精品解析：江苏省江阴市某校2024-2025学年高二上学期10月学情调研数学试卷

2024-2025学年度秋学期10月学情调研试卷 高二数学 一、单选题（本题包括8小题，每题5分，共40分） 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据方向向量的定义即可求解. 【详解】的一个方向向量是, 故选：A 2. 若直线和直线平行，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行的判定列方程求参数值. 【详解】由，即为，且与平行， 所以. 故选：A 3. 若是关于的实系数方程的一根，则的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 0 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】将方程的根代入方程进行运算化简,然后利用复数相等的条件即得答案. 【详解】由题意可得，即， 所以. 故选：C. 4. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用共面向量定理结合基底的定义逐项判断. 【详解】对于A，，所以，三个向量共面，A选项错误； 对于B，，所以三个向量共面，B选项错误； 对于C， ，三个向量共面，C选项错误； 对于D，假设共面，则， 所以，可知该方程组无解，即三个向量不共面，D选项正确. 故选：D. 5. 已知平行六面体的所有棱长均为2，，为的中点，则向量的模长为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】以为基底表示出，再利用数量积的运算律计算可得. 【详解】由平行六面体的所有棱长均为，， 得， 依题意，， 因此 ，所以. 故选：C 6. 已知直线及两点，.若直线与线段（指向）的延长线（不含点）相交，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直线过定点，求出直线PQ、MQ的斜率，数形结合可求得直线斜率的取值范围. 【详解】直线过定点，作出图像如下图所示： ，，直线的斜率为， 若直线与线段（指向）的延长线（不含点）相交，则，即. 故选：B 7. 如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】建立合适的空间直角坐标系，求出点P的轨迹结合函数求最值即可. 【详解】 依据题意可以建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设， 所以， 即，所以， 而， 由二次函数的单调性可知， 当时，，则. 故选：B 8. 如图，在三棱锥中，点G为底面的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若，，，则 =（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量加减、数乘的几何意义得到，再由四点共面的推论得，即可得答案. 【详解】由题设，而， 所以， 又四点共面，则，所以. 故选：C 二、多选题（本题包括3小题，每题6分，共18分） 9. 关于直线，下列说法正确的有（ ） A. 过点 B. 斜率为 C. 倾斜角为60° D. 在轴上的截距为1 【答案】BC 【解析】 【分析】A. 当时，，所以该选项错误； B. 直线的斜率为，所以该选项正确； C.直线的倾斜角为60°，所以该选项正确； D. 当时，，所以该选项错误. 【详解】A. 当时，，所以直线不经过点，所以该选项错误； B. 由题得，所以直线的斜率为，所以该选项正确； C. 由于直线的斜率为，所以直线的倾斜角为60°，所以该选项正确； D. 当时，，所以直线在轴上的截距不为1，所以该选项错误. 故选：BC 10. 已知复数，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的虚部为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AB 【解析】 【分析】根据复数的运算及概念，直接判断AB，举例判断CD. 【详解】A.设，由得，那么也是实数，正确； B.设，由得，那么的虚部为，正确； C.若，则，此时，错误； D.若，为实数，所以不一定是实数，错误. 故选：AB 11. 在棱长为2的正方体中，、、分别为，，的中点，则下列选项正确的是（ ）． A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 存在实数、使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】以为原点，为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算逐项判断即可. 【详解】解：如图，以为原点，为轴建立空间直角坐标系 则，，，，，，，，，， 对于A，，所以，则，故A正确； 对于B，，， 所以， 因此，直线与所成角的余弦值为，故B正确； 对于C，又，设平面的法向量为， 则，令，则，又， 则点到平面的距离， 又中，，则， 所以， 故，故C错误； 对于D，因为，，所以， 则，则四点共面， 又，，所以，则共面， 即存在实数、使得，故D正确； 故选：ABD． 三、填空题（本题包括3小题，每题5分，共15分） 12. 设直线l的斜率为k，且，则直线的倾斜角的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用倾斜角与斜率关系图象得解. 【详解】 由图得当时， 故答案为： 【点睛】熟悉倾斜角与斜率函数图象是解题关键. 13. 已知i是虚数单位，若复数z满足，则_______. 【答案】 【解析】 【分析】根据及模长的性质即可得到结果. 【详解】. 故答案为：. 14. 如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线上a，b分别取点，E和点A，F，使且．已知，，．则线段的长为____________． 【答案】4或2 【解析】 【分析】根据向量的线性运算可得，两边平方，利用向量的数量积运算，结合题意已知可得结果. 【详解】由题意知，，所以， 展开得， 异面直线a，b所成角为，代入， 所以或， 故答案为：4或2 四、解答题（本题包括5小题，共77分） 15. 设，复数. （1）求m为何值时，z为纯虚数； （2）若复数z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 【答案】（1）2 （2） 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的概念即可列出方程，进而求解即可； （2）复平面内的点位于第四象限，则横坐标大于0，同时纵坐标小于0，据此列出不等式求解即可. 【小问1详解】 由解得或； 当时，是纯虚数， 当时，为实数， 所以. 【小问2详解】 因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以，解得. 16. 求符合下列条件的直线方程： （1）直线过点，且斜率为； （2）直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）由直线的点斜式方程求解即可. （2）分截距为0和不为0两种情况求解. 【小问1详解】 因为直线过点，且斜率为， 所以，化简可得：. 【小问2详解】 当横、纵截距都是0时，设直线的方程为. ∵直线过点， ∴，即直线的方程为. 当截距均不为0时，设直线的方程为. ∵直线过点， ∴，解得，即直线方程为. 综上，所求直线方程为或. 17. 如图，在三棱台中，，，，侧棱平面，点D是棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）证明如下： 以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 根据题意可得，，，，，， ，，， 设平面的法向量为， 则，令，即，，则， ， ， 平面. （2） 【解析】 【分析】（1）以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，将线面垂直的证明转化为证明直线的方向向量与平面的法向量共线. （2）将面面角转化为两平面的法向量所成角，再利用向量夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 设平面的法向量为， 则，令，即，，即， 由（1）知，，， 设平面的法向量为， 则，令，即，，即， 设平面与平面的夹角为， 则， 平面与平面的夹角的余弦值为. 18. 已知直线. （1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时l的方程. 【答案】（1）；（2）最小值是4，方程为． 【解析】 【分析】（1）由直线过定点可得斜率的范围； （2）求出两点坐标，求出面积，由基本不等式求得最值． 【详解】（1）直线方程为：，它过定点，在第二象限，因此直线不过第四象限，则 ∴的取值范围是； （2）易知，令得，令，得，即， ∴，当且仅当，即时取等号， ∴最小值是4，此时方程为，即． 【点睛】本题考查直线方程的一般式，第（1）小题由直线方程确定直线过定点是解题关键；第（2）小题，用基本不等式求最值是关键． 19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点． （1）求证：CD⊥平面PAD； （2）若．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． （3）设CG与平面AEF所成角为，求的范围. 【答案】（1）证明：因为⊥平面，平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面. （2）直线在平面内，理由：在底面中，过作，交于， 由题意可知，又平面， 则以为坐标原点，分别以所在直线为轴， 建立空间直角坐标系. 则，，，， 、、、. ，，， 若平面，则且，使得， 则有，解得，故. 所以直线平面. （3） 【解析】 【分析】（1）由⊥平面可得，结合利用线面垂直判定定理可证； （2）由代入坐标建立方程组，由方程组有解可得直线在平面内； （3）由点G是线段PB上的一点．设，进而得坐标，求平面的一个法向量，由向量方法表示出，再利用换元法求函数值域可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知，. 设， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，有，故. 故 ， 令，则 ， 而，， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度秋学期10月学情调研试卷 高二数学 一、单选题（本题包括8小题，每题5分，共40分） 1. 直线的一个方向向量是（ ） A. B. C. D. 2. 若直线和直线平行，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 若是关于的实系数方程的一根，则的值为（ ） A. -1 B. 1 C. 0 D. 4 4. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知平行六面体的所有棱长均为2，，为的中点，则向量的模长为（ ） A. B. 4 C. D. 6. 已知直线及两点，.若直线与线段（指向）的延长线（不含点）相交，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在边长为3的正方体中，，点在底面正方形上移动（包含边界），且满足，则线段的长度的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在三棱锥中，点G为底面的重心，点M是线段OG上靠近点G的三等分点，过点M的平面分别交棱OA，OB，OC于点D，E，F，若，，，则 =（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题包括3小题，每题6分，共18分） 9. 关于直线，下列说法正确的有（ ） A. 过点 B. 斜率为 C. 倾斜角为60° D. 在轴上的截距为1 10. 已知复数，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则的虚部为 C. 若，则 D. 若，则 11. 在棱长为2的正方体中，、、分别为，，的中点，则下列选项正确的是（ ）． A. B. 直线与所成角的余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 存在实数、使得 三、填空题（本题包括3小题，每题5分，共15分） 12. 设直线l的斜率为k，且，则直线的倾斜角的取值范围是_________. 13. 已知i是虚数单位，若复数z满足，则_______. 14. 如图，两条异面直线a，b所成角为，在直线上a，b分别取点，E和点A，F，使且．已知，，．则线段的长为____________． 四、解答题（本题包括5小题，共77分） 15. 设，复数. （1）求m为何值时，z为纯虚数； （2）若复数z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 16. 求符合下列条件的直线方程： （1）直线过点，且斜率为； （2）直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 17. 如图，在三棱台中，，，，侧棱平面，点D是棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面的夹角的余弦值. 18. 已知直线. （1）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围； （2）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时l的方程. 19. 如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，．E为PD的中点，点F在PC上，且，设点G是线段PB上的一点． （1）求证：CD⊥平面PAD； （2）若．判断直线AG是否在平面AEF内，说明理由． （3）设CG与平面AEF所成角为，求的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $