第2章 第2节 矩形的折叠-中考数学压轴题得高分

☑壹学知道中考数学压轴题得高分◆ 第2节 矩形的折叠 前言：涉及对称的问题，以矩形对称最多，变化形式多样.比如，可以按对角线折叠，对称点可以 落在矩形边上，可以落在矩形内部，也可以落在矩形外部，无论如何变化，解题工具有：(1)勾股；(2) 全等相似：(3)三角函数.从条件出发，找到对称下隐藏的结论，往往是解题关键. 引例2(2019·天水)如图，在矩形ABCD 》知识导航 中，AB-3,AD=5,点E在DC上，将矩形 1.沿对角线折叠 ABCD沿AE折叠，点D恰好落在边BC上的 点F处，那么sin∠EFC的值为 当矩形沿对角线折叠时，图中有全等，注 意运用对应边相等。 引例1如图，四边形ABCD是矩形纸片， 将△BCD沿BD折叠，得到△BED,BE交AD 于点F,AB=3.AF：FD=1；2,则AF= C解析根据对称可知AF=AD=5, 又AB=3,∴.BF=4, .FC=1,设CE=x, 则DE=3-x,EF=3-x, 1+=(3-x产.解得x=膏 C解析由题意可得△AFB≌△EFD,∴.BF CE=音EF- DF,设AF=x,则BF=DF=2x,又AB=3, ·sin∠EFC=4 5 故x2+3=(2x)2,解得x=3, AF=3. 23.落点在矩形内 根据落点位置的条件，确定可解的直角 三角形或可能存在的相似.勾股定理和相似三 角形，是解决问题的两种重要方法 ®引例3(2021·杭州)如图是一张矩形纸片 彦2.落点在矩形边上 ABCD,M是对角线AC的中点，点E在边BC 上，把△DCE沿直线DE折叠，使点C落在对 寻找两类图形：(1)三边可求的直角三角 角线AC上的点F处，连接DF、EF.若MF= 形：(2)三垂直相似. AB,则∠DAF 48 第2章 几何变换 cos∠ADF=15 17 D B C解析设∠DAF=a,则∠FDE=∠CDE= P A4-xF ∠DAF=a,连接DM,,MF=AB=CD= DF,∴.∠MDF=∠DMF=2a,∴.∠ADC 能5.多次折叠必有中点 a十2a十a十a=90°，∴.a=18°，.∠DAF=18° 当矩形两端均向中间折叠时，注意图中 彦4.落点在矩形外 的相等线段，可得中点 令引例5(2019·桂林)将矩形ABCD按如 当落点在矩形外时，从基本性质出发，寻 图所示的方式折叠，BE、EG、FG为折痕，若顶 找可能相等的边角，结合相似与勾股，解决 点A、C、D都落在点O处，且点B、O、G在同 问题 一条直线上，同时点E,O、F在另一条直线上， 引例4(2018·南宁)如图，矩形纸片ABCD, 则北的值为 () AB=4,BC=3,点P在边BC上，将△CDP沿 DP折叠，点C落在点E处，PE,DE分别交AB 于点O、F,且OP=OF,则cOs∠ADF的值为 ( 6 B.2 C.2 D.3 P ⊙解析由题意得△BAE≌△BOE,△EDG≌ B △EOG,△GCF≌△GOF, .E,G分别是AD、DC中点， 号 B号 c D. 由题意得△BAE∽△EDG, C解析根据OP=OF,则△OEF≌△OBP, 册福设AB=a,AD=6 b ∴.OE=OB,OE+OP=OB+OF,即 EP=BF, 则 b ，化简得6=2a, 设EP=BF=x,则AF=4-x, 22 CP=EP=x, 即2=2， a .EF=BP=3-x .DF=x+1. 把的值为巨 在Rt△ADF中，DF2=AD2+AF2, 代人得(x十1)2=32+(4-x)2, 解得x号：DF一号， 49 么壹学知道中考数学压轴题得高分> ≥6.动态中的折叠 兜引例6(2020·武汉)如图，折叠矩形纸片 ABCD,使点D落在边AB上的点M处，EF为 折痕，AB=1,AD=2.设AM的长为1，用含有t 的式子表示四边形CDEF的面积是 A.5 86 C.25 D.45 D 2.(2020·烟台)如图，在矩形ABCD中，点E 在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在 边BC上的点F处.若AB=3,BC=5,则 tan∠DAE的值为 () C解析连接DM,过点E作EH⊥BC于点H, D 由题意得：△DAM△EHF :AM-L,∴FH-2, B 设AE=x,则EM=ED=2-x, 由勾股定理得：x8十t2=(2一x)2, A号 B易 D. 解得x=1-行DE=1+ 3.(2023·大庆)在综合与实践课上，老师组织 同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活 1+ 动.有一张矩形纸片ABCD如图所示，点N 4 ∴.S= 十1+42 ·1= 2+1， 44 在边AD上，现将矩形折叠，折痕为BN,点 即四边形CDEF的面积是普+1. A的对应点记为M,若点M恰好落在边DC 上，则图中与△NDM一定相似的三角形是 D 4.(2020·甘孜)如图，有一张长方形纸片ABCD, AB=8cm,BC=10cm,E为CD上一点，将纸 片沿AE折叠，BC的对应边B'C√恰好经过点 》真题演练 D,则线段DE的长为 1.(2020·青岛)如图，将矩形ABCD折叠，使 点C和点A重合，折痕为EF,EF与AC交 于点O.若AE=5,BF=3,则AO的长为 50 第2章) 几何变换 5.(2022·大连)如图，对折矩形纸片ABCD,使 8.(2020·杭州)如图是一张矩形纸片，点E在 得AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展 边AB上，把△BCE沿直线CE翻折，使点B 平.再一次折叠纸片，使点A的对应点A'落 落在对角线AC上的点F处，连接DF.若点 在EF上，并使折痕经过点B,得到折痕 E、F、D在同一条直线上，AE=2,则DF= BM,连接MF,若MF⊥BM,AB=6cm,则 .BE= AD的长是 cm A D B B 9.(2022·连云港)如图，将矩形ABCD沿着 B (第5题) (第6题) GE、EC、GF翻折，使得点A、B、D恰好都落 6.(2020·潍坊)如图，矩形ABCD中，点G、E 在点O处，且点G、O、C在同一条直线上，同 分别在边BC、DC上，连接AG、EG、AE,将 时点E、O、F在另一条直线上，小炜同学得 △ABG和△ECG分别沿AG、EG折叠，使 出以下结论：DGF∥EC:②AB=4 5 AD: 点B、C恰好落在AE上的同一点，记为点 F.若CE=3,CG=4,则sin∠DAE ③GE=√6DF:④OC=2√2OF:⑤△COF∽ △CEG.其中正确的是 7.(2022·苏州)如图，在矩形ABCD中，二 号动点M从点A出发，沿边AD向点D匀 B 速运动，动点N从点B出发，沿边BC向点 A.①②③ B.①③④ C匀速运动，连接MN,动点M、N同时出 C.①④⑤ D.②③④ 发，点M运动的速度为1，点N运动的速度 10.(2022·金华)如图是一张矩形纸片ABCD, 为g,且1<2.当点N到达点C时，M、N E为AD的中点，点F在BC上，把该纸片 两点同时停止运动，在运动过程中，将四边形 沿EF折叠，点A、B的对应点分别为A'、 MABN沿MN翻折，得到四边形MA'B'N. B',A'E与BC相交于点G,B'A'的延长线 若在某一时刻，点B的对应点B'恰好与CD 过点C若号则 AB的值为 () 的中点重合，则的值为 B A.22 B. 4/10 20 8 C.1 D 3 51 公壹学知道中考数学压轴题得高分m◆ 11.(2023·黑龙江)如图，在平面直角坐标中， 14.(2021·青海)在我们数学教科书中，有一个 矩形ABCD的边AD=5,OA:OD=1: 数学活动，若身旁没有量角器或三角尺，又 4,将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所 需要作60°、30°、15°等大小的角，可以采用 示的位置，线段OD1恰好经过点B,点C落 如下方法： 在y轴的点C,位置，点E的坐标是() 操作感知： 第一步：对折矩形纸片ABCD,使AD与BC 重合，得到折痕EF,把纸片展开（如图1）. 第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF 上，并使折痕经过点B,得到折痕BM,同时 得到线段BN(如图2). 猜想论证： A.(1,2) B.(-1,2) (1)若延长MN交BC于点P,如图3所示， C.(5-1,2) D.(1-5,2) 试判断△BMP的形状，并证明你的 12.(2023·齐齐哈尔)在矩形纸片ABCD中， 结论： AB=3,BC=5,点M在边AD所在的直线 拓展探究： 上，且DM=1,将矩形纸片ABCD折叠，使 (2)在图3中，若AB=a,BC=b,当a、b满 点B与点M重合，折痕与AD,BC分别交 足什么关系时，才能在矩形纸片ABCD 于点E、F,则线段EF的长度为 中剪出符合(1)中结论的三角形纸 13.(2022·荆门)如图，已知矩形ABCD中， 片BMP? AB=8,BC=x(0<x<8),将△ACB沿 AC翻折到△ACE的位置，AE和CD交于 点F 图1 图2 (1)求证：△CEF≌△ADF: (2)求tan∠DAF的值（用含x的式子表示）. B 图3 52(4)当点P在边AB上时，若∠AA'D=∠B,则∠DAA'=∠B,r:=-5-1(舍)，.BE=5-1.综上，DF=2,BE=5-1. :∠ADP+∠DAA'=90',∠DAP+∠B=90'.·∠ADP=9.B ∠DAP,PA=PD,过点P作PM⊥AC交AC于点M,则I0.A解析：连接CE,则△CDE≌△CA'E,∴A'C=CD= AM=专AD=1AP=子AM=票：=当点P在边CAB=AE,即A是BC的中点，：AG/BE,G是CF的中 点.设BF=2a,则FG=CG=3a,B'F=BF=2a,AD=BC= 上时，过点D作DH⊥AA'交AA'于点H,则DH⊥AA', 、∠HAD+∠HDA=90,∠DP0+∠P=90,8aB'C=4EaAB=AB=22aB-2g02E. ∠DPC=∠DAA'=∠B,.AB∥DH,:D是AC中点，∴P 1L.D解析：由题意得OA=1,OD:=OD=4,设BC与y轴交 是C中点B即=号C=号1=5+是-号路上的值 于点P,则B即=1.△0BP△C,n,∴0-8器设 e13 AB=,则CD,=CD=AB=x,代入得-票”x>0,解得 x=2.:∠BEO=∠DOE=∠BOE,∴.BE=BO=V5,∴点E 的坐标为(1一√5,2). 解析：如图1，当点M在线段AD上时，连接 BM,作线段BM的垂直平分线与AD,BC的交点即为E,F,连 第2节矩形的折叠 接BE,则BE=EM,AD=5,DM=1,∴.AM=4,设AE=x, 1.C解析：易证AF=AE=5,又BF=3,,AB=4,BC=8. 则BE=EM=4一x,由题意得AE十AB=BE,代人得x+ .AC=45,.A0=25. 2.D解析：由题意可得△AED≌△AEF,.AF=AD=5, 3=(4-x)产，解得r=8,记EF与BM交于点O,可得 DE=DF,∴.BF=4.CF=I,设EF=x,则EC=3-r,在 △EOMe△FOB,∴BF=EM-空过点E作EN⊥BF交BF 5 R△EFC中，1+(3-t)=r之，解得r=3n∠DAE 于点N,则BN=AE=名dFN=BF-BN=至-名-2 88=4 DE 1 AD3 EF-VEN+FN一只：如图2，当点M在AD延长线上 3.△MCB 4.5cm解析：由题意得AB'=AB=8cm,AD=BC=10cm, 时，同理可求得EF-35综上，EF的长为或 2 .B'D=6cm,C'D=4cm,设DE=xcm,则CE=(8-x)cm, M D D M 由勾股定理得(8一x)十4炉=x,解得xr=5,.DE的长为 5 cm. 5.53 了 图1 图2 6.25解析：∠AGE=90,BG=CG=4,△ABG∽△GCE, 13.解析：(1)由题意得CE=CB=AD,∠E=90°=∠D,在 ycE-3.0G-4AB-专G-5DE-9-3-子又 [∠CFE=∠AFD, △CEF和△ADF中， ∠E=∠D, .△CEF2△ADF AD=8,∴AE=2 7 3∴sin∠DAE=25 CE-AD. (AAS).(2)设DF=a,则AF=CF=8-a,在Rt△ADF中， AD+DF=AF,代人得x2+a”=(8-a),解得a= 8.25-1解析：由题意得∠BEC=∠FEC,又∠BEC= -x2+64 ∠DCE,∴∠FEC=∠DCE.∴.DE=DC,设BE=r,则AB= -x2+64 8am∠DAF516三十6创 16x 2十x,DE=DC=AB=2十x·,∴.DF DE一EF=2.由射影定 理得EA=EF·ED,代人得2=x(x+2),解得x1=5-1, n∠DAF的直为法 中考数学压轴题得高分 ·13· 14.解析：(1)△BMP是等边三角形.证明如下：”∠NEB=B,则∠GAF=a+B=∠GFA,∴GF=GA=EA=25.∴CF= 90',BN=AB=2BE,.∠EBN=60',.∠ABM=∠NBM= CG-GF=6-25,∴.CF的长为6-25. ∠PBN=30°，∠BMN=∠BPM=∠MBP=60°，∴.△BMP是 等边三角形，(2)由题意得BC≥BP=BM=25 3 AB,即b 25 30, 第3节旋转的性质与手拉手模型 7.B解析：由题意得OD'=OD=2,延长D'A'过点C.则 1.75解桥：由题意得∠0AC'=∠0AC=∠BAC=25, ∠OCD'=∠DOA,.△OCD'∽△AOD,.CD'=4.OC= .∠OAO'=∠OAC'-∠O'AC'=75,即四边形ABOC旋转的 25,∴点C的坐标为(25,0). 角度是75. 解析：连接OB,OA',过点A作 2.80°解析：'∠ABE=55.六∠EBG=35,∠BEF= A'H⊥ON于点H,则OA'=OA=8, ∠BFE=45".∴.∠EGC=∠EBG+∠BEG=80°. ,OB=OB'=5,AB=A'B',.△AOB≌ 3.35-3解析：AB=6,∴.AC=AC=3,B'C'=BC= △AOB.Sv=5a4m,即专X8x3=号×5dd-4 5 35,∠CAC=15..∠CAE=45,C'E=C'A=3. .BE=B'C'-C'E=35-3. 93或5g 13 4.(-2,w6+1) 10.C解析：连接AE,CG、CF,AC,则△DEA≌△DGC, 5.号解析：法1（花转，和叙）莲接DD,则△ABB0 .AE=CG,又EF=DE,.d1+d:+d=EF+FC+AE≥ AC=22,∴最小值为22， △ADD',∠AD'D=∠AB'B=∠B=∠ADC=∠AD'C', 点D在Cp上那-把-是，：B服=1DD=子 4 CD=8-专-号易E△BCDn△CB. B'C9 DC CE-90,CE=BE=-,DE-3-0分号 1L.D解析：由题意得△ABD≌△ACE,∴BD=CE,.结论 号解得a-名CE-令CE的长为是 ①正确：，△ABD2△ACE,∴.∠ABD=∠ACE,∠ABD+ ∠BAC=∠ACE+∠BMC,.∠BMC=∠BAC=90°，.BD 法2（一线三等角，母子型）：如图，过点E作EP∥AB'交BC的 ⊥CE,,.结论②正确：当点E在BA延长线上时，如图1， 延长线于点P,则△ECP0△ABB',:.EC=C,:EC= AB-BBCP :AD=1,AB=3,∠ABD=30,.∠MCD=30.:CD= 最-3设CP=则PE=CE=8号证△AB△BPE,AC-AD-万-1C-停CD-≥结论@正确：期 AB ∴∠BAB=∠PB'E,∴.∠PEC=∠PB'E,.△PCE∽图2，当AE⊥MC时，MB最短，DB=EC=√AC-AE= △PEB',.PE=PC·PB',代入得(3x)=x·(x+3),解得√2，EM=DM=DA=1,∴.MB=2-1,MC=2+1, -是，=0（合CE-号 3 1 1 六5am-2×(2-D×(2+1)-之结论④正确，综上， 正确的结论有4个 D 6.6-25解析：设∠EAF=∠BAF=a·∠DAE=∠BAG= 图 图2 中考数学压轴题得高分 ·14▣