第1章 第1节“将军饮马”问题-中考数学压轴题得高分

第1章 几何最值 第1章 几何最值 >>>>>>> 第1节 “将军饮马”问题 前言:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗,而由此 却引电出一系列非常有趣的数学问题,称为“将军饮马”问题 知识导航 思路概括 作端点(点A或点B)关于折点(上图点 1.模型认识 P)所在直线的对称点,化折线段为直线段,根 据“两点之间线段最短”可得最小值 【问题描述】如图,将军在图中点A处,现在他 引例1在平面直角坐标系中,点A的坐标 要带马去河边喝水,之后返回军营,问:将军怎 么走能使得路程最短 是(0,1),点B的坐标是(3,2),在:轴上取一 点P,使得PA十PB最小,则点P的坐标是 .B军营 将军,A 河 ,B 【问题简化】如图,在直线上找一点P使得 D ) PA十PB最小 解析作点A关于x轴的对称点A,连接 A'B,与x轴的交点即为所求点P 【问题解决】作点A关于直线的对称点A',连接 ,B PA',则PA'=PA...PA+PB-PA'+PB ,B B 端A 由题意得点A的坐标为(0,-1). 设直线AB的函数表达式为y一kx十b. /二-1, 将A(0,-1)、B(3,2)代人,得 当A'、P、B三点共线时,PA'+PB= 3-2. A'B,此时PA十PB取得最小值.(两点之间线 解得/一1. 段最短) 一-1. 青学知道 中考数学压轴题得高分II '.直线AB的函数表达式为y一x-1,与 x轴的交点为(1,0). ..PA十PB最小时,点P的坐标是(1,0). p{ 2. 模型拓展 #72。 当P'、N、M、P”共线时,得△PMN周长 除了基本的模型之外,我们也可以利用类 的最小值,即线段PP”的长。 似的理论构造类似的图形,可用于求最值的结 连接OP',OP",则OP=OP'=OP”. 论有: 由作图可得, POB三P'OB,POA ①两点之间线段最短 POA, ②点与直线的连线中,垂线段最短; ' P'OP"-2AOB-60. ③三角形两边之差小于第三边 ..△OPP”为等边三角形, (1)点一点:一定两动 *P'P"=OP'=OP-8,即△PMN周长 在OA、OB上分别取点M、N,使得 的最小值是8. △PMN周长最小. 变式 若 AOB-45^或60{},△PMN周长的 最小值分别是多少? 【分析】此处M、N均为折点,分别作点P关 (2)点一点:两定两动 于OA(折点M所在直线)、OB(折点N所在 在OA、OB上分别取点M、N,使得四边 直线)的对称点,化折线段PM+MN+NP 形PMNQ的周长最小. 为P'M+MN+NP”,当P'、M、N、P”共线 时,△PMN周长最小. 引例2如图,P是乙AOB内任意一点, AOB-30{*,OP=8,M和N分别是射线OA 和射线OB上的动点,则△PMN周长的最小值 【分析】PQ是条定线段,故只需考虑PM十 是 MN十NQ有最小值即可,类似地,分别作点 B P、Q关于OA、OB的对称点P、Q,化折线 段PM+MN+NQ为PM+MN+NQ',当 P'.M、N、Q共线时,四边形PMNQ的周长 最小. 解析△PMN周长的最小值即PM十PN十 MN的最小值,M、N均为折点,分别作点P关 引例3在平面直角坐标系中,点P的坐标 于OB、OA的对称点P、P”,化PM+MN+ 是(1,3),点Q的坐标是(4,2),分别在y轴、 PN为PM+MN+P'N x轴上取点M、N,则四边形PMNQ周长的最 2 几何最值 小值是 CM+MN的最小值是 M D 解析 .AD是角平分线,..点N关于AD 解析考虑到PQ是定值,..只需PM+ 的对称点N在线段AB上,连接MN',有 MN+NQ的值最小即可,作点P关于y轴的 CM+MN=CM+MN',.M、N皆为动点. 对称点P,则点P的坐标是(-1,3),作点Q '.过点C作AB的垂线,与AD、AB的交点即 关于x轴的对称点Q,则点Q的坐标是(4. 为M、N',此时CM+MN'最小. -2). )y D D 最小值CN即为Rt△ABC斜边高线长, 由勾股定理得AB=AC+BC^{= 3^{+4^=$ 连接PQ,与y轴、x轴的交点即为M、 N,此时四边形PMNQ的周长最小,最小值为 -XCN, P'Q'+P~= 5+5+3+1-5②+10 .CV12. (3)点一线:点与直线的连线中,垂线段最短 在OA、OB上分别取点M、N,使得 (4)PA一PB型:三角形两边之差小于第三边 PM+MN最小. 在直线/上取点P,使得PA一PB最大 A、 7 .B 【分析】PA一PB型一般求最大值,且A、B 【分析】此处M为折点,作点P关于OA的对 初始位置在折点所在直线(上图中7)两侧,与 称点P',将折线段PM+MN转化为PM+ PA+PB型不同. MN,过点P'作OB的垂线分别交OA、OB于 作点B关于直线/的对称点B', 点M、N,线段P'N的长即为PM+MN的 则PA-PB=PA-PB' AB$ 最小值. 当A、B’、P三点共线时,PA-PB'= 引例4如图,在Rt△ABC中,ACB= AB',此时PA-PB最大 90*,AC-3,BC=4,AD平分 BAC,分别在 引例5(2019·陕西)如图,在正方形 AD、AC上取点M、N,连接CM、MN,则 ABCD中,AB=8,AC与BD交于点O,N是 3 壹学知道 中考数学压轴题得高分IID AO的中点,点M在边BC上,且BM=6.P为 【分析】考虑MN长度不变,即AM+NB取到 对角线BD上一点,则PM一PN的最大值为 最小值即可,通过平移,使A'N一AM,.'.AM+ NB-A'N+NB D 将军A. 河 A B ·B军营 解析作点M关于BD的对称点M,根据对称 问题化为求AN+NB的最小值,显然,当 性可知M'在线段AB上且AM'-2,连接PM' A'.N、B共线时,取到最小值,从而可得点N M'N,则PM'=PM..'.PM-PN=PM'-PN 的位置,即可确定桥的位置 M'N. D 思路概括 A / 2 M A P 当两条线段分离时,可通过平移,将其化 成共端点的折线段,求最值问题即是常规将 军饮马问题. (2)将军遥马 当M'、N、P共线时,PM'-PN=M'N 【问题描述】如图,将军在点A处,现在将军要 即PM-PN取到最大值 带马去河边喝水,并沿着河岸走一段路(长度为 ,M'AN- BAC= AC 4 AB 定值),再返回军营,问怎么走路程最短 45*.'△AM'NCo△ABC. ·B军营 *AM'N- ABC-90{} 将军A. 即△AMN是等腰直角三角形, ..M'N-AM'-2. 河 '.PM-PN的最大值为2 【问题简化】已知A、B两点,MN长度为定值. 3. 平移型将军饮马 确定M、N两点的位置,使得AM+NB值 最小. (1)造桥选址 【分析】将AM平移使M、N重合,则AM一 【问题描述】已知将军在图中点A处,现要过河 A'N,将AM+BN转化为A'N+BN 去往B点的军营,桥必须垂直于河岸建造,问; 桥建在何处才能使路程最短 # 将军A M 河 作点A'关于MN的对称点A”,连接A”B, B军营 可依次确定N、M位置,从而可得路线 A 第1章 几何最值 引例6(2022·自贡)如图,在矩形ABCD B(0,4).'$OA'=OA=2,A'B=6.'A“B$ 中,AB=4.BC=2,G是AD的中点,线段EF AA*+AB=2+6=210,.AC+ 在边AB上左右滑动,若EF=1,则GE+CF BD的最小值为2/10. ## 的最小值为 D 解析作点G关于AB的对称点M,连接 变式在引例7的条件下,连接AD、BC,求 EM,则有EM=EG,将ME平移至NF,GE+ AD+BC的最小值 ##)##) CF=ME+CF=NF+CF>CN,当N、F、C 共线时取到最小值,即线段CN的长,由作图得 AM=BH-AG-1.MN-EF=1,.'$CH- NH-4-1-3, .CN= CH*+NH*= ③+3=3②,.GE+CF的最小值为3/② D G / -B H N 4. 问题设计 引例7(2020·荆门)在平面直角坐标系 【解题思路】作端点关于折点所在直线的对 中,长为2的线段CD(点D在点C右侧)在 称点. x轴上移动,A(0,2).B(0,4):连接AC、BD. 【题型总结】为了便于构造对称,通常将军饮马 ( 则AC十BD的最小值为 ) 问题存在于角平分线、等腰(边)三角形、正方形 中,折点所在直线通常为对称轴,直接作对称 B 即可。 【变式分析】(1)非轴对称图形确定对称点的位 CD 置;(2)确定折点所在直线;(3)动静互逆 (1)非轴对称图形确定对称点的位置 A.2/5 B.2/10 C.6/2 D.3/5 引例8(2021·西藏)如图,在Rt△ABC 解析 作点A关于:轴的对称点A',再将A 中,A=30*,C=90^{},AB-6,P是线段A$C$ 向右移动2个单位得点A”,则有A“D=AC AC,.'AC+BD=A“D+BDA”B,当A"D 时,PB十PM的最小值为 B三点共线时,即可取得最小值,.A(0,2), ~ 15 喜学知道 中考数学压轴题得高分II 的最小值为2/13. (5字 B M ? A.3、/3 B.2/7 D.3/3+3 A C. 2/③+2 (3)动静互逆 解析作点B关于直线AC的对称点B',连 引例10(2023·齐齐哈尔改编)综合与探 接B'M,则B'M的长即为PB+PM的最小 究:如图,抛物线y=一x^}十bx十c上点A、C的 值,过点B'作B'H AB交AB于点H,则 坐标分别为(0,2)、(4,0),抛物线与x轴负半轴 MH=1,B'H=3 ③,'B'M=(3③)+1^*=$ 交于点B,M为v轴负半轴上一点,且OM=2. 2./7,..PB+PM的最小值为2/7 连接AC、CM.将抛物线沿x轴的负方向平移得 B 到新抛物线,点A的对应点为A',点C的对应 点为C',在抛物线平移过程中,当MA'+MC'的 值最小时,新抛物线的顶点坐标为 MA'+MC'的最小值为 M If B (2)确定折点所在直线 # 引例9(2019·西藏)如图,在矩形ABCD 中,AB-6,AD=3,动点P满足SPA= 解析 确定抛物线沿:轴负方向移动的距 3S距形ABCD,则点P到A、B两点距离之和 离,即可确定新抛物线的顶点坐标,抛物线位置 PA十PB的最小值为 ) 保持不变,将点M向:轴正方向移动,点M所 C D 在直线为y=-2,作点A关于直线y=-2的 对称点A”(0,-6),连接A°C,与直线y=-2 的交点即为点M.设直线AC的函数表达式为 7 y=kx+b,将A”(0,一6)、C(4,0)代人,得 A.2/13 B.2/10 C.3/5 D.v41 /=-6. 解析 由S△PAB= 解得 , 14+6-0. #--6. 迹为直线MN(AM-BN-2),作点B关于 3 - MN的对称点B',化折线PA+PB为PA+ PB'$当A、P、B三点共线时,取到最小值,由作 图得BN=B'N=2..'BB'=4,..AB$'$$$ $AB+BB- 6^+4^*-213,即PA+$P$$ 6 第1章 几何最值 MA'士MC'的值最小,由题意得原抛物线的顶 1525 *.BM+MN+ND的最小值为 点坐标为(7). -20. ),·.新抛物线顶点坐标为 A (-1. /4 D .MA'士MC'的最小值即为A“C OC+AC-4+6-2/13. , 。 B 7 (2)“逆等线”问题 5. 模型变式 引例12(2023·黄冈改编)如图,在△ABC 中,已知A(1,3)、B(0,-4)、C(4,0),D、E分 (1)平移构造 引例11(2023·日照改编)如图,在矩形 别是边AB、BC上的动点,目AD三BE,连接 ABCD中,AB-6,AD-8,点P在对角线BD CD,AE,则AE士CD的最小值是 上,过点P作MN BD,交边AD、BC于点 M.N,连接BM、DN.则BM+MN+ND的最 小值是 D 解析过点A作AF/BC,构造△ADF -C △BEA,则AF=AB-5/2,..点F的坐标为 (一4.-2),则DF=AE,..AE+CD=DF+ 解析过点M作MHIBC于点H,易证 MHMN CD>CF-2/17,当C、D、F三点共线时取到 △MHN△BCD.:. BC= BD..AB-6. 最小值,..AE+CD的最小值为2/17 AD-8...MH-6,BC-8,BD-10...MN= 3) 15 9 7 在BN上取 点A'使得A'N=AM,构造△A'B'N ABM,如图,则B'N=BM,..BM+DN B N+DN BD12*+() B 7 喜学知道 中考数学压轴题得高分II 4.(2022·聊城)如图,一次函数v三x十4的图 像与x轴、v轴分别交于点A、B,C(一2,0) 是x轴上一点,E、F分别为直线y三x+4 真题演练 和y轴上的两个动点,当△CEF周长最小 ( 时,点E、F的坐标分别为 ) 1.(2022·德州)如图,正方形ABCD的边长为 6.点E在BC上,CE-2.M是对角线BD上的 $ 一个动点,则EM+CM的最小值是 ( ) A D ,1 A.#(-)-(0一2) B C A.6/2 D.4v13 B.3/5 C.2/13 B. E(-2,2),F(0.2) C.E(-)#(() 2.(2022·赤峰)如图,在菱形ABCD中,点A、 B.C D均在坐标轴上. ABC=120{*,A(-3, D. E(-2,2),F(0,) 0),E是CD的中点,P是OC上的一动点,则 _ PD十PE的最小值是 ) 5.(2022·资阳)如图,正方形ABCD的对角线 交于点O,E是真线BC上一动点,若AB D 4.则AE十QE的最小值是 ( _ A D B EC A.3 B.5 C.2/2 A.4/2 B.2/5+2 3.(2023·德阳)如图,平行四边形ABCD的面 C.2/13 D.2/10 积为12,AC=BD=6,AC与BD交于点O. 6.(2023·通辽)如图,在扇形AOB中,AOB= 分别过点C、D作BD、AC的平行线相交于点 60{*},OD平分AOB交AB于点D,C是半径 F.G是CD的中点,P是四边形OCFD边上 OB 上一动点,若OA一1,则阴影部分周长的最 _ 的动点,则PG的最小值是 ) ( 小值为 ) D .G >E _# 1 D C 2}{~ A.1 B. D.3 8 几何最值 B/2 P在正方形的边上,则满足PE+PF一9的 3 ( 点P的个数是 ) A -D 7.(2022·内江)如图,矩形ABCD中,AB=6 AD=4,E、F分别是AB、DC上的动点; EF//BC,则AF+CE的最小值是 B A.0 B.4 C.6 BD D.8 11.(2022·黄石)如图,在等边三角形ABC中, 1 -, AB=10,E为高AD上的一动点,以BE为 边作等边三角形BEF,连接DF、CF,则 BCF= ,FB十FD的最小值为 C 8.(2020·鞍山)如图,在平面直角坐标系中,已 知A(3,6)、B(-2,2),在x轴上取两点C、 D(点C在点D左侧),且始终保持CD=1 线段CD在x轴上平移,当AD士BC的值最 小时,点C的坐标为 A 12.(2021·连云港)如图,正方形ABCD内接 于O,线段MN在对角线BD上运动,若 B O的面积为2x,MN=1,则△AMN周长 。 的最小值是 ) OCD 9.(2020·内江)如图,在矩形ABCD中,BC= 10. \ABD=30{**,若M、N分别是线段DB AB上的两个动点,则AM十MN的最小值 C.5 A.3 B.4 D.6 13.(2022·徐州改编)如图,一次函数y一x+2 交于点A,与x轴交于点B,与y轴交于点 10.(2019·安微)如图,在正方形ABCD中,点 C.过点A作AD|x轴交x轴于点D,点C E、F将对角线AC三等分,且AC-12,点 关于直线AD的对称点为点E.P是y轴上 29 壹学知道 中考数学压轴题得高分III 一点,当 PE一PB 最大时,点P的坐标是 17.(2022·遵义)如图,在等腰直角三角形ABC 中,BAC=90{*},M、N分别为BC.AC上的 动点,且AN=CM,AB=/2.当AM+BN的 值最小时,CM的长为 14. (2022·滨州)如图,在矩形ABCD中,AB 5.AD-10.若E是边AD上的一个动点,过 点E作EF AC且分别交对角线AC、直线 18.(2023·天水改编)如图,抛物线y一一x十 BC于点②、F,则在点E移动的过程中 bx与:轴交于点A,与直线y三一x交于 AF+FE+EC的最小值为 点B(4,-4),点C(0,-4)在y轴上.点P E D 从点B出发,沿线段BO方向匀速运动,运 动到点O时停止,点P从点B开始运动时; 点Q从点O同时出发,以与点P相同的速 度沿x轴正方向匀速运动,点P停止运动 15.(2023·陕西)如图,在矩形ABCD中, 时点Q也停止运动.连接BQ、PC,则CP AB=3,BC=4.点E在边AD上,且ED BQ的最小值是 3.M、N分别是边AB、BC上的动点,且 V BM一BN,P是线段CE上的动点,连接 PM、PN.若PM+PN=4.则线段PC的长 为 19.(2020·南京)如图1,要在一条笔直的路边 ) / 上建一个燃气站,向/同侧的A、B两个城 16.(2021·广西)如图,已知点A(3,0)、B(1; 镇分别铺设管道输送燃气.试确定燃气站的 0).C(-3,9)、D(2,4)两点在抛物线y=x 位置,使铺设管道的路线最短 上,向左或向右平移抛物线后,C、D的对应 (1)如图2,作出点A关于/的对称点A',线 点分别为C'、D.当四边形ABC'D'的周长 段AB与直线/的交点C的位置即为 最小时,抛物线的表达式为 所求,即在点C处建燃气站,所得路线 ACB是最短的,为了证明点C的位置即 为所求,不妨在直线/上另外任取一点 C',连接AC'、BC',证明AC+CB< AC'+CB.请完成这个证明; OBA 。 (2)如果在A、B两个城镇之间规划一个生 10参考答案 第1章几何最值 和最大值.先求PE十PF最小值：作点E关于直线AD的对称 点E',连接PE'、AE',则PE十PF=PE+PF,当E'、P、F三 第1节“将军饮马”问题 点共线时，取到最小值，由题意可得∠EAP=∠EAP=45, 1.C2.A3.A E'A=EA=EF=4,∴∠EAE=90°，AF=8,此时PE'十PF 4.C解析：如图，作点C关于直线y=x十4的对称点C1,作点 E'F=√AE+AF=√4+8=45<9，显然PE+PF的 C关于y轴的对称点C:,连接CC:,与直线y=x十4和y轴 最大值大于9，.在边AD上存在两个点P使得PE+PF=9, 的交点即为所求点E,F,由题意得点C的坐标为（一2,0），∴点 ,在正方形的边上共有8个这样的点P。 C1的坐标为（一4,2），点C2的坐标为(2,0)，，直线C1C:的函 y=x十4， 1 数表达式为y= 3t2 ,联立方程组 1 2解 y=- 3x+3 5 2 “点E的坐标为(-吾，2)：把x=0代人 11.30°53解析：：△ABC是等边三角形，AD是高， 21 ·∠BAD=30°，由题意可证△BEA≌△BFC,∠BCF= 2 y=- 3+ 得y=号点F的坐标为0，号)】 ∠BAE一30°：如图，作点B关于CF的对称点G,连接BG、CG、 FG、DG.由题意得△BCG是等边三角形，FG=FB,'·FB十 =x+4 FD=FG+FD>DG.AB 10,.BD =5,.DG= √BG-BD=√10-5=5√5，当D、F、G三点共线时， FB十FD取到最小值5√3 5.D6.A7.10 8.(一1,0)解析：如图，将点B向右平移1个单位长度得 B(一1,2)，再作点B关于x轴的对称点B”,则B"(一1，一2)， 连接AB",与x轴的交点即为点D.由题意得直线AB"的函数表 达式为y=2x,∴.点D的坐标为(0,0)，∴点C的坐标为（一1,0）. G 12.B解析：如图，将线段CM平移至NC',连接CC',则四边 形C'NMC为平行四边形，.NC'=MC=MA,CC'=MN=1, 连接AC、AC',则∠ACC=90°，当A、N,C三点共线时，AN+ NC取到最小值，：⊙0的面积是2x,∴.OA=√2，AC=2√2， (第8题) (第9题) ∴AC'=√AC+CCr=√(2√2)+1F=3,∴.△AMN周长的 9.15解析：如图，作射线BP使得∠DBP=30°，则点N关于 最小值为3+1=4. BD的对称点N'在射线BP上，过点A作BP的垂线，垂足为 N',AN'与BD的交点即为M,此时AM+MN取得最小值 :BC=10,AB=103,AN'=15,.AM+MN的最小值 为15. 10.D解析：在边AD上任取一点P,求出PE+PF的最小值 中考数学压轴题得高分 ·1· y=x+2, 13.(0,一2)解析：由题意得 8 解得=2， 或 1C-方C-E-2-g,博CM的长为2-E. CM 2 1十√2 y=4, x一4， .A(2,4),C(0,2),B(-2,0),D(2,0),E(4,2, (y=-2. ∴.B、D关于y轴对称，PB=PD,PE-PB=IPE-PD≤ DE=2√2，当P、D、E三点共线时，|PE一PB|取到最大值，此 时点P的坐标为(0，一2). 18.43 19.解析：(1)证明：连接A'C,则AC'+C'B=A'C+C'B> A'B-AC+CB-AC+CB,..AC+CB<AC'+C'B. 14.25+55 2 15.2E解析：DE=3=CD,∴∠DEC=∠DCE,又：四边 形ABCD是矩形，.AD∥BC,.∠DEC=∠BCE, :∠DCE=∠BCE,在边CD上取点N'使得CN=CN',则(2)如图1，当生态保护区是正方形时，最短路线是AM+MN+ △PCN≌△PCN',∴.PN=PN',:PM+PN'≥AD=4,∴当 NB:如图2，当生态保护区是圆时，最短路线是AM+MN十 M、P,N'三点共线且MN'⊥AB时，PM+PN=PM+PN'= NP+PB.(MN、BP均与图相切) 4,此时PM=PN=PW'=2,∴.PC=2√2. D B 图1 图2 16y-(-)解折：运动是相对的，考患A,B与C,D 20.解析：(1)将B(3,0),C(0,3)代入y=一x十bx十c,得 的相对位置.AB=2,将点C向右平移2个单位得C1(一1， -9+3b十c=0, b=2, 解得 .二次函数的表达式为y= 9),作点D关于x轴的对称点D(2,一4)，连接C1D1,与x轴 (c=3, (c=3. 的交点即为A1,由题意可得直线CD,的函数表达式为y 号+号点A的坐标为（借，）由点A向左平移铝个 +3.(2)AQ-3PQ.AQ-3AP3AP 单位得到…抛物线应向右平移器个单位，表达式为y一( 4DQ=4(AP+D0)-4AQ+DQ.过点Q作aE∥BC,由 } 题意可得D0,-3》A(-1.0,AB-4铝-侣-是 AE=3,∴E(2,0),∴QE的函数表达式为y=一x十2，作点 17.2-√2解析：过点C作CP⊥BC且CP=AB,连接MP,则 A关于直线y=一x十2的对称点A',则点A'坐标为(2,3)，连 △BAN≌△PCM,.BN=PM,.AM+BN=AM+PM 接A'D,可得直线A'D的函数表达式为y=3x一3，联立方程组 AP,当A、M、P三点共线且点M在线段AP上时，AM十BN 5 取到最小值，过点A作AQ⊥BC交BC于点Q,则△AQM∽ y=3x-3, 解得 △0n提-是-言A8=.c=2.60- (y=-x+2, “点Q坐标为（受，）此时 y= 中考数学压轴题得高分 ·2· 3MP+DQ的值最小，DQ的长为，√(+(+3-PB+停PD的最小值，最小值为受AB-3v, 5√1o HA 4.6 解析：过点D作DH LAC于点H,则DH-DC 2AD+DC=2(AD+合DC-2AD+DH),即求AD+DH 的最小值即可.作DH关于CB的对称线段DH',过点A作 第2节“PA十k·PB”型最值 AQ⊥CH'于点Q,则AQ的长即为AD+DH的最小值. 1.普解析：过点P作PHLAB于点H,则sn∠ABD=号， 3 AB=2,∠B=60°，.AC=2V3,.AQ=3,.2AD+DC的 最小值为6. ∴PH-号PB,PC+号PB=PC+PH,当C、P,H三点共 线时取到最小值，如图，当CH'⊥AB时，则CH'的值即为 PC+号PB的最小值：mA-音AB=5,小船=台 BD=4.:AC·BD=AB·CH',CH=AC:BD AB 39 5. 货-总PC+PB的最小值为号 6言<空解析，由题意可得是-船如图，作∠BAC外 角平分线AE交CB的延长线于点E,则AE1AD,且B ACCE=3,BC=5,BE=10,CE=15,点A的轨迹是 AB BE 2 29 以DE为直径的圆，取BC的中点M,DM-号，BM-空1 解析：由题意可知BC=AB=AC,∴.△ABC是等边三 的取值范围是号<1<受 角形，i∠ABC=60,∠DBC=号∠ABC=30,过点P作 PHLBC于点H,则PH=PB,iMP+号PB=MP+PH, 当M、P、H三点共线，且MH'⊥BC时，取到最小值，最小值为 MH-停CM-号×-Np+PB的最小值是华 B DM D 7解折：0y--420点BC63)在箱物线上 @P(,-) 3.33解析：过点P作PH⊥AD交AD的延长线于点H,即8，解析：(1)设抛物线的表达式为y=ax(x-8),将C(2,一3) 可得PH=PD,过点B作AD的垂线，垂线段BH'的长即为 1 代人得2a·（-6)■一3，a=年二次函数的表达式为y■ 中考数学压轴题得高分 ·3·