第3章 第1节 三垂直模型-中考数学压轴题得高分

第3章 几何模型 第3章 九几何模型 》》》》 第1节 三垂直模型 前言：作为最经典的几何模型之一，三垂直模型本身并不复杂，更多地是作为一种方法来解决 其他问题，了解模型首先需了解其构成条件与应用，这会帮助我们更准确地把握模型. 如图1，有△ADCC∽△CEB. 》知识导航 特别地，若C为DE的中点，如图2，则 △ADC∽△CEBD△ACB. 形1.模型认识 (2)如果没有直角？ △ABC是等腰直角三角形，一条直线过 直角的作用在于它们都相等，将直角换成 点C,分别过A、B向该直线作垂线，垂足分 其他等角，即为“一线三等角”模型. 别为D、E.则△ADC≌△CEB. B ®引例1(2022·海南)如图，点A(0,3)、 B B(1,0),将线段AB平移得到线段DC,若 E ∠ABC=90°，BC=2AB,则点D的坐标是 [∠D=∠E, 证明： ∠DAC=∠ECB,∴.△ADC≌ AC=CB, △CEB(AAS). 辅助线：等腰、直角→作垂直 (1)如果没有等腰？ 作垂线，可得三垂直相似， B A.(7,2) B.(7,5) C.(5,6) D.(6,5) B C解析如图，过点D作DH⊥y轴交y轴于点 D C H.则△DHAO△A0B小A8B8-2. 图1 图2 .DH=2AO=6,AH=2OB=2,∴.点D的坐标 75 么壹学知道中考数学压轴题得高分◆ 为(6,5). B OB D解析如图，分别过A、B作x轴的垂线，垂 ®引例2(2018·遵义)如图，在菱形ABCD 足分别为C、D,则△ACO2△ODB,∴.AC= 中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落 在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折 OD.0OC=BD.设点B的坐标为(m,动)则点 痕为EF,若DG=2,BG=6,则BE的长为 A的坐标为（一mm小心经过点A的函数图像 表达式为y=一 C解析如图，由题意可得∠FDG=∠FGE ∠GBE=60,△FGDn△GEB,EB DG C△DsG_8+2=5 C△E 8+6=分DG=2,BE= 令引例4(2019·盐城)如图，在平面直角坐 BE的长为兰 标系中，一次函数y=2x一1的图像分别交 x轴、y轴于点A、B,将直线AB绕点B顺时针 D 旋转45°，交x轴于点C,则直线BC的函数表 达式是 ≥2.模型构造 0 B 在什么条件下考虑构造三垂直？ 无论是全等还是相似，首先要存在直角 C解析如图，过点A作AD⊥AB交BC于点 三角形 D,过点D作DE⊥x轴交x轴于点E,则 ®引例3(2022·东常)如图，△OAB是等腰 △AOB≌△DEA,由题意得A(2,0）,B(0. 直角三角形，直角顶点与坐标原点重合，若点B 1 1.DE-OA-T.AE-0B-1.D 在反比例函数y=二(x>0)的图像上，则经过 点A的函数图像表达式为 的坐标为（房，一“直线BC的函数表达式 76 第3章) 几何模型 为y= 3x1. PN-PN- 13 3,心m=MN=3+ 23_53 33 见引例5(2022·苏州)如图，点A的坐标为 B (0,2),点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB 图2 绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC.若点 C的坐标为(m,3),则m的值为 () 观察发现 当遇到等腰直角三角形或直角三角形 时，可构造三垂直全等或相似，当图形中存在 特殊角时，可构造包含特殊角的直角三角形， 再构造三垂直模型. A. 3 B2v②T 3 C.5/3 D.4v② ≥3.模型应用 3 3 引例61(2023·新叠)【建立模型】(1)如图 法1：如图1，取AC的中点M,过点M作 1,点B是线段CD上的一点，AC⊥BC,AB⊥ PQ⊥x轴交x轴于点Q,过点C作PQ的垂 BE,ED⊥BD,垂足分别为C、B、D,AB=BE. 线，垂足为P,则△CPM∽△MQB,∴.0 求证：△ACB≌△BDE: 【类比迁移】(2)如图2，一次函数y=3x十 3的图像与y轴交于点A、与x轴交于点B,将 线段AB绕点B逆时针旋转90°得到BC,直线 2Cp=53 AC交x轴于点D. 3. ①求点C的坐标； ②求直线AC的函数表达式； 【拓展延伸】(3)如图3，抛物线y=x2 3.x一4与x轴交于A、B两点（点A在点B的 左侧)，与y轴交于点C,已知点Q(0,一1)，连 接BQ,抛物线上是否存在点M,使得 图1 法2：如图2，作射线AP,使得∠OAP= an∠MBQ-=了，若存在，求出点M的横坐标。 60°，且AP=OA,连接CP,过点P作NM⊥y 轴于点M,过点C作MN的垂线，垂足为V,则 △AOB≌△APC,AM=1,MP=3,CN=2, 由△AMPO△PNC.得-C.代人得 图1 图2 77 ☑壹学知道中考数学压轴题得高分◆ 点H,则△BOQ∽△QHP,P日=Q站= BQ-3PH=1 PQ 1 QH=号“点P的坐标 为行一》，可得直线PB的函数表达式为 图3 备用图 解析(1)，AC⊥BC,.∠ACB=90°， y= 行-4.联立方程7一4)=-3x ∴.∠A+∠ABC=90°.，AB⊥BE, .∠ABE=90°，.∠DBE+∠ABC=90, 4,解得x=一工：=4（舍）点M的横坐 ∴.∠A=∠DBE.在△ACB和△BDE中， 4 ∠ACB=∠BDE, 标为一 ∠A=∠EBD,∴.△ACB≌△BDE(AAS). 当点M在BQ上方时，如图3，同理可得点 AB=BE, 4 (2)①如图1，过点C作CH⊥BD交BD M的横坐标为一13 于点H,由1)得△AOB≌△BHC,由题意得点 综上，点M的横坐标为-音或-普 B的坐标为（一1,0），点A的坐标为(0,3)， ∴.BH=AO=3,CH=BO=1,.点C的坐标 为(-4,1). ②设直线AC的函数表达式为y=kx十b, PH 4k十b=1, 将（一4,1）、(0,3)代入，得 解得 b=3, 2'直线AC的函数表达式为y 2x+3 b=3, 图2 图3 密技巧总结 在构造等腰直角三角形时，优先考虑以 已知点作为直角顶点，便于计算， D H BO 图1 ≥4.模型变式 (3)令y=0,即x2一3x-4=0,解得 ®引例7（婆罗摩笈多模型）如图，分别以 x1=-1,x2=4,.OB=4. 当点M在BQ下方时，如图2，过点Q作 AB、AC为边向△ABC外侧作正方形ABDE、 正方形ACFG.过点A作AH⊥BC交BC于点 PQ⊥BQ且PQ=3BQ,延长BP与抛物线的 H,AH的反向延长线与EG交于点P, 交点即为点M过点P作PH⊥y轴交y轴于 求证：P是EG的中点. 78 第3章 几何模型 (1)求证：∠BAE=∠CEF: (2)求∠ECF的度数： (3)当CG的长最大时，直接写出CF的长 D H 证明：如图，过点E作EM⊥AP交AP的 延长线于点M,过点G作GN⊥AP交AP于 点N.:∠ABH+∠BAH=90°，∠EAM+ C解析(1)在正方形ABCD中，∠B=90°， ∠BAH=90°，∴.∠ABH=∠EAM. .∠BAE+∠AEB=90.·∠AEF=90°， 在△BHA和△AME中， ∴.∠AEB+∠CEF=90°，∴.∠BAE+ I∠BHA=∠AME, ∠AEB=∠AEB+∠CEF,.∠BAE=∠CEF. ∠ABH=∠EAM, (2)如图，过点F作FH⊥BC交BC的延 BA=AE, 长线于点H.在△ABE和△EHF中， ∴.△BHA≌△AME(AAS),.AH=EM. (∠ABE=∠EHF, 同理可证：△CHA≌△ANG,.AH=GN, ∠BAE=∠HEF,∴.△ABE≌△EHF ∴.EM=GN. AE=EF, ,EM⊥AM,GN⊥AM,.EM∥GN, (AAS),∴.BE=HF,AB=EH.又AB=BC, ∴.∠MEP=∠NGP .BC=EH,∴.BE=CH,.FH=CH.又 在△PME和△PNG中， ∠H=90°，.∠FCH=45°，.∠ECF=135. I∠PEM=∠PGN, D EM-GN, ∠PME=∠PNG, .△PME≌△PNG(ASA),∴.PE=PG P是EG的中点. (3)CF=2√2.设BE=x,则EC=4-x.由 G D 题意得△ABE△ECG,:A5-BE BCCG,代人得 4-xCG…CG=x2+4 4 .当x=2时，CG 4 取到最大值，此时BE=2,CF=2FH= 。5.模型拓展 2BE=22. ®引例8(2022·阿坝)如图，正方形ABCD 引例91(2021·牡丹江)如图1，四边形 的边长为4，E是边BC上的点，将EA绕点E ABCD是正方形，E是边BC的中点，∠AEF= 顺时针旋转90得EF,交CD于点G,连接CF. 90°，且EF交正方形外角的平分线CF于点F, 79 ☑壹学知道中考数学压轴题得高分◆ 过点F作FG⊥BC于点G,连接AC.易证： ∠BEM=45,.∠AME=135°，.∠AME= AC=2(EC+FG).(提示：取AB的中，点M, ∠ECF.,BM=BE,∴.AM=EC.∠BAE+ 连接EM)】 ∠AEB=90°，∠CEF+∠AEB=90°， (1)当E是边BC上任意一点时，如图2： .∠BAE=∠CEF,∴.△AME≌△ECF 当点E在BC延长线上时，如图3.请直接写 (ASA),.AE EF,ME CF,.BE 出AC,EC、FG的数量关系，并对图2进行 证明： MECF-FG.G+ (2)已知正方形ABCD的面积是27，连接 BC..AC=√2BC,∴.AC=√2(EC+FG). AF,当△ABE中有一个内角为30°时，则AF 的长为 D B E C (2).S=AB=27,.AB=33. E 图1 若∠BAE=30,则BE-AB=3,AE 6,∴.AF=√2AE=62: 若∠AEB=30°，则AE=2AB=6√5， ∴.AF=√2AE=66. 综上，AF的长为62或66 图2 密归纳总结 以上两个例题虽然图形很相似，但解法 A 完全不同，对你有什么启发？注重归纳图形 中不同条件的用法，有助于快速筛选出正确 方法. B C E 图3 C解析(1)当E在边BC上时，AC=√2(EC+ FG):当点E在BC延长线上时，AC=√2(FG 沙》真题演练 EC). 1.(2022·贺州)如图，在平面直角坐标系中， 如图，在AB上取点M使得BM=BE,则 △OAB为等腰三角形，OA=AB=5,点B △BME是等腰直角三角形，.∠BME= 到x轴的距离为4，若将△OAB绕点O逆时 80☑ 第3章) 几何模型 针旋转90°，得到△OA'B',则点B'的坐标为 A的坐标为(m,2).连接OA、COB、AB.若OA= AB,∠OAB=90°，则k的值为 B 2.(2023·北京)如图，点A、B、C在同一条直 线上，点B在点A、C之间，点D、E在直线 5.(2020南京)将一次函数y=-2x十4的图 AC同侧，AB<BC,∠A=∠C=90°， 像绕原点O逆时针旋转90°，所得到的图像 △EAB2△BCD,连接DE.设AB=a, 对应的函数表达式是 BC=b,DE=c,给出下面三个结论：①a十 6.(2019·无锡)如图，在△ABC中，AB= b<c:②a+b>√a2+b:③W2(a+b)>c.上 AC=5,BC=45,D为边AB上一动点(B 述结论中，所有正确结论的序号是() 点除外)，以CD为一边作正方形CDEF,连 接BE,则△BDE面积的最大值为 Aa B A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 3.(2022·枣庄)如图，正方形ABCD的边长为 7.(2021广州)在平而直角坐标系xOy中，矩 5,点A的坐标为(4,0)，点B在y轴上，若反 形OABC的点A在函数y=1(c>0)的图 比例函数y=华(k≠0)的图像过点C,则 x 像上，点C在函数y=一4(x<O)的图像上， 的值为 若点B的横坐标为一弓，则点A的坐标为 A(22) c(2 A.4 B.-4 D2, C.-3 D.3 8.(2021·乐山)如图，已知点A(4,3),B为直 4.(2023·咸海)如图，在平面直角坐标系中，点 线y=-2上的一动点，点C(0,n),一2< A,B在反比例函数y=(x>0)的图像上.点 n<3,AC⊥BC于点C,连接AB,若直线AB 与x正半轴所夹的锐角为a,那么当sina的 81 ☑壹学知道中考数学压轴题得高分◆ 值最大时，n的值为 ∠AB+∠DBC-18o,且器-S.过E 作EF交AD于点F,若∠EFA=∠AEB, 延长FE交BC于点G.求证：BG=CG B B -2B 9.(2023·丽水)如图，在四边形ABCD中， AD∥BC,∠C=45°，以AB为腰作等腰直角 E △BAE,顶点E恰好落在CD边上，若 AD=1,则CE的长是 D 图1 图2 A.√2 及② 2 C.2 D.1 10.(2022·绵阳)如图，四边形ABCD中， 图3 ∠ADC=90°，AC⊥BC,∠ABC=45°，AC 与BD交于点E,若AB=210,CD=2,则 △ABE的面积为 D 12.(2021·常州)在平面直角坐标系xOy中， 对于A、A'两点，若在y轴上存在点T,使 11.(2020·宿迁)【感知】如图1，在四边形 得∠ATA'=90°，且TA=TA',则称A、A ABCD中，∠C=∠D=90°，点E在边CD 两点互相关联，把其中一个点叫作另一个点 AE DE 上，∠AEB=90,求证：EB一CB' 的关联点.已知点M(-2,0)、N(一1,0)，点 【探究】如图2，在四边形ABCD中，∠C= Q(m,n)在一次函数y=-2x+1的图 ∠ADC=90°，点E在边CD上，点F在边 像上. AD的延长线上，∠FEG=∠AEB=90°，且 (1)①如图，在点B(2,0)、C(0,-1)、 EC-EB,连接BG交CD于点H. EF AE D(一2，一2)中，点M的关联点是 (填“B”“C”或“D”): 求证：BH=GH; ②若在线段MN上存在点P(1,1)的关 【拓展】如图3，点E在四边形ABCD内， 联点P',则点P的坐标是 82☑ 第3章) 几何模型 (2)若在线段MN上存在点Q的关联点 .∠AHE=180°-∠1=135. Q',求实数m的取值范围： CF平分∠DCG,∠DCG=90°， (3)分别以点E(4,2)、Q为圆心，1为半径 1 作⊙E,⊙Q.若对⊙E上的任意一点G, ÷∠3=2∠DCG=45 在⊙Q上总存在点G',使得G、G‘两点 .∠ECF=∠3+∠4=135°. 互相关联，请直接写出点Q的坐标。 … y--2r+1 H B 264 G 【类比探究】 备用图 (2)如图2，当k≠2时， E示的值（用含k 的式子表示)： 【拓展运用】 (3)如图3，当k=3时，P为边CD上一点， 连接AP、PE、PF,∠PAE=45°，PF= 5,求BC的长. B.(202·桌相)E形ABCD中，-> 1),点E是边BC的中点，连接AE,过点E 作AE的垂线EF,与矩形的外角平分线CF B 交于点F. 图1 图2 【特例证明】 (1)如图1，当k=2时，求证：AE=EF;小 明不完整的证明过程如下，请你帮他补 充完整： 证明：如图，在BA上截取BH=BE, 连接EH. 图3 k=2, ..AB=BC. :∠B=90°，BH=BE, .∠1=∠2=45°， 83(3)当点E在线段AB上时，如图2.由题意可证得△CDBC∽8.解析：(1)按小颖的思路：如图1，在DB上截取DM=DA,则 △CEA,-A=,CE=5,BC=2.BE=1,∴AE= △ADM是等边三角形，∴.∠BAM=60°一∠CAM=∠CAD,在 AB=AC. 3,“BD二33当点E在AB的延长线上时，如图3可得 △AMB和△ADC中，{∠BAM=∠CAD,.△AMB2△ADC 5 AM=AD. 四边形BCDE是矩形，，BD=CE=√5，综上所述，BD的长为 SAS),..MB=DC...BD=DM+BM=AD+CD. 3或5。 0 图2 图3 图1 图2 5.解桥：DAC2DE(2)BC=2V73)3 3 按小军的思路：如图2，延长CD至点N使得DN=DA,同理可 6解：折P-5,ADLCE。(2)成立.由题意可得△BDA i证△ABD≌△ACN,∴.BD=CN.又CN=CD+DN=CD+ CE DA,.BD=AD+CD.(2)【探究1】如图3，在BD上取点E △BEC.AP-BA-5,∠BCE=∠BAD=30·∠ECA 使得BE=CD.,AB=AC,∠ABE=∠ACD,,∴.△ABE☑ △ACD,∴.△ADE是等腰直角三角形，，BD=BE十DE= 90,.AD⊥CE.(3)DF=BE,可得△DBE≌△EFD, .EF=BD=25.∠DEF=∠EDB=30.∴.∠BEF=90°， CD+2AD. .四边形BEFD为矩形，∠BAD=90°一a,CE=√5，，AB 3w5,∴.AD=15..∠CAF=90°-a-30=60-a,.tan(60° w-得-9 ,即tan(60°-a)的 值为85-93 11 图3 7.解析：(1)等腰直角三角形：2(2)①成立.由题意得 【探究2】BD=3CD+2AD(3)b·BD=A·AD+c·CD ∠B'AB=a·则∠B'AD=a-90°，AB=AB=AD, 第3章几何模型 .∠ABB'=∠AB'B,∠ADB'=∠ABD..∠EB'D= ∠ABD-∠AB'B=180-a-902-180,e=45,又 第1节三垂直模型 2 2 1.(-4,8) ∠B'ED=90,∴△DEB是等腰直角三角形.连接BD,易证2.D解析：a十b=AB+BC=AC<ED=c,结论①正确： C△BDB∴那-B胎2.②如图，比值为1或3。Q+6=AB+AE>BE=√a牛，“结论②正确：a+ B 2DE② AB+AE>BE-DE 2(a十b)>c…结论③正确。 综上，所有正确结论的序号是①②③. 3.C解析：过点C作CH⊥y轴交y轴于点H,则△AOB☑ (月 D △BHC,.CH=OB=3,BH=AO=4,.点C的坐标为（一3， 1),.k=-3. 4.一2十25解析：过点A作x轴的垂线，垂足为C,过点B 作AC的垂线，垂足为D,则△AOC2△BAD,∴AC=BD=2, AD=OC=m∴点B的坐标为(m十2,2-m),∴2m=(m十 中考数学压轴题得高分 ·18· 2)(2-m),解得m=一1计5.m:=一1一5（含）k=2m=时，BN取到最小值，即ime的值最大∴n的值为2 2×(-1+√5)=-2+2w5 5.y=2工十2解析：如图，取原函数图像与坐标轴的两个交 点旋转，可得旋转后的函数表达式是y= 2x+2 9.A解析：如图，延长CD至点P,连接AP,使得∠DPA= 45°，则△PAE∽△CEB,AD∥BC,.∠PDA=∠C=45°， PAD-AD-AP-CE- y--2+4 即CE的长是2 6.8解析：如图，分别过C,E作BA的垂线，垂足分别为V、 M,由题意得△DNC≌△EMD,由sim∠ABC二C后，得 D CV=4,BN=8.设BD=r,则EM=DN=8-x,S△DE= ·(8-)=-子+红，当x=4时.Sm取到最大值8 1 1.9 解析：如图，过点B作DC的垂线交DC的延长线于点 F,则△ADC≌△CFB.过点C作CG∥AD交BD于点G,则 CG∥BF.AB=210.∴.AC=BC=2W5.CD=2,.AD= 4,,BF=CD=2,CF=AD=4.,CG∥BF,.△DCG∽ 7,A解桥：设点A的坐标为口，)a>0),点B的横坐标 △DFB=--言i6G=脉=景：CG∥AD, 为-子，分别过A,C作：轴的垂线，垂足分别为N,M,则 …() △ECGn△EAD.÷g-G= 1 ··S4t △ANO∽△OMC,:Samm=2,SaAm=7 6 曾，即△ABE的面积为9 a oM=是a-(-） 0-(-名)解得u=专或a=一4（合∴点A的坐标为（分2） 11.解析：【感知】，∠DAE十∠AED=90°，∠CEB十∠AED= 90,∴∠DAE=∠CEB,又∠D=∠C,.△ADE△ECB, 带器 【探究】如图1，过点G作GM LDC交DC于点 8专解析：如图，过点A分别作y辅x轴的垂线，垂足分别 M:由得△ADE△ECB,÷铝-需同理可得：△FDE☑ 记为M、N,记直线y=一2与y轴的交点为H,则△AMC △CHB,小出-品代人得，2-那B 3一 △BG器-0器-崇-需cB-GM 1 :BC⊥CD.GM⊥CD,·.∠C=∠GMH,又∠BHC= 十m6:BN=4-十n中-”中0当 4 4 4 ∠GHM,,.△BCH2△GMH,.BH=GH.【拓展】如图2，在 中考数学压轴题得高分 ·19· FG上取点M使得∠EMB=∠EFA=∠AEB,可得△AFE∽ 点Q的坐标为（号号）3一5 △BMB小部-部在PG的延长线上取点N使得∠N P--2x-1y 一2+1 DE EF AE ∠DEC=∠EFD,可得△DFEn△ENC,E-NCEB ECB-NC六BM=CN.'∠AEB+∠DEC=18O, DE EFEF ·∠EMB+∠N=180°，·∠BMG=∠N,又∠BGM= ∠CGV,'.△BMG≌△CNG,.BG=CG 图4 图5 13.解析：(1).∠AHE=∠ECF.:AB=BC,BH=BE, ,AH=EC.,∠5+∠AEB=90°，∠6十∠AEB=90°，.∠5 ∠5=∠6， ∠6.在△AHE和△ECF中，{AH=EC, .△AHEa 图1 图2 ∠AHE=∠ECF, 12.解析：(1)①B②如图1，可得点P的坐标为（一2,0）. △ECF(ASA),∴.AE=EF.(2)如图1，在AB上取点H使得 BH=BE,则∠AHE=135°=∠ECF,又∠EAH=∠FEC, △MHn△BCF,器-设-号--1部的值为 k-1. 图1 (2)当m≥0时，如图2，构造△QET2△TFQ',点Q的坐标为 (m-2m+1).ET=FQ'=m:EQ=FT=m-(-2m+1)= 3m一1，由器意得1长3m一1长2，号<m<1.当<0时，如图 G 图1 图2 3.构造△QET≌△TOQ',点Q的坐标为(m·-2m十1).OQ' ET=-2m+1一(-m)=-m+1,.1≤-m+1≤2，解得： 3)由(2)可得，当k二3时，5=2，记BE=EC=a,则AB 2 -1≤m≤0，综上，m的取值范国是了≤m≤1或-1≤m≤0. 3a.如图2，延长AP,EF交于点Q,过点Q作QM⊥BC于点M. --2x+1↑ 41 ∠PAE=45,∴△AEQ是等腰直角三角形，可得△ABE☑ y--2x+1 △EMQ,∴.MQ=BE=a,EM=AB=3a,∴.CM=2a,,BC= CM.AP-PQ.AE-EQ-2EF..EF-FQ-7EQ. O'N O PF是△AEQ的中位线，.AE=2PF=25,AE= √AB+BE=√10a../10a=25..a=√2.∴.BC=22. 第2节弦图的构造 图2 图3 1.C解析：由题意得△DCE≌△CBF..BF=CE=√3. (3)由题意得，点Q与点E互相关联，如图4，一2m十1一(2十 2.4√34解析：设正方形ABCD边长为x,:BE=5,∴.CE m)=4:解得m=一号点Q的坐标为（一子，号）：如图5m x一5，CV=8,∴.DN=x-8.如图，过点G作GH⊥BC交BC 2+4=一（一2m十1），解得m=3,点Q的坐标为(3，一5).综上，于点H,:AN⊥EF,可得△ADN2△GHE,∴.EH=DN= 中考数学压轴题得高分 ·20·