第1章 第5节 瓜豆原理-中考数学压轴题得高分

第1章) 几何最值 第5节 瓜豆原理 前言：“瓜豆原理”是近来中考最值中的热点话题之一，“瓜豆”是寓意，由一个动点轨迹探究另 一动点轨迹，正所谓：种瓜得瓜，种豆得豆，本节介绍模型及解题思路 点Q轨迹圆的圆心M满足AM=AO且 》知识导航 AM⊥AO,在任意时刻均有△APO≌△AQM. ≥1.轨迹圆 探究1：如图，P是⊙O上一个动点，A为定点， 连接AP,Q为AP的中点.当点P在⊙O上运 动时，探究点Q的轨迹， 探究3：如图，△APQ是直角三角形，∠PAQ= 90°且AP=2AQ,当点P在⊙O上运动时，探 【分析】线段AQ可以理解为由AP位似得来， 究点Q的轨迹 则点P的轨迹位似即可得点Q的轨迹，连接 AO,取AO中点M,则M即为点Q轨迹圆的圆 心，半径MQ=2OP.任意时刻，均有△AMQ∽ 【分析】由AP⊥AQ,可得点Q轨迹圆的圆心M MQ AQ 1 △AOP,OP=AP2 AP 2 满足AMLAO:由AQ,点Q轨迹圆的圆心 M满足A02 AM1 即可确定⊙M的位置，任意时刻均有 探究2：如图，P是⊙O上一个动点，A为定点， △APO∽△AQM,且相似比为2：1. 连接AP,作AQ⊥AP且AQ=AP.当点P在 ⊙O上运动时，探究点Q的轨迹. 多模型总结 由点P的轨迹推出点Q的轨迹， 通常称点P为“主动点”，点Q为“从动点” 【分析】AQ可以理解为由AP绕点A逆时针旋 瓜豆问题的必要条件：两个定量 转90得来，则点P的轨迹绕点A逆时针旋转 (1)主动点、从动点与定点连线的夹角是定量 90°即可得点Q的轨迹，.点Q的轨迹也是圆. (∠PAQ是定值)： 35 以壹学知道 中考数学压轴题得高分● (2)主动点、从动点到定点的距离之比是定量 令引例21(2023·宜宾)如图，M是正方形 (AP:AQ是定值). ABCD边CD的中点，P是正方形内一点，连接 BP,线段BP以B为中心逆时针旋转90°得到 线段BQ,连接MQ.若AB=4,MP=1,则MQ 的最小值为 模型结论： (1)主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心 与定点连线的夹角：∠PAQ=∠OAM: D (2)主、从动点与定点的距离之比等于两圆心 AP AO ro C解析如图，将BM绕点B逆时针旋转90°得 到定点的距离之比：AQ一AMr BM',则点Q的轨迹是以M'为圆心、1为半径 瓜豆原理：动点的变换（平移、对称、旋转、位 的圆，MQ+QM'≥MM'=2/10,∴.MQ≥ 似等)，即动点轨迹的变换. 2√10-1，.MQ的最小值为210-1. 引例T(2022·内蒙古)如图，在等腰直角 三角形ABC中，AC=BC=1,点P在以斜边 AB为直径的半圆上，M为PC的中点，当点P 沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路 径长是 引例3](2022·沈阳改编)如图，若AB=8, C是线段AB外一动点，AC=33,连接BC.若 将CB绕点C逆时针旋转90°得到CD,连接 AD,则AD的最大值是 C解析如图，取AB的中点O,连接CO,取CO 中点Q,过点Q作EF∥AB分别交AC、BC于 点E、F,则点M的轨迹是以点Q为圆心、EF B 为直径的半圆（或理解为△CQM∽△COP), C解析如图，将BC绕点B顺时针旋转45°并 ∴点M运动的路径长是)Xπ×号=4， 延长为原来的2倍即得BD,AC=33,∴.点 C的轨迹是以点A为圆心、33为半径的圆，将 AB绕点B顺时针旋转45°并延长为原来的 √2倍得BP,点D的轨迹是以点P为圆心、36 为半径的圆，（或理解为△BCA∽△BDP, PD=2AC=36)∴.AD≤AP+PD=8+ 36 第1章 几何最值 36,∴AD的最大值为8+36 【分析】，AP与AQ夹角固定且AP:AQ为 定值，.点Q的轨迹也是线段.分别确定点P 在起点和终点时点Q的位置，即可得点Q的轨 迹，如图，QQ2即为点Q的轨迹. D B 模型总结 彦2.轨迹直线 必要条件：两个定量 探究4：如图，P是线段BC上一动点，连接 (1)主动点、从动点与定点连线的夹角是定量 AP,取AP中点Q,当点P在BC上运动时，探 (∠PAQ是定值)： 究点Q的轨迹。 (2)主动点、从动点到定点的距离之比是定量 (AP:AQ是定值). o. 【分析】当点P的轨迹是线段时，点Q的轨迹 B 也是线段.如图，分别过A、Q向BC作垂线，垂 足分别为M、N,在运动过程中，，AP=2AQ 模型结论： (1)P,Q两点轨迹所在直线的夹角等于 QN=2AM,点Q到BC的距离是定值， ∠PAQ.(当∠PAQ≤90°时，∠PAQ等于 点Q的轨迹是一条线段，即下图中的线 MN与BC夹角) 段EF (2)P、Q两点轨迹长度之比等于AP:AQ (由△ABC∽△AMN·可得A6-C) 所谓“种圆得圆”“种线得线”，谓之“瓜豆 BP N M 原理” 探究5：如图，△APQ是等腰直角三角形， ®引例4如图，在等边三角形ABC中，AB= ∠PAQ=90°且AP=AQ,当点P在线段BC 10,BD=4,BE=2,点P从点E出发沿EA方 上运动时，探究点Q的轨迹 向运动，连接PD,以PD为边，在PD的右侧 按如图所示的方式作等边三角形DPF,当点P B 从点E运动到点A时，点F运动的路径长是 37 ⅓壹学知道中考数学压轴题得高分● ②引例61(2022·南通改编)如图，在矩形 ABCD中，AB=4,AD=3,点E在折线BCD E 上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF,旋 D 转角等于∠BAC,连接CF,DF,点E从点B运 C解析根据△DPF是等边三角形，.可知点 动到点D的过程中，DF的最小值是 F运动路径长与点P相同，点P从点E运动到 B 点A路径长为8，∴点F运动的路径长是8. 彦3.其他图形 所谓“瓜豆原理”，就是主动点与从动点的 轨迹的旋转放缩，只需主、从动点满足：①夹角 解析将AB、AC、AD绕点A顺时针旋转 定角：②比例定值，当主动点轨迹是任意图形 ∠BAC的度数，则点F的轨迹即为折线B'一 时，从动点轨迹必然也是与其相似的图形 C'-D',当DF⊥CD'时，DF取到最小值，延 免引例51(2016·乐山)如图，在反比例函数 长FD交AC于点H,DF=FH-DH=3 y=一号的图像上有一个动点A,连接A0并延 123 5 DF的最小值为号 长交图像的另一支于点B,在第一象限内有一 B 点C,满足AC=BC,当点A运动时，点C始终 在函数y=的图像上运动，若an∠CAB=2, D 则k的值为 彦4.问题设计 (1)转化线段 A.2 B.4 C.6 D.8 令引例7(2021·镇江)如图，在等腰三角形 C解析连接OC,则∠AOC=90°且AO: OC=1:2,显然点C的轨迹也是一条双曲线， ABC中，AB=AC.BC=6,Os∠ABC=3点 分别作AM、CV垂直于x轴，垂足分别为M、 P在边AC上运动（可与点A,C重合），将线段 N,则△AMO△ONC,∴.CN=2OM,ON BP绕点P逆时针旋转120°，得到线段DP,连 2AM,∴.ON·CN=4AM·OM,∴.k=4X 接BD,则BD长的最大值为 2=8. B 38 第1章 几何最值 C解析BP绕点B顺时针旋转30°并延长为原 法2（动静互逆）：以AO为边，在y轴左侧构 来的√3倍即可得BD,由此可分析点D的轨迹， 造等边三角形AOQ,连接PQ,可得△AQP≌ 但注意到BD=3BP始终成立，可将求BD最 △AOF,∴.PQ=OF,当PQ⊥x轴时，PQ取到 大值转化为求BP最大值.过点A作AH⊥BC 最小值，即OF取到最小值，由题意得点Q坐标 交C于点H,则m∠ABC=船-司 为（一23,2），.PQ的最小值为2，∴.线段OF 长的最小值为2. .AB=9.,∠BPD=120°，PB=PD,.BD= √3BP,当点P与点A重合时，BP取到最大值 9,.BD长的最大值为93. (2)瓜豆应用：特殊角的旋转 引例8(2022·日照)如图，在平面直角坐 标系zOy中，点A的坐标为(0,4)，P是x轴 上一动点，把线段PA绕点P顺时针旋转60得 到线段PF,连接OF,则线段OF长的最小值 是 》真题演练 1.(2021·十堰)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，AC=8,BC=6,P是平面内 一个动点，且AP=3,Q为BP的中点，在点 P运动过程中，设线段CQ的长度为m,则 ●解析法1（瓜豆探究轨迹）：连接AF,则 m的取值范围是 △AFP是等边三角形，可理解为线段AP绕点 A逆时针旋转60°得AF,当点P与原点重合 时，对应F,坐标为(23,2)，当点P坐标为 （4o)时，对应卫：坐标为50)直线 F,F:即为点F的运动轨迹，由题意得直线 (第1题)》 (第2题) F1F2的表达式为y=√3x一4，当OF⊥F,F 2.(2023·鄂州)如图，在平面直角坐标系中，O 、时，OF取到最小值，此时OF=0F,=。× 为原点，OA=OB=35,C为平面内一动 4y3=2,.0F的最小值为2. 点，BC=,连接AC,M是线段AC上的一 点，且满足CM:MA=1:2.当线段OM取 最大值时，点M的坐标是 ( A(居 c 39 公壹学知道中考数学压轴题得高分m· 3.(2023·泰安)如图，在平面直角坐标系中， Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A 5 B.5 的坐标为（一6,4）：R1△COD中，∠COD= 6.(2022·宿迁)如图，点A在反比例函数y= 90°，OD=43,∠D=30°，连接BC,M是 2(x>0)的图像上，以OA为一边作等腰直 BC中点，连接AM.将Rt△COD以点O为 旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中， 角三角形OAB,其中∠OAB=90°，AO= 线段AM的最小值是 AB,则线段OB长的最小值是 1) A.3 B.62-4 C.2/13-2 D.2 A.1 B.2 C.22 D.4 4.(2020·连云港)如图，在平面直角坐标系 7.(2021·泰安)如图，在矩形ABCD中，AB= xOy中，半径为2的⊙O与x轴的正半轴交 5,BC=53,点P在线段BC上运动（含B、 于点A,B是⊙O上一动点，C为弦AB的中 C两点)，连接AP,以点A为中心，将线段 点，直线y一一3与x轴y轴分别交于 AP逆时针旋转60°到AQ,连接DQ,则线段 点D、E,则△CDE面积的最小值为 DQ的最小值为 ( D B.52 D.3 8.(2022·广州)如图，在矩形ABCD中，BC= 5.(2020·宿迁)如图，在平面直角坐标系中，Q 2AB,P为边AD上的一个动点，线段BP绕 是直线y=一号+2上的一个动点，将Q我 点B顺时针旋转60°得到线段BP',连接 PP'、CP'.当点P'落在边BC上时，∠PP'C 点P(1,0)顺时针旋转90°，得到点Q',连接 () 的度数为 :当线段CP'的长度最小 OQ',则OQ'的最小值为 时，∠PP'C的度数为 40 第1章) 几何最值 9.(2019·宿迁)如图，正方形ABCD的边长为 边作等边三角形BMN,如图3，在点M 4,E为BC上一点，且BE=1,F为边AB上 从点C到点D的运动过程中，求点N 的一个动点，连接EF,以EF为边向右侧作 所经过的路径长： 等边三角形EFG,连接CG,则CG的最小值 为 图3 (第9题) (第10题) 10.(2023·辽宁)如图，线段AB=8,C是线段 AB上的动点，将线段BC绕点B顺时针旋 转120°得到线段BD,连接CD,在AB的上 方作Rt△DCE,使∠DCE=90°，∠E= 图4 30°，F为DE的中点，连接AF,当AF最小 (4)正方形ABCD的边长为3，E是边CB 时，△BCD的面积为 上的一个动点，在点E从点C到点B的 1山.(2021·连云港)在数学兴趣小组活动中，小 运动过程中，小亮以B为顶点作正方形 亮进行数学探究活动： BFGH,其中点F,G都在直线AE上， (1)△ABC是边长为3的等边三角形，E是 如图4，当点E到达点B时，点FG、H 边AC上的一点，且AE=1,小亮以BE 与点B重合，则点H所经过的路径长 为边作等边三角形BEF,如图1，求CF 为 ,点G所经过的路径长为 的长； 图1 图2 (2)△ABC是边长为3的等边三角形，E是 边AC上的一个动点，小亮以BE为边 作等边三角形BEF,如图2，在点E从 点C到点A的运动过程中，求点F所经 过的路径长： (3)△ABC是边长为3的等边三角形，M 是高CD上的一个动点，小亮以BM为 41☐ ⅓壹学知道中考数学压轴题得高分 12.(2021·宿迁)已知正方形ABCD与正方形 13.(2021·盐城)学习了图形的旋转之后，小明 AEFG,正方形AEFG绕点A旋转一周. 知道，将点P绕着某定点A顺时针旋转一 1咖如图1准接BG.CF,求的值： 定的角度α，能得到一个新的点P',经过进 一步探究，小明发现，当上述点P在某函数 (2)当正方形AEFG旋转至图2位置时，连 图像上运动时，点P'也随之运动，并且点 接CF、BE,分别取CF、BE的中点M、 P'的运动轨迹能形成一个新的图形 N,连接MN.试探究MN与BE的关 试根据下列各题中所给的定点A的坐标， 系，并说明理由： 角度α的大小来解决相关问题. (3)连接BE、BF,分别取BE、BF中点N、 【初步感知】 Q,连接QN,AE=6,请直接写出线段 如图1，设A(1,1),a=90°，P是一次函数 QN扫过的面积. y=kx十b图像上的动点，已知该一次函数 D 的图像经过点P,(一1,1). (1)点P,旋转后，得到的点P,的坐标为 A (2)若点P'的运动轨迹经过点P:(2,1),求 E 原一次函数的表达式， 图1 【深人感悟】 D 如图2，设A(0,0),a=45°，P是反比例函 M C 数y=一(x<0)的图像上的动点，过点 P‘作二、四象限角平分线的垂线，垂足为 M,求△OMP'的面积. E 【灵活运用】 图2 如图3，设A(1,一3)，a=60°，P是二次函 D G 数y=+23x+7图像上的动点，已知 点B(2,0)、C(3,0),试探究△BCP'的面积 是否有最小值？若有，请求出该最小值：若 没有，请说明理由 图3 OBC 图1 图2 图3 42的最大距离为20P=是 15.解析：(1)①2②2十3(2)如图1，延长BA'交圆弧于点 P,连接CP,则∠CPB=∠CAB=30°，.∠BA'C=∠CPB+ 41 ∠PCA>30, N O M 图1 图2 方法2：如图3，分别过点A,B作x轴的垂线，垂足分别为M 图1 N,连接AN交y轴于点Q,设OM=a,则AM=a2,设ON (3)0y97-5 4 解析：如图2，取CD中点M,过点M作MN b,则BN=b2,由△AMO∽△ONB可得a2b=ab,即ab=1, PQ AP MO ab Q0 NO BN-AB MNPQ-d+6-6 AM-NM LCD,且MN=,点P的轨迹是以点N为圆心，ND为半径 .Q0- atbOP-4'btab: a+6·aa'6 的圆弧，连接BN,与圆弧交于点P,此时PB取到最小值连接 a+b ab=1,∴点P坐 ND,NC,过点N作NQ⊥BC于点QMC=号CD=1,QC- 标为0，D.0C的最大值为0P=号 .NP-NC-.8Q-.BP-BN NP- MN=3, √P+()；-T二5PB长的最小值为-5 图3 图2 图3 14.解析：(1)把A(-4,0)、B(2,0)、C(-2,6)代入y=ax+ 3 ②12 2 4 解析：AD=3,CD=2,若Sa四=子SaPD,则点 16a-4h+c=0, P到AD、CD的距离相等.如图3，作∠ADC的平分线，与圆弧 bx+c,得{4a+2b+c=0,解得 3.抛物线的表达式 b- 2 交于点P,连接PC,过点C作CH⊥PD交PD于点H, 4a-2b+c=6, c=6, cD-2,cH=DH=E,m∠Dpc-S開-音PH 为y=- 一21十6.(2)如图，作△ACM的外接圆，当外 3 接圆与y轴相切时，∠AMC最大，延长AC交y轴于点D,连接 H-39Pn-+恒-79Pn的长为7 9 4 CM,AM,则△DCMO△DMA,∴DM2=DC·DA,由题意得 第5节瓜豆原理 直线AC的表达式为y=3x+12,.点D的坐标为(0,12)， 解析：如图，取AB中点 .AD=4√10，CD=2√10，DM=DC·DA=4√o× 1 2√10=80，.DM=45,.点M的坐标为(0,12-45). M,连接MQ,则MQ=宁AP=受，点Q的 D 轨迹是以点M为圆心，号为半径的圆.在R△ABC中，AC-8, BC=6,.AB=10,CM=5.CM-Q:M≤CQ≤CM+QM, i5-号<0<5+7<m<号 3 13 2.D解析：如图1，在边AB上取点P使得BP:AP=1·2, 中考数学压轴题得高分 ·8· 则点P的坐标为(W5,25).OP=5,且可得△APM∽△ABC,O作OH⊥QQ'于点H,则OH=√5，点O到直线y=2x一5的 小说总-号PW-号8C=1点M的载造是以点P 距离为5，∴OQ的最小值为5 为圆心、1为半径的回，如图2，当O、P、M共线且点M在线段 0P延长线上时取到最大值，由8咒-号可得点M的至标为 6.C解析：在等腰直角三角形OAB中，OB=√2OA,.当OA 最小时，OB取到最小值，由对称性可得点A的坐标为(W2,√2) 时，OA的长最小，此时OA=2,.OB长的最小值为2W2. 7,A解析：法1：如图，将线段BC绕点A逆时针旋转60°得到 线段B'C',即为点Q的轨迹，过点D作B'C'的垂线，即为DQ 图1 图2 的最小值.连接AC.:AB=5,BC=53,∴AC=10,∠BAC= 3.A解析：OD=43,∠D=30°，∴OC=4.如图1，取B0 60°.：∠BAB=60°，点B'在AC上，连接AC',则△ACC是 中点P,连接APMP,则BP=3,△BPM△BOC,AP=5, 等边三角形，ACLB℃Q=号8C=合×号x10= 兴-影-名PM-2点M的载迹是以点P(-30)为 即DQ的最小值为。 圆心、2为半径的圆，AM+PM≥AP,∴.AM≥AP-PM=5 2=3,当A、M、P共线且点M在线段AP上时，线段AM取到 最小值3. 法2：考虑到点P绕点A逆时针旋转60°得点Q,逆向旋转，将 点D绕点A顺时针旋转60得点D',连接PD',可得△AQD≌ △APD',.DQ=DP,当D'PLBC时，取到最小值，最小值为 4.2解析：由题意可知点E坐标为(0，一3)，点D坐标为(4， 0).如图，取OA中点M(1,0),则点C的轨迹是以点M为圆心、 2 x-- 5√ 1为半径的圆，连接MC并延长交DE于点H,当CH⊥DE时， CH最小，此时三角形面积最小，易得△MDHO△EDO, 织-0即-号M-号iCH的最小值为 3 Mh-MC=号1-，∴△CDE面积的最小值为×5×8.1207°解折：当点P落在边BC上时，∠PP'C=180- 60°=120°，以BC为边，在BC上方作等边三角形BCE,连接 52 PE,则△BPE≌△BP'C,.PE=P'C,当PE⊥AD时，PE取 到最小值，即CP'最小，此时∠BP'C=∠BPE=45°+90°= 135°，.∠PP'C=135°-60°=75°. D 5.B解析：如图，将点Q的轨迹绕点P顺时针旋转90°即可得 点Q的轨迹：直线y=2x-5,与x轴交点坐标为（受0过点 中考数学压轴题得高分 ·9· 9.号解桥：如图，以EC为边在EC上方作等边三角形BCC, 连接FC',则有△EFC'≌△EGC,∴FC'=GC,当F'C'⊥AB 时，F'C'取到最小值.过点C'作CH⊥EC于点H,则CH C=受BH=FPC-名即CG的最小值为受 1 图2 年r解析：如图3，连接AC、BD,相交于点O, ∠AFB=90°，.点F的轨迹是以AB为直径的圆孤，∴点F 的轨迹长为宁×2×号-子，点H的轨迹是以BC为直轻的 10.5解析：：BC=BD,∠B=120°，∴∠BCD=30°，连接 圆孩，点H所经过的路径长为×2xX号-是1点G的轨 33 CF,则∠DCF=∠CDF=60°，.∠BCF=90°，且CF=CD √5CB,.∠CBF=60°，当AF⊥BF时，AF最小，此时BF= 迹是以BD为直径的圆弧，点G所经过的路径长为×2× 2AB=4,BD=BC=2BF=2,过点D作DH LAB交AB的32_3E 1 2 4π. 延长线于点H,则DH-号8D=厅，dS6m-吉C·DH 1 X2X3=5. 图3 2解桥，1)知图1，连接AC,AF,则铝=反- AG·又 H 11.解析：(1)在等边三角形ABC和等边三角形BEF中， ∠CAF=∠CAG+45=∠BAG,∴△ACF∽△ABG,8E= ∠ABC-6O°-∠EBF,∴∠ABC-∠EBC-∠EBF-∠EBC, -E需的值为区 AC 即∠ABE=∠CBF,又：BA=BC,BE=BF,∴△ABE2 △CBF(SAS),.AE=CF,AE=1,,CF=1.(2)如图1，连 接CF,由(1)得△ABE≌△CBF,AE=CF,∴点F所经过的路 径长与点E所经过的路径长相等，”AC=3,,点F所经过的 路径长为3. 图1 (2)MN=BE,MNLBE..理由如下：如图2，连接EM并延长 图1 至点P使得MP=ME,则△MEF2△MPC,∴.PC∥EF.连接 CP、BP,延长CB、GA交于点H,AG∥EF,∴PC∥AG, (3)如图2，取BC中点Q,连接NQ,则△BDM≌△BQN, ∴NQ=MD,∴点N所经过的路径长等于点M所经过的路径 ∠PCB+∠H=180°，BC∥AD,,∠H=∠DAG, .∠PCB+∠DAG=180°，又∠BAE+∠DAG=180°， 长.在等边三角形ABC中，“AB=3,AD=号， CD=33 2 ∠PCB=∠BAE,:CP=AG=AE,CB=AB,∴.△PCB≌ △EAB(SAS),.PB=BE,∠PBC=∠EBA,.∠PBE= 二点N所经过的路径长为3 2 ∠CBA=90°，.△PBE是等腰直角三角形，：M,N分别是 中考数学压抽题得高分 ·10· PE,BE中点，MN=号PB,MN∥PB,MN=号BE,达式为y=5x+b,联立方程g+23x+7=原x+b,整理 MN⊥BE. 得宁2+5x+7-6=05)-4X号×(1-6)=0，解得 6 2直线PQ的表达式为y=3x+, ·点Q的坐标为 ×-号△BCP面积的最小值是号 6 2 图2 OO(B) (3)如图3，取AB的中点T,连接TN、TQ、AF,则TN= 名AE=3,TQ=号AF=3E,点N的轨迹是以T为圆心，3为 第2章几何变换 第1节对称的性质 半径的圆，点Q的轨迹是以T为圆心、3√2为半径的圆，QN扫 1.B解析：：∠B=36°，∠BAC=90°，∴∠C=54°，：D是BC 过的面积S=x·(3√2)2一x·32=9π，即QN扫过的面积 的中点，.AD=CD,∠DAC=∠C=54°，△ADF≌ 是9π △ADC,∠DAF=∠DAC=54,.∠EAF=18,又∠F= ∠C=54°，∴.∠AEF=108°，.∠BED=108 2.4a+2b解析：∠B=80°，∠BCD=100°，：∠ACE= 2∠ECD,∴∠ACB=∠ACE=40°，∠DCE=20°，：∠D= ∠B=80°，.∠CFD=80°，.CD=CF=a.:AD∥BC, ∴∠DAC=∠ACB=40°，.∠DAC=∠ACE,.AF=CF=a, 图3 .AD=a十b,∴.平行四边形ABCD的周长为2(a十a+十b)= 13.解析：【初步感知】(1)(1,3)(2)将P(2,1)绕点A逆时针 4a+2b 旋转90可得点P,∴点P:的坐标是(1,2)∴直线P1P,的表 3.B解析：：A'B=2EB,.∠BA'E=30°，∴∠A'BE=60, 达式为y=十受原一次函数的表达式为y=宁+是 3 .∠ABM=∠A'BM=30°，EN=1,,BE=3,BN 【深人感悟】过点P作PN⊥x轴交x轴于点N,,∠MON 45=∠POP',∴.∠PON=∠P'OM,又：∠PNO=∠P'MO, A'N=2,又BC=5,A'F=2,“∠0A'F=30,÷0F=2y5 3 PO-=P'O,i△PNO≌△P'MO,∴Saw=Sm=号= 2 0D= 3 号∴△OMP'的面积是号 解析：过点E作EH⊥BC交BC于点H.:∠ADB= 60,∠ADC=120,∠BDE=60,dDH=7DE=, NOC EH-/3DH-33 2,故点E到直线BD的距离为3) 【灵活运用】将B、C绕点A逆时针旋转60得点B'、C',则 △PB'C'2△P'BC,过点P作PQ∥B'C'交x轴于点Q,当PQ 与抛物线只有1个交点时，△PBC的面积最小，由题意得点C 的坐标为合，号)直线BC的表达式为y=厚，设PQ的表 中考数学压轴题得高分 ·11·