第1章 第4节 构造辅助圆-中考数学压轴题得高分

第1章) 几何最值 第4节 构造辅助圆 前言：最值问题通常含有动点，追寻动点轨迹，是得到最值的重要方法之一，也是最值问题的一 大难点.常见动点轨迹有直线和圆，本节内容探究常见的轨迹是圆的情形，即构造辅助圆求最值。 C解析如图，连接CP、CQ,则CQ⊥PQ,且 》知识导航 CQ=√3，.PQ=√PC-CQ,.若要PQ最 彦1.圆中最值 小，则PC最小.当PC⊥AB时，PC取到最小 值23，此时PQ=√(23)2-(3)2=3，.PQ (1)点一圆 的最小值为3. 若P是⊙O外一点： 如图1，在⊙O上确定一点Q使得PQ最大 M (2)线一圆 图1 如图1，在⊙O上取一点M,使M到直线 【分析】延长PO,与⊙O的交点即为点Q.在 l的距离MN最大 ⊙O上任取一点M(异于点Q),PQ=PO十 OQ=PO+OM>PM...PQ>PM. 如图2，在⊙O上确定一点Q使得PQ最小 M 图1 【分析】过点O作直线1的垂线，与⊙O(点O 图2 上方)、直线l的交点即为M、N,此时MN 【分析】连接PO,与⊙O的交点即为点Q.在 最大 ⊙O上任取一点M(异于点Q),PQ+QO= 如图2，在⊙O上取一点M,使M到直线 PO<PM+OM,..PQ<PM. I的距离MN最小. 免引例1(2021·凉山)如 图，等边三角形ABC的边长 dM 为4，⊙C的半径为3，P为 边AB上一动点，过点P作 图2 ⊙C的切线PQ,切点为Q,则PQ的最小值为 【分析】过点O作直线1的垂线，与⊙O(点O 下方)、直线I的交点即为M、N,此时MN最小. 25 以壹学知道中考数学压轴题得高分m◆ 突引例2(2023·陕西改编)如图，在△OAB ⊙解析，AC=AC=3,∴.点C的轨迹是以点 中，OA=OB,∠AOB=120°，AB=24.若⊙O的 A为圆心、AC为半径的圆弧.AC十BC'≥AB, 半径为4，点P在⊙O上，点M在AB上，连接 当A,C'、B共线时，BC取到最小值，此时 PM,则线段PM的最小值是 BC'=AB一AC=3√2-3，∴.BC的最小值为 3/2-3. A M C解析如图1，连接OP、OM,则PM≥OM OP=OM一4，当O、P、M共线且点P在线段 OM上时等号成立.如图2，当OM⊥AB时，OM 6AB- 取到最小值，此时OM=BM=3 43,∴.PM≥43一4，∴.PM的最小值是 23.定边对直角 43-4. (1)圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角， (2)定边对直角：一条定边所对的角始终为直 角，则直角顶点轨迹是以定边为直径的圆或 图1 图2 圆弧 彦2.定点连定长 (1)圆的定义：平面内到定点距离等于定长的 所有点的集合 如图，P是动点，且∠APB=90°，其中 AB是一条定线段，则点P的轨迹是以AB 为直径的圆或圆弧， (2)构造辅助圆：若动点满足到定点距离等于 定长，则动点轨迹是圆（或圆孤）. 引例4(2021·咸海)如图，在正方形 ABCD中，AB=2,E为边AB上一点，F为边 见引例3(2023·徐州)如图，在Rt△ABC BC上一点.连接DE和AF交于点G,连接BG. 中，∠C=90°，CA=CB=3,点D在边BC上 若AE=BF,则BG的最小值为 将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C'处，连 接BC',则BC‘的最小值为 ⊙解析如图1，：AE=BF,∠DAE ∠ABF=90°，AD=BA,∴.△DAE≌△ABF, 「26 第1章 几何最值 ∴.∠ADE=∠BAF..∠BAF+∠DAG=90°， ≥4.定边对定角 .∠ADE+∠DAG=90°，∴.∠AGD=90°， .点G的轨迹是以AD为直径的圆弧.如图2， (1)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧 取AD中点M,当B、G、M共线时，BG取到最 上的圆心角度数的一半，同孤或等弧所对的 小值，此时BG=BM一MG=5一1，.BG的 圆周角相等 最小值为5一1. (2)定边对定角：一条定边所对角是定角，则 B 这个角的顶点轨迹是一段圆弧 E 2 M 图1 图2 如图，P是动点，且∠APB=a是定值，其 ®引例5(2021·铜仁)如图，E、F分别是正 中AB是一条定线段，以AB为底边构造顶角 方形ABCD的边AB、BC上的动点，满足 为2a的等腰三角形，顶点记为O,则点P的轨 AE=BF,连接CE、DF,相交于点G,连接AG. 迹是以点O为圆心、OA为半径的圆弧. 若正方形的边长为2，则线段AG的最小值为 (3)特别地，若∠P是特殊角： ①若∠P=30°，如图1，以AB为边，同侧 构造等边三角形AOB,O即为圆心. P 309 45 D 60° 90° C解析，·AE=BF,AB=BC,AB一AE= B B BC-BF,即BE=CF.又BC=CD,∠B 图1 图2 ∠DCF=90°，∴.△CBE≌△DCF,.∠BCE= ②若∠P=45°，如图2，以AB为斜边，同 ∠CDF.,∠BCE+∠DCG=90°，∴.∠CDF+ 侧构造等腰直角三角形AOB,O即为圆心. ∠DCG=90°，∴.∠CGD=90°，∴.点G的轨迹 ③若∠P=60°，如图3，以AB为底，同侧构 是以CD为直径的圆弧如图，当点E与点A重 造顶角为120的等腰三角形AOB,O即为圆心 合，点F与点B重合，此时点G是正方形的中 P 心，此时AG最小，.AG的最小值为2. 1209 120 0. 120 图3 图4 27 ☑壹学知道中考数学压轴题得高分◆ ④若∠P=120°，如图4，以AB为底，异 侧构造顶角为120°的等腰三角形AOB,O即 为圆心 ®引例6(2021·达州)如图，在边长为6的 等边三角形ABC中，E、F分别是边AC、BC上 的动点，且AE=CF,连接BE、AF交于点P, C解析如图，延长AP交圆于点D,连接BD, 连接CP,则CP的最小值为 则∠ADB=∠C.:∠APB=2∠C,∴.∠APB= 2∠ADB.又∠APB=∠PDB+∠PBD, ∠PDB=∠PBD,.PD=PB=PA,.P为 该圆的圆心 C解析·AE=CF,AB=CA,∠BAE= ∠ACF=60°，.△BEA≌△AFC,.∠ABE ∠CAF.'∠BAF+∠CAF=60°，.∠ABE+ ∠BAF=60°，∴.∠APB=120°.如图，在AB下 彦5.相切最值 方构造∠AOB=120°且OA=OB,则点P的轨 迹是以点O为圆心、OA为半径的圆弧.当C、 (1)最大张角问题 【问题背景】 P,O共线时，CP取到最小值，此时CO=43, 1471年，德国数学家米勒向诺德尔提出这 OP=OA=23,..CP=CO-OP=43- 样一个问题： 23=23,∴.CP的最小值为23 如图，点A、B在直线1的同一侧，在直线1 上取一点P,使得∠APB最大，求点P的位置. 【知识铺垫】 圆外角：如图，像∠APB这样顶点在圆外， ( 两边和圆相交的角叫圆外角。 ®引例7(2023·泰州改编)如图，A、B为圆 上两定点，点C在该圆上，∠C为AB所对的圆 周角.若P为圆内一点，且∠APB<120°， PA=PB,∠APB=2∠C.求证：P为该圆的 圆心 284 第1章 几何最值 如图，∠P=∠ACB-∠PBC. 40m,当观景视角∠MPN最大时，游客P行走 ∴.∠ACB>∠P 的距离OP是 m 在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于 圆外角。 感问题结论 结论：当点P不与A,B共线时，作 C解析以MN为直径作圆，与OB相切于点 △PAB的外接圆，当圆与直线（相切时， P时，∠MPN最大，此时△OMP△OPN, ∠APB最大. ..OM Op OP=ON,即0P2=OM·ON,Op= √0M·0N=√/20×60=20√3(m). (2)线段最值问题 引例9(2023·广元)如图，∠ACB=45°， 证明：在直线！上任取一点M(不与点P 半径为2的⊙O与角的两边相切，P是⊙O上 重合)，连接AM、BM,∠AMB即为⊙O的圆 任意一点，过点P向角的两边作垂线，垂足分 外角， 别为E、F,设t=PE十√2PF,则t的取值范围 .∠APB>∠AMB,∠APB最大 是 .当圆与直线l相切时，∠APB最大. 记直线！与直线BA交于点O,如下图 则有OP=OA·OB.(切割线定理) 解析如图1，延长EP交BC于点Q. :∠C=45°，PE⊥AC,∴.△CEQ是等腰直角 三角形，.∠CQE=45°.PF⊥BC,.PQ= 证明：，∠POA=∠BOP,∠OPA= 2PF,..t=PE+/2PF=PE+PQ=EQ. ∠OBP(弦切角定理)， 如图2，当EQ在点O上方且EQ与⊙O相 ∴△AOP∽△POB,OPB,】 切时，EQ取到最大值，连接EO并延长交BC .OP2=OA·OB. 于点H,EQ=√2EH=√2(EO+OH)=4+ 即可通过OA、OB的长确定OP的长，便 2w2 知点P的位置， 如图3，当EQ在点O下方且EQ与⊙O相 ®引例8(2022·桂林)如图，某雕塑MN位 切时，EQ取到最小值，此时EQ=EC=4十 于河段OA上，游客P在步道上由点O出发沿 2√2-4=2√2. OB方向行走.已知∠AOB=30°，MN=2OM= 综上所述，t的取值范围是2√2≤t≤4+ 29 ☑壹学知道中考数学压轴题得高分m 22 记BO中点为M,如图2，当A、G、M共线 时，AG取到最小值，由勾股定理可得AM= W(22)+(2)2=10,AG=10-√2， .AG长的最小值是/10一√2. 归纳：定边可能比定角更难发现，需要认真 图 图2 思考题中给出的每一个条件 (2)定边对定角：动点轨迹长度探究 免引例11(2020·大庆)如图，在等边三角形 ABC中，AB=3,D、E分别是边BC、CA上的 动点，且BD=CE,连接AD、BE交于点F,当 图3 点D从点B运动到点C时，则点F的运动路 彦6.问题设计 径的长度为 (1)定边对直角：隐藏的定边 ®引例10如图，正方形ABCD的边长为4， 动点E、F分别从点A、C同时出发，以相同的 速度分别沿AB、CD向终点B、D移动，当点E 到达点B时，运动停止，过点B作直线EF的垂 C解析.'AB=BC,BD=CE,∠ABD= 线BG,垂足为G,连接AG,则AG长的最小值 ∠BCE=60°，.△ABD≌△BCE,.∠BAD= 为 ∠CBE..∠CBE+∠ABE=60°，∴.∠BAD+ ∠ABE=60°，.∠AFE=60°，∠AFB=120°， 如图，以AB为底边作顶角为120°的等腰三角 形AOB,可得点F的轨迹是以点O为圆心、 B OA为半径的圆弧.当点D与点B重合时，点F 解析考虑题目中的不变量，有AE=CF, 也与点B重合，当点D与点C重合时，点F与 BG⊥EF,但∠BGE所对的边BE是不确定的. 点A重合，可得点F的轨迹是AB.,AB=3, 由AE=CF,可得EF必过正方形中心O.如图 1,连接BD,与EF交点即为点O.∠BGO为直 0A=3,AB=120 360 即 ×2x×3=23 角且边BO为定直线，∴.点G的轨迹是以BO 为直径的圆弧， 点F的运动路径的长为2 元. D 图1 图2 304 第1章) 几何最值 归纳：分析起点和终点位置，可解决一般轨 C、P、O共线时，OC取到最大值.，AB=6, 迹长度问题。 ..OP=AP=23,PC=3+3,..OC=OP+ (3)视角转换：动静互逆 PC=3+33,.点O与点C的最大距离为 ®引例12(2022·广西)已知∠M0N=a,点 3+33. A、B分别在射线OM、ON上运动，AB=6. (1)如图1，若a=90°，取AB的中点D,点 A、B运动时，点D也随之运动，点A,B、D的 对应点分别为A'、B'、D',连接OD、OD'.OD 与OD有什么数量关系？证明你的结论： B (2)如图2，若a=60°，以AB为斜边在其 右侧作等腰直角三角形ABC,求点O与点C的 图4 图5 最大距离： (3)当OA=OB时，△AOB的面积最大， (3)如图3，若a=45°，当点A、B运动到什 理由如下：构造等腰直角三角形APB, 么位置时，△AOB的面积最大？请说明理由， ∠APB=90°，如图5，则点O的轨迹是以点P 并求出△AOB面积的最大值. 为圆心、PA为半径的圆弧.取AB的中点H,当 M M O、P、H共线时，△AOB的面积最大.：AB= 6.PH-7AB-3.OP-AP-3/.OH- 60 3E+3.∴Sam=号AB·0H=号×6X 0 图1 图2 (32+3)=92十9.∴.当点A、B运动到OA= OB时，△AOB的面积最大，最大值为9√2+9. (4)转化线段 见引例13(2022·无锡)△ABC是边长为5的 459 等边三角形，△DCE是边长为3的等边三角形，直 B N 线BD与直线AE交于点F.如图，若点D在 图3 △ABC内，∠DBC=20°，则∠BAF= C解析(1)OD=OD',理由如下：在Rt△AOB 现将△DCE绕点C旋转一周，在这个旋转过程 中，D是AB的中点OD=2AB,同理， 中，线段AF长度的最小值是 OD'-ABAB-AB'OD-OD' (2)固定△ABC不动，将∠MON运动， :∠MON=60°，构造等腰三角形APB且 ∠APB=120°，如图4，则点O轨迹是以点P为 圆心、PA为半径的圆弧，.OC≤OP+PC.当 C解析，△ACB、△DEC都是等边三角形， 31 ☑壹学知道中考数学压轴题得高分◆ .AC=BC,CE=CD,∠ACB=∠DCE=60°， 的最小值为 ∴.∠ACB-∠ACD=∠DCE-∠ACD,即 ∠BCD=∠ACE,.△BCD≌△ACE, ∴.∠EAC=∠DBC=20°，∴.∠BAF=80° :∠EAC+∠F=∠DBC+∠BCA,∴.∠F 2.(2023·乐山)如图，在平面直角坐标系xOy ∠BCA=60°.如图1，作△ABC的外接圆，点F 中，直线y=一x一2与x轴、y轴分别交于 的轨迹是其中一段圆弧，但并不容易确定起点 A、B两点，C,D是半径为1的⊙O上的两 与终点.转化线段，过点A作AH⊥BF于点 动点，且CD=2,P为弦CD的中点.当C、 H.可得AF-2AH,当AH最小时.AF D两点在圆上运动时，△PAB面积的最大 值是 最小.考虑到CD绕着点C旋转，以点C为圆 心、3为半径作圆，即为点D的运动轨迹.如图 2,当点D在△ABC内部且BD与⊙C相切时， 此时AF最小.CB=5,CD=3,∴.BD=4,由 △BCD≌△ACE,得BD=AE=4.连接CF,则 △CDF≌△CEF,EFCE=原，AF= B A.8 B.6 C.4 D.3 4一√3，∴线段AF长度的最小值为4一5. 3.(2020·宿迁)如图，在矩形ABCD中，AB= 1,AD=3,P为AD上一个动点，连接BP, 线段BA与线段BQ关于BP所在的直线对 称，连接PQ,当点P从点A运动到点D时， 线段PQ在平面内扫过的面积为 图1 图2 C 4.(2021·鄂尔多斯)如图，已知正方形ABCD 的边长为6，F是正方形内一点，连接CF、 DF,且∠ADF=∠DCF,E是边AD上一动 》真题演练 点，连接EB、EF,则EB十EF长度的最小值 为 1.(2023·邵阳)如图，在矩形ABCD中，AB 2,AD=7,动点P在矩形的边上沿B· C→D·A运动.当点P不与点A、B重合 时，将△ABP沿AP对折，得到△AB‘P,连 接CB',则在点P的运动过程中，线段CB 32 第1章 几何最值 5.(2023·菏泽)如图，在四边形ABCD中， 上一动点，∠ACB的平分线交圆O于点D, ∠ABC=∠BAD=90°，AB=5,AD=4, ∠BAC的平分线交CD于点E,当点C从点 AD<BC,点E在线段BC上运动，点F在 M运动到点N时，则C、E两点的运动路径 线段AE上，∠ADF=∠BAE,则线段BF 长的比是 的最小值为 6.(2022·通辽)如图，⊙O是△ABC的外接 10.(2020·成都)如图，在矩形ABCD中， 圆，AC为直径，若AB=23,BC=3,点P AB=4,BC-3,E、F分别为边AB、CD的 从点B出发，在△ABC内运动且始终保持 中点.动点P从点E出发沿EA向点A运 ∠CBP=∠BAP,当C,P两点距离最小时， 动，同时，动点Q从点F出发沿C向点C 动点P的运动路径长为 运动，连接PQ,过点B作BH⊥PQ于点 H,连接DH.若点P的速度是点Q的速度 的2倍，在点P从点E运动至点A的过程 中，线段PQ长度的最大值为 ,线 段DH长度的最小值为 7.(2020·徐州)在△ABC中，若AB=6, FO ∠ACB=45°.则△ABC的面积的最大值为 8.(2023·黑龙江)如图，在Rt△ACB中， ∠BAC=30°，CB=2,E是斜边AB的中点， 把Rt△ABC绕点A顺时针旋转，得 11.(2023·辽宁)如图，在矩形ABCD中， Rt△AFD,点C、点B旋转后的对应点分别 AB=8,AD=10,M为BC的中点，E是 是点D、点F,连接CF、EF、CE,在旋转的 BM上的一点，连接AE,作点B关于直线 过程中，△CEF面积的最大值是 AE的对称点B',连接DB'并延长交BC于 点F,当BF最大时，点B'到BC的距离是 9.(2019·武汉)如图，AB是圆O的直径，M、 B N是弧AB(异于A、B)上两点，C是弧MN 33 公壹学知道中考数学压轴题得高分m● 12.(2023·达州)在△ABC中，AB=43,∠C 报：点A的位置不唯一，它在以BC为弦的 60,在边BC上有一点P,且BP=2AC,连接 圆弧上(，点B、C除外)，…，小华同学画出 了符合要求的一条圆弧（如图1）. AP,则AP的最小值为 (1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决。 13.(2021·广东)设O为坐标原点，A、B为抛 ①该弧所在圆的半径长为 物线y=x”上的两个动点，且OA⊥OB,连 ②△ABC面积的最大值为 接AB,过点O作OC⊥AB于点C,则点C (2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶 到y轴距离的最大值是 () 点不在小华所画的圆弧上，而在如图1 C./3 所示的弓形内部，我们记为A',请你利 D.1 用图1证明∠BA'C>30°： 14.(2023·宜其改编)如图，抛物线y=a.x2十 (3)请你运用所学知识，结合以上活动经验， bx十c与x轴交于点A(一4,0)、B(2,0), 解决问题：如图2，已知矩形ABCD的边 且经过点C(一2,6). 长AB=2,BC=3,点P在直线CD的 (1)求抛物线的表达式： (2)M是y轴上一动点，当∠AMC最大时， 左侧.且a∠DPC- 求点M的坐标. ①线段PB长的最小值为 ②若S△PD= F名SAAD,则线段PD长为 D 30 B 图1 图2 备用图 15.(2021·扬州)在一次数学探究活动中，李老 师设计了一份活动单： 已知线段BC=2,使用作图工具作 ∠BAC=30°，尝试操作后思考：(1)这样 的点A唯一吗？(2)点A的位置有什么 特征？你有什么感悟？ “追梦”学习小组通过操作、观察、讨论后汇 34下:.AB-AC. BAC-90.'B= ACB-45.. 3+ (4)如图,分别以AC、AP为边作等边三角形ACM、等边三角形 5-135°..ADE-45..4+5=135..'3-4APN,连接MNBM.由题意得△APC△ANM..$PC= 1DE-DF,.乙4-乙DCF...乙3-乙DCF.又 .CF二 NM.又.'AP=PN..'.PA+PB+PC=PN+PB+NM BM.'乙ACB-30*,ACM-60*..BCM-90..'CM AC-4.BC-5..BM- CM+BC=4+5=41,故 2 a,则BD-2a,BC-3..BA 2,BG-22a. 2BCv2 PA+PB+PC的最小值为v4 __. :_ 行#_# 5.解析(1)①等边 ②两点之间线段最短 ③120 A (2)如图,以AC为边在AC上方作等边三角形ACD,由点P为 “费马点”可得B、P、D共线且BD的长即为PA+PB+PC的 (3)当点P满足 APB-BPC=CPA-120*时,PA+ 值。. ACB30. ACD=60./BCD90..CD -. 2 CA-3.BC-4...BD- BC+CD-5...PA+PB+PC的 值为5. 'Cr3-③ 一. 4.解析:(1)60(2)如图,以AP为边作等边三角形APQ,连 CO..BAC-60-PAQ..BAC-PAC-PAQ 乙PAC,即BAP=CAQ,在△APB 和△AQC 中. AB-AC) (③213 解析:总成本为a·PA+a·PB+/2a·PC- BAP-CAQ...△APB△AQC(SAS)...PB-QC.又 a·(PA十PB十v②PC).如图,构造等腰直角三角形PCP',则 AP-AQ. PA一PO.'△PCQ即为以PA、PB、PC的长为边的三角形 PP'-②PC.作CA' CA且CA=CA,则△CPA△CPA' *AP-A'P...PA+PB+2PC-PB+PP'+PA'BA' 过点A'作AH1BC交BC延长线于点H,'乙ACH-180*一 60*一90-30*,.A'H- A'C-2km,CH-3A'H- (3)如图:以AP为边作等边三角形APQ,连接CQ,易证 2、3km..'BH-4v3km..BA'-BH+AH*-213 △APB△AQC,..乙AQC-APB=150*,又乙AQP= .总成本最低为2/13a元. 乙APQ-60..PQC-90.CPQ-30*,设CQ=x.则 cP-2r.PA-PQ-③x...(3x):+(2):-(7),解得 r-1..AP-3,cp-2,S= -x2x-.APC 的面积为③. 第4节 构造辅助圆 1. 11一2 解析:由题意得点B的轨迹是以点A为圆心、AB 为半径的圆强。.'.当A、B、C共线且点B在线段AC上时,CB 取到最小值,此时CB'-AC-AB'-/1I-2...CB的最小值 中考数学压轴题得高分 )5. 为VT-2. BAE+ DAF- DAB-90。.' AFD=90”$如图.取AD 2. D 解析:如图,连接OP、OC,则OP1CD.OC-1..'.OP= 的中点M,点F的轨迹是以点M为圆心、AD为直径的圆孤,当 2 B、F、M共线时,BF取到最小值,此时BF=BM一MF= 29-2..,线段BF的最小值为②9-2. OH1AB交AB于点H.由题意可得OA-OB-2,AB-2② ..OH-- AB-2,点P到AB的最大距离等于OH+OP- 23、7 . ③ 6 解析:CBP=BAP.. ABP+BAP ABP+ /CBP-90.' APB=90{*}:取AB的中点M:则点 P的轨迹是以点M为圆心、AB为直径的圆张.当C、P、M共线 且点P在线段CM上时,C、P之间的距离最小..AB一23 3.- 解析:点P从点A运动到点D时,点Q的轨迹是 'BM- 3.BC=3. ABC=90..'B[CM=30.$$$$ x1× 以点B为圆心、BA为半径的圆强,..S一2× 360 3{.动点P的运动 120 360 21 1) -C 4.3 13-3 解析:'ADF=DCF..DCF+CDF 7.99② ADF+CDF=90..'DFC-90..点F的轨迹是以CL 解析:.AB-6. ACB一45*,如图,以AB为边 在点C同侧作等腰直角三角形AOB:则点C的轨迹是以点C 为直径的圆张,如图,作点B关于AD的对称点B:连接BE,则 B'E-BE.取CD的中点M,连接B'M,与AD及圆张的交点分 为圆心、OA为半径的圆张。/AOB=90{*}连接CO,当CO]AE 别为E'、F',此时EB+EF取到最小值,此时B'E'+EF'= 时,△ABC的高CH最大:此时面积也最大:此时OH二AH B$'F'-B'M-F'M-313-3,即EB+EF长度的最小值为 3.OC=OA-33..△ABC的面积的最大值为×6X(3十 3VT3一3. 3/②)-9+9②. 8. 4+③ 解析:.'在Rt△ACB中,BAC-30”,CB-2 '.AB-4.AC-23.*'.点F的轨迹是以点A为圆心、4为半径 的圆,当点F在AC下方且AF CE时,△CEF面积最大,如 图,AFICE交CE的延长线于点H,则AH= $. V29-2 解析:. ADF-BAE,..乙ADF+DAF= 中考数学压轴题得高分 .6. #⊙# 1 $4-2,HF-HA+AF-3+4.'$$= CE一 11. AB1 2 解析:如图,由题意得AB一AB一8..',点B的轨迹是 -×2X(4+3)-4+3.v.△CEF面积的最大值为4+v3. 以点A为圆心、AB为半径的圆孤,当DF与该圆强相切时,BF 取到最大值,此时AB'1DF,△ABE△AB'E,.'点E与点F 重合,B'D-AD-AB'-6.'cos B'AD-cos CDE.即 B'ACD cos EB'H=cos EDC-cos DAB'= 9.2:1 D 解析:如图1.分别考虑C、E两点的轨迹,点C的轨 迹是MCN,其对应圆心角为乙MON,半径为OM(或ON).再考 虑点E的轨迹,.'CE、AE都是角平分线,连接BE..'BE平分 E(FMC 之ABC,从而可得之AEB=135,考虑到 AEB是定角,其对过 12.2\13一2 解析:如图,在AB上方取点O使得OA=OB. AB是定线段,根据定边对定角,所以点E的轨迹是圆强,考虑 且乙AOB-120,则点C的轨迹是以点O为圆心、OA为半径的 到 ADB-90*,所以点D即为因心,DA为半径,如图2:点E 圆张,可得OA-OB-4.取AC的中点M,连接OM,则OM 轨迹所对的圆心角为 MDN,是之MON的一半,C、E两点轨 LAC,AOM= ABC,延长AO与圆张交于点D,连接BD. 迹圆半径之比为1:v②,圆心角之比为2:1,',孤长比为 易证得 OBD=60$... ABD=90.BD=AO=4.连接PD ②:1.即运动路径长的比为/2.1. 'PBD+ ABC-90”OAM+ AOM-90”. PBD= CN OAM,又PB- '.BPD-AMO-90*.取BD的中点Q,则点P的轨迹是以 点Q为圆心、BD为直径的圆狐,当A、P、Q共线且点P在线段 图1 图2 AQ上时,AP取到最小值,此时AQ=AB+BQ-213 10.3/② 13-② 解析:当点P到达点A时,PQ长度最 大,此时点Q到达FC的中点...DQ=3.'.PQ-③+3= 为2v13-2. 3.②.最大值是3v②,连接FF与PQ交于点M,·'PE-2FQ '.EM一2FM,即点M是EF靠近点F的三等分点,连接BM 中点记为N,则点H的轨迹是以点N为圆心.BM为直径的 圆.'.当D、H、N共线时DH取到最小值,此时DN 13.A 解析:方法1:如图1,设点A坐标为(a,a),点B坐标 ③+2-1,MN-1+1-②.*DH-13-2. 为(一6,6).分别过点A、B作r轴的垂线,垂足分别为M、N; .DH长度的最小值是13-② ' AOB-90”,易证△AMOco△ONB,.'ab-ab,得ab-1. 一(一) -a一b,..直线AB的表达式为y (-b)(r-a)+a,即y-(a-b)r+ab,当x-0时,y=ab- 1.记AB与y轴交于点P,则点P坐标为(0,1).如图2..OC 1AB,可得点C的轨迹是以OP为真径的因张,.',点C到y键 中考数学压轴题得高分 .71 的最大距离为oP= 15.解析:(1)①2 ②2③ 2 (2)如图1,延长BA交圆孤于点 P,连接CP,则 CPB- CAB=30{$BA'C- CPB+ 乙PCA'>30*. 图1 图2 方法2:如图3,分别过点A、B作x轴的垂线,垂足分别为M 图1 N,连接AN交y轴于点Q,设OM-a,则AM=a,设ON (3)①7-5 解析:如图2,取CD中点M,过点M作MN b,则BN-b,由△AMO △ONB可得ab=ab,即a b-1. PQ AP MO Q0 NO 1CD.且MN三 -.点P的轨迹是以点V为圆心、ND为半径 十6 a+6'AMNM' 的圆孤,连接BN,与圆孤交于点P,此时PB取到最小值.连接 6..op*+a a十 一b-1.'点P坐 MN二 4, 97-5 2..PB长的最小值为 1。 {#行## ## 图③ 图2 图3 14.解析:(1)把A(-4,0)、B(2,0)、C(-2,6)代入y-ar+ ②7v2 3 解析:'AD-3,CD-2..若Srcn= (16-4+c-0. z b+c,得4a+2十c-0,解得 3 .抛物线的表达式 P到AD、CD的距离相等.如图3,作 ADC的平分线,与圆强 2. 4-26+-6. 交于点P,连接PC,过点C作CH PD交PD于点H. c-6. 为y-一 3~..ppv2 227V2 4 接因与v轴相切时,之AMC最大,延长AC交v轴于点D,连接 CM.AM,则△DCMo△DMA..'.DM=DC·DA.由题意得 第5节 瓜豆原理 直线AC的表达式为y=3+12...点D的坐标为(0;12); 解析:如图,取AB中点 '.AD=410,CD-210.*DM-DC·DA-410$ M.连接MQ.则MQ- 2. 10=80..DM=4v5...点M的坐标为(0:12-45) 。,点Q的 轨迹是以点M为圆心,-为半径的圆,在Rt△ABC中,AC-8, BC-6...AB-10.CM-5..CM-QMCQ<CM+QM. .3 2. D 解析:如图1,在边AB上取点P使得BP:AP-1:2. 中考数学压轴题得高分 .8.