第2章 第1节 对称的性质-中考数学压轴题得高分

PE,BE中点，MN=2PB,MN∥PB.MN=2BE,达式为y=尽+b,联立方程2r2+23x+7=Bx+b,整理 MN⊥BE. 得宁+5x+7-6=03)-4×号×(1-b)=0.解得 2直线PQ的表达式为y=3r+ 2“点Q的坐标为 (g.BQ- 6SAWc9 Same -2x 1×号-号△CP面积的最小值是号 6 2 图2 QOB (3)如图3，取AB的中点T,连接TN、TQ,AF,则TN 合AE=3,TQ=号AF=3E点N的轨迹是以T为圆心，3为 第2章几何变换 第1节对称的性质 半径的圆，点Q的轨迹是以T为捌心，3√2为半径的圆，QN扫 1.B解析：：∠B=36,∠BAC=90,∠C=54°，：D是BC 过的面积S=x·(32)2一x·32=9x,即QN扫过的面积 的中点，∴.AD=CD,∴.∠DAC=∠C=54,:△ADF2 是9x △ADC,∴.∠DAF=∠DAC=54°，.∠EAF=18,又∠F= ∠C=54°，∴.∠AEF=108°，.∠BED=108. 2.4a+26解析：：∠B=80°，.∠BCD=100.,∠ACE 2∠ECD,∴.∠ACB=∠ACE=40°，∠DCE=20°，：∠D= ∠B=80°，.∠CFD=80,∴.CD=CF=a.:AD∥BC, ∠DAC=∠ACB=40..∠DAC=∠ACE.∴.AF=CF=a 图3 ,AD=a十b,.平行四边形ABCD的周长为2(a十a十b) 13.解析：【初步感知】(1)(1,3)(2)将P(2,1)绕点A逆时针 4a+2h. 旋转90可得点P,.点P:的坐标是(1,2)，.直线PP:的表 3.B解析：A'B=2EB..∠BA'E=30,∠A'BE=60°， 3 3 达式为y=之x+之心原一次函数的表达式为y=之+之 .∠ABM=∠A'BM=30°，EN=1,.BE=√E,BN= 【深入感悟】过点P作PN⊥x轴交x轴于点N,:∠MON= 45=∠POP',.∠PON=∠P'OM,又：∠PNO=∠P'MO. A'N=2,又BC=5.∴A'F=2.∠0A'F=30,OF=23 3 P0=P'0.÷△PNO≌△P'M0.iSam=Sap= 2 0D- 3 是△OMP'的面积是 1 2 解析：过点E作EH⊥BC交BC于点H,:∠ADB= 60,∠ADC=120,∠BDE=60,iDH=专DE=是， BH=5DH=号放点E到直线BD的距离为2 【灵活运用】将B,C绕点A逆时针旋转60得点B.C,则 △PB'C'≌△P'BC,过点P作PQ∥B'C'交r轴于点Q,当PQ 与抛物线只有1个交点时，△PB'C的面积最小，由题意得点C 的坐标为（令，受）直线BC的表达式为y=原x,设PQ的表 中考数学压轴题得高分 ·11· 5.23解析：由题意得△AED≌△A,ED,:AD=4,2.①如图1.若DG=1,则CE=EH=DG=1,∴.GH=DE= ∴A,D=4.'∠AED=∠A,ED=∠A:EB,·∠AED=60°，3，过点E作EM⊥GH交GH于点M,则△EMH∽△DCE, ∠ADE=30°，则∠A:DE=∠ADC=30°，A,C=2,AB= 可得NMH-号EH=FH=2NH-25RG=GH CD-23,故AB的长为25. J鼓世因"（三6暗0。=H·)☑三7，a之a口☑t得第中 ∴.∠ADB+∠EDC=∠B十∠C=90°，∴∠ADE=90°，设 AE-,期DE-CE-3,又AD-AB-2,AAD+DE-长是号停 A,得十8-=，部得是AE的长是号 7.√37-3 8.号解桥：AC=BC,∠A=∠B.又∠B=∠B .∠A=∠B',又∠AFD=∠B'FG,.△AFDn△B'FG 图1 图2 品器元 12.22.5或45°或67.5 W=O·FG2·CG=AC-AF FG白 16-8-号-号0G的长为2 1a.名成号解折：①若AB-BC.:BC-BCAE-BC. 设BE=r,则AE=EC=4-x,.x2+32=(4-x)”,解得x k 9.2-解析：“AD-DF∠DAF-∠DFA∠BDE- 名BE=名：@若AE=AC,如图，过点A作AM⊥EC'交 ∠BDF-号（∠DAF+∠DFA)=∠DAF,DE∥AC, 1 EC于点M,∠AEF=90°，∠CEF=∠C'EF,∴∠AEB= ∠AEM,.AM=AB=3,:AE=AC,.M是EC'中点， AD=DF=BD,∴.BE=EC,设AC=AB=a,则BC=ka, .EC=EC'=2EM=2EB,设BE=x,则EC=EC'=4-x,又 BE=BC-:由题意得△CEF△CAB,÷器-需代入 BC-2EB=2,4-x=2,解得E-青BE-专综 。=品，解得CF=号6a,iAF=AC-CF=a- CF 7 4 上，BE的值为8或 1 2k'a k2 1, a-2k'a 2-k· 10.25或115°解析：如图1，当点B在BC下方时，∠ADB= E ∠ADB'=135°，：∠B=20,∠BAD=25:如图2，当点B14.解析：1)2(2)当0<1≤5时，BP=5-t:5<1<8时， 在BC上方时，∠ADB=∠ADB=45∠BAD=115,综上，BP=1-5.《3)八DA'-DA=2,∴点A'轨迹是以D为圆心、 ∠BAD的度数为25或115 2为半径的圆弧，当DP⊥AB时，点A'落在边AB上，此时 AP-号AD-=号：当DP⊥AC时，点A落在边AC 上，此时AP=号AB=号当点A落在△ABC内时1的取 1 值范围是<< 图1 图2 1.停支誓解折：记∠CED=a,GH∥DE,∠BFH ∠DEF=∠DEC=a,∠EHF=∠DEC=a,.EH=EF=EC :G是边AD的三等分点DG=号AD=1或DG=号AD= B 中考数学压轴题得高分 ·12· (4)当点P在边AB上时，若∠AA'D=∠B,则∠DAA'=∠B,r:=-5-1(舍)，.BE=5-1.综上，DF=2,BE=5-1. :∠ADP+∠DAA'=90',∠DAP+∠B=90'.·∠ADP=9.B ∠DAP,PA=PD,过点P作PM⊥AC交AC于点M,则I0.A解析：连接CE,则△CDE≌△CA'E,∴A'C=CD= AM=专AD=1AP=子AM=票：=当点P在边CAB=AE,即A是BC的中点，：AG/BE,G是CF的中 点.设BF=2a,则FG=CG=3a,B'F=BF=2a,AD=BC= 上时，过点D作DH⊥AA'交AA'于点H,则DH⊥AA', 、∠HAD+∠HDA=90,∠DP0+∠P=90,8aB'C=4EaAB=AB=22aB-2g02E. ∠DPC=∠DAA'=∠B,.AB∥DH,:D是AC中点，∴P 1L.D解析：由题意得OA=1,OD:=OD=4,设BC与y轴交 是C中点B即=号C=号1=5+是-号路上的值 于点P,则B即=1.△0BP△C,n,∴0-8器设 e13 AB=,则CD,=CD=AB=x,代入得-票”x>0,解得 x=2.:∠BEO=∠DOE=∠BOE,∴.BE=BO=V5,∴点E 的坐标为(1一√5,2). 解析：如图1，当点M在线段AD上时，连接 BM,作线段BM的垂直平分线与AD,BC的交点即为E,F,连 第2节矩形的折叠 接BE,则BE=EM,AD=5,DM=1,∴.AM=4,设AE=x, 1.C解析：易证AF=AE=5,又BF=3,,AB=4,BC=8. 则BE=EM=4一x,由题意得AE十AB=BE,代人得x+ .AC=45,.A0=25. 2.D解析：由题意可得△AED≌△AEF,.AF=AD=5, 3=(4-x)产，解得r=8,记EF与BM交于点O,可得 DE=DF,∴.BF=4.CF=I,设EF=x,则EC=3-r,在 △EOMe△FOB,∴BF=EM-空过点E作EN⊥BF交BF 5 R△EFC中，1+(3-t)=r之，解得r=3n∠DAE 于点N,则BN=AE=名dFN=BF-BN=至-名-2 88=4 DE 1 AD3 EF-VEN+FN一只：如图2，当点M在AD延长线上 3.△MCB 4.5cm解析：由题意得AB'=AB=8cm,AD=BC=10cm, 时，同理可求得EF-35综上，EF的长为或 2 .B'D=6cm,C'D=4cm,设DE=xcm,则CE=(8-x)cm, M D D M 由勾股定理得(8一x)十4炉=x,解得xr=5,.DE的长为 5 cm. 5.53 了 图1 图2 6.25解析：∠AGE=90,BG=CG=4,△ABG∽△GCE, 13.解析：(1)由题意得CE=CB=AD,∠E=90°=∠D,在 ycE-3.0G-4AB-专G-5DE-9-3-子又 [∠CFE=∠AFD, △CEF和△ADF中， ∠E=∠D, .△CEF2△ADF AD=8,∴AE=2 7 3∴sin∠DAE=25 CE-AD. (AAS).(2)设DF=a,则AF=CF=8-a,在Rt△ADF中， AD+DF=AF,代人得x2+a”=(8-a),解得a= 8.25-1解析：由题意得∠BEC=∠FEC,又∠BEC= -x2+64 ∠DCE,∴∠FEC=∠DCE.∴.DE=DC,设BE=r,则AB= -x2+64 8am∠DAF516三十6创 16x 2十x,DE=DC=AB=2十x·,∴.DF DE一EF=2.由射影定 理得EA=EF·ED,代人得2=x(x+2),解得x1=5-1, n∠DAF的直为法 中考数学压轴题得高分 ·13·●)第2章) 几何变换 第2章 几何变换 》》》》 第1节 对称的性质 前言：对称与旋转是几何中常见问题，本节讨论关于对称的基本性质，主要有以下三点：(1)对应 角相等：(2)对应边相等：(3)对称点连线被对称轴垂直且平分.如何选取恰当的性质帮助解题，不仅 要了解知识点，也要熟悉常见题型 引例2(2018·毕节)如图，在矩形ABCD 》知识导航 中，AD=3,M是CD上的一点，将△ADM沿 直线AM对折得到△ANM,若AN平分 1.对应角相等 ∠MAB,则折痕AM的长为 () (1)由对称得对应角相等，常常用在求角 度的问题中， 引例1T(2023·凉山)如图，在Rt△ABC纸 片中，∠ACB=90°，CD是边AB上的中线，将 △ACD沿CD折叠，当点A落在点A'处时，恰 A.3 B.23C.32 D.6 好CA'⊥AB,若BC=2,则CA'= C解析由题意可得∠DAM-∠MAN-∠NAB= 30°，，AD=3,.DM=3,AM=23 D 309309 A300 C解析，CD是边AB上的中线，∴.CD= (3)由对称得到对应角相等往往是解题 GAB=AD=AD.∴∠DCA'=∠DAC,由n 的第一步，几何问题通常考虑结合勾股定理、 相似三角形等内容 叠得∠A=∠ACD=∠A'CD,:CA'⊥AB, .∠A=∠ACD=∠A'CD=30°，BC=2, 引例3(2023·武汉)如图，DE平分等边三 .CA'=CA=23. 角形ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE,AC 分别与DF、EF相交于G、H两点.若DG=m, (2)作特殊的对称会存在特殊角，有特殊 EH=n,用含m、n的式子表示GH的长是 角便是有特殊图形，利用特殊图形解决问题. 43 ☑壹学知道中考数学压轴题得高分◆ 的对称点为D',若∠FPG=90°，△A'EP的面 积为4，△D'PH的面积为1，则矩形ABCD的 面积等于 C解析：DE平分△ABC的面积，∴.S△FDF S△BDE=SWi边BADEC,.S△FGH=S△ADC十S△CEH, C解析由题意可得A'P=D'P,,∠FPG= :∠F=∠B=∠A=∠C,∴△AGD∽ 90°，∴.∠A'PD'=90°，∴.△A'EPC△D'PH, △FGH,△CHE∽△FHG,∴. S△AGD ,两三角形面积分别是4和1，.相似比为 S△FGH 2:1, 2 S△cHE EH\2 S△AGD S△HE SAFHG GH S△FGH 设AB=a.则AP=D'P=a,D'H=2: 1, + G =1,代入得GH= A'E=2a, √m2十n. EP=/5a.PH=5 2. ≥2.对应边相等 △DPH面积为2·号·a=1,解得 1 涉及求线段长度的问题，记得考虑：对应 a=2, 边相等， :AD=2a+5u+复。+号=5+35，又 令引例4(2023·吉林)如图，在Rt△ABC AB=2, 中，∠C=90°，BC<AC.点D、E分别在边AB、 ∴.矩形ABCD面积为2×(5十35)= BC上，连接DE,将△BDE沿DE折叠，点B 的对应点为B',若点B'刚好落在边AC上， 10+65. ∠CB'E=30°，CE=3,则BC的长为 D B 形3.与对称点连线相关 解析，∠CB'E=30°，∴.BE=B'E=2CE= 6,.BC=BE+EC=9,.BC的长为9 对称点连线被对称轴垂直且平分，连接 见引例5(2019·杭州)如图，把某矩形纸片 对称点连线可得垂直 ABCD沿EF、GH折叠（点E,H在边AD上， 见引例6(2019·重庆)如图，在△ABC中， 点F、G在边BC上)，使点B和点C落在边 D是边AC上的中点，连接BD,把△BDC沿 AD上同一点P处，点A的对称点为A',点D BD翻折，得到△BDC',DC'与AB交于点E, 44☑ 第2章) 几何变换 连接AC',若AD=AC'=2,BD=3,则点D到 ②若∠DAE=90°，则点E在Ea位置，可 BC‘的距离为 ( 得E3到BC的距离为6： B ③若∠ADE=90°，显然不存在， 综上所述，点E到BC的距离是3一22或 3+22或6. E:E 33 A. 2 B327 7 C.7 D.13 B C解析连接CC',则CC⊥BD,垂足记为F, 由DA=DC=DC',可得∠AC'C=90°， AC=AD=2...CC=23,DF=1,BF= 2,BC=7,点D到BC的距离等于点D到BC 的距离，考虑用等积法.过点D作DH⊥BC交 》真题演练 BC于点H,则BD·CF=BC·DH,代人解得 1.(2019·邵阳)如图，在Rt△ABC中，∠BAC DH=33_32I 90°，∠B=36°，AD是斜边BC上的中线，将 7 7 △ACD沿AD对折，使点C落在点F处，线 段DF与AB相交于点E,则∠BED等于 () 4.翻折成特殊图形 A.120°B.108° C.72° D.36 ®引例7(2023·黑龙江)矩形ABCD中， 2.(2021·江西)如图，将平行四边形ABCD沿 AB=3,AD=9,将矩形ABCD沿过点A的直 对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交 线折叠，使点B落在点E处，若△ADE是直角 AD于点F,若∠B=80°，∠ACE=2∠ECD, 三角形，则点E到直线BC的距离是 FC=a,FD=b,则平行四边形ABCD的周长 C解析由题意得AE=AB,∴·点E的轨迹是 为 以点A为圆心、AB为半径的圆弧.分类讨论： ①若∠AED=90°，：AE=AB=3,AD= 9,DE1=DE2=62,连接E:E:交AD于点 B H,则E1E2⊥AD,由AD·E1H=AE,· 3.(2020·滨州)如图，对折矩形纸片ABCD,使 DE1,得E:H=E1H=22,.点E1到BC的 AD与BC重合，得到折痕EF,把纸片展平 距离为3-2√2，点E2到BC的距离为3十22： 后再次折叠，使点A落在EF上的点A'处， 45 公壹学知道中考数学压轴题得高分m 得到折痕BM,BM与EF相交于点N.若直 线BA'交直线CD于点O,BC=5,EN=1, A号 则OD的长为 ( ) 7.(2023·新疆)如图，在平行四边形ABCD 中，AB=6,BC=8,∠ABC=120°，E是AD D 0 上一动点，将△ABE沿BE折叠得到 F △A'BE,当点A'恰好落在EC上时，DE的 长为 c 4.(2020·上海)如图，在△ABC中，AB=4, BC=7,∠B=60°，点D在边BC上，CD 3,连接AD.如果将△ACD沿直线AD翻折 8.(2023·泰安)如图，在△ABC中，AC= 后，点C的对应点为点E,那么点E到直线 BC=16,点D在AB上，点E在BC上，点 BD的距离为 B关于直线DE的对称点为B',连接DB', EB',分别与AC相交于F、G两点，若AF= 8,DF=7,B'F=4,则CG的长度为 5.(2020·铜仁)如图，在矩形ABCD中，AD 4,将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为 A,,折痕为DE.若将∠B沿EA1向内翻折， 点B恰好落在DE上，记为B1,则AB 3 9.(2023·杭州)如图，在△ABC中，AB=AC, ∠A<90°，点D,E、F分别在边AB、BC、CA B 上，连接DE、EF、FD,已知点B和点F关 B 于直线DE对称，设S-,若AD=DF,则 6.(2022·济宁)如图，三角形纸片ABC中， CF FA (结果用含k的代数式表示). ∠BAC=90°，AB=2,AC=3.沿过点A的直 线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D 处：再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕 与AC的交点为E,则AE的长是( 10.(2023·辽宁)如图，在三角形纸片ABC中， AB=AC,∠B=20°，D是边BC上的动点， 46 ●)第2章 几何变换 将三角形纸片沿AD对折，使点B落在点 △AEC是以AE为腰的等腰三角形， B'处，当B'D⊥BC时，∠BAD的度数为 14.(2021·长春)如图，在△ABC中，∠C 90°，AB=5,BC=3,D为边AC的中点.动 11.(2022·盘锦)如图，四边形ABCD为矩形， 点P从点A出发，沿折线AB一BC以每秒 1个单位长度的速度向点C运动，当点P AB=2,AD=3,E为边BC上一点，将 不与点A、C重合时，连接PD.作点A关于 △DCE沿DE翻折，点C的对应点为F,过 直线PD的对称点A',连接A'D、A'A.设点 点F作DE的平行线交AD于点G,交直线 P的运动时间为ts. BC于点H.若G是边AD的三等分点，则 (1)线段AD的长为 FG的长是 (2)用含t的代数式表示线段BP的长； G (3)当点A'在△ABC内部时，求t的取值 范围： (4)当∠AA'D与∠B相等时，直接写出1 H 的值. 12.(2023·泰州)如图，△ABC中，AB=AC, ∠A=30°，射线CP从射线CA开始绕点C 逆时针旋转a角(0°<α<75)，与射线AB 相交于点D,将△ACD沿射线CP翻折至 △A'CD处，射线CA'与射线AB相交于点 E.若△A'DE是等腰三角形，则∠a的度数 为 13.(2021·盐城)如图，在矩形ABCD中， AB=3,AD=4,E、F分别是边BC、CD上 的点，EF⊥AE,将△ECF沿EF翻折得 △EC'F,连接AC',当BE= 时， 47