第3章 第4节 中点的构造-中考数学压轴题得高分

AD于点H,则△EHF是等腰直角三角形.：EF=√2，∴EH=16.解析：(1)可证△EDC≌△BFE,∴DE=BF.(2)如图.取 FH-1.AH-3.AE-/10...AC-AF16810 5 CE的中点H,连接GH,则GH=CD=1,GH∥CD∥BE, △FGHD△FBE.设CE=BE=T,则EH=号.：EF- 6D=2FH2供-儒代人，.解利 14.解析：(1)：AE∥DC,·∠0AE=∠0CD,∠0EA=1=2+22,c:=2-22(舍)，BE的长为2+22. ∠(ODC,又(A=(OC,∴△OAE≌△OCD,∴.AE=CD,(OE= OD..OB=OD+CD.OB=OE+BE...AE=BE. (2)①如图，过点A作AM∥CD交BD于点M,由(1)得AM BM,.∠BAM=∠ABM.又∠ABM=∠ABD',∴.∠BAM ∠ABD',.BD'∥AM,.BD'∥CD. 第4节中点的构造 1.2 解析：连接AE,则MN=2AE,当点E与点C重合时， AE取到最大值22，∴MN的最大值为2. ②如图，连接CM,则四边形AMCD是平行四边形.∴.∠CMD= ∠ADM.AD'∥BC,∴.∠D'+∠DBC=180.D'B∥DC .∠D'BC+∠BCD=180°，∠D'=∠BCD.∴.∠CMD= ∠ADM-∠D-∠D△CMn△DC.÷P-S, 即CD=DM·DB.又DM=2OD,.CD°=2OD·BD. 2.C I5.解析：(I)①：AE平分∠DAB,∠EAD=∠EAB.:DC∥ AB.∠DEA=∠EAB,∠DAE=∠DEA..DE=DA=5.同 3.v13 2 解析：如图，过点O作OP⊥CD于点P,可证△OPH≌ 理.CF=CB=5.若点E与点F重合，则CD=5+5=10, △ECH.∴OH=EH.即点H是OE的中点，连接OF,又G是 ,.AB=CD=10,即AB的长为10.②若点E与点C重合，则 C-DE=A=同理，CFCB=.Ef=CD-.甲EEF的中点∴GH=号oF=B=.GH的长 2 的长为元2)如图1，若DF-FE-BC则品2品号即 为 2 得的值为号：如周2，者DE=F=FC,则裙提名即 AD 的值为如图3，若FD=C-CB,则沿-识-2，同 AD 的值为2综上，的值为号或或2 AD 17 . 解析：F是DE的中点∴CF=2DE=DF,:CE= 7,CaEr=32,.CF+EF=25,∴.EF+DF=25.即DE=25, .CD=24BC=24,BE=17,:O是BD的中点，OF是 △BDE的中位线…0F-号E-号即0F的长为号 5.D解析：如图.延长BF与CD延长线交于点M,易证 △AFB2△GFM,,.GM=AB=5,BF=MF,又∠BFC=90°， 中考数学压轴题得高分 ·23· .MC=BC=8,.CG=3,DG=2. M 1该四 2 解析：当点D在线段AC上时，取CE的中点 F,连接DF,则EF=BE=CF=1,:DF=CD+CF=5. 0,E分别是BD,BF的中点OE=DF- 2:当点D在 6.0<S<2解桥：由题意得PM=2AB=2,PN=2CD= 线段CA延长线上时，同理可得0E-号DF-探上，0E 2,,△PMN是腰长为2的等腰三角形，当PM⊥PN时，S取 1 的长为 到最大值，此时S=立×2×2=2心S的取值范围是0<S≤2. C 7.5解析：取BF中点的P,连接PM、PN,则PM=PB 4cm,∴.∠PMB=∠PBM=∠CBM,,.PM∥BC.,N是AF 中点PV是△ABF的中位线，PN∥AB,PN=号 AB- 3cm,∴.PM⊥PN,MN=32+=5(cm). 12.解析：过点E作EF∥BC交AD于点F,则DF=AF, ∴EF=2BD.义BD=CD,EF=CD.:EF∥BC, △GFo△0GD.÷e3-名G=号·日AD B 8.A解析：连接PC,CB.PB.OQ最大值为2，.PB最大值 号AD,即AD=3GD, 为4，∴PC+CB=4,又PC=1,.CB=3.设点B坐标为(x, 一r)(x>0),根据两点间距离公式可得(2一x)十(2十x)=9, 点B坐标为（停，-） 解翔x=2 2 13.解析：(1)三角形中位线平行于第三边，且等于第三边的一 半：两组对边分别平行的四边形是平行四边形(2)如图，当 AC⊥BD时，可得四边形EFGH是矩形.(3)C=E=AC十 BD.理由如下：由题意得EF-GH-2AC.EH-FG-BD, 9.A解析：连接OG、BG,则BG-2EF-OG,点G在线段 CoERM =EF+FG+GH+EH=AC+BD. OB的垂直平分线上. :解析：延长BC至点F使得CF=CA,连接AF,:DE 平分△ABC的周长，.E是BF的中点，又D是AB的中点 DE-号AF,:∠ACB=60∠ACF=120.又AC=1,14.解折：DP,M分别是BD,BA的中点，PM=之AD. ∴，AF=3,,DE 3 2 P.N分别是BD.CD的中点，PN=是C.又：AD=BC, .PM=PN,∠PMN=∠PNM,(2):P,M分别是BD、 BA的中点，.PM∥AD,∠PMN=∠AEM.P,N分别是 BD,CD的中点，∴PN∥BC,∴∠PNM=∠F,又：∠PMN= ∠PVM,∴.∠AEM=∠F,(3)△CGD是直角三角形，理由如 中考数学压轴题得高分 ·24· 下：取BD的中点P,连接PM,PN,则PM=AD=2C=8解折：连接OF,则OF⊥AC,即∠0FA=90,:∠C= 90,∴∠OFA=∠C..OF∥BC.∴∠OFB=∠1.OF=OB. PN,PM∥AD,.∠PMN=∠ANM=60°，.△PMN是等边 ·∠0FB=∠2.∠1=∠2. 三角形，∴.∠PNM=60°，：PN∥BC,.∠CGN=60°， :∠CNG=∠ANM=60°，.△CGN是等边三角形，∴DN CN-GN,∴∠DGN-∠GDN-号∠CNG-30i∠CGD- ∠CGV+∠DGN=90°，.△CGD是直角三角形. G (2)如图所示.（先作∠ABC角平分线，再确定哥心M) 第5节尺规作图 1,45”解析：由题意得EA=EB.∴∠ABE=∠BAE=30,又 ∠ABD=∠ADB=75°，.∠EBD=45°. 9,解析：(1)如图， 2.1解析：由作图可得OP平分∠AOC,PH垂直平分OC, ∠AOB=60°，∴.∠POH=∠POA=30°，OC=23, M ∴0H=0X=BPH=1.点P到0A的距离为1. (2)1个交点.理由如下：连接(OD,则OD=OB,.∠OBD B ∠ODB,:BD平分∠ABC,.∠EBD=∠OBD,∴.∠ODB= ∠EBD,.OD∥AB,DE⊥AB,.OD⊥DE,.OD是⊙O的 切线，∴⊙O和DE只有1个交点. 3.D 10.解析：(1)如图1，AM即为边BD上的中线，(2)如图2， 4.27解析：设△ABG边AB上的高为h1,△CBG边BC上的 BN即为边AD上的高 高为h.由题意得BC平分∠ABC,则h,=h:,S△x= ABA=号Sam=号Ch= 1 ×12×号-2 5.A解析：A选项中由同位角相等，得两直线平行：B选项中由在 同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行：C选项中由内错角 相等，得两直线平行D选项无依据得平行线，选D. 图1 图2 6.解析：如图所示 11.解析：(1)直角三角形(2)满足条件的点D如图所示. 7.解析：点P如图所示。 中考数学压轴题得高分 ·25·以壹学知道中考数学压轴题得高分 第4节 中点的构造 前言：中点是几何综合题常见条件之一，对中点的分析思路有：倍长中线、直角三角形斜边中 线、中位线等.结合具体条件，选择恰当的方法，合理添加辅助线. 范围.她的解法是：延长AD到E,使DE=AD, 》知识导航 连接BE,证明△BED≌△CAD,经过推理和计 算使问题得到解决。 ≥1.倍长中线 (1)小红证明△BED≌△CAD的判定定 当出现中点条件时，可将中线延长一倍， 理是 即倍长中线 (2)AD的取值范围是 (3)如图2，AD是△ABC的中线，在AD 作图分析： 如图1，在△ABC中，AD是中线. 上取一点F,连接BF并延长交AC于点E,使 延长AD至点E使得DE=AD,则 AE=EF. △ADC≌△EDB. 求证：BF=AC. 线段关系：AC=BE,AC∥BE. B B D 图1 图2 C解析(1)SAS: 图1 图2 (2)1<AD<5: 如图2，在△ABC中，E是边AB上 (3)如图，延长AD至点M使得DM= 点，D是BC的中点，连接DE.延长ED至点 DF,连接CM. F使得DF=DE,则△BDE≌△CDF 在△BDF和△CDM中， 线段关系：BE=FC,BE∥FC BD=CD. 解读：倍长中线后可得一组旋转型全等， ∠BDF=∠CDM, 转化为两条线段平行且相等.即转移了线段位 DF=DM, 置，探究几何图中线段间的数量关系，一般要 ∴.△BDF≌△CDM(SAS), 先有位置关系 ∴.BF=CM,∠BFD=∠M, ®引例T(2020·德州改编)问题探究： ,AE=EF,.∠EFA=∠EAF, 小红遇到这样一个问题：如图1，△ABC ∴·∠BFD=∠EFA=∠EAF, 中，AB=6,AC=4,AD是中线，求AD的取值 ∴.∠M=∠EAF,∴.CM=CA. 100 ●)第3章 几何模型 又CM=BF, 最大值1十√3 ∴.BF=AC. N 彦3.中位线 彦2.斜边中线 (1)中位线定理：三角形的中位线平行于第三 边，且等于第三边的一半， 定理：直角三角形斜边中线等于斜边一半 如图1，在△ABC中，E、F分别是边 如图1，M是Rt△ABC斜边AB的中 AB,AC的中点则EF∥BC,EF=BC 点，则MC=AB. B B 图1 (2)中位线构造 M B 如图2，在△ABC中，E是边AB的中点 图1 图2 构造：取AC的中点F,连接EF.则 如图2，M是AB的中点，则MA= MB=MC=MD,A、B,C,D四点共圆. EF∥BC.EF-BC ®引例21(2023·凉山州)如图，边长为2的 等边三角形ABC的两个顶点A,B分别在两条 射线OM、ON上滑动，若OM⊥ON,则OC的 最大值是 图2 如图3，在△ABC中，B是AE的中点，C 是AF的中点， 构造：连接EF.则BC∥EF,BC= 2EF A M C解析取AB的中点P,连接OP、PC,则 B OP-ZAB-1,PC-AP-.C 图3 OP+PC=1+√3，当O、P、C共线时，OC取到 101 ☑壹学知道中考数学压轴题得高分◆ 如图4，在△ABC中，B是AE的中点. 免引例4(2022·安顺)如图，在△ABC中， 构造：延长AC至点F使得CF=AC,连 AC=22,∠ACB=120°，D是边AB的中点， 接EF.则BC∥EF,BC= 2 EF. E是边BC上一点，若DE平分△ABC的周 长，则DE的长为 B E A号 B.②+1 图4 2 C.2 D.3 令引例3](2022·广州)如图，正方形ABCD C解析延长BC至点F使得CF=CA.,DE 的面积为3，点E在边CD上，且CE=1, 平分△ABC的周长，且D是边AB的中点， ∠ABE的平分线交AD于点F,M、N分别是 .E是BF的中点，.DE∥AF.,∠ACB= BE、BF的中点，则MN的长为 () 120°，∴.∠ACF=60°，且CF=CA,∴.△ACF 是等边三角形，∴.AF=AC=22,∴.DF= 2AF=2. A.6 2 B 2 4.中点四边形 C.2-/3 D6-2 2 已知：如图，E、F、G、H分别是四边形 C解析：正方形的面积是3，.BC=3, ABCD中边AB、BC,CD、DA的中点. CE1 tan/CBE=3,∴∠CBE=303 结论：四边形EFGH是平行四边形，且 :BF平分∠ABE,∴.∠ABF=∠EBF=30°， S四边形rGu一 S四边形ABCD: .AF=1,∴.DE=DF=3-1,连接EF,则 D EF=2DE=6-2,,M、N分别是BE、BF 的中点，∴MN 2EF-6-2 B 特别地，若AC=BD,则平行四边形 EFGH是菱形： 若AC⊥BD,则平行四边形EFGH是 矩形. 102 第3章 几何模型 突引例51(2017·江西)如 引例6在△ABC中，分别以AB、AC为斜 图，任意四边形ABCD中，E、 边向外侧作等腰直角三角形ABD和等腰直角 F、G、H分别是AB、BC、 三角形ACE,∠ADB=∠AEC=90°，F为边 CD、DA上的点，对于四边形 B BC的中点，连接DF、EF,求证：DF=EF, EFGH的形状，某班学生在一次数学活动课 DF⊥EF 中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误 的是 () A.当E、F、G、H是各边中点，且AC=BD时， 四边形EFGH为菱形 B.当E、F、G、H是各边中点，且AC⊥BD时， 法1：构造全等 四边形EFGH为矩形 分别取边AB、AC的中点M、N,连接 C.当E、F、G、H不是各边中点时，四边形 MD、MF、NF,NE. EFGH可以为平行四边形 D.当E、F、G、H不是各边中点时，四边形 M为AB的中点DM=2AB, EFGH不可能为菱形 ,N、F分别为AC和BC的中点， C解析选D. .NF-2AB.MD-NF, ≥5.反相似手拉手 同理可证：MF=NE. ,MF∥AC,NF∥AB, 如图，在正方形ABCD和正方形CEFG ∴.∠BMF=∠BAC=∠CNF, 中，连接AF,取AF的中点M. ∴.∠DMF=90°+∠BMF=90°+∠CNF= (1)若连接ME、MD,则有：MD=ME, ∠FNE MD⊥ME. 在△DMF和△FNE中， (2)若连接MB、MG,则有：MB=MG, DM=FN. MB⊥MG. ∠DMF=∠FNE, MF=NE. ∴.△DMF≌△FNE(SAS),∴.DF=EF. ,∠DFM+∠BMF+∠MDF=90°， ∴.∠DFM+∠MFN+∠NFE=90°， B 即∠DFE=90. D ∴.DF=EF且DF⊥EF. B 103 ☑壹学知道中考数学压轴题得高分m 法2：还原手拉手全等模型 (3)把图1中的正方形DEFG绕点D顺时 作AM⊥AB交BD的延长线于点M,作 针旋转90°，此时点E、G恰好分别落在线段 AN⊥AC交CE的延长线于点N,连接 AD、CD上，如图3，其他条件不变，请判断(1) CM、BN. 中的结论是否成立，并说明理由。 图1 图2 由题意得△ABM和△CAN均为等腰直 角三角形， 图3 ∴.AM=AB,AC=AN,∠MAB= C解析(1)CM=EM,CM⊥EM. ∠CAN=90°， (2)成立.延长CM交AB于点N,连接 '.∠MAC=∠MAB+∠BAC=-∠CAN+ FN、EN、EC,则四边形BCFN是矩形 ∠BAC=∠BAN ∴.FN=CB,FN∥CB,∴∠EFN=45. 在△AMC和△ABN中， 在△DEC和△FEN中， [AM=AB, ED=EF, ∠MAC=∠BAN, ∠EDC=∠EFN, AC=AN, DC=FN, ∴.△AMC≌△ABN(SAS),∴.MC=BN, ∴.△DEC≌△FEN(SAS), ∴DF=2MC=2BN=EF,即DF=EF. ∴.EC=EN,∠DEC=∠FEN, ∴.∠DEF=∠CEN=90°， 又MC⊥BN,.DF⊥EF. ∴.△CEN是等腰直角三角形， 见引例7(2018·盘锦)如图1，E是正方形 ABCD边CD上任意一点，以DE为边作正方 ∴EM=2CN=CM,EM⊥CM. 形DEFG,连接BF,M是线段BF的中点，射 线EM与BC交于点H,连接CM. (1)请直接写出CM和EM的数量关系和 位置关系： (2)把图1中的正方形DEFG绕点D顺时 (3)成立. 针旋转45°，此时点F恰好落在线段CD上，如 过点M作MP⊥CD交CD于点P,作 图2，其他条件不变，请判断(1)中的结论是否成 MQ⊥AD交AD于点Q, 立，并说明理由： 可证△MPC≌△MQE, 104M ●)第3章 几何模型 ∴.CM=EM,CM⊥EM. 接GH,则GH的长为 4.(2023·枣庄)如图，在正方形ABCD中，对 角线AC与BD相交于点O,E为BC上一 点，CE=7,F为DE的中点，若△CEF的周 口》真题演练 长为32，则OF的长为 L.(2023·广西)如图，在边长为2的正方形 ABCD中，E、F分别是BC、CD上的动点， M、N分别是EF、AF的中点，则MN的最 大值为 5.(2020·陕西)如图，在平行四边形ABCD 中，AB=5,BC=8.E是边BC的中点，F是 平行四边形ABCD内一点，且∠BFC=90°. E 连接AF并延长，交CD于点G.若EF∥ 2.(2019·雅安)如图，在四边形ABCD中， AB,则DG的长为 () AB=CD,AC、BD是对角线，E、F、G、H分 D 别是AD、BD、BC、AC的中点，连接EF、 FG、GH、HE,则四边形EFGH的形状是 6.2 C.3 D.2 6.(2021·泰州)如图，四边形ABCD中，AB= CD=4,且AB与CD不平行，P、M、N分别 是AD、BD,AC的中点，设△PMN的面积 A.平行四边形 B.矩形 为S,则S的范围是 C.菱形 D.正方形 3.(2021·天津)如图，正方形ABCD的边长为 4,对角线AC、BD相交于点O,点E、F分别 在BC、CD的延长线上，且CE=2,DF=1, G为EF的中点，连接OE,交CD于点H,连 105 公壹学知道中考数学压轴题得高分m· 7.(2020·潘博)如图，矩形纸片ABCD,AB= 10.(2018·武汉)如图，在△ABC中，∠ACB= 6cm,BC=8cm,E为边CD上一点.将 60°，AC=1,D是边AB的中点，E是边BC △BCE沿BE所在的直线折叠，点C恰好落 上一点.若DE平分△ABC的周长，则DE 在边AD上的点F处，过点F作FM⊥BE, 的长是 垂足为M,取AF的中点N,连接MN,则 MN= cm. B 1山.(2023·沈阳)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AC=BC=3,点D在直线 8.(2020·乐山)如图，在平面直角坐标系中，直 AC上，AD=1,过点D作DE∥AB交直 线BC于点E,连接BD,O是线段BD的中 线y=一x与双曲线y=二交于A、B两点， 点，连接OE,则OE的长为 P是以点C(2,2)为圆心，半径为1的圆上一 动点，连接AP,Q为AP的中点若线段OQ 长度的最大值为2，则k的值为 A >B 12.(2020·攀枝花)三角形三条边上的中线交 于一点，这个点叫三角形的重心.如图G是 △ABC的重心 求证：AD=3GD. A.2 C.-2 9.(2022·滨州)正方形ABCD的对角线相交 于点O(如图1)，如果∠BOC绕点O按顺时 针方向旋转，其两边分别与边AB、BC相交 B 于点E、F(如图2)，连接EF,那么在点E由 B到A的过程中，线段EF的中点G经过的 路线是 D B A.线段 B.圆孤 C.折线 D.波浪线 106 第3章 几何模型 13.(2023·山西)阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔 :S△AC= 2AC·DM=HG· 细阅读并完成相应任务。 DM,.SOHPQG= 2S△Ae.同理， 瓦里尼翁平行四边形 我们知道，如图1，在四边形ABCD D 中，E、F、G、H分别是边AB、BC,CD、 H DA的中点，顺次连接E、F、G、H,得到 的四边形EFGH是平行四边形， E 我查阅了许多资料，得知这个平行四 图1 边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边 形.瓦里尼翁(Varignon,Pierre1654一 1722)是法国数学家、力学家.瓦里尼翁平 行四边形与原四边形关系密切. ①当原四边形的对角线满足一定关 E 图2 系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、 D 矩形或正方形. ②瓦里尼翁平行四边形的周长与原 四边形对角线的长度也有一定关系， ③瓦里尼翁平行四边形的面积等于 E 原四边形面积的一半，此结论可借助图1 图3 证明如下： 任务：(1)填空：材料中的依据1是指： 证明：如图2，连接AC,分别交EH、 ,依据2是指： FG于点P,Q,过点D作DM⊥AC于点 M,交HG于点N. :HG分别为AD、CD的中点， (2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边 形ABCD及它的瓦里尼翁平行四边形 ∴HG∥AC,HG=2AC(依据1). EFGH,使得四边形EFGH为矩形：（要 0w- 求同时画出四边形ABCD的对角线) .:DG=GC,∴.DN= (3)在图1中，分别连接AC、BD得到图3， NM-2DM. 请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH的 周长与对角线AC,BD长度的关系，并 ,四边形EFGH是瓦里尼翁平行四 证明你的结论。 边形，∴.HE∥GF,即HP∥GQ. :HG∥AC,即HG∥PQ, .四边形HPQG是平行四边形（依据 2D.Sam=HG·MN=2HG·DM 107 ☑壹学知道中考数学压轴题得高分m 14.(2023·东营)(1)用数学的眼光观察 如图1，在四边形ABCD中，AD=BC, P是对角线BD的中点，M是AB的中点， N是DC的中点.求证：∠PMN=∠PNM: (2)用数学的思维思考 如图2，延长图1中的线段AD交MN 的延长线于点E,延长线段BC交MN 的延长线于点F,求证：∠AEM=∠F: (3)用数学的语言表达 如图3，在△ABC中，AC<AB,点D在 AC上，AD=BC,M是AB的中点，N 是DC的中点，连接MN并延长，与BC 的延长线交于点G,连接GD.若 ∠ANM=60°，试判断△CGD的形状， 并进行证明. D D M M 图1 图2 M 图3 108