y=一C在同一个坐 2x一3的图像上有且只有三个点到x轴的距离 标系内的大致图像为 等于m,则m的值为 ⊙解析由对称性可得这三个点必有一个是抛 物线顶点，顶点坐标为(1，一4)，∴.m=4. 谚2.图系关系 对于二次函数y=a.x2十bx十c(a≠0)， 当a、b、c取值不同，函数图像亦不同，则a、 b、c对函数图像有何影响？ (1)a:决定抛物线开口方向和大小。 a>0 a>0,抛物线开口向上：a<0,抛物线开 口向下. D |a|大，抛物线开口小：a|小，抛物线开 C解析由抛物线图像得a<0,b>0,c>0, 口大 .选D (2)a,b:左同右异 对于y=a.x2+bx十c,与a、b、c相关的 考虑到抛物线的对称轴为直线x 常见代数式： b (1)2a+b:考虑对称轴与直线x=1比 2a' 当a、b同号时，对称轴在y轴左侧： 较，如一么-1.即可得2a+6=0: 当a、b异号时，对称轴在y轴右侧： 2a一b:同上，将对称轴与直线x=一1 当b=0时，对称轴即为y轴. 比较. (3)c:抛物线与y轴交点为(0，c). (2)b2一4ac:考虑抛物线与x轴的交点 当c>0时，抛物线交y轴于正半轴： 个数 当c=0时，抛物线交y轴于原点： (3)a+b+c:x=1,y=a+b+c; 当c<0时，抛物线交y轴于负半轴. a-b+c:4x=-1,y=a-b+c; 118 第4章 二次函数 4a+2b+c:令x=2.y=4a十2b+c; 当x=一时y取到最大值，对任意x 4a-2b十c:令x=-2,y=4a-2b十c; a+2%+令x7y-a+2%+e m(m≠- 》,都有am十m十c<a· (4)am2+bm与a+b比较：分别令x= (一2'+b·（一)十c,整理得am+m< m和x=1. 11 (5)构造：如(2a+b)十(a-b十c)= 4a- 0=a-26,结论@正确： 3a+c: (2a-b)-(a-b+c)=a-c: 当x>时y随着x的增大而减小 (a+b+c)+(a-b+c)=2(a+c)等. ∴.若x1>x2>1,则y1<y,∴结论⑤错误. 综上，正确的结论有3个 ®引例4(2022·贵港)已知二次函数y= 见引例5(2023·递宁)抛物线y=a.x2+ a.x2十bx十c(a≠0)图像的一部分如图所示，该 bx十c(a≠0)的图像如图所示，对称轴为直线 函数图像经过点（一2,0），对称轴为直线x= x=-2.下列说法：①abc<0:②c一3a>0: 2对于下列结论：①abc<0:②6-4ac>0: ③4a2-2ab≥at(at+b)(t为全体实数)：④若 ③a+b+e=0:④am2+bm<(a-2b)(其中 图像上存在点A(x1,y1)和点B(x2,y2),当 m<x1<xg<m十3时，满足y1=y2,则m的 m≠-2)：⑤若A1y)和B(x2y:)均在该 取值范围为一5<m<一2.其中正确的个数有 函数图像上，且x:>x2>1,则y1>y2.其中正 确结论的个数共有 个 A.1个 B.2个 C解析由图像可得a<0,b<0,c>0,∴.abc> C.3个 D.4个 0,.结论①错误： C解析由图像可得a<0,b<0,c<0,∴.abc< .抛物线与x轴有2个交点，∴.b2-4ac> 0,.结论①正确： 0,.结论②正确： :对称轴为直线x=一2，心一2 =一2，即 由对称轴是直线x=一 和经过点（一2， b=4a,当x=-1时，y=a-b十c>0,将b= 0)可得抛物线与x轴另一个交点为(1,0)，.当 4a代人得-3a十c>0,∴.结论②正确； x=1时，y=a十b十c=0,∴.结论③正确： .a<0,.当x=一2时，函数取到最大 119 公壹学知道中考数学压轴题得高分m● 值，对任意x=t,都有a·(-2)2十b·(-2)+ 是直线x=1.-品≠1，即2如十b≠0. c≥at+bM十c,即4a-2b≥at8+bi,,a<0, .4ac-b2=4a-(2a+b)2<4a,.结论② .a(4a-2b)≤a(at2+bi),即4a2-2ab≤ 正确： at(at十b),∴.结论③错误； y1=y,.点A(x1y)和点B(xgy) 0<m<1,m=3,号<m十”<2，点 2 2 关于对称轴对称，十工=一2,1十 (2,t)比点(1,1)离对称轴更近，∴.t>1,结论 2 ③正确： 2m<-4, x2=一4， 解得一5<m< 当x=1时，y=a十b十c=1,,方程ax2十 2(m+3)>-4, b.x十c=x有两个相等的实数根，∴.(b一1)2一 一2，结论④正确. 4ac=0,将b-1=-a-c代入得(-a-c)2 综上，正确的说法有3个， 4ac=(a-c)=0,.a=c,a(x-m）(x- 见引例6(2023·武汉)抛物线y=a.x2+ n)=ax2+bx+c,mm=C=1,又n≥3， bx十c(a、b、c是常数，c<0)经过(1,1)、(m, 0)、(n,0)三点，且n≥3.下列四个结论： 0<m≤3心结论④正确。 ①b<0: 综上，正确的是②③④. ②4ac-b2<4a: ③当n=3时，若点(2，t)在该抛物线上，则 能3.变式分析 t>1: 与几何图形结合 ④若关于x的一元二次方程a.x2十bx十 ®引例7(2023·广东)如图，抛物线y= c=x有两个相等的实数根，则0<m≤号 ax2十c经过正方形OABC的三个顶点A,B、 () 其中正确的是 (填写序号). C,点B在y轴上，则ac的值为 解析由c<0,抛物线经过点(1,1)、(n,0)且 n≥3得函数大致图像如图所示，∴.a<0,b>0, ∴，结论①错误： A.-1 B.-2 C.-3 D.-4 ●解析由题意得点B的坐标为(0，c).,四边 抛物线过点(1,1)，∴.当x=1时，y 形OABC是正方形，可得点A的坐标为(2： a十b+c=1,即c=1-a-b,4ac-b2=4a(1 a-b)-b2=4a-4a2-4ab-b2=4a-(2a+ ),代入抛物线表达式得a·()+c=,整 b),,0<m<1,n≥3，.抛物线对称轴不可能 理得ac=一2. 1201 第4章 二次函数 3.(2022·黄石)已知二次函数y=a.x十b.x+c 的部分图像如图所示，对称轴为直线x 一1，有以下结论：①abc<0:②若t为任意实 数，则有a一bt≤at2十b:③当图像经过点(1， 》真题演练 3)时，方程a.x2十b.x十c一3=0的两根为x1、 1.(2021·宿迁)已知二次函数y=a.x十b.x十c x2(x1<x2),则x1十3.x2=0.其中正确结论 的图像如图所示，有下列结论：①a>0: 的个数是 () ②b2-4ac>0:③4a+b=1:④不等式a.x2+ (b一1)x十c<0的解集为1<x<3.正确的 结论的个数是 () A.0 B.1 C.2 D.3 A.1 B.2 4.(2022·日照)已知二次函数y=ax2十bx+c C.3 D.4 (a≠0)的部分图像如图所示，对称轴为x= 2.(2023·聊城)已知二次函数y=a.x2十b.x十c ,且经过点(-1,0).下列结论：①3a+b= 3 (a≠0)的部分图像如图所示，图像经过点 (0,2),其对称轴为直线x=一1.下列结论： 0:②若（分9小，(3）是抛物线上的两点， ①3a+c>0:②若点(-4，y1)、(3,y:)均在 则y1<y2;③10b一3c=0:④若y≤c,则0≤ 二次函数图像上，则y1>y2:③关于x的一 x≤3.其中正确的有 () 元二次方程a.x2十b.x十c=一1有两个相等的 实数根：④满足a.x2十bx十c>2的x的取值 范围为一2<x<0.其中正确结论的个数为 ( x=-1 3 =2 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 -3-2-101x -1 5.(2022·荆门)抛物线y=a.x+b.x十c(a、b、 c为常数)的对称轴为x=一2，过点(1，一2) A.1个 B.2个 和点(xoyo),且c>0.有下列结论：①a<0: C.3个 D.4个 ②对任意实数m,都有am2+bm≥4a一2b: 121 ☑壹学知道中考数学压轴题得高分> ③16a+c>4b:④若x>-4,则y。>c.其中 正确的结论有 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.(2023·湖北)抛物线y=a.x2十b.x十c(a< 0)与x轴相交于点A(-3,0)、B(1,0).下列 A.2个 B.3个 结论：①abc<0:②b2-4ac>0:③3b+2c= C.4个 D.5个 0:④若点P(m一2，y1)、Q(m,y:)在抛物线 上，且y1<y2,则m≤一1.其中正确的结论有 9.(2022·巴中)函数y=|ax2+bx+c1(a> ( 0,b2一4ac>0)的图像是由函数y=a.x2+ A.1个 B.2个 b.x+c(a>0,b2-4ac>0)的图像x轴上方 C.3个 D.4个 部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成， 7.(2023·通辽)如图，抛物线y=a.x2十bx十c 如图所示，则下列结论正确的是 () (a≠0)与x轴交于点(x1,0)、(2,0),其中 ①2a十b=0:②c=3:③abc>0:④将图像向 0<x1<1.下列四个结论：①abc<0:②a+ 上平移1个单位后与直线y=5有3个交点. b+c>0;③2b十3c<0:④不等式a.x2+b.x+ (< 2x十c的解集为0<x<2其中正确结 论的个数是 A.①② B.①③ C.②③④ D.①③④ 10.(2022·牡丹江)如图，抛物线y=a.x2十 b.x十c(a≠0)的对称轴是直线x=一2，并 A.1 B.2 与x轴交于A、B两点，若OA=5OB,则下 C.3 D.4 列结论中：①abc>0:②(a十c)2一b2=0; 8.(2021·枣庄)二次函数y=a.x2十b.x十c ③9a十4c<0:④若m为任意实数，则 (a≠0)的部分图像如图所示，对称轴为x am2+bm+2b≥4a.正确的个数是() 且经过点(2,0).下列说法：①ac ②-2b+c=0:③4a+2b+c<0:④若 (一2小（受y)是抛物线上的两点，则 OB x y1<y2:⑤b十c>m(am+b)+c（其中 A.1 B.2 m≠2 正确的结论有 C.3 D.4 122 ●第4章 二次函数 11.(2023·随州)如图，已知开口向下的抛物线 13.(2023·北京)在平面直角坐标系Oy中， y=a.x2十b.x十c与x轴交于点(6,0)，对称 M(x1y1),N(x2,y2)是抛物线y=ax2十 轴为直线x=2.则下列结论正确的有() bx+c(a>0)上任意两点，设抛物线的对称 ①abc<0:②a-b+c>0:③方程cx2+ 轴为x=t. 1 bx十a=0的两个根为x1=2,x:=一 (1)若对于x1=1,x2=2,有y1=y2,求t 6 的值： ④抛物线上有两点P(x1,y1)和Q(x2, (2)若对于0<x1<1,1<x2<2,都有y1< y2),若x1<2<x2且x1十x:>4,则 y2,求t的取值范围. y1<y2. 2 6 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 12.(2023·广元)已知抛物线y=a.x2十b.x+c (a、b、c是常数且a<0)过（一1,0）和(m,0) 两点，且3<m<4,下列四个结论：①abc> 0:②3a+c>0:③若抛物线过点(1,4)， 则-1<a<- :④若关于x的方程a(x十 2 1)(x-m)=3有实数根，则4ac-b2≥12a. 其中正确的结论有 () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 123(3)点E如图所示. 14.解析：(1)如图，连接A)并延长与捌相交，再作该直径的垂 直平分线，即可得正方形. (4)点P,Q如图所示 (2)①如图1，连接AC,BD交于点M,则M是BD的中点，连接 BE与CM相交，交点即为三条中线的交点，连接D与该交点并 延长，与BC的交点即为F.②如图2，先作边AC、AB的高， 再得边BC的高AH. 12.解析：(1)如图1所示.(2)如图2所示 D 图1 图2 15.解析：(1)线段BF如图所示，由全等得P是EF的中点，连 接BP并延长与CD的交点即为所求点G. D 图1 图2 13.法1（辅助圆）：连接PO.取PO的中点M,以点M为圆心， M)为半径作圆，与⊙)交于点Q,连接PQ,即为⊙)的一条 切线. (2)如图构造点G,连接VG,与BD的交点即为点H. M 法2（作垂直构造全等）：连接OP与⊙O交于点A,以点O为圆 心，OP为半径作圆，过点A作AB⊥OP交大圆于点B,连接BO 交小圆于点C,连接PC,则PC是⊙O的一条切线.（△OCP☑ △OAB,∠OCP=∠OAB=90°) D 第4章二次函数 第1节二次函数的图像分析 1.C解析：，抛物线开口向上，4>0，.结论①正确：，抛物 线与r轴无交点，∴b-4ac<0,∴.结论②错误：由题意得a十 b+c=1,9a+3b+c=3,两式相减得8a+2b=2,.4a+b=1, 结论③正确：不等式ax2+r+e<x的解集是1<x<3, ,结论④正确.综上，正确的结论的个数是3. 中考数学压轴题得高分 ·26· 2.B解析：由题意得对称轴=一力=一1，÷6=2a,当工=1一2.即m<0心结论④错误：综上，正确的有2个. 2a 时，y=a+b十c=3a十c<0,,结论①错误："点（一4，y1)离对 称轴更近y1>y:∴.结论②正确：抛物线y=ax+br十c与 直线y=一1有两个不同的交点，.方程a.r2十bx十c=一1有 3-201 两个不相等的实数根，，.结论③错误：由对称性可得抛物线经 过点(0,2)，(-2,2)..当ur+br+c>2时，-2<x<0,结7，C解析：由图像可得a>0,b<0c>0.∴abc<0,结论① 论④正确综上，正确的结论有2个. 正确：由图像可得当=1时，y=a十b十c<0,',结论②错误： 3.D解析：由图像可得a>0,b>0,c<0,.abc<0,∴.结论① 将点(2,0)代入得4a十26+c=0,抛物线对称轴为直线x= 正确：，对称轴为直线x=一1∴当x=一1时，函数值y取到 2.0<1<1,…1<+2< 2 2 1<-< 最小值，即对任意x=1,都有a·(一1)+6·（一1D+≤at+ u十c,整理得a-6≤a1+M,即a-M≤ar:+b,结论正∴2a<-b<3a,将a=-26+代人得-26+<-6< 4 2 确：当图像经过点(1,3)时，由对称性可得图像还经过点（一3， _66+3x /·由一6<一5b十3整理得2十3c<0.结论③正骗： 3),.方程a.x2十bx十c一3=0的两根为x1=一3，x:=1, .x1十3x:=0,结论③正确综上，正确的结论有3个， 记y1=一之x十，则y与r轴交点为(2.0)与y轴交点为 4C解析：由整意得一名号…十6=0，结论D正确：由(0当y<,时的取值范围是0<：<2.钻轮④正 图像可得抛物线开口向上，且（分）离对称轴更近，< 确.综上，正确的有3个 8.B解析：由题意得a<0,b>0,c>0,.ar<0,.结论①正 y,∴结论②正确：：抛物线经过点(-1,0)，代人得a一b+c= 0,又3a十b=0,整理得4b一3c=0,∴.结论错误：由图像可得 确：对称维=一名-子0=-6,2.0)关于直线=号的 抛物线经过(0，c)和(3，c),且开口向上，.当y≤c时，0≤x≤ 对称点为（一1,0），当x=一1时，y=a一b十c=0,.一2b十c= 3,,结论①正确综上，正确的有3个， 0,结论②正确：令x=2,y=4a+2b十c=0,∴.结论③错误： 5.B解析：若抛物线开口向上，则c<0,不符合题意∴抛物线 开口向下，<0，∴结论①正确：当x=一2时，函数取到最大 时，函数取到最大值，对任意x=m(m≠号）都有了a十之6十 ,1 值.对于任意实数m,都有am+n十c≤4a一2b十c,即am2十 m4a一2b,.结论②错误：对称轴是x=一2，.当r=0和 x=一4时，函数值相等，即16a一4b十c=r>0,即16a十r>4b, e>am+bm+c,:a=-b,∴b计c>am+hm+e结论 ∴.结论③正确，当-4<ra<0时，y。>,当x≥0时，ya≤c, ⑤正确.综上，正确的有3个， ∴结论④错误综上，正确的有2个。 9.D解析：由图像可得a=1,b=一2，C=一3，∴结论①③正 x=-24y 确，结论②错误：函数y=|ax2十r十c|表达式为y |x2-2x-3,抛物线y=x2-2x一3的顶点坐标为(1，一4). 42 其关于x轴对称的点的坐标为(1,4)，向上平移1个单位后落 4(1,2) 在直线y=5上，，y=x2一2x一3的图像向上平移1个单位 后与直线y=5有3个交点，∴结论①正确综上，正确的结论是 6.B解析：函数大致图像如图所示，由题意得a<0,b<0.c> ①③④. 0,ac>0,∴结论①错误：：抛物线与x轴有两个交点， 10.C解析：由题意得a>0.b>0,c<0,∴ac<0,∴.结论①错 “b-4c>0∴结论②正确：由题意得对称轴为直线r=一1.误：OA=5OB,设OB=t,则OA=5,点A到对称轴的距离 名，将(1,0)代人得a+6+c=0,将a=为31，则点0到对称轴的距离为21，…21三 26代入得受b十6=0，即3动十2=0，六结论③正确：“y,< 0),B(1,0).当x=1时，y=a+b+e=0,.(a十c)2-b=(a+ c十b)(d十c一b)=0,∴.结论②正确：由函数图像过A,B两点 y:,∴点P离对称轴更远，又，对称轴为直线x=一1，.m一2<可得函数的交点式为y=a(x十5)(：x一1)=a(x2十4x一5)， 中考数学压轴题得高分 ·27· .c=-5a,.9a+4c=9a-20a=-11a<0..结论③正确： 第2节抛物线的交点探究 抛物线开口向上，.当x=一2时，函数取到最小值，即对任 1.n<0解析：当x=0时y=n<0∴n的取值范围是n<0. 意x=m,um+bm十c≥a·(一2)+6·(-2)十c,整理得 2.B解析：构造抛物线y=x十2x一3与直线y=my=n,画 am十bm≥4a一2b,即am2十bm+2b≥4a结论④正确.综出函数图像如图所示.∴x1<r<x<x. 上，正确的有3个， 1.B解析：由图像得a<0,b>0.c>0,.abc<0,∴.结论①正 确：：对称轴为直线x=2,抛物线过点(6,0)，可得抛物线与 x轴另一个交点坐标为（一2,0）.∴.当x=-1时，y=a一b十 c>0,.结论②正确：方程x十br十a=0两边同除以x,得 a:(）广+6：+=0，对比函数图像可得1-一2.1 T 3.A解析：令一x2十m2x=0,解得x1=0,x1=m2:令x2 .1二一之x=6,即方程x2+6似十a=0的两个根为m=0,解得=mx,=一m.假设m>0,由题意得m一m 1 m一0，.m1=2,m:=0(舍)，.二次函数y=一x十m”x的对 1 r1= 之=行结论③错误r1<2<:且x1十x:> 称轴为直线工=2，二次函数y=x号一m2的对称轴为直线工= 4心点P(x1·y)离对称轴更近，∴y1>y,∴结论④错误.综0，它们之间的距离为2m<0时情况相同. 上，正确的有2个 +.(3,0)或(4,0)解析：①当=0时，y=-x-3与x轴只有 12.B解析：函数大致图像如图所示，∴.a<0,b>0,c>0, 1个交点(-3,0)，.它的“Y函数”与x轴的交点坐标为(3,0)： 六c<0.结论0错误：由图像可得当=3时y=9a+36十②当k0时，由题意得公-4ac=(k-1):-4冬·k一3)= c>0,又抛物线过点（一1,0），.a一b+c=0,即b=a十c,代人 得9a十3(a十c)+c>0,整理得3a十c>0,∴结论②正确：将点 0,解得长-1，函数表达式为y--号一2x-4,即y (1,4)代人得a+b+c=4,又a-b+c=0,∴6=2，c=2-a.当 x十4)心与x轴交点坐标为(-4,0)，它的y函数” 1 x=3时，y=9a+36+c>0,当x=4时，y=16a+4b+c<0,代 人得/8a+8>0. 图像与x轴交点坐标为(40).综上，答案为(3,0)或(40). 15a+10<0, 科-1<一号结论①正确：由题查 5一1<m<-名或m=3解析：抛物线对你轴为直线工=1， 得a(x+1)(x一m)=ax2+br+c,关于x的方程ax十与y轴交于点(0,2).①当m>0时，根据题意画出两数图像如 br十c=3有实数根.∴b2-4a(c一3)≥0，整理得4ac一b2≤图1所示，易知抛物线顶点坐标为(1，一1)，代人y=m.r2- 12a,,结论①铅误.综上，正确的有2个. 2mr十2，得一1=m一2m+2.解得m=3:②当m<0时，根据题 意两出函数图像如图2所示.当抛物线过点（一1，一1）时，代入 得m十2m+2=一1，解得m=一1，当抛物线经过点(4，一1)时， 3 代人得16m一8m十2=一1，解得m=一8，若抛物线与线段 CD只有一个公共点，则-1<m<-,综上，m的取值范国 以解折：油题意得对称销为直线--1生子-号·是-1<<一音攻四-品 2 2 =是20<<11<：<2号<<号 3 2 21 a>0,y,<y2,点M离对称轴更近，M(r1y1)和N(r2 )的中点在对称轴右侧士>，又<兰< 2 2 1 :2 图 1图2 中考数学压轴题得高分 ·28·