第3章 第3节 相似模型-中考数学压轴题得高分

言学知道 中考数学压轴题得高分 第3节 相似模型 前言;相似三角形是初中几何的重难点,形式众多、变化多样,本讲介绍一些常见的相似模型及 考查方式. 知识导航 C.# A.2 1. A字型与8字型 解析连接AB,CD,则△AOB△DOC, (1)“A”字型 .选A. 引例2(2023·安徽)如图,点E在正方形 ABCD的对角线AC上,EFAB于点F,连接 DE并延长,交边BC于点M,交边AB的延长 在△ABC中,若DE//BC,则△ADE 线于点G.若AF-2,FB-1,则MG-( ) △ABCABACBC AD AE DE D. M (2)“8”字刑 7B A ,B C B32 35 A.2/③ C.5+1D./10 解析.EFIAB,.EF/AD,:. EM DE AD _ BF EM BM . 2 DE 2 AD AD AF AE DE 2 ACBC: 35 'MG-DM二 2 .选B. 引例1(2022·镇江)如图,点A、B、C、D 引例3(2023·成都)如图,在△ABC中, 在网格中小正方形的顶点处,AD与BC相交于 点Q,小正方形的边长为1,则AO的长等于 D是边AB上一点,按以下步骤作图; _ ,_ ①以点A为圆心,以适当长为半径作狐, 分别交AB、AC于点M、N; ②以点D为圆心,以AM长为半径作辄; 交DB于点M; ③以点M为圆心,以MN长为半径作狐, 在BAC内部交前面的孤于点N': 90 第3章 几何模型 ④过点N'作射线DN'交BC于点E (3)推论:△ADCo△AEB 若△BDE 与四边形ACED的面积比为 4:21,则的值为 BE B (EAB.) #### 引例4(2017·西藏)如图,在△ABC中, ##R# D是AB上的一点, ACD=B,AC=2; AB-4,则AD- 解析 由题意得 A三 BDE,..△BDE △BAC.·△BDE与四边形ACED的面积比 S△aDE 4.BE2.BE2 为4:21..: 4 S△BAC 25.BC 3 解析由题意可得△ADC△ACB, 2.反A字型 'AC*=AD·AB,代入得AD-1. 引例5(2018·常州)如图,在△ABC纸板 中,AC=4,BC=2,AB-5,P是AC上一点 过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三 。 (字型 角形纸板,如果有4种不同的剪法,那么AP长 的取值范围是 dC (D) B/ C B 解析 反A字型 母子型 如图,其中有三组始终存在: AB-ACxAE △CPQ△CAB,△APQ△ACB, △APQ△ABC. B △AEB△ADC AD (1)反A字型:ABCAED, AC AE 0 B 当点□ AB (2)母子型:△ABE△ACB, 若△CPQo△CBA,则 AC AE 与B重合时,AP取到最小值,代入得CP-1. AB ,AB{}一AE·AC.(平方式,找母子) 此时AP=3..'.AP的取值范围是3 AP<4. N91 喜学知道 中考数学压轴题得高分III 引例6(2022·铜仁)如图,抛物线y= 3.反8字型 ax{}+br+c(a去0)与x轴交于A、B两点,与 v轴交于点C.若/QAC三/OCB,则ac的值为 D ( ) V B B 8字型 C 反8字型 ,) A.-1 B.-2 -。 。 ) △AOD△BOC 解析 .: OAC=OCB,CO1AB, OA '.△BOC△COA,..OC=OA·OB.即 OB 0.OA·OC-OB·OD.(共边之积相等) (2)推论:AOD/BOC 5. 三角形内接矩形 证明::△AOB△DOC. OA OB .OA OD 如图,在△ABC中,D、E在边BC上, G、F分别是AB、AC上的点,且四边形 又: AOD= BOC. .△AOD△BOC. DEFG是矩形.作AN 1BC分别交GF、DE 于点M、N. 4. 射影定理 在 Rt△ABC中, BAC=90*,AD BC 交BC于点D. B D ##C AM GF 则有 ANBC* 特别地,若矩形DEFG是正方形,记边 D 长为d,则 AN-dd BADC△BCA:BA*-BD·BC;$ AN ANBC整 ACADC△CBA:CA*=CD·CB 1 △ADBC△CDA:DA*-DB·DC 92 第3章 几何模型 引例7(2022·东营)如图,在△ABC中, AD分别交AB、CD于点E、F,若AD=m. 点F、G在BC上,点E、H分别在AB、AC上, BC一n,则EF的长是 2 四边形EFGH 是矩形,EH=2EF,AD是 △ABC的高,BC=8,AD=6,那么EH的长为 E B C {00 解析 由题意得- B& 解析设EF-x,则EH=2x,记AD与EH 2nn m十n n十n 交点为M,由题意得△AEH△ABC. . 6-x2r 12 ,解得x一 7. 构造平行线与梅涅劳斯定理 ,代人得 。s 5' 24...EH的长为. 24 24 即EH-2x= 如图,在△ABC中,D、E分别是BC、AC 上的点,连接AD、BE交于点O 6.三平行模型 过点E作EP//AD→△CPE△CDA; △BODo△BEP; 如图,AB/CD/EF,记AB=a,CD= 过点D作DQ/BE→△CDQ△CBE b,EF-c. AAOE/ADQ. C 0 1 7 另外,过点A、B、C均可作平行线构造得 证明:EF/AB→△DEF △DAB→ “A”字型或“8”字型,在解决求比例问题中发 DF DB 挥重要作用. 梅涅劳斯定理 如图,△ABC被直线DF所截,则 AD DB· DF BF DF+BF -1. BF .CE 6 DB DB DB FC.EA -1. 1 顶点到截点 顶点到截点 即 截点回顶点截点回点 引例8如图,在四边形ABCD中,AD/ 顶点到截点 -1. BC,连接AC、BD交于点O,过点O作EF/ 截点回顶点 N93 喜学知道 中考数学压轴题得高分II EF -1,代人得:CD··3 A顶点 FB 2” 截点D 技巧总结 E截点 已知三角形中的两组比例,可求得第三组 顶点B F截点 点 比例,除了求比例外,也可运用比例求线段长 引例10(2020·山西)如图,在Rt△ABC 证明:如图,过点C作CP/DF交AE BD CE PD BF0 中, ACB=90*,AC=3,BC=4.CDAB,垂 于点P,则 FC-DP'EA DB DA' 足为D,E为BC的中点,AE与CD交于点F, BF CE AD.BD PD 则DF的长为 {=1. FC*EADB ·DP DA B 法1:如图,过点F作FHIAC交AC于 引例9(2021·连云港)如图,BE是 △ABC的中线,点F在BE上,延长AF交BC FH AH .CEA代人 BD 于点D,若BF-3FE,则 DC ### 3一 18 一,解得x二 17..CF 3 5 C D B CG 法1:如图,过点E作EG/AD,则 GD 1 过 CE BD BF 1.GEF BD 3 EA “DC 2 12 9 法2:':CD |AB,.CD= AD= 5' 过9 E BD- 5 .BE CF DA -1,代入得 .EC FDAB 1.CF.9 DCC # -1. 1.FD.25 BD.CA -# 法2:△BEC被AD所截,.. .DC.AE. 9 94 第3章 几何模型 技巧总结 证明:如图,延长CF交DA的延长线于 梅涅劳斯定理的运用,关键在于确定哪 点G,则 $G= BCF= ECF..'$EG=E$C$ 个三角形被哪条线所截,本题已知BC、AB 设边长AD-2m,则AE=DE=n. 边上的线段比,求CD边上的线段比,即可确 EG-EC-/5m. 定由这三边所在直线构成的三角形,目 .AG-(/5-1)m. △BCD被AE所截 .'△AFGCo△BFC. 注意:解答题中梅涅劳斯定理不可直接 使用. 2 BF 2 8.黄金分割 .点F是线段AB的黄金分割点. G-0 -D (1)黄金分割点:如图,点C在线段AB 上,若满足ACAB' BC AC ,则点C称为线段AB的 黄金分割点。 -B B BC AC5-1 引例11(2016·福州)如图,在△ABC中. (2)黄金分割比: .ACAB 2 5-1 AB-AC-1,BC- 2 ,在AC边上截取 (3)黄金三角形 BC(底)5-1 AD-BC,连接BD (36*,72*,72)→ AC(腰) (1)通过计算,判断AD{}与AC·CD的大 DE(腰)/5-1 小关系; (108*,36*,36)→ EF(底) 2 (2)求ABD的度数 108 367F (4)黄金分割与正方形 如图,在正方形ABCD中,E是AD边 ({# 解析 (1)AD*二 中点,F在AB边上且CF平分BCE,则点 F是线段AB的黄金分割点. -13-5 AC-AD-1- -,AC-1. D 3一、5 E .AC.CD一 .'AD-AC.CD. 2& CD3- (2) BC 2. 5-1 4 C95 喜学知道 中考数学压轴题得高分II 形的边长均为1,则阴影部分的面积为( 5-1BC 5-1.CD BC ~ 2'AC 又 BCD= ACB: .△BCDC△ACB. ' BDC= ABC=ACB,CBD= <BAC. '.BD=BC=AD.设 C= A.5 B.6 则 ABC- BDC-a. A+ ABD-a. 4.(2023·乐山)如图,在平行四边形ABCD 中,E是线段AB上一点,连接AC、DE交于 AE 2 .S△ADr 点F.若 EB 3 ,则 SAEF D C -36*. 即ABD的度数是36*。 5.(2021·扬州)如图,在△ABC中,AC=BC. 矩形DEFG的顶点D、E在AB上,点F、G 分别在BC、AC上,若CF=4,BF=3,且 DE一2EF,则EF的长为 真题演练 1.(2023·吉林)如图,在△ABC中,点D在边 AB 上,过点D作DE/BC,交AC干点E 若AD-2,BD-3,则 C B A 6.(2022·攀枝花)如图:在矩形ABCD中, AB-6.AD=4,E、F分别为BC、CD的中 点,BF、DE相交于点G,过点E作EH/ CD.交BF于点H,则线段GH的长度是 ( B _~ D) (第1题) (第2题) 2.(2023·北京)如图,直线AD、BC交于点O. {2 $AB/EF/CD,若AO=2,OF=1.FD=2 A 则 B 1 B.1 D. 3.(2022·徐州)如图,若方格纸中每个小正方 [96 第3章 几何模型 7.(2021·宿迁)如图,在△ABC中,AB=4. BC=5,点D、E分别在BC、AC上,CD 2BD,CE=2AE,BE 交AD于点 F,则 C” △AFE面积的最大值是 11.(2023·营口)如图,在△ABC中,BAC= 8.(2022·淮安)如图,在Rt△ABC中,C 90{*,AB一AC,将AC绕着点C按顺时针旋 90{*$AC=3,BC=4,D是边AC上的一点; 转60得到CD,连接BD交AC于点E,则 AE 过点D作DF//AB,交BC于点F,作 D BAC的平分线交DF于点E,连接BE.若 DE △ABE的面积是2,则 EF 的值是 12.(2020·无锡)如图,在Rt△ABC中, ACB=90{*,AB=4,点D、E分别在边 ABAC上,且DB-2AD,AE=3EC,连 接BE、CD,相交于点O,则△ABO面积最 B 大值为 9.(2022·上海)如图,在△ABC中,A=30*. B=90{*},D为AB中点,E在线段AC上; AD DE # .AE AB二 AC _) 13.(2018·深圳)在Rt△ABC中,C-90*, AD平分 CAB,BE平分 ABC,AD、BE 相交于点F,且AF=4,EF=/2,则AC 1 10.(2023·内蒙古)如图,在Rt△ABC中, ACB=90*},AC=3,BC=1.将△ABC绕点$$ A逆时针方向旋转90{*},得到△ABC',连接 97 青学知道 中考数学压轴题得高分II 14.(2020·荷泽)如图1,四边形ABCD的对角 15.(2021·绍兴)问题:如图,在平行四边形 线AC、BD相交于点O,OA=OC,OB $ABCD中,AB=8,AD=5, DAB、 OD+CD. ABC的平分线AE、BF分别与直线CD (1)过点A作AE//DC交BD于点E,求 交于点E、F,求EF的长 证:AE-BE; 答案:EF-2. (2)如图2,将△ABD沿AB翻折得到 探究: △ABD. (1)把“问题”中的条件“AB一8”去掉,其余 ①求证:BD'/CD; 条件不变. ②若AD'/BC,求证:CD{}=2OD· ①当点E与点F重合时,求AB的长; BD. ②当点E与点C重合时,求EF的长; D (2)把“问题”中的条件“AB-8,AD一5”去 D 掉,其余条件不变,当点C、D、E、F相 的值. C B 2 D E 图1 图2 98 第3章 几何模型 16.(2023·烟台)如图,点C为线段AB上一 点,分别以AC、BC为等腰三角形的底边; 在AB的同侧作等腰三角形ACD和等腰三 角形BCE,且A=CBE.在线段EC上 取一点F,使EF=AD,连接BF、DE. (1)如图1.求证:DE一BF; (2)如图2,若AD一2,BF的延长线恰好经 过DE的中点G,求BE的长 31 图1 1E 图2 N99x一8，'.DG=CH=(x一5)一(x-8)=3.由题意得△FDG9.解析：(1)易证∠DAE=∠CDF,又∠ADE=∠DCF, △PCB0-代人得是5-解得-20， 5 ∴.△ADE∽△DCF.(2)易证△ADE2△DCF,.DE=CF, CF=CH,,DC⊥FH,DF=DH,,∠DFC=∠H.AD∥ AN=√AD+DN7=√20+12=4√34，即AN的长为 BC,∴∠ADF=∠DFC,.∠ADF=∠H.(3)CF=3. 434. 10.解析：(1)：AF⊥DE,∴∠ADE+∠DAF=90 ∠BAF+∠DAF=90°，∴∠ADE=∠BAF.又：∠DAE= ∠ABF,DA=AB,∴.△DAE≌△ABF(ASA),.AE=BF. D (2)如图1，连接AQ,过点Q作MN⊥AD交AD于点M,交BC 于点N,则MN⊥BC.在正方形ABCD中，∠ADB=45, .∠MQD=45,∴MD=MQ,.AM=QN.PQ垂直平分 E H AF,∴.QA=QF.又∠AMQ=90°=∠QNF,.△AMQ≌ 3.D △QNF(HL),∴∠MAQ=∠NQF.∠MAQ+∠AQM=90, 4.D解析：正确的是①②③，选D. ∴∠NQF+∠AQM=90°，∴.∠AQF=90°，∴.△AQF是等腰直 5.D解析：正确的是①③，∴选D. 角三角形，∴∠AFQ=45, 6.解析：：∠CDE+∠ADF=90°，∠DAF+∠ADF=90° ·∠CDE=∠FAD,又∠C=∠AFD=90°，∴.△AFD∽ △DCE8器-是：Dc-3.cE-1,DE-V+F- 而代A-希e= 5 图1 图2 7.解析：(1)AE=DF,AB=AD,.AB-AE=AD-DF,即 BE-AF.'∠BEH+∠BHE-9O°，∠BEH+∠AGF-9O°， aAD∥BR,小路--：AB∥cD,既-器 ∴.∠AGF=∠BHE.又∠A=∠B=90°，.△AFG≌△BEH 乏如图2，过点E作EHLCD于点H,则△ABF≌△EHG, (AAS)..FG-EH.( 17 .GH=BF=x,,DG十BE=DG十CH=2-x,.BE ⑧.解析：(I)易证△DEA≌△AFB,∴AE-B即.(2)：F门 CH=2-一y,代入得2-受整理得y 4-2x y 正+2“y 需股-，a-器p-照·器-器-器 与x的关系式为y=4二红 x十2 tana,即tana=k·tan明.(3)由题意可得点E的轨迹是以AD 第3节相似模型 中点为圆心、AD为直径的圆弧，点F的轨迹是以AB中点为圆 心、AB为直径的圆弧，如图1.与AB边围成的图形面积等于 1A将折DE形C能-品-号 △AOB的面积（点0为对角线交点），如图2.：AB=4, 2. BE AF 3 解析：元FD一2 1 SAM0m=?X4X2=4,即点E,F所经过的路径与边AB围 3c折：8-×号×4x4-号 1 成的图形的面积为4 D 4.2 -号-品-号- s号 解析：如图，过点C作CH⊥AB交AB于点H,交FG 于点M,设EF=3a,则FM=号DE=EF=3a,:CF=-4, 图1 图2 a服=3，既-E-CM=4cF=5a=4a 中考数学压轴题得高分 ·21· 专BF=a-3x专-号BF的长为号 10.5解析：如图，过点B作B'H∥BC交AC于点H,则四边 形AHB'C为矩形，.AH=B'C=1,CH=AC-AH=2,由 题意得△DCRADHR,B肥-g-3.DH=子cH 1 .5 AD 2DC-AD-AH+DH-DC-5. 6.A解析：，AB=6,F是CD的中点，CF=3.BC AD-4BF-5FH-F-名：EH/CD,△EHG0 △Dc,小e-8-器-8GH-FH-号xg-音 D BC 7,音解折：如图，连接DE,则△CDEO△CBA,需- 11.32-6 6 解析：如图，过点D作DF⊥AC交AC于点F, TB-子，∠CDE=∠CBA,dDE∥AB,∴△DEF∽△ABFR 2 则△AEB∽△FEDS=0=-25记AE=25a, 3 2 3 SAANC一后S△Mc,当AB⊥BC时，△ABC面积取到最大值， 则EF=3a,.DF=√3(23a+3a)=(6+33)a,∴.DE= 2 14 S。-2 SAANC -15X4×5X23,六△AFE面积的 2√3a DP+丽=(36+32a“ED8632 大值是子 3w2-√6 6 B 8.号解析：DF∥AB,∴△CDFO△CAB.SAE=2, 12.3 解析：如图1，过点D作DF∥AC交BE于点F, Sa-6,可00-二-吉AD-号AC=1aE平 分∠BAC,DF∥AB,∴∠DAE=∠BAE-∠AED,∴DE E-职-号器-子…8%-器-名即0 DA=1器-器-号DF=号AB-号EF=DF △A0=了S△Ae.”AB=4,∠ACB= -91-器--号 轨迹是圆弧，如图2，当△ABC是等腰直角三角形时，面积最 3 大，△ABC面积的最大值是4，△AB0面积的最大值是号 92或号解折：如图，过点D作DE:∥BC,与AC的交点E, 即为满足条件的点，此时治-铝=子：在AC上取点，使 得DE,=DE,比时AB=DE,=AB,0-子格上， 图1 图2 的值为时 13.80 5 解析：在Rt△ABC中，∠BAC+∠ABC=90°， 2(∠BAC+∠ABC)=45,即∠BAF+∠ABF=∠AFE- 45.如图，连接CF,则CF平分∠ACB,∴.∠ACF=45°， .△AEFC∽△AFC,∴.AF2=AE·AC.过点E作EH⊥AD交 中考数学压轴题得高分 ·22· AD于点H,则△EHF是等腰直角三角形：EF=√反，∴EH=16.解析：(1)可证△EDC≌△BFE,∴DE=BF,(2)如图，取 FH-1.AH=3.AE-10,.AC-AF16_8/10 AE/10 5 CE的中点H,连接GH,则GH=CD=1,GH∥CD∥BE, △FGHn△FBE.设CE=BE=x,则EH=乏.：EF= x AD=2,FH=号-2.由-肥，代入得2=1，解我 14.解析：(1)：AE∥DC,.∠OAE=∠OCD,∠OEA= x1=2+22,x1=2-22(舍)，，BE的长为2+22. ∠ODC,又OA=OC,.△OAE≌△OCD,.AE=CD,OE= OD..OB=OD+CD,OB=OE+BE,..AE=BE. (2)①如图，过点A作AM∥CD交BD于点M,由(I)得AM= BM,.∠BAM=∠ABM.又∠ABM=∠ABD',,∠BAM ∠ABD',.BD'∥AM,,BD'∥CD 第4节中点的构造 1.巨解析：连接AE,则MN=受AE,当点E与点C重合时， AE取到最大值2V2,∴MN的最大值为反. ②如图，连接CM,则四边形AMCD是平行四边形，∴.∠CMD= ∠ADM.AD'∥BC,∴.∠D'+∠DBC=180°.D'B∥DC, .∠D'BC+∠BCD=180°，.∠D'=∠BCD,.∠CMD= ∠ADM=∠D'=∠BcD,÷△DcMO△DBC,∴P-% 即CD=DM·DB.又DM=2OD,∴.CD=2OD·BD. 2.C 15.解析：(1)①：AE平分∠DAB,∴.∠EAD=∠EAB.:DC∥ AB,·∠DEA=∠EAB,∠DAE=∠DEA,∴DE=DA=5.同 33 2 解析：如图，过点O作OP⊥CD于点P,可证△OPH② 理，CF=CB=5.若点E与点F重合，则CD=5十5=10， △ECH,∴.OH=EH,即点H是OE的中点，连接OF,又G是 AB=CD=10,即AB的长为10.②若点E与点C重合，则 DC=DE=DA=5.问理，CF=CB=5,.EF=CD=5,即EF 即的中点GH-0F--四GH的长 2 的长为5.②如图1，者DF=FE=BC,则品-2品=号即 A侣约值为号如图2，者DE-EF-FC,则铝-记-号即 的值为如图3，者FD=0C=CE,则铝-记=2，即 AD A AD 2 AB的值为2，综上·AB的值为写或行或2。 解折，F是DE的中点，∴CF=之DE=DF,:CE 7,C△cEn=32,∴CF+EF=25,∴EF+DF=25,即DE=25, .CD=24,∴.BC=24,∴BE=17,O是BD的中点，∴OF是 △BDE的中位线0F=之BE-号即OF的长为号 5.D解析：如图，延长BF与CD延长线交于点M,易证 △AFB≌△GFM,∴.GM=AB=5,BF=MF,又∠BFC=90°， 中考数学压抽题得高分 ·23·