2025年九年级数学中考 总复习 一元二次方程 专题练习

2024-2025年中考总复习 一元二次方程 专题练习 一、单选题 1．如果是方程的一个根，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 2．方程的根是（   ） A． B． C． D． 3．关于x的方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根 D．无实数根 4．分式可取的最小值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．不存在 5．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．如果是关于的一元二次方程的一个根，那么关于的一元二次方程的解为（    ） A． B． C． D． 7．已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 8．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为（   ） A． B． C． D． 9．关于的一元二次方程有两个相等的实数根，点、是反比例函数的图象上的两个点，若，则、的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 10．已知一元二次方程的两个根是菱形的一条边和一条对角线的长，则这个菱形的面积是（    ） A．3 B． C． D．或 11．如图，矩形，小福在矩形左边分割出正方形，然后小龙在右边矩形的一组对边上分别取中点M，N分割出矩形和矩形，最后小马把矩形对半分割成矩形和矩形，若矩形与矩形相似，则矩形的宽与长的比（    ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，，，点P从点A开始沿边向点C以2m/s的速度匀速移动，同时另一点Q由C点开始以3m/s的速度沿着射线匀速移动，当其中一点到达终点时，两点同时停止运动．当的面积等于时，运动时间为（     ） A．5秒 B．20秒 C．5秒或20秒 D．不确定 二、填空题 13．关于的方程是一元二次方程，则的值为 . 14．若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是 ． 15．若，则的值是 ． 16．已知抛物线（，，是常数，）经过点，，当时，与其对应的函数值，有下列结论： ①； ②； ③关于的方程有两个不等的实数根； ④． 其中正确的是 （填写序号）． 17．如果实数x满足，那么的值是 ． 18．对于任意实数k，关于x的方程的实数根的情况为 ． 19．某超市销售一种饮料，平均每天可售出100箱，每箱利润12元，为了扩大销售，增加利润，超市准备适当降价，据测算，每箱每降价1元平均每天可多售出20箱，若要使每天销售饮料获利1440元，则每箱应降价 元． 三、解答题 20．已知：关于x的一元二次方程， (1)把这个方程化成一元二次方程的一般形式； (2)求证：无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根． 21． 先化简，再求值：，其中 22．计算 (1) (2)从下列方程中任选一个方程，并用适当的方法解方程 ①  ②   ③ 23．已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有实数根； (2)设该方程的两个实数根分别为，，若，，求a的取值范围． 24． 春季是传染病多发季节．2023年3月，我国某地甲型流感病毒传播速度非常快，开始有1人被感染，经过两轮传播后，就有256人患了甲型流感．若每轮传染的速度相同，求每轮每人传染的人数． 25．如图，有长为的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为），围成中间隔有一道篱笆（平行于）的矩形花圃．设花圃的一边为，面积为． (1)若要围成面积为的花圃，则的长是多少？ (2)求为何值时，使花圃面积最大，并求出花圃的最大面积． 26．某超市以每件10元的价格购进一种文具，销售时该文具的销售单价不低于进价且不高于19元．经过市场调查发现，该文具的每天销售数量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系：． (1)若该超市每天销售这种文具获利192元，则销售单价为多少元？ (2)设销售这种文具每天获利（元），求关于的函数关系式（写出自变量的取值范围），并求出当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 27．某工程队采用A，B两种设备同时对长度为3600米的公路进行施工改造．原计划A型设备每小时铺设路面比B型设备的2倍多30米，则30小时恰好完成改造任务． (1)求A型设备每小时铺设的路面长度； (2)通过勘察，此工程的实际施工里程比最初的3600米多了750米．在实际施工中，B型设备在铺路效率不变的情况下，时间比原计划增加了小时，同时，A型设备的铺路速度比原计划每小时下降了3m米，而使用时间增加了m小时，求m的值． 28．如图，在中，，，，点由点出发以的速度向终点匀速移动，同时点由点出发以/的速度向终点匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动． (1)当点移动时间为秒时，的面积为多少？ (2)点移动多少秒时，的面积为？ (3)在点、的运动过程中，的面积是否会达到？为什么？ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，将代入方程，求解即可． 【详解】解：根据题意得：， ， 故选：C． 2．D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程有两根为，． 先把方程化成一般式，再根据一元二次方程根与系数关系求出与的值，判定即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴，． 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式．熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键． 由题意知，，然后判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴方程有两个相等的实数根， 故选：A． 4．A 【分析】本题主要考查分式的性质及配方法的应用，熟练掌握分式的性质及配方法的应用是解题的关键；由题意可变形为，然后根据分式的性质及配方法可进行求解． 【详解】解：由题意得： ， 若要求得的最小值，则需得出的最小值即可， ∵， ∴的最小值为1， ∴的最小值为4； 故选A． 5．A 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，熟练的表示支干与小分支的数量是解本题的关键. 设每个支干长出x个小分支，则主干生出x个小分支，而x个小分支每个又生出x个小分支，所以一共有个，从而可得答案. 【详解】解：设每个支干长出x个小分支，则 , 故选：A． 6．A 【分析】此题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握以上知识点．将代入得到，然后结合得到或，然后求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的根， ∴，得， ， 或或或， 解得或． 故选：A． 7．D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此结合二次项系数不为0得到，，据此求解即可． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 且，即， 解得， 的取值范围为且 当且时，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． 故选：D． 8．B 【分析】先把常数项移到方程右边，再把方程两边除以，接着把方程两边加上，然后把方程左边配成完全平方式，从而得到、的值，最后计算它们的和即可． 【详解】解：， ， ， ，， 故选：． 【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 9．A 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 由一元二次方程根的情况，求得m的值，确定反比例函数y＝图象经过的象限，然后根据反比例函数的性质即可求得结论． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得， ∵， ∴反比例函数y＝的图象在一三象限，在每个象限y随x的增大而减少， ∵， ∴， 故选：A． 10．D 【分析】本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了菱形的性质．利用因式分解法解方程得到，，然后分类讨论，根据菱形的对角线互相垂直平分和勾股定理计算出菱形的另一条对角线，然后根据菱形的面积公式计算． 【详解】解：， ， 或， 解得，， 当菱形的一边长为2，一条对角线长为3，则菱形的另一条对角线长为，此时菱形的面积； 当菱形的一边长为3，一条对角线长为2，则菱形的另一条对角线长为，此时菱形的面积， 综上所述，菱形的面积为或． 故选：D． 11．D 【分析】本题考查了正方形的性质，相似多边形的性质，解一元二次方程，熟练掌握各知识点是解答本题的关键． 设，，由矩形与矩形相似得，求出，解方程得，先求出，进而可求出． 【详解】解：由题意得，，，． 设，， 则，， ∵是正方形， ∴， ∴． ∵矩形与矩形相似， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴． 故选D． 12．A 【分析】本题考查一元二次方程的应用．根据三角形的面积公式列出方程即可解决问题． 【详解】解：由题意，，运动时间， ， ， ， 解得（舍去）或5， ∴运动时间为5秒时，的面积等于． 故选：A． 13． 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．根据一元二次方程的定义得到且，然后解方程和不等式即可得到满足条件的的值． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， 且， 解得； 故答案为：． 14．11 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系．若一元二次方程的两个根为，则．由题意得，，，再代入计算即可求解． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∴， 故答案为：11． 15． 【分析】本题考查了配方法的应用，非负数的性质，先把等式左边的代数式配方，再根据非负数的性质求出的值，最后代入代数式计算即可求解，掌握配方法的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 16．①③④ 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，根的判别式，熟练掌握二次函数图象上点的特征，逐一分析结论的正误是解题的关键．①当时，，由点得，由时，与其对应的函数值可得，进而得出；②由，，可判断的正负，即可判断；③将，代入方程，根据根的判别式即可判断；④将，代入，求解后即可判断． 【详解】解：①抛物线（，，是常数，）经过点，， ，， ， 当时，与其对应的函数值， ， ， 解得：， ， ，故①正确； ②， ， ， ，故②错误； ③，， ，即， ， ， ， 关于的方程有两个不等的实数根，故③正确； ④，， ， ， ， ． 故④正确； 故答案为：①③④． 17．3 【分析】本题主要考查了用换元法解一元二次方程、解分式方程，利用完全平方公式把方程变形是解题的关键． 利用完全平方公式把方程变形为，利用换元法，设，则，转化为解一元二次方程，求出可能的值，分别得出分式方程，计算检验是否有解，即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ， 设，则， 因式分解得：， ∴或， 解得：或， 当时，则， 整理得：， ∴， 解得：，， 经检验，，都是方程的解， ∴的值为； 当时，则， 整理得：， ， ∴时，方程无解． 综上所述，的值为， 故答案为：． 18．方程没有实数根 【分析】本题考查了根的判别式，计算方程根的判别式，判断其符号即可，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键． 【详解】∵， ∴ ， ∴不论k为何值，，即， ∴方程没有实数根， 故答案为：方程没有实数根． 19．3或4 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，正确表示出销量与每箱利润是解题关键．利用的数量关系是：销售每箱饮料的利润销售总箱数=销售总利润，由此列方程解答即可． 【详解】解：设每箱降价x元，则每天多售出箱， ∴ ， 整理得： ， 解得： 或 ， 答：每箱降价3或4元． 20．(1) (2)见解析 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式和一元二次方程的根的判别式，正确求出一般形式和根的判别式是解题的关键． （1）把方程右边的项移项到左边，即可得到答案； （2）列出方程根的判别式，根据判别式的范围即可证明结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即关于x的一元二次方程的一般形式为； （2）对于来说， ， ∵， ∴， ∴无论m取何值，这个方程总有两个不相等的实数根 21．，5 【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．先算括号内的式子，再算括号外的除法，然后根据得到x的值，最后将使得原分式有意义的x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 由，得或， 当时，原分式无意义， ， 当时，原式 22．(1) (2)①；②；③ 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算，解一元二次方程，零指数幂： （1）根据二次根式的混合计算法则和零指数幂计算法则求解即可； （2）①利用配方法解方程即可；②利用因式分解法解方程即可；③利用直接开平方的方法解方程即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； ②∵， ∴， ∴， ∴或， 解得； ③∵， ∴， ∴， 解得． 23．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式： （1）只需要证明即可； （2）根据根与系数的关系得到，再由，，可得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，． ∴该方程总有实数根； （2）解：∵关于x的一元二次方程的两个实数根为，， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∴a的取值范围为． 24．每轮每人传染的人数为15人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，根据题意列出方程并解答是解题关键．设每人每轮传染的人数为x人，则第一轮传染后有人患病，第二轮传染后有人患病，据此列出方程求解即可 【详解】解：设每人每轮传染的人数为x人， 由题意得，， 解得或（舍去）， ∴每轮每人传染的人数为15人． 25．(1)AB的长为 (2)AB为时，花圃面积最大，花圃的最大面积为 【分析】本题考查了二次函数和一元二次方程的应用，根据题目的条件，合理地建立函数关系式，会判别函数关系式的类别，从而利用这种函数的性质解题． （1）根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）根据题意得到，根据函数的性质以及自变量的取值范围求函数最值． 【详解】（1）解：根据题意得，， 解得，， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意，舍去， ∴当的长为时，花圃的面积为； （2）解：花圃的面积， 而由题意：， 即， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时面积最大，最大面积为． 26．(1)销售单价为元； (2)当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 【分析】本题考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据每天的获利=每件的利润×每天的销售量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）根据每天的获利每件的利润每天的销售量，即可得出关于的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 【详解】（1）解：根据题意得： 整理得： 解得：(不合题意，舍去)， 答：销售单价为元； （2）解：根据题意得： ， ∴当时，随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，最大值为： ， ∴关于的函数关系式为： 当销售单价为元时，每天获利最大，最大利润是元． 27．(1)型设备每小时铺设的路面长度为90米 (2)的值为10 【分析】（1）设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米，根据题意列出方程求解即可； （2）根据“型设备铺设的路面长度型设备铺设的路面长度”列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设型设备每小时铺设路面米，则型设备每小时铺设路面米， 根据题意得， ， 解得：， 则， 答：型设备每小时铺设的路面长度为90米； （2）根据题意得， ， 整理得，， 解得：，（舍去）， ∴的值为10． 【点睛】本题主要考查一元一次方程、一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，找准等量关系并列出方程． 28．(1) (2)秒或秒 (3)不会达到，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积公式，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． 由三角形的面积公式可求解； 设点移动经过秒，的面积为，列出方程可求解； 列出方程，由，可得的面积不会达到． 【详解】（1）解：当点移动时间为秒时，，， ∴， ∴的面积； （2）解：设点移动经过秒，的面积为，由题意可得∶ ， ∴或， 答∶点移动经过秒或秒，的面积为； （3）解：的面积不会达到．理由如下∶ 设点移动经过秒，的面积为，由题意可得∶ ， ， ∴， ∴方程无解， ∴的面积不会达到． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$