第1章 第3节 费马点问题-中考数学压轴题得高分

第1章) 几何最值 第3节 “费马点”问题 前言：在三角形内求一点使其至三角形三个顶点的距离之和最小，这个问题是由费马向意大利 物理学家托里拆利提出并为托里拆利所解决，故这个点叫作“费马点”，也叫“托里拆利点”， 特别地，若∠BAC≥120°，如下图，此时点 》知识导航 A即为△ABC的费马点.（此时显然PA+ 1.费马点认识 PB+PC>AB+AC) D (1)费马点：在△ABC内找一点P,使得 PA+PB+PC最小. P ≥2.费马点证明 B 求最小值可以考虑：两点之间线段最短，如 结论：当△ABC各个内角均小于120°时，当 何能改变PA、PB、PC的位置，使其能形成共 点P满足∠APB=∠BPC=∠CPA=120° 线的情况？方法是构造旋转！ 时，PA十PB十PC的值最小，点P称为该三 以下给出证明：：∠APB=120°， 角形的费马点 ∴.∠APE=60°，如图1，在边PE上取点Q使 (2)如何画出费马点？ 得PQ=AP,则△APQ是等边三角形. (1)如图，分别以△ABC中的AB、AC为 ∴.△APC≌△AQE,PC=QE. 边，作等边三角形ABD、等边三角形ACE. ..PA+PB+PC=PQ+PB+QE=BE. (2)连接CD、BE,交于点P,点P即为费马点 BE的长即为PA+PB+PC的最小值. (3)以BC为边作等边三角形BCF,连接 AF,必过点P,有∠APB=∠BPC= ∠CPA=120. 图2 作为对比，如图2，在△ABC内任取一点 P,作同样构造，显然，PA+PB+PC=PQ+ BP+QE≥BE. 21 ☑壹学知道 中考数学压轴题得高分m● ≥3.费马点求值 MG =42,.MQ HQ=4,.NH= √NQ+HQ=√10+4=2w29. 在上面的证明中可得PA十PB十PC的 最小值即为BE,且BE=AF=CD. D 沙真题演练 L.(2021·淄博)两张宽为3cm的纸条交叉重 叠成四边形ABCD,如图所示.若∠a=30°， 则对角线BD上的动点P到A、B、C三点距 引例(2019·武汉)问题背景：如图1，将 离之和的最小值是 △ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE, DE与BC交于点P,可推出结论：PA+ D PC=PE. 问题解决：如图2，在△MVG中，MN=6, ∠M=75°，MG=4√2，O是△MNG内一点，则 点O到△MVG三个顶点的距离和的最小值是 2.(2022·鄂尔多斯)如图，在△ABC中，AB= AC=4,∠CAB=30°，AD⊥BC,垂足为D, P为线段AD上的一动点，连接PB、PC.则 PA+2PB的最小值为 B 0 D 图1 图2 B C解析以MG为边作等边三角形MHG,连接 3.(2020·重庆)如图，在R1△ABC中， NH,则NH的长即为点O到三个顶点距离之 ∠BAC=90°，AB=AC,D是边BC上一动 和的最小值。 点，连接AD,把AD绕点A逆时针旋转 90°，得到AE,连接CE、DE.F是DE的中 点，连接CF 1D求证：CF2AD: (2)如图2所示，在点D运动的过程中，当 过点H作HQ⊥NM交NM的延长线于 BD=2CD时，分别延长CF、BA,相交 点Q,根据∠NMG=75°，∠GMH=60°，可得 于点G,猜想AG与BC存在的数量关 ∠HMQ=45°，∴.△MHQ是等腰直角三角形， 系，并证明你猜想的结论： 「224 第1章) 几何最值 (3)在点D运动的过程中，在线段AD上存 (3)【解决问题】 在一点P,使PA+PB+PC的值最小 如图3，在边长为√7的等边三角形ABC 当PA+PB+PC的值取得最小值时， 内有一点P,∠APC=90°，∠BPC= AP的长为m,请直接用含m的式子表 120°，求△APC的面积： 示CE的长 (4)【拓展应用】 如图4是A、B、C三个村子位置的平面 图，经测量AC=4,BC=5,∠ACB= 30°，P为△ABC内的一个动点，连接 PA、PB、PC,求PA十PB+PC的最 图1 图2 小值. B 备用图 图 图2 图3 图4 4.(2018·鄂尔多斯) (1)【操作发现】 如图1，将△ABC绕点A顺时针旋转 60°，得到△ADE,连接BD,则∠ABD= (2)【类比探究】 如图2，在等边三角形ABC内任取一点 P,连接PA、PB、PC,求证：以PA、PB、 PC的长为三边必能组成三角形： 23 公壹学知道中考数学压轴题得高分m◆ 5.(2023·随州)1643年，法国数学家费马曾提 P沿直线向A、B、C三个村庄铺设电缆， 出一个著名的几何问题：给定不在同一条直 已知由中转站P到村庄A、B,C的铺设成 线上的三个点A、B、C,求平面上到这三个点 本分别为a元/km、a元/km、w2a元/km, 的距离之和最小的点的位置，意大利数学家 选取合适的P的位置，可以使总的铺设 和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该 成本最低为 元.（结果用含4的 点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问 式子表示) 题也被称为“将军巡营”问题 (1)下面是该问题的一种常见的解决方法，请 补充以下推理过程：（其中①处从“直角” 和“等边”中选择填空：②处从“两点之间 图 图2 线段最短”和“三角形两边之和大于第三 边”中选择填空：③处填写角度数：①处填 写该三角形的某个顶，点) 当△ABC的三个内角均小于120°时，如 B C B 图1，将△APC绕点C顺时针旋转60°得 图3 图4 图5 到△A'P'C,连接PP',由PC=P'C, ∠PCP'=60°，可知△PCP'为① 三角形，故PP'=PC,又P'A'=PA,故 PA+PB+PC=P'A'+PB+PP'> A'B,由② 可知，当B、P、P‘、A 在同一条直线上时，PA十PB十PC取最 小值，如图2，最小值为A'B,此时的点P 为该三角形的“费马点”，且有∠APC= ∠BPC=∠APB=③ :已知当 △ABC有一个内角大于或等于120°时， “费马点”为该三角形的某个顶点.如图3， 若∠BAC≥120°，则该三角形的“费马点” 为④ 点： (2)如图4，在△ABC中，三个内角均小于 120°，且AC=3,BC=4,∠ACB=30°，已 知P为△ABC的“费马点”，求PA+ PB+PC的值； (3)如图5，设村庄A、B、C的连线构成一个 三角形，且已知AC=4km,BC= 2√3km,∠ACB=60°.现欲建一中转站 「24--2r y-r-8.(3)△ABO是等腰直角三角形,·OA-AB-4v2, .抛物线表达式为y-- -6..(-3. OB-8..'OA十AB{}-OB.'△ABO是等腰直角三角形. (2)过点P作PN|r轴交BC于点N,由题意得点P坐标为 (4)由题意得:-PA+PB.取点Q(1.-1),连接OP、PQ,由 题意得点Q在OA上,.0Q-v2,0P-2v2,0A-42. CW-5 m,由△PQN△BOC可得PQ- 点共线时,7取到最小值5② 值,最大值为 .16 第3节“费马点”问题 9.解析:(1)将C(1,0)和B(0.3)代入y=一x十bx十c可得 1.6v2em 解析:以AB为边作等边三角形ABQ,连接CQ.CQ b=-2.c-3.'抛物线表达式为y=-x-2x+3.(2)由(1) 的长即为PA+PB十PC的最小值..纸条宽度为3cm. 可得A(-3,0),F(-1.4)..0A=3,0E三0E=1...取 '.BQ-BA=BC=6 cm...CQ=6/②cm...最小值为6/②cm P(-。).连接PE满足 OP OE C OE' △OrA.. - ()3# 82 2..BE' 2.4/2 解析:由题意得AD是线段BC的垂直平分线 'PB-PC'PA+2PB=PA士PB+PC,以AC为边在AC 10. 解析.(1)(3.0) (2)P(1:2).PA+PC=PB+PC>BC 上方作等边三角形ACQ,连接BQ,线段BQ的长即为PA十 3②,当B.P、C共线时,PA+PC取到最小值3/2. (③)由题 2PB的最小值.'CAB-30..BAQ-90*,:AQ-AC 意可得抛物线表达式为y一一.+2x十3,如图,设点M坐标为 (n.-n+2n十3).由题意得直线BC表达式为y=-x十3. AB-4..BQ-②AB-4v2...PA+2PB的最小值是4② .点Q坐标为(n,-m+3)..MQ--m+2m+3-(-m+ 3)--n+3m,又cQ-②m.'.v②cQ-2m.MQ+ ②CQ=-m+5m,当n= 标为(#). 1 3.解析:(1)由题意可证得△ADB△AEC...ACE三 乙ABD-45*,.DCE-90,'F是DE的中点,'CF (2)猜想:一证明如 2AD,即Cr2 AG2 2AD. 中考数学压轴题得高分 41 下:.AB-AC. BAC-90.'B= ACB-45.. 3+ (4)如图,分别以AC、AP为边作等边三角形ACM、等边三角形 5-135°..ADE-45..4+5=135..'3-4APN,连接MNBM.由题意得△APC△ANM..$PC= 1DE-DF,.乙4-乙DCF...乙3-乙DCF.又 .CF二 NM.又.'AP=PN..'.PA+PB+PC=PN+PB+NM BM.'乙ACB-30*,ACM-60*..BCM-90..'CM AC-4.BC-5..BM- CM+BC=4+5=41,故 2 a,则BD-2a,BC-3..BA 2,BG-22a. 2BCv2 PA+PB+PC的最小值为v4 __. :_ 行#_# 5.解析(1)①等边 ②两点之间线段最短 ③120 A (2)如图,以AC为边在AC上方作等边三角形ACD,由点P为 “费马点”可得B、P、D共线且BD的长即为PA+PB+PC的 (3)当点P满足 APB-BPC=CPA-120*时,PA+ 值。. ACB30. ACD=60./BCD90..CD -. 2 CA-3.BC-4...BD- BC+CD-5...PA+PB+PC的 值为5. 'Cr3-③ 一. 4.解析:(1)60(2)如图,以AP为边作等边三角形APQ,连 CO..BAC-60-PAQ..BAC-PAC-PAQ 乙PAC,即BAP=CAQ,在△APB 和△AQC 中. AB-AC) (③213 解析:总成本为a·PA+a·PB+/2a·PC- BAP-CAQ...△APB△AQC(SAS)...PB-QC.又 a·(PA十PB十v②PC).如图,构造等腰直角三角形PCP',则 AP-AQ. PA一PO.'△PCQ即为以PA、PB、PC的长为边的三角形 PP'-②PC.作CA' CA且CA=CA,则△CPA△CPA' *AP-A'P...PA+PB+2PC-PB+PP'+PA'BA' 过点A'作AH1BC交BC延长线于点H,'乙ACH-180*一 60*一90-30*,.A'H- A'C-2km,CH-3A'H- (3)如图:以AP为边作等边三角形APQ,连接CQ,易证 2、3km..'BH-4v3km..BA'-BH+AH*-213 △APB△AQC,..乙AQC-APB=150*,又乙AQP= .总成本最低为2/13a元. 乙APQ-60..PQC-90.CPQ-30*,设CQ=x.则 cP-2r.PA-PQ-③x...(3x):+(2):-(7),解得 r-1..AP-3,cp-2,S= -x2x-.APC 的面积为③. 第4节 构造辅助圆 1. 11一2 解析:由题意得点B的轨迹是以点A为圆心、AB 为半径的圆强。.'.当A、B、C共线且点B在线段AC上时,CB 取到最小值,此时CB'-AC-AB'-/1I-2...CB的最小值 中考数学压轴题得高分 )5.