第3章 第2节 弦图的构造-中考数学压轴题得高分

以壹学知道中考数学压轴题得高分m◆ 第2节 弦图的构造 前言：在证明勾股定理的时候，我们认识了“外弦图”，以此为基础，作进一步的探究. 沙知识导航 形1.模型认识 如图，有△AED2△BFA≌△CGB≌ △DHC. F D 思路2：过点P作PE⊥BC于点E,过点 H N作NF⊥AB交AB于点F,可证△PEQ≌ △NFM. D 稍作变形，若DE⊥AF,则可得：△DAE≌ H △ABF. B Q 反之，若已知PQ=MN,但不一定存在 E PQ⊥MN. 如下图，EF=PQ=MN,但EF不与MN B 垂直. 一般地，在正方形ABCD中，若MN PQ,则有MN=PQ. N 由位置关系可推数量关系，但由数量关 B Q 系未必可推位置关系 思路1：分别将PQ、MN平移至AF、DE 引例①(2018·青岛)如图，已知正方形 位置（作平行线），证明AF=DE即可. ABCD的边长为5，点E,F分别在AD、DC上， AE=DF=2,BE与AF相交于点G,点H为 84 第3章 几何模型 BF的中点，连接GH,则GH的长为 ∠OBM=∠ABE,∴.△BOMC∽△BAE, BO OM BA-EO-0 ON-MN-OM- 草即ON的长为 ≥2.模型变式 C解析，AE=DF,.△BAE≌△ADF, (1)弦图与对称：对称点连线被对称轴垂直且 ∴.∠ABE=∠DAF 平分. ,∠DAF+∠BAG=90°，∴.∠ABE+ ∠BAG=90°， ∴.∠AGB=90°.DF=2,.CF=3, ∴.BF=CF2+BC=√/34， :.GH-TBF- 2 BN B 令引例2(2022·贵阳)如图，在正方形 沿MN折叠，则AA'=MN且AA'⊥MN. ABCD中，E为AD上一点，连接BE,BE的垂 (2)弦图与四点共圆：C、D、H、F四点共圆. 直平分线交AB于点M,交CD于点N,垂足为 O,点F在DC上，且MF∥AD (1)求证：△ABE≌△FMN: (2)若AB=8,AE=6,求ON的长 D B 连接DF,取DF的中点N,以点N为圆 B C 心、DN的长为半径作圆，C,D、H、F四点共圆. C解析(1)：MF∥AD,∴.MF⊥AB, 特别地，若E、F分别是AB、BC的中点， 连接CH,则CH=CD ∴.∠FMN+∠BMO=90°，又∠ABE+ ∠BMO=90°，∴.∠FMN=∠ABE.,MF∥ AD,AM∥DF,∴.四边形AMFD是平行四边 形，.MF=AD=AB.在△ABE和△FMN中， [∠A=∠MFN, AB=FM. ∴.△ABE≌△FMN(ASA). B ∠ABE=∠FMN, (2).AB=8,AE=6,∴.BE=10.△ABE≌ 证明：∠CHD=∠CFD=∠AED= △FMN,∴.MN=BE=10..∠BOM=∠BAE, ∠CDE,.CH=CD 85 以壹学知道 中考数学压轴题得高分● (3)矩形中的弦图构造： 得x2+(任-2x)=1-x),解得x=FPC 在矩形ABCD中，E、F分别是AB、BC 上的点，且AF⊥DE,则 AF AB DE AD 的长为号 证明：由题意得：△ABF∽△DAE, AF AB DE AD' ®引例3(2023·扬州)如图，已知正方形 ABCD的边长为1，点E、F分别在边AD、BC 》真题演练 上，将正方形沿着EF翻折，点B恰好落在边 1.(2021·绵阳)如图，在边长为3的正方形 CD上的点B'处，如果四边形ABFE与四边形 ABCD中，∠CDE=30°，DE⊥CF,则BF EFCD的面积比为3：5，那么线段FC的长为 的长是 () D B B A.1 B.2 C.3 D.2 2.(2022·山西)如图，在正方形ABCD中，点 C解析如图，连接BB',则BB'⊥EF,过点F E是边BC上的一点，点F在边CD的延长 作FH⊥AD交AD于点H,则△BCB'≌ 线上，且BE=DF,连接EF交边AD于点 △FHE.设CF=x,则BF=1一x.,四边形 G.过点A作AN⊥EF,垂足为点M,交边 ABFE与四边形EFCD的面积比为3：5，∴.四 CD于点N.若BE=5,CN=8,则线段AN 边形ABFE的面积是名即AE+·AB 的长为 2 代人得AE=是-1-)=- EH= AH-AE=1-x-(-）--2BC= 5 EH= -2x.由题意得CF2十B'C=B'F”,代人 86M ●)第3章 几何模型 3.(2021·黔西南)如图，在正方形ABCD中， ②PM十PN的最小值为3√2： E、F分别是AB、BC的中点，CE、DF交于 ③CF2=GE·AE; 点G,连接AG.下列结论：①CE=DF: ④SAADM=6√2. ②CE⊥DF:③∠AGE=∠CDF.其中正确 其中正确的是 的结论是 () G B F A.①② B.②③④ A.①② B.①③ C.①③④ D.①③ C.②③ D.①②③ 6.(2020·乐山)如图，E是矩形ABCD的边 4.(2023·绥化)如图，在正方形ABCD中，E CB上的一点，AF⊥DE于点F,AB=3, 为边CD的中点，连接AE,过点B作BF⊥ AD=2,CE=1.求DF的长度 AE于点F,连接BD交AE于点G,FH平 分∠BFG交BD于点H.则下列结论中，正 确的个数为 ①AB2=BF·AE ②S△Bf：S△BF=2:3 ③当AB=a时，BD2-BD·HD=a D H E B A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 5.(2023·东营)如图，正方形ABCD的边长为 4,点E、F分别在边DC、BC上，且BF CE,AE平分∠CAD,连接DF,分别交AE、 AC于点G、M.P是线段AG上的一个动点， 过点P作PN⊥AC,垂足为N,连接PM.有 下列四个结论： ①AE垂直平分DM: 87 ☑壹学知道中考数学压轴题得高分m 7.(2021·德州)如图，点E、F分别在正方形 8.(2020·绥化)如图，在正方形ABCD中， ABCD的边AB、AD上，且AE=DF,点G、 AB=4,点G在边BC上，连接AG,作DE⊥ H分别在边AB、BC上，且FG⊥EH,垂足 AG于点E,BF⊥AG于点F,连接BE,DF, 为P BG=k. 设∠EDF=a,∠EBF=B,B (1)求证：FG=EH: (2)若正方形ABCD的边长为5，AE=2, (1)求证：AE=BF: tan∠AGF-子，求PF的长度 (2)求证：tana-k·tan3; (3)若点G从点B沿BC边运动至点C停 G 止，求点E、F所经过的路径与边AB围 成的图形的面积， D D 88 第3章 几何模型 9.(2023·菏泽)(1)如图1，在矩形ABCD中，10.(2021·淄博)已知：在正方形ABCD的边 点E、F分别在边DC,BC上，AE⊥DF,垂 BC上任取一点F,连接AF,一条与AF垂 足为点G.求证：△ADEc△DCF; 直的直线L(垂足为点P)沿AF方向，从点 【问题解决】 A开始向下平移，交边AB于点E (2)如图2，在正方形ABCD中，点E、F分别 (1)当直线I经过正方形ABCD的顶点D 在边DC、BC上，AE=DF,延长BC到 时，如图1所示求证：AE=BF: 点H,使CH=DE,连接DH.求证： (2)当直线L经过AF的中点时，与对角线 ∠ADF=∠H: BD交于点Q,连接FQ,如图2所示.求 【类比迁移】 ∠AFQ的度数： (3)如图3，在菱形ABCD中，点E、F分别在 (3)直线！继续向下平移，当点P恰好落在 边DC、BC上，AE=DF=11,DE=8, 对角线BD上时，交边CD于点G,如图 ∠AED=60°，求CF的长 3所示.设AB=2,BF=x,DG=y,求y 0 4 与x之间的关系式. B F H 图1 图2 图1 图2 图3 图3 89FG上取点M使得∠EMB=∠EFA=∠AEB,可得△AFE∽ 点Q的坐标为（号号）3一5 △BMB小部-部在PG的延长线上取点N使得∠N P--2x-1y 一2+1 DE EF AE ∠DEC=∠EFD,可得△DFEn△ENC,E-NCEB ECB-NC六BM=CN.'∠AEB+∠DEC=18O, DE EFEF ·∠EMB+∠N=180°，·∠BMG=∠N,又∠BGM= ∠CGV,'.△BMG≌△CNG,.BG=CG 图4 图5 13.解析：(1).∠AHE=∠ECF.:AB=BC,BH=BE, ,AH=EC.,∠5+∠AEB=90°，∠6十∠AEB=90°，.∠5 ∠5=∠6， ∠6.在△AHE和△ECF中，{AH=EC, .△AHEa 图1 图2 ∠AHE=∠ECF, 12.解析：(1)①B②如图1，可得点P的坐标为（一2,0）. △ECF(ASA),∴.AE=EF.(2)如图1，在AB上取点H使得 BH=BE,则∠AHE=135°=∠ECF,又∠EAH=∠FEC, △MHn△BCF,器-设-号--1部的值为 k-1. 图1 (2)当m≥0时，如图2，构造△QET2△TFQ',点Q的坐标为 (m-2m+1).ET=FQ'=m:EQ=FT=m-(-2m+1)= 3m一1，由器意得1长3m一1长2，号<m<1.当<0时，如图 G 图1 图2 3.构造△QET≌△TOQ',点Q的坐标为(m·-2m十1).OQ' ET=-2m+1一(-m)=-m+1,.1≤-m+1≤2，解得： 3)由(2)可得，当k二3时，5=2，记BE=EC=a,则AB 2 -1≤m≤0，综上，m的取值范国是了≤m≤1或-1≤m≤0. 3a.如图2，延长AP,EF交于点Q,过点Q作QM⊥BC于点M. --2x+1↑ 41 ∠PAE=45,∴△AEQ是等腰直角三角形，可得△ABE☑ y--2x+1 △EMQ,∴.MQ=BE=a,EM=AB=3a,∴.CM=2a,,BC= CM.AP-PQ.AE-EQ-2EF..EF-FQ-7EQ. O'N O PF是△AEQ的中位线，.AE=2PF=25,AE= √AB+BE=√10a../10a=25..a=√2.∴.BC=22. 第2节弦图的构造 图2 图3 1.C解析：由题意得△DCE≌△CBF..BF=CE=√3. (3)由题意得，点Q与点E互相关联，如图4，一2m十1一(2十 2.4√34解析：设正方形ABCD边长为x,:BE=5,∴.CE m)=4:解得m=一号点Q的坐标为（一子，号）：如图5m x一5，CV=8,∴.DN=x-8.如图，过点G作GH⊥BC交BC 2+4=一（一2m十1），解得m=3,点Q的坐标为(3，一5).综上，于点H,:AN⊥EF,可得△ADN2△GHE,∴.EH=DN= 中考数学压轴题得高分 ·20· x-8,.DG=CH=(x一5)一(x-8)=3.由题意得△FDG∽9.解析：(1)易证∠DAE=∠CDF,又∠ADE=∠DCF. △CE积-伦代人得是一二解得r-20 5 3 .△ADE∽△DCF,(2)易证△ADE2△DCF,.DE=CF, .CF=CH,DC⊥FH,.DF=DH,.∠DFC=∠H.AD∥ AN=AD+DN=20+12=4√34，即AV的长为BC,∠ADF=∠DFC,∴∠ADF=∠H.(3)CF=3. 4√34. 10.解析：(1)：AF⊥DE,∴∠ADE+∠DAF=90. ∠BAF+∠DAF=90°.∴.∠ADE=∠BAF,又：∠DAE= ∠ABF,DA=AB,.△DAE2△ABF(ASA),,AE=BF. (2)如图1，连接AQ,过点Q作MN⊥AD交AD于点M,交BC 于点N,则MN⊥BC.在正方形ABCD中，∠ADB=45°， ∠MQD=45,MD=MQ,.AM-QN,PQ垂直平分 AF.∴.QA=QF.又∠AMQ=90°=∠QNF..△AMQ≌ 3.D △QNF(HL),∴∠MAQ=∠NQF.∠MAQ+∠AQM=90, 4.D解析：正确的是①@③，.选D. .∠NQF+∠AQM=90°，∴.∠AQF=90°，∴.△AQF是等腰直 5.D解析：正确的是①③，∴选D 角三角形..∠AFQ=45°. 6.解析：：∠CDE+∠ADF=90,∠DAF+∠ADF=90°， D .∠CDE=∠FAD,义∠C=∠AFD=90,△AFDo △E8器-2：0=3.cE=1.0E=个+9 而代人吧- .DF=10 5 图1 图2 7.解析：(1)AE=DF,AB=AD,.AB一AE=AD一DF,即 BE=AF.∠BEH+∠BHE=9O,∠BEH+∠AGF=90, aD∥B路-营AB/CD既-路 .∠AGF=∠BHE.又：∠A=∠B=90°，，△AFG≌△BEH 乞如图2，过点E作EH⊥CD于点H,则△ABF≌△EHG (AAS.∴FG=EH.(2) 17 GH=BF=x,,DG十BE=DG十CH=2-x,.BE= 8.解折：(ID易证△DEA2△AFB,∴AE=BF.（2):BF Af = C1=2y,代人得2-专：整理得y 4-2.x y 正+2y 胎C-m-正·mp-能·证-需E 与x的关系式为y=仁2 x+2 ana,即tana=k·tan3,(3)由题意可得点E的轨迹是以AD 第3节相似模型 中点为圆心，AD为直径的圆弧，点F的轨迹是以AB中点为圆 心，AB为直径的圆弧，如图1.与AB边围成的图形面积等于 1A解折DE/C能-治-号 △A0B的面积（点0为对角线交点，如图2：AB=4,2.是 BE AF 3 解析：C一FD2 1 S△Mm-立X4X2=4即点E,F所经过的路径与边AB围 3C解折S=×号×44= 成的图形的面积为4， 5 解折品-景器-品号…世受 2 5.6 解析：如图，过点C作CH⊥AB交AB于点H,交FG 于点M,设EF=a,则FM=号DE=EF=3a,:CF=4, 图 BF=3心-=子CM=a,CF=5a=4,a 中考数学压轴题得高分 ·21·