第1章 第2节 PA+k⋅PB型最值-中考数学压轴题得高分

言学知道 中考数学压轴题得高分1IIID 第2节 “PA十k·PB”型最值 前言:求“PA十·PB”型是一类常见最值问题,包含“胡不归”模型和“阿氏圆”模型等,依据动点 在直线上(胡不归)或圆上(阿氏圆),构造线段转化·PB一PC,从而将问题化为PA+PC的最值,选 取恰当的点P,解决问题,除此之外,坐标系中的“PA十·PB”型,直接计算也是常用方法之一 即求BC士·AC的最小值 知识导航 。模型总结 1.“胡不归”模型 【作图】构造射线AD使得sin DAN一, CH 【故事背景】从前有个少年外出求学,某天不幸 AC -,即CH-·AC 得知老父亲病危的消息,便立即赶路回家,根据 B “两点之间线段最短”,虽然从他此刻的位置A 到家B之间是一片硬石地,但他义无反顾踏上 归途,当赶到家时,老人刚咽了气,小伙子追悔 莫及失声痛哭,邻居告诉小伙子说,老人弥留之 D 际不断念叨着“胡不归?胡不归?......”(“胡” 同“何”,意同“咋还不回来呢”) 【分析】将问题转化为求BC+CH的最小值, 而如果先沿着驿道AC先走一段,再走础 过点B作BHAD交MN于点C,交AD 石地,会不会更早些到家? 于点H,此时BC十CH取到最小值,BH的 _ 值即为BC十·AC的最小值 石地 / .B -驿道 【模型建立】如图,动点P在直线MN外的运 动速度为V,在直线MN上的运动速度为V。. 且VV。,A、B为定点:点C在直线MN上. 【思考】像上面这个例子求“BC十·AC”最 V. -的值最小. 小值,涉及一个动点两条线段,通过转化 B AC一CH解决问题 转化·AC的原因不是·AC带系 数,而是AC是一条方向不变的线段,当方向 AVC - 不变时,方能构造恰当的角度a满足sina一k. AC) BC 【问题分析】 将·AC转化为一条垂线段长,且此类 V V 问题中的:满足0<>1. V 一 若本题求“AC十n·BC的最小值”,需提 12 几何最值 则需自行构造a,如下图,这一步正是解决 “胡不归”问题关键所在 值”,因为方向变化的BC无法构造合适的 7 6·BC. /H 引例1(2019·长沙)如图,在△ABC中. $AB=AC-10,tanA-2,BEAC于点E,D -BD的最 小值是 变式2 若将问题变成“求/5CD十BD的最 小值”. 不考虑转化/5CD. 解析 BD”,考虑 2 其一在于/5>1,无法利用三角函数值 构造; 5 ,.作DHIAB交 tanA-2..sin ABE= 其二在于CD是一条方向变化的线段,无 ~ 法构造固定夹角构造·CD AB于点H,则DH- 正解:提出5即可,5CD+BD dE D 问题转化为求CD士DH的最小值,故C。 D、H三点共线时取得最小值,此时CD十 DH-CH-BE-4/5 2.“阿氏圆”模型 变式1 本题的巧妙在于sin/ABE= ,不 (1)定义:如图,已知A、B两点:点P满足PA: 再需要构造夹角,若稍作改变,将图形改造 PB一k(去1),则满足条件的所有的点P构成 如下: 的图形是圆 P M B 13 青学知道 中考数学压轴题得高分II (2)证明:角平分线定理与辅助圆 定点. ①内角平分线定理:如图,在△ABC中, “:_MPN= 1 AD是之BAC的平分线,则 AB DB ACDC '.点P的轨迹是以MN中点O为圆心、 MN为直径的圆. 性质与应用 性质1:A、B、M、N、O五点共线且A、B分别 B 在圆内外. 证明:S△AcD BD SAD ABXDE PA MA 一 性质2:定义得相同比例: CD'S△AcD PB ACXDF MB 一 AB NA .ACDC 一. NB ②外角平分线定理:如图,在△ABC中,外 【应用】根据点A、B的位置及的值可确定 角 CAE的平分线AD交BC的延长线于点 M、N及圆心O,反之,若已知A、B其中一 D,则ABDB 点、及圆O,可求得另一点。 uACDC 性质3:△OBP△OPA(可证OPB= OAP得相似). OBOP ,即OP*-OA·OB B 【应用】已知圆心、半径和A、B其中一点,可 SAD BD S△ABD ABXDE 证明:S△ACD 求A、B另外一点的位置 CD'SAcp ACXDF #.A. (3)问题设计:探究阿氏圆的应用 AB 引例2已知A、B求圆轨迹. ③证明:如图,PA:PB一,作 APB的 如图,在平面直角坐标系中,点A(一1,0). 平分线交AB于点M,根据角平分线定理. 点B(3,0),P是平面中一点且PA:PB=3: MA PA 1.求点P轨迹圆的圆心坐标 一,故M为定点,即APB的平分 MB PB 线交AB于定点. 解析 由阿氏圆性质1和性质2,可得 取M(2,0)满足MA:MB-3:1. 作 APB外角的平分线交直线AB于点 取N(5,0)满足NA:NB-3:1. NA P/A 一,故N '.点P轨迹圆的圆心坐标为MN的中点 N,根据外角平分线定理 .NBPB #). 为定点,即APB外角平分线交直线AB于 14 几何最值 ) 提下,确定那两个定点其中之一. 引例4最值问题的设计. MBONX 在平面直角坐标系中,已知A(一1,0),点 取点P所在的特殊位置来确定M、N的位 置,从而可得轨迹圆的圆心. 引例3已知圆轨迹求点A或B. 1 如图,在平面直角坐标系中,已知A(一1; 0),点P的轨迹是以点O( 径的圆,在工轴上存在一点B使得PA:PB= 3:1,求点B的坐标 解析 关键在于处理“ PA”,猜想:平面中存 O/Nx 在一点B使得P在圆上任意位置,均满足 PB1 1 ,即有PB一 1pA. PA 思路1:巧用阿氏圆性质1和性质2. 3 当点P运动到点M的位置时,有MA: 给出圆和点A的位置以及比值,求另一 MB-3:1. 点B的位置,即可将问题化为求PQ+PB的最 考虑到A(-1,0)、M(2,0),可得MB-1 小值. 考虑到A、M、B共线且点B在圆内. 由引例2得满足这样条件的点B的坐标是 可得点B的坐标为(3,0) (3.0). 且可由NA:NB-3:1,检验点B的正 确性。 思路2:由性质3构造“母子型”相似 引例5(2023·烟台改编)如图,抛物线 代入,可得OB一 y=ax^*}+bx+5与x轴交于A、B两点,与 y轴交于点C,AB一4.抛物线的对称轴x一3与 经过点A的直线y一hx-1交于点D,与x轴 交于点E. (1)求直线AD及抛物线的表达式; (2)以点B为圆心,画半径为2的圆,P为 以上两个引例是对阿氏圆性质的运用,我 们可以由阿氏圆定义画圆,也能在已知圆的前 N15 壹学知道 中考数学压轴题得高分II 模型总结 在阿氏圆模型中,有如下量: (1)两定点A、B (2)“PA士b·PB”问题中的“”; 备用图 (③)一个定圆. 解题思路:根据阿氏圆性质在平面中确 解析(1)由题意得点A的坐标为(1,0),点 定一点C,使得PC一·PB,将问题转化头 B的坐标为(5,0),可得直线AD的函数表达式 PA+PC的最值. 为y=x-1;将A(1,0)、B(5,0)代入抛物线表 如何确定点C的位置? a十b+5-0. 解得/“=1. .抛物 达式,得 思路1:利用点P在B、P、O共线的特殊 25a+56+5-0. 1--6. 位置: 线的表达式为y=x{-6x十5. 思路2:利用阿氏圆模型中存在的相似三 (2)在x轴上取点M(4,0),..BM=1; 角形. BM BP BP-2,BA-4,. (4)模型变式:比例系数的分析 引例6如图,在Rt△ABC中,/C=90”, PBA,..△BMP△BPA,:. PM BM PA BP AC=4,BC-3,以点C为圆心,2为半径作圆; 分别交AC、BC于D、E两点,P是⊙C上一个 1 点共线时,PC十 PA取到最小值/41. 2 1) # D解析 猜想:平面内存在一点M使得PM= PA,由阿氏圆模型得:点M与A、C共线,且 点M满足:CP*-CM·CA. 本题关键在于构造出PM一 代人CP、CA的值,即可得2=4·CM,解 定点M坐标是(4,0)? 得CM-1. 由性质2分析当点P运动到(3,0)时; PA+PB= PA=2,..PM=1,由性质1确定点M在x轴 上且在(3,0)右侧,..可得满足要求的点M坐 PM+PBBM=10 标为(4,0). .最小值为/10. 16 第1章 几何最值 (2)由题意得直线AB的函数表达式为 →# 思考1:这里为什么是PA? 2),记PD与AB的交点为Q,则点Q的坐标为 (#_) 2 Re 答:因为Rc-2,CA=4. 二 1 CA 2 1 .PM ..△CMP与△CPA的相似比为 - 7 ##” 2 1 思考2:如果问题是求PA+PB最小值, 人应为多少? 2 3. 3.计算最值 引例7(2023·内江改编)如图,在平面直 真题演练 角坐标系中,抛物线y三ax十bx十c与x轴交 1.(2021·彬州)如图,在△ABC中,AB=5. 于B(4.0)、C(一2,0)两点,与y轴交于点 .BDIAC于点D.P为线 A(0,-2). 5 (1)求该抛物线的函数表达式; (2)若P是直线AB下方抛物线上的一动 点,过点P作x轴的平行线交AB于点K,过点 /D PD的最大值及此时点P的坐标. V (第1题) (第2题) 2.(2021·眉山)如图,在菱形ABCD中,AB= AC=10,对角线AC、BD相交于点O,点M 在线段AC上,且AM=3,P为线段BD上 备用图 解析(1)抛物线的函数表达式为y 17 青学知道 中考数学压轴题得高分III 3.(2019·南通)如图,在平行四边形ABCD 长/的取值范围是 $中, $DAB=$6 0*},AB$=6,B$C=2,P 为$ $$ F PD的最小值等 于 图1 图2 P 7.(2022·梧州)如图,在平面直角坐标系中,直 线y一- 4 4.(2020·新藏)如图,在△ABC中,A=90* 。2 两点,抛物线y= B=60^{},AB=2,若$D是边BC上的动点;$ 则2AD十DC的最小值为 两点. (1)求此抛物线的表达式; (2)若点C的坐标是(0,6),将△ACO绕着 点C逆时针旋转90得到△ECF,点A的 对应点是点E. 5.(2023·自贡)如图,直线y三- 3+2与 ①写出点E的坐标,并判断点E是否在 此抛物线上; x轴、v轴分别交于A、B两点,D是线段AB 上一动点,H是直线y二- 3+2上的一动 EP取最小值时,点P的坐标 点,动点E(n,0),F(m+3,0),连接BE、 DF、HD.当BE+DF取最小值时,3BH+ 5DH的最小值是 6.(2021·大庆)已知,如图1,若AD是△ABC 中 BAC的内角平分线,通过证明可得 AB BD 的外角平分线,通过探究也有类似的性质,请 你根据上述信息,求解如下问题;如图2,在 △ABC中,BD=2,CD=3,AD是△ABC 的内角平分线,则△ABC的边BC上的中线 18 几何最值 8.(2021·张家界)如图,已知二次函数y 9.(2021·达州改编)如图,在平面直角坐标系 ax+bx十c的图像经过点C(2,一3),且与 中,抛物线y=-x^{}十bx十c交x轴于点A x轴交于原点及点B(8,0). 和点C(1,0),交v轴于点B(0,3),抛物线的 (1)求二次函数的表达式; 对称轴交:轴干点E,交抛物线干点F (2)求顶点A的坐标及直线AB的表达式; (1)求抛物线的表达式; (3)判断△ABO的形状,试说明理由; (2)将线段OE绕着点O沿顺时针方向旋转 (4)若P为O上的动点,且O的半径为 得到线段OE',旋转角为g(0{}<。<90{*}). 2/2,一动点E从点A出发,以每秒2个 3AE的最 单位长度的速度沿线段AP匀速运动到 小值. 点P,再以每秒1个单位长度的速度沿线 ## 段PB匀速运动到点B后停止运动,求 点E的运动时间7的最小值 1 E DCx A EOCX 备用图 19 青学知道 中考数学压轴题得高分IID 10.(2023·宁夏)如图,抛物线y=ax十bx+3 11.(2022·济南改编)抛物线y-ax{+ (a关0)与x轴交于A、B两点,与y轴交于 点C.已知点A的坐标是(一1,0),抛物线的 6与x轴交于A(t.0)、B(8,0)两点,与y轴 对称轴是直线x-1. 交于点C,直线y=hx一6经过点B.点P (1)直接写出点B的坐标; 在抛物线上,设点P的横坐标为n。 (2)在对称轴上找一点P,使PA十PC的值 (1)求抛物线的表达式和/、?的值; 最小,求出此时点P的坐标和PA十PC (2)如图2,若点P在直线BC上方的抛物 的最小值; 线上,过点P作PQ BC,垂足为Q,求 (3)第一象限内的抛物线上有一动点M,过 点M作MNx轴,垂足为N,连接BC V 交MN于点Q.依题意补全图形,当 MQ十/2CQ的值最大时,求点M的 坐标. 图1 图2 #0 #40 ## 备用图 203AP+4Q的值最本，DQ的长为，√）)+（产+3）=PB+PD的最小值，最小值为受AB=3v后。 510 4 4.6解析：过点D作DH⊥AC于点H,则DH=号DC 2AD+DC-2AD+DC)-2(AD+DH)AD+DH 的最小值即可.作DH关于CB的对称线段DH,过点A作 第2节“PA十k·PB”型最值 AQ LCH'于点Q,则AQ的长即为AD+DH的最小值. 1台解析：过点P作PH上A出于点H,则m∠ABD=号 3 AB=2,∠B=60°，.AC=25,AQ=3,∴.2AD+DC的 ∴PH=号PB,PC+PB=PC+PH,当C,P,H三点共 最小值为6， 线时取到最小值，如图.当CH'⊥AB时.则CH'的值即为 PC+号PB的最小值：A=专AB=5船-号 BD=4.AC·BD=AB·CH,CH=AC,BD AB 9 5.2 答-5PC+号PB的小值为9 6专<1空解析：由器意可得是-8品如图，作∠C外 角平分线AE交CB的延长线于点E,则AE⊥AD,且 CD= AB BE 2 ACCE=3:BC=5,BE=10.CE=15,点A的轨迹是 以DE为直径的圆，取BC的中点M.DM=?EM-空./ 27 解析：由题意可知BC=AB=AC,.△ABC是等边三 的取值范是<1< 角形，∠ABC=60∠DBC=号∠ABC=30,过点P作 PHLBC于点H,则PH=名PBMP+2PB=MP+PH, 当M,P、H三点共线，且MH'⊥BC时，取到最小值，最小值为 MH-CN-号x-7∴AMP+PB的最小值是2 B DM 1.解析：1y=--4(2)①点E6,3.在范物线上 5 HH @r(.-) 3.3尽解析：过点P作PH⊥AD交AD的延长线于点H,即8.解析：1)设抛物线的表达式为y=ax(r一8)，将C(2,-3) 可得PH-PD.过点B作AD的重线，垂线段BH的长即为代人得2a·(一6》=-3a=子二次函数的表达式为y= 1 中考数学压轴题得高分 ·3· 是-2，(2)点A的坐标为(4，-，直线AB的表达式为1.解折：1)将B(8,0)代人y=a+-6:得a=一是 4 y=x-8,(3)△AB0是等腰直角三角形，OA=AB=4v2, 抛物线表达式为y-一+号一64-3，- OB=8,∴OA2+AB=OB,∴.△ABO是等腰直角三角形. (2)过点P作PN⊥x轴交BC于点N,由题意得点P坐标为 (④)由题意得1=之PA+PB,取点Q1.-1,连接OP,PQ,由 (m,-m+号m-6）小点N坐标为(m,号m-6小 题意得点Q在OA上，：OQ=√2，OP=22,OA=42, 0e_0p1 OP-OA=2△0QPe△OPA.PQ=2PA,1= PN=-m+m-6-(m-6）=-m2+2m, PA+PB-0+PB≥QB-T-5g,当BP.Q三CN= 号m,由△PQNn△BOC可得PQ=号PN,NQ 点共线时，t取到最小值5√2. gPN.cQ+gQ=CN+NQ+号Q=cN+号PN+ 号PN=CN+PN=-子m+,当m=号时，取到最大 值，最大值为得 第3节“费马点”问题 9.解析：(1)将C(1,0)和B(0,3)代入y=一x2+br十c可得1.6V2cm解析：以AB为边作等边三角形ABQ,连接CQ,CQ b=-2,e=3,抛物线表达式为y=-x2-2x+3.(2)由(1)的长即为PA十PB+PC的最小值.：纸条宽度为3cm 可得A(一3,0)，F(-1,4),.OA=3,OE‘=OE=1,.取 .BQ=BA=BC=6cm,.CQ=6√2cm,.最小值为62cm. P(o)连接PE,满足8-器-号△0PE☑ 0 △0EA.器-8需-台pE=号.E+ 号AE=BE'+PE,当B,E,P共线时，BE+PE'=BP= √(+- 3B 3AE的最小值为 2.42解析：由题意得AD是线段BC的垂直平分线， 3 .PB=PC,PA+2PB=PA+PB+PC,以AC为边在AC 10.解析：(1)(3.0).(2)P(1.2),PA+PC=PB+PC≥BC= 上方作等边三角形ACQ,连接BQ,线段BQ的长即为PA十 32,当B,P,C共线时，PA十PC取到最小值3√2，(3)由题 2PB的最小值.：∠CAB=30°，∴∠BAQ=90°，：AQ=AC= 意可得抛物线表达式为y=一x+2x+3,如图，设点M坐标为 (m,-m+2n+3),由题意得直线BC表达式为y=一x+3, AB=4,.BQ=2AB=42,,PA+2PB的最小值是42. ∴.点Q坐标为(m,一m+3》..MQ=一m2十2m十3-（一m十 3)=-m2十3m,又CQ=√2m...V2CQ=2m..MQ+ CQ一m十5m,当m一号时，取到最大值此时点M的坐 标为（侣·） 3.解析：(1)由题意可证得△ADB≌△AEC,∴.∠ACE= ∠ABD=45,.∠DCE=90°，：F是DE的中点，∴CF= 专DE=号AD,即CF=号AD,2)特想：瓷-号证明如 中考数学压轴题得高分 ·4。