第3章 第5节 尺规作图-中考数学压轴题得高分

第3章 几何模型 第5节 尺规作图 前言：近来越来越多省市中考题中出现尺规作图的题目，尺规作图名义上是作图题，实则蕴藏 着推理与计算，了解每一步作图背后的原理，会发现这是个很有趣的话题. 》知识导航 彦1.尺规作图 A。 ●B (1)定义：用无刻度的直尺和圆规作图. 即两个基本操作： ④作已知角的平分线 ①过确定两点画直线； 作法：以点O为圆心画弧与角两边分别 ②以确定点为圆心，确定的两点间距离为 交于A、B两点，分别以点A、B为圆心， 半径画圆. r(>2AB)为半径画弧相交于点C,D,连接 (2)5种基本作图 OC(或OD),即为∠AOB的平分线， ①作一条线段等于已知线段： 作法：作射线AP,以点A为圆心，a为 半径画弧，与射线AP交于点B,则AB=a. B ⑤过一点作已知直线的垂线. A● 作法：以点P为圆心画弧与AB交于C,D, 分别以C,D为圆心，(>2CD)为半径画弧交 ②作一个角等于已知角 于E、F,连接EF,EF即为AB的垂线， 作法：作PC=OB,CD=BA,又，PD PC=OB=0A, ∴.△PDC≌△OAB, ●B .∠DPC=∠AOB. ) D p-Tu b ®引例1(2022·长春)如图，在△ABC中， B a 根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是 ③作已知线段的垂直平分线： () 作法：分别以A、B为圆心，线段r(r> AB)为半径画弧，交点是C,D,连接CD. 则直线CD即为线段AB的垂直平分线， 米F米 109 以壹学知道 中考数学压轴题得高分 A.AF=BF (3)证明与计算 B.AE-TAC 尺规作图的背后，每一步都蕴含着证明与 计算，看似是作图题，实则是几何问题.确定要 C.∠DBF+∠DFB=90 作的点或线满足的特殊几何关系，是解题的 D.∠BAF=∠EBC 关键， C○解析由作图可得DF垂直平分AB,BE平 引例3(2023·天水)1672年，丹麦数学家 分∠ABC,.选B. 莫尔在他的著作《欧几里得作图》中指出：只用 ®引例2(2023·无锡)如图，已知∠APB,M 圆规可以完成一切尺规作图1797年，意大利数 是PB上的一个定点， 学家马斯凯罗尼又独立发现此结论，并写在他 (1)尺规作图：请在图1中作⊙O,使得⊙O 的著作《圆规的几何学》中.请你利用数学家们 与射线PB相切于点M,同时与PA相切，切点 发现的结论，完成下面的作图题： 记为N: 如图，已知⊙O,A是⊙O上一点，只用圆 (2)在(1)的条件下，若∠APB=60°， 规将⊙O的圆周四等分.（按如下步骤完成，保 PM=3,则所作的⊙O的劣弧MN与PM,PN 留作图痕迹) 所围成图形的面积是 ①以点A为圆心，OA长为半径，自点A 起，在⊙O上逆时针方向顺次截取AB= BC=CD: ②分别以点A、点D为圆心，AC长为半径 M 作弧，两弧交于⊙O上方点E: 图1 图2 ③以点A为圆心，OE长为半径作弧交 C解析(1)如图所示： ⊙O于G、H两点.即点A、G、D、H将⊙O的 A 圆周四等分。 B (2)连接ON,劣弧MN与PM、PN所围成 图形的面积记为S,则S=S四边形PoN ●解析如图所示. S扇形N,∴.S=2X 5×3×3-120 360 (3)2=33-π，∴.面积为3/3-π B H 110 第3章 几何模型 ≥2.单尺作图 (1)单尺作图：仅用无刻度的直尺作图 (2)作图思路：单尺只能作直线，重点分析已知 图1EF平分BC 图2EF⊥AC 条件，从已有的点、线关系分析出要求的点、线 位置.与尺规作图相比，单尺作图能做的事情更 少，所以需要的条件更多 ®引例4(2019·江西)在△ABC中，AB= AC,点A在以BC为直径的半圆内.请仅用无刻 图3EF垂直平分AB 度的直尺分别按下列要求画图.（保留画图痕迹） ⊙解析如图所示 (1)在图1中作弦EF使EF∥BC: (2)在图2中以BC为边作一个45的圆周角， 图1EF平分BC 图2EF⊥AC B 图1 图2 C解析(1)如图，分别延长BA、CA,与半圆分 别交于点F,E,连接EF,则EF∥BC 图3EF垂直平分AB 见引例6(2021·自贡)如图，△ABC的顶点 均在正方形网格格点上，只用不带刻度的直尺， B 作出△ABC的角平分线BD.(不写作法，保留 (2)分别连接BE、CF并延长交于一点，连 作图痕迹) 接该点与A,与半圆相交于点G,连接BG,则 ∠GBC=45° ≥3.格点作图 (1)格点作图：即在正方形方格纸中按要求完成 B 作图. 解析如图，构造等腰三角形，利用三线合一 (2)作图思路：充分发挥正方形方格纸的作用， 可得角平分线。 可以作平行线、垂线、相等线段等.利用网格构 造相似，可得倍分点。 ®引例5(2019·金华)如图，在7×6的方格 纸中，△ABC的顶点均在格点上.试按要求画 出线段EF(E、F均为格，点)，各画出一条即可. m ☑壹学知道中考数学压轴题得高分· 」真题演练 1.(2020·广东)如图，在菱形ABCD中， ∠A=30°.取大于2AB的长为半径，分别以 A.25 B.10 C.4 D.5 4.(2020·州)如图，在△ABC中，按以下步 点A、B为圆心作弧相交于两点，过此两点 骤作图： 的直线交边AD于点E(作图痕迹如图所 ①以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别 示)，连接BE、BD.则∠EBD的度数为 交AB、BC于点D、E ②分别以点D、E为圆心，大于，DE的同样 长为半径作弧，两弧交于点F. ③作射线BF交AC于点G. 如果AB=8,BC=12,△ABG的面积为 18,则△CBG的面积为 B (第1题) (第2题) 2.(2023·荆州)如图，∠AOB=60°，点C在 OB上，OC=23,P为∠AOB内一点.根据 图中尺规作图痕迹推断，点P到OA的距离 5.(2022·郭尔多斯)下列尺规作图不能得到平 为 行线的是 3.(2020·嘉兴)如图，在等腰三角形ABC中， AB=AC=25,BC=8,按下列步骤作图： ①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧， 分别交AB、AC于点E、F,再分别以点E、 F为圆心，大于2EF的长为半径作弧相 交于点H,作射线AH; ②分别以点A,B为圆心，大于2AB的长为 半径作弧相交于点M、N,作直线MN,交 射线AH于点O: ③以点O为圆心，线段OA长为半径作圆. 则⊙O的半径为 ( 2☑ 第3章 几何模型 6.(2022·贵港)尺规作图（保留作图痕速，不要8.(2019·宿迁）在Rt△ABC中，∠C=90° 求写出作法)： (1)如图1，点O在斜边AB上，以点O为圆 如图，已知线段m、n,求作△ABC,使∠A 心，OB长为半径的圆交AB于点D,交 90°，AB=m,BC=n. BC于点E,与边AC相切于点F,求证： ∠1=∠2： (2)在图2中作⊙M,使它满足以下条件： ①圆心在边AB上：②经过点B:③与边 AC相切.（尺规作图，只保留作图痕迹，不 要求写出作法) C B 图1 图2 7.(2023·陕西)如图，已知锐角三角形ABC, ∠B=48°，请用尺规作图，在△ABC内部求 作一点P,使PB=PC,且∠PBC=24°.（保 9.(2020·达州)如图，点O在∠ABC的边BC 留作图痕迹，不写作法) 上，以OB为半径作⊙O,∠ABC的平分线 BM交⊙O于点D,过点D作DE⊥BA于 点E. (1)尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补 全图形： (2)判断⊙O与DE交点的个数，并说明 理由 0. B 113 以壹学知道 中考数学压轴题得高分● 10.(2018·江西)如图，在四边形ABCD中， 11.(2022·长春)图1、图2、图3均是5×5的 AB∥CD,AB=2CD,E为AB的中点，请 正方形网格，每个小正方形的边长均为1， 仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保 其顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点 留画图痕迹) 上.只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按 (1)在图1中，画出△ABD的边BD上的 下列要求作图，保留作图痕迹。 中线： (1)网格中△ABC的形状是 (2)在图2中，若BA=BD,画出△ABD的 (2)在图1中确定一点D,连接DB、DC,使 边AD上的高. △DBC与△ABC全等： A (3)在图2中△ABC的边BC上确定一点 E E E,连接AE,使△ABEP△CBA: B B (4)在图3中△ABC的边AB上确定一点 P,在边BC上确定一点Q,连接PQ,使 图1 图2 △PBQ∽△ABC,且相似比为1：2. 图1 图2 B 图3 4 第3章 几何模型 12.(2019·舟山)在6×6的方格纸中，点A、 13.(2021·南京)如图，已知P是⊙O外一点. B、C都在格点上，按要求画图： 用两种不同的方法过点P作⊙O的一条 (1)在图1中找一个格点D,使以点A、B、 切线。 C,D为顶点的四边形是平行四边形： 要求：(1)用直尺和圆规作图：(2)保留作图 (2)在图2中仅用无刻度的直尺，把线段 的痕迹，写出必要的文字说明. AB三等分（保留画图痕迹，不写作法）. o B 图1 图2 115 以壹学知道 中考数学压轴题得高分● 14.(2019·无锡)按要求作图，不要求写作法， 15.(2023·武汉)如图是由小正方形组成的 但要保留作图痕迹。 8×6网格，每个小正方形的顶点叫作格点. (1)如图1，A为⊙O上一点，请用直尺（不 正方形ABCD四个顶点都是格点，E是 带刻度)和圆规作出⊙O的内接正方形： AD上的格点，仅用无刻度的直尺在给定网 (2)我们知道，三角形具有性质：三边的垂直 格中完成画图，画图过程用虚线表示。 平分线相交于同一点，三条角平分线相 (1)在图1中，先将线段BE绕点B顺时针 交于一点，三条中线相交于一点，事实 旋转90°，画对应线段BF,再在CD上 上，三角形还具有性质：三条高所在直线 画点G,并连接BG,使∠GBE=45°； 相交于一点。 (2)在图2中，M是BE与网格线的交点，先 请运用上述性质，只用直尺（不带刻度） 画点M关于BD的对称点V,再在BD 作图。 上画点H,并连接MH,使∠BHM= ①如图2，在平行四边形ABCD中，E ∠MBD 为CD的中点，作BC的中点F: ②如图3，在由小正方形组成的4×3的 网格中，△ABC的顶点都在小正方形 的顶点上，作△ABC的高AH. 0 图1 图2 E B 图1 图2 图3 16下：取BD的中点P,连接PM,PN,则PM=AD=2C=8解折：连接OF,则OF⊥AC,即∠0FA=90,:∠C= 90,∴∠OFA=∠C..OF∥BC.∴∠OFB=∠1.OF=OB. PN,PM∥AD,.∠PMN=∠ANM=60°，.△PMN是等边 ·∠0FB=∠2.∠1=∠2. 三角形，∴.∠PNM=60°，：PN∥BC,.∠CGN=60°， :∠CNG=∠ANM=60°，.△CGN是等边三角形，∴DN CN-GN,∴∠DGN-∠GDN-号∠CNG-30i∠CGD- ∠CGV+∠DGN=90°，.△CGD是直角三角形. G (2)如图所示.（先作∠ABC角平分线，再确定哥心M) 第5节尺规作图 1,45”解析：由题意得EA=EB.∴∠ABE=∠BAE=30,又 ∠ABD=∠ADB=75°，.∠EBD=45°. 9,解析：(1)如图， 2.1解析：由作图可得OP平分∠AOC,PH垂直平分OC, ∠AOB=60°，∴.∠POH=∠POA=30°，OC=23, M ∴0H=0X=BPH=1.点P到0A的距离为1. (2)1个交点.理由如下：连接(OD,则OD=OB,.∠OBD B ∠ODB,:BD平分∠ABC,.∠EBD=∠OBD,∴.∠ODB= ∠EBD,.OD∥AB,DE⊥AB,.OD⊥DE,.OD是⊙O的 切线，∴⊙O和DE只有1个交点. 3.D 10.解析：(1)如图1，AM即为边BD上的中线，(2)如图2， 4.27解析：设△ABG边AB上的高为h1,△CBG边BC上的 BN即为边AD上的高 高为h.由题意得BC平分∠ABC,则h,=h:,S△x= ABA=号Sam=号Ch= 1 ×12×号-2 5.A解析：A选项中由同位角相等，得两直线平行：B选项中由在 同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行：C选项中由内错角 相等，得两直线平行D选项无依据得平行线，选D. 图1 图2 6.解析：如图所示 11.解析：(1)直角三角形(2)满足条件的点D如图所示. 7.解析：点P如图所示。 中考数学压轴题得高分 ·25· (3)点E如图所示. 14.解析：(1)如图，连接A)并延长与捌相交，再作该直径的垂 直平分线，即可得正方形. (4)点P,Q如图所示 (2)①如图1，连接AC,BD交于点M,则M是BD的中点，连接 BE与CM相交，交点即为三条中线的交点，连接D与该交点并 延长，与BC的交点即为F.②如图2，先作边AC、AB的高， 再得边BC的高AH. 12.解析：(1)如图1所示.(2)如图2所示 D 图1 图2 15.解析：(1)线段BF如图所示，由全等得P是EF的中点，连 接BP并延长与CD的交点即为所求点G. D 图1 图2 13.法1（辅助圆）：连接PO.取PO的中点M,以点M为圆心， M)为半径作圆，与⊙)交于点Q,连接PQ,即为⊙)的一条 切线. (2)如图构造点G,连接VG,与BD的交点即为点H. M 法2（作垂直构造全等）：连接OP与⊙O交于点A,以点O为圆 心，OP为半径作圆，过点A作AB⊥OP交大圆于点B,连接BO 交小圆于点C,连接PC,则PC是⊙O的一条切线.（△OCP☑ △OAB,∠OCP=∠OAB=90°) D 第4章二次函数 第1节二次函数的图像分析 1.C解析：，抛物线开口向上，4>0，.结论①正确：，抛物 线与r轴无交点，∴b-4ac<0,∴.结论②错误：由题意得a十 b+c=1,9a+3b+c=3,两式相减得8a+2b=2,.4a+b=1, 结论③正确：不等式ax2+r+e<x的解集是1<x<3, ,结论④正确.综上，正确的结论的个数是3. 中考数学压轴题得高分 ·26·